4. Se considera la función f(x) =. Se pide:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "4. Se considera la función f(x) =. Se pide:"

Transcripción

1 Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los euros. Lo invertido en las acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. La suma de la cantidad invertida en A y de la cantidad invertida en B no puede exceder de euros. La rentabilidad esperada para las acciones de tipo A es del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %. a) Dibuja la región factible. (1 punto) b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. (0.5 puntos) 2. Un grupo de estudiantes para financiar su viaje de fin de curso vende para el día de San Valentín claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros respectivamente. Han vendido 900 claveles en total y han recaudado 1600 euros. Siendo el número de claveles blancos vendidos la mitad del total de rojos y amarillos. a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de cada color han vendido. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) 3. La función G(t) = t 2 8t + 20, 0 t 6, representa las ganancias, en miles de euros, de una empresa durante los últimos 6 meses, siendo t el tiempo medido en meses. a) Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? (0.25 puntos) b) Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? Cuál fue su valor? (1.25 puntos) 4. Se considera la función f(x) =. Se pide: a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 puntos) b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 punto) 5. Según un estudio, el 30% de las familias españolas van al cine regularmente, el 25% leen regularmente, y el 15% hacen las dos cosas. a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, cuál es la probabilidad de que esa familia lea regularmente? (0.75 puntos) b) Se selecciona una familia al azar. Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al cine o lea regularmente? (0.75 puntos) 6. Se sabe que la cantidad de glucosa en la sangre" en individuos adultos y sanos sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 20 mg/dl. Se eligió aleatoriamente una muestra de 100 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta muestra de 85 mg/dl. Se pide: a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de la cantidad de glucosa en sangre". (1 punto) b) Discute razonadamente el efecto que tendrá sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (1 punto) z

2 Propuesta B 1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2 I + 3 X + X A = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos) b) Si, calcula la matriz X que cumple A X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 puntos) 2. Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa. La compañía dispone de 30 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble de la suma de los que van a Roma y a Lisboa. Y el número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta parte del número total de autobuses que van a Roma y a París. a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) 3. Dada la función. Calcula los valores de las constantes a, b y c para que la gráfica de la función pase por el punto (0, -6), tenga un máximo relativo en el punto de abscisa x = 1, y un punto de inflexión en x = 1. (1.5 puntos) 4. Se considera la función. Se pide: a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 puntos) b) Extremos relativos en el intervalo ( 6, 0 ). (0.5 puntos) c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (, 0 ). (0.5 puntos) 5. Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea 1 produce el 60% de los artículos y el resto los produce la línea 2. Sabemos que el 0.5% de los artículos producidos por la línea 1 tiene algún defecto y así mismo el 2% de los artículos producidos por la línea 2 son defectuosos. a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (0.75 puntos) b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la línea 2? (0.75 puntos) 6. En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus clientes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos. El tiempo que emplearon 10 clientes elegidos aleatoriamente fue de 15, 20, 28, 21, 26, 30, 16, 18, 35 y 27 minutos respectivamente. Se pide: a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos) b) Cuál deberá ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? (0.75 puntos) z

3 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA PROPUESTA A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los euros. Lo invertido en las acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. La suma de la cantidad invertida en A y de la cantidad invertida en B no puede exceder de euros. La rentabilidad esperada para las acciones de tipo A es del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %. a) Dibuja la región factible. (1 punto) b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. (0.5 puntos) Solución. Llamamos: x al número de acciones tipo A y al número de acciones del tipo B a) Dibuja la región factible. (1 punto) En tal caso, las condiciones del problema nos determinan un conjunto de desigualdades que vienen predefinidas por las siguientes inecuaciones: El número de acciones son números positivos o cero. 0 x ; 0 y Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los euros. x Lo invertido en las acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. y 8000 La suma de la cantidad invertida en A y de la cantidad invertida en B no puede exceder de euros. x + y Por tanto, el sistema de inecuaciones es: La función objetivo beneficio que hay que maximizar será: La rentabilidad esperada para las acciones de tipo A es del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %. La región factible viene definida por la representación de los semiplanos que generan el sistema de inecuaciones: 3

4 Su representación gráfica se realiza a partir de la representación de las rectas correspondientes y, para cada recta, la selección de uno de los dos semiplanos en función de si verifica o no el punto que elijamos, su inecuación correspondiente: 0 x 0 y x x = 0 y (V) (1,0) pertenece al semiplano x y = (V) (1,0) pertenece al semiplano x = y (V) (1,0) pertenece al semiplano y 8000 x + y x y = (V) (1,0) pertenece al semiplano x y = x (V) (0,0) pertenece al semiplano Con todos estos cálculos las restricciones del problema o región factible queda determinada mediante la siguiente representación gráfica: 4

5 b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. (0.5 puntos) Hemos señalado en la representación gráfica los vértices de la región factible y los hemos denotado mediante A, B, C, D y O. Calculamos las coordenadas de dichos vértices de la región factible: Vértice A: Es el corte de las rectas x = 0 con y = Resolvemos el sistema de ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice: Vértice B: Es el corte de las rectas y = x con y = Resolvemos el sistema de ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice: Vértice C: Es el corte de las rectas x = con y = x. Resolvemos el sistema de ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice: Vértice D: Es el corte de las rectas x = con y = 0. Resolvemos el sistema de ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice: Vértice O: Es el corte de las rectas x = 0 con y = 0. Resolvemos el sistema de ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice: Aplicamos ahora cada vértice a la función objetivo F(x, y) = 0 01x y. El que mayor valor dé determina la solución del problema: F(A) = F(0, 8000) = = 400 F(B) = F(7000, 8000) = = = 470 F(C) = F(10000, 5000) = = = 350 F(D) = F(10000, 0) = = 100 = 100 F(O) = F(0, 0) = = 0 Por lo tanto, el mayor beneficio con las condiciones impuestas se obtiene para 7000 acciones del tipo A y 8000 acciones del tipo B se obtiene la máxima rentabilidad. En tal caso se obtiene una rentabilidad máxima de

6 2. Un grupo de estudiantes para financiar su viaje de fin de curso vende para el día de San Valentín claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros respectivamente. Han vendido 900 claveles en total y han recaudado 1600 euros. Siendo el número de claveles blancos vendidos la mitad del total de rojos y amarillos. a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de cada color han vendido. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) Solución. a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de cada color han vendido. (1.5 puntos) Hacemos las siguientes asignaciones de incógnitas: x Número de claveles amarillos y Número de claveles blancos z Número de claveles rojos Las condiciones del problema inducen las siguientes ecuaciones lineales: Han vendido 900 claveles en total x + y + z = 900 vende para el día de San Valentín claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros respectivamente. y han recaudado 1600 euros. x + 2y + 3z = 1600 Siendo el número de claveles blancos vendidos la mitad del total de rojos y amarillos Simplificamos al máximo las ecuaciones y escribimos el sistema que responde al enunciado: b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) Para resolverlo, podemos optar por resolverlo por Gauss o por el método de Cramer. Por el método de Gauss, sea la matriz de Gauss,. Hacemos ceros en los lugares correspondientes hasta hacerlo triangular en su mitad izquierda. 6

7 Puesto que la fila tres tiene dos ceros en su mitad izquierda, es posible reordenar la matriz de Gauss de tal modo que sea triangular. Transformamos en sistema y resolvemos: Despejamos en el sistema y resolvemos: Por lo tanto, hay 400 claveles amarillos, 300 claveles blancos y 200 claveles rojos. Por el método de Cramer: Dado el sistema, aplicamos ahora el método de determinantes: Por lo tanto, hay 400 claveles amarillos, 300 claveles blancos y 200 claveles rojos. 7

8 3. La función G(t) = t 2 8t + 20, 0 t 6, representa las ganancias, en miles de euros, de una empresa durante los últimos 6 meses, siendo t el tiempo medido en meses. a) Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? (0.25 puntos) b) Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? Cuál fue su valor? (1.25 puntos) Solución. a) Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? (0.25 puntos) Sustituimos el valor t = 2 en la expresión algebraica y calculamos: G(2) = = = 8 Por lo tanto, la ganancia obtenida a los dos meses es de b) Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? Cuál fue su valor? (1.25 puntos) Calculamos la primera derivada de la función: Igualamos a cero y resolvemos: G (t) = 2t 8 2t 8 = 0 2t = 8 t = 4 Estudiamos el signo de la primera derivada en el dominio [0, 6]. Intervalo Valor representante G (t) = 2t 8 Monotonía en el intervalo (0, 4) 2 G (2) = 1 4 < 0 Decreciente (4, 6) 5 G (5) = 10 4 > 0 Creciente Por lo tanto, t = 4 es un valor de mínimo relativo. Además será absoluto puesto que la función es continua y en el intervalo [0,6] no puede haber valores donde haya menor valor imagen. Calculamos la imagen de t = 4: G(4) = = = 4 Concluimos que en el cuarto mes se obtiene el menor beneficio durante los seis meses a estudio y este beneficio es de Se considera la función f(x) =. Se pide: a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 puntos) b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 punto) Solución. a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 puntos) Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a, debe ocurrir que 8

9 En nuestro caso, calculamos los límites laterales y el valor de la función en el punto en x = 0. Igualamos los valores y resolvemos encontrando el valor de t: Por lo tanto, para que f sea continua en x = 0 entonces t = 2. b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 punto) Sea la función para t = 3, f(x) = Representamos cada función por separado: La función g(x) = (x + 1) 2 3 = x x 3 = x 2 + 2x 2 es una función cuadrática cuyo vértice se encuentra para el valor de abcisa: Se trata de una parábola con las ramas hacia arriba (a > 0) que podemos representar dando valores a la izquierda y a la derecha del vértice (hasta x = 0) mediante la siguiente tabla: x g(x) = x 2 + 2x 2 1 ( 1) ( 1) 2 = = 3 2 ( 2) ( 2) 2 = = 2 3 ( 3) ( 3) 2 = = ( 0 5) ( 0 5) 2 = = = 2 La función h(x) = x 2 3 = es una función con valor absoluto. Por lo tanto, es una función a trozos cuyo corte se encuentra en x = 2 (que es el valor donde se anula el valor absoluto). En tal caso, la función es: h(x) = h(x) = 9

10 y se representará mediante dos rectas que creamos a partir de sus correspondientes tablas de valores: x h 1 (x) = x = 1 (punto hueco, se trata de un límite lateral por la izquierda) = = 3 x h 2 (x) = x = = = 1 La función queda representada del modo siguiente: 5. Según un estudio, el 30% de las familias españolas van al cine regularmente, el 25% leen regularmente, y el 15% hacen las dos cosas. a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, cuál es la probabilidad de que esa familia lea regularmente? (0.75 puntos) b) Se selecciona una familia al azar. Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al cine o lea regularmente? (0.75 puntos) Solución. Consideramos los siguientes sucesos referidos al experimento que se considera: A = Una familia española va al cine regularmente que tiene probabilidad P(A) = 0 3 B = Una familia española lee regularmente que tiene probabilidad P(B) = 0 25 El suceso intersección A B, según el enunciado, tendrá probabilidad P(AB) = 0 15 a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, cuál es la probabilidad de que esa familia lea regularmente? (0.75 puntos) Se trata de calcular la probabilidad del suceso B/A. Aplicamos la fórmula de la probabilidad del suceso condicionado: 10

11 b) Se selecciona una familia al azar. Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al cine o lea regularmente? (0.75 puntos) Se trata de calcular la probabilidad del suceso A B. Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), 6. Se sabe que la cantidad de glucosa en la sangre" en individuos adultos y sanos sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 20 mg/dl. Se eligió aleatoriamente una muestra de 100 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta muestra de 85 mg/dl. Se pide: a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de la cantidad de glucosa en sangre". (1 punto) b) Discute razonadamente el efecto que tendrá sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (1 punto) Solución. a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de la cantidad de glucosa en sangre". (1 punto) Sea la variable aleatoria X que mide la cantidad de glucosa en sangre. Según los datos del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 20 mg/dl. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 100 personas y nos dicen que su media muestral es X 85 mg/dl. En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 α = 0 95 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula: X z / 2, n X z / 2 n Puesto que 1 α = 0 95, entonces α = 0 05 y α/2 = por lo que z α/2 = Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo: , ( , ) (81 08, 88 92) Concluimos que el intervalo de confianza al 95 % para la cantidad media de glucosa en sangre en estas condiciones es (81 08, 88 92). b) Discute razonadamente el efecto que tendrá sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. (1 punto) Aumentando el nivel de confianza aumentamos la semi-amplitud del intervalo de confianza y la estimación es más burda aunque con mucha probabilidad. Del mismo modo, si disminuimos el nivel de confianza, disminuiremos la semi-amplitud del intervalo de confianza y la estimación es más precisa pero con menor probabilidad.

12 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA PROPUESTA B 1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2 I + 3 X + X A = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos) b) Si, calcula la matriz X que cumple A _X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 puntos) Solución. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2 I + 3 X + X A = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos) La matriz X se despeja del siguiente modo, 2 I + 3 X + X A = B 3 X + X A = B 2 I X ( 3 I + A ) = B 2 I Suponiendo que (3 I + A) tiene matriz inversa, tendremos que: X ( 3 I + A ) ( 3 I + A ) 1 = ( B 2 I ) ( 3 I + A ) 1 X I = ( B 2 I ) ( 3 I + A ) 1 X = ( B 2 I ) ( 3 I + A ) 1 b) Si, calcula la matriz X que cumple A X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 puntos) Primero despejamos algebraicamente la matriz X, que debe ser de orden 2 puesto que al multiplicarse por una matriz de orden 2, se obtiene una matriz de orden 2. Debemos asegurarnos de que la matriz A tiene matriz inversa. Eso sólo es posible si es cuadrada, que lo es, y su determinante es no nulo. Comprobamos que A 0. Por tanto, la matriz A tiene matriz inversa. En tal caso, podemos despejar algebraicamente a la matriz X y podemos calcularla: A X = I A 1 A X = A 1 I X = A 1 En ese caso, calculamos la matriz inversa de A, que es la solución de la ecuación matricial mediante dos métodos: Por el método de Gauss: Por lo tanto, la solución del problema es 12

13 Por el método de de los determinantes: La matriz inversa se calcula a partir de la fórmula, La matriz traspuesta A t es, La matriz adjunta de la traspuesta es, Por lo tanto, la matriz inversa y solución del problema es, 2. Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa. La compañía dispone de 30 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble de la suma de los que van a Roma y a Lisboa. Y el número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta parte del número total de autobuses que van a Roma y a París. a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. (1.5 puntos) b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) Solución. a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. (1.5 puntos) Llamamos x al número de autobuses que van a Roma; y al número de autobuses que van a París; y z al número de autobuses que van a Lisboa. Las condiciones del problema inducen las siguientes ecuaciones lineales. Observar que la segunda y tercera ecuación provienen de la utilización de la prueba de la división. La compañía dispone de 30 autobuses x + y + z = 30 El número de autobuses que van a París es el doble de la suma de los que van a Roma y a Lisboa El número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta parte del número total de autobuses que van a Roma y a París 13 y = 2 (x + z)

14 Simplificamos al máximo las ecuaciones y escribimos el sistema que responde al enunciado mediante: b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos) Para resolverlo, podemos optar por resolverlo por Gauss o por el método de Cramer. Por el método de Gauss, sea la matriz de Gauss,. Hacemos ceros en los lugares correspondientes hasta hacerlo triangular en su mitad izquierda. Reescribimos la matriz equivalente en forma de sistema: Despejamos en el sistema y resolvemos: Por lo tanto, han ido x = 4 autobuses a Roma, y = 20 autobuses a París y z = 6 autobuses a Lisboa. 14

15 Por el método de Cramer: Dado el sistema, aplicamos ahora el método de determinantes: Por lo tanto, han ido x = 4 autobuses a Roma, y = 20 autobuses a París y z = 6 autobuses a Lisboa. 3. Dada la función. Calcula los valores de las constantes a, b y c para que la gráfica de la función pase por el punto ( 0, 6 ), tenga un máximo relativo en el punto de abscisa x = 1, y un punto de inflexión en x = 1. (1.5 puntos) Solución. Puesto que la función pasa por el punto (0, 6 ) entonces f(0) = 6 y por lo tanto, Puesto que tiene un máximo relativoen el valor de abcisa x = 1 entonces f ( 1) = 0. Como la derivada de f(x) es f (x) = x 2 + 2ax + b, entonces si f ( 1) = 0 tendremos que: f ( 1) = ( 1) a ( 1) + b = 1 2a + b = 0, Por otra parte, puesto que f(x) tiene un punto de inflexión en x = 1 y entonces f (1) = 0. Como la derivada de f (x) es f (x) = 2x + 2a, entonces si f (1) = 0 tendremos que: f (1) = a = 2 + 2a = 0 2a = 2 a = 1 15

16 De donde obtenemos que a = 1 y, sustituyendo en la ecuación 1 + 2a + b = 0, tendremos que Por lo tanto, a = 1 y b = 3 y c = b = 0 b = 3 4. Se considera la función. Se pide: a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 puntos) b) Extremos relativos en el intervalo ( 6, 0 ). (0.5 puntos) c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (, 0 ). (0.5 puntos) Solución a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 puntos) Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a, debe ocurrir que En nuestro caso, calculamos los límites laterales y el valor de la función en el punto en x = 0. Puesto que los límites laterales no coinciden la función f NO es continua en x = 0. Además, en x = 0 la función f(x) presenta una discontinuidad de primera especie salto finito. b) Extremos relativos en el intervalo ( 6, 0 ). (0.5 puntos) Calculamos la primera derivada de la función f(x) en ( 6, 0). Puesto que su expresión algebraica es f(x) = (x + 3) 2, su derivada es: Igualamos a cero y resolvemos: f (x) = 2(x + 3) = 2x + 6 2x + 6 = 0 2x = 6 x = 3 Estudiamos el signo de la primera derivada en el dominio ( 6, 0 ). Intervalo Valor representante f (x) = 2x + 6 Monotonía en el intervalo ( 6, 3) 4 f ( 4) = 2 ( 4) + 6 = 2 < 0 Decreciente ( 3, 0) 1 f ( 1) = 2 ( 1) + 6 = 4 > 0 Creciente Por lo tanto, x = 3 es un valor de mínimo relativo. Además será absoluto puesto que la función es continua y en el intervalo ( 6,0) no puede haber valores donde haya menor valor imagen. Por otra parte, no hay máximos relativos puesto que el intervalo es abierto y la función continua. 16

17 c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en (, 0 ). (0.5 puntos) Como ya se estudio y concluyó en el apartado anterior, la función f(x) que tiene por expresión algebraica (x + 3) 2 en ese dominio, presenta decrecimiento en (, 3) y luego crecimiento en el intervalo ( 3, 0) 5. Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea 1 produce el 60% de los artículos y el resto los produce la línea 2. Sabemos que el 0.5% de los artículos producidos por la línea 1 tiene algún defecto y así mismo el 2% de los artículos producidos por la línea 2 son defectuosos. a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (0.75 puntos) b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la línea 2? (0.75 puntos) Solución. Los datos del problema se pueden describir mediante el siguiente diagrama de árbol: a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (0.75 puntos) Apoyándonos en el diagrama de árbol, tendremos que la probabilidad pedida se puede calcular mediante: P(Defectuoso) = P( Defectuoso / Línea1 ) P(Línea 1) + P( Defectuoso / Línea 2 ) P(Línea 2) = = = = Por tanto, hay una probabilidad del 1.1 % de que el artículo elegido al azar sea defectuoso. b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la línea 2? (0.75 puntos) Apoyándonos en el diagrama de árbol, tendremos que la probabilidad pedida se puede calcular mediante el teorema de Bayes y la probabilidad condicionada. Por tanto, hay una probabilidad aproximada del % de que el artículo defectuoso elegido al azar pertenezca a la línea 2. 17

18 6. En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus clientes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos. El tiempo que emplearon 10 clientes elegidos aleatoriamente fue de 15, 20, 28, 21, 26, 30, 16, 18, 35 y 27 minutos respectivamente. Se pide: a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos) b) Cuál deberá ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? (0.75 puntos) Solución. a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos) Sea la variable aleatoria X que mide el tiempo que tardan en comer los clientes. Según los datos del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 7 minutos. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 estudiantes y nos dicen que su media muestral es X 2 36 ya que: X En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 α = 0 97 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula: X z / 2, n X z / 2 n Puesto que 1 α = 0 97, entonces α = 0 03 y α/2 = por lo que z α/2 = Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo: , ( , ) (18 797, ) Concluimos que el intervalo de confianza al 97 % para el tiempo medio de consumo de clientes del establecimiento es (18 796, ). b) Cuál deberá ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? (0.75 puntos) El error de estimación viene determinado por la fórmula: 18

19 Por lo que el tamaño mínimo que podemos estimar es, Calculando dicho tamaño muestral mínimo obtenemos, Concluimos que el mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza es de n = 58 clientes. 19

x: acciones tipo A y: acciones tipo B función a optimizar: R(x,y)= 0.01x + 0.05y x 10000 y 8000 x + y 15000 x 0 y 0 x = 10000 x + y = 15000 x = 7000

x: acciones tipo A y: acciones tipo B función a optimizar: R(x,y)= 0.01x + 0.05y x 10000 y 8000 x + y 15000 x 0 y 0 x = 10000 x + y = 15000 x = 7000 4 6 8 4 6 www.clasesalacarta.com Universidad de Castilla la Mancha PAU/LOGSE Septiembre. SEPTIEMBRE Opción A.- Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo

Más detalles

x 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas.

x 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas. Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Septiembre 2012 - Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos

Más detalles

Propuesta A. b) Si A =, calcula la matriz X que cumple A X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 puntos)

Propuesta A. b) Si A =, calcula la matriz X que cumple A X = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 puntos) Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (2012) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.

Más detalles

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2012 - Propuesta B

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2012 - Propuesta B Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2012 - Propuesta B 1. Una empresa tiene 3000 bolsas de ajo morado de Las

Más detalles

UCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)

UCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) PAEG Junio 0 Propuesta A Matemáticas aplicadas a las CCSS II º Bachillerato UCLM - Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD SEPTIEMBRE 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 010 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 a 1 1 1 3 Sean las matrices

Más detalles

Tipo A Tipo B Min. y Máx. Gambas 2 1 50 Langostinos 3 5 180 Contenedores 1 1 50 Coste 350 550 350x + 550y

Tipo A Tipo B Min. y Máx. Gambas 2 1 50 Langostinos 3 5 180 Contenedores 1 1 50 Coste 350 550 350x + 550y IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 010 (Modelo 6) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 (.5 puntos) Un supermercado

Más detalles

0.5 ptos por cada trozo bien dibujado

0.5 ptos por cada trozo bien dibujado Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (013) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se

Más detalles

a)1 punto. b) Vértices (0,0),(0,2)(1.5,0.5)(1,0). 0.25 puntos

a)1 punto. b) Vértices (0,0),(0,2)(1.5,0.5)(1,0). 0.25 puntos c Solución óptima (1.5,0.5 Valor 3.5. 0.5 puntos. Para recaudar dinero para el viaje de fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y gorras a 10, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado

Más detalles

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 2010 (Modelo 1) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 00 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS II Sobrantes 00 (Modelo ) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO Sea el recinto del plano definido

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (General Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (General Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (General Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO 4 (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea el recinto determinado

Más detalles

MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2010 (COMÚN MODELO5) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2010 (COMÚN MODELO5) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA IES Fco Ayala de Granada Junio de 010 (General Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 010 (COMÚN MODELO5) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea el recinto definido

Más detalles

Matemáticas 2º BTO Aplicadas a las Ciencias Sociales

Matemáticas 2º BTO Aplicadas a las Ciencias Sociales Matemáticas 2º BTO Aplicadas a las Ciencias Sociales CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA DE JUNIO 2014 MÍNIMOS: No son contenidos mínimos los señalados como de ampliación. I. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD

Más detalles

Propuesta A. y B = 1 0

Propuesta A. y B = 1 0 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (014 Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se

Más detalles

Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León

Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICA APLICADA A LA CIENCIA OCIALE EJERCICIO Nº páginas 2 Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ECOGER UNA DE LA DO OPCIONE Y DEARROLLAR LA

Más detalles

Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León

Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León Pruebas de acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJECICIO Nº Páginas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBEÁ ESCOGE UNA DE LAS DOS OPCIONES

Más detalles

Selectividad Septiembre 2013 OPCIÓN B

Selectividad Septiembre 2013 OPCIÓN B Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León ATEÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR

Más detalles

Propuesta A. 2 0 b) Dada la ecuación matricial: X =, despeja y calcula la matriz X (0.75 ptos) 1 1

Propuesta A. 2 0 b) Dada la ecuación matricial: X =, despeja y calcula la matriz X (0.75 ptos) 1 1 Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (014) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se

Más detalles

Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 2009

Resolución del examen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 2009 Resolución del eamen de Selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Andalucía Junio de 2009 Antonio Francisco Roldán López de Hierro * de junio de 2009 Opción A Ejercicio Sea la igualdad

Más detalles

OPCIÓN A 0 1 X = 1 12. Podemos despejar la matriz X de la segunda ecuación ya que la matriz. 1 1 ; Adj 0 1 X =

OPCIÓN A 0 1 X = 1 12. Podemos despejar la matriz X de la segunda ecuación ya que la matriz. 1 1 ; Adj 0 1 X = Selectividad Junio 011 Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO/A DEBERÁ ESCOGER UNO DE

Más detalles

Selectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009. Opción A

Selectividad Septiembre 2009 SEPTIEMBRE 2009. Opción A SEPTIEMBRE 2009 Opción A 1.- Como cada año, el inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES,

Más detalles

MATEMÁTICAS aplicadas a las Ciencias Sociales II

MATEMÁTICAS aplicadas a las Ciencias Sociales II MATEMÁTICAS aplicadas a las Ciencias Sociales II UNIDAD 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉODO DE GAUSS Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes. Transformaciones que mantienen la equivalencia.

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8

Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 Matemáticas C.C.S.S. Repaso de Selectividad 1. Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento y 1 gramo del segundo; un kilo

Más detalles

Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León

Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León Pruebas de cceso a las Universidades de Castilla y León MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES EJERCICIO Nº páginas 2 Tablas OPTTIVIDD: EL LUMNO DEBERÁ ESCOGER UN DE LS DOS OPCIONES Y DESRROLLR LS PREGUNTS

Más detalles

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Modelo 2011) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Modelo 2011) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Modelo 20) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema (3 puntos) Un estudiante ha gastado un total de 48 euros en la compra de una mochila,

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A a) (1 punto) Dada la matriz a 1 A, calcule el valor de a para que A a 0 sea la matriz nula. 1 1 t b) ( puntos) Dada la matriz M, calcule la matriz M M. 1 1 x 1 Sea la función f definida mediante f ( x).

Más detalles

IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Comunidad de Madrid. Año 08. Septiembre. Opción B. Ejercicio 1.

IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Comunidad de Madrid. Año 08. Septiembre. Opción B. Ejercicio 1. IES La Serna Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Comunidad de Madrid. Año 08. Septiembre. Opción B. Ejercicio. ( puntos) Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 000 euros,

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ALUMNO: CONTENIDOS PARA LA RECUPERACION DE ÁREA EN SEPTIEMBRE

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ALUMNO: CONTENIDOS PARA LA RECUPERACION DE ÁREA EN SEPTIEMBRE TRABAJO DE VERANO 2014 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES ALUMNO: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA CONTENIDOS PARA LA RECUPERACION DE ÁREA EN SEPTIEMBRE Números: reales, irracionales, racionales.

Más detalles

Selectividad Septiembre 2008 SEPTIEMBRE 2008

Selectividad Septiembre 2008 SEPTIEMBRE 2008 Bloque A SEPTIEMBRE 008.- Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máimo de 7 camiones, para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable

Más detalles

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS.

ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso 008-009 MATEMÁTICAS II ELIJA CUATRO DE LOS SEIS BLOQUES PROPUESTOS. Bloque 1. Dado el número real a, se considera el sistema a) Discuta el sistema según los valores

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

Relación de ejercicios sobrantes de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II (Segundo de Bachillerato L.O.G.S.E.)

Relación de ejercicios sobrantes de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II (Segundo de Bachillerato L.O.G.S.E.) Relación de ejercicios sobrantes de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II (Segundo de Bachillerato L.O.G.S.E.) 1 Nota: Esta relación de ejercicios la ha elaborado la Ponencia de Matemáticas

Más detalles

El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima. OPCIÓN A. 2 1 1 y C 4 2 2 1 0 0

El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima. OPCIÓN A. 2 1 1 y C 4 2 2 1 0 0 Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 0. El alumno debe responder a una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máima. OPCIÓN A. Considerar las matrices 0 A 0,

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Índice 1. LA MATERIA. EL LIBRO DE TEXTO 3. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 4. EVALUACIÓN 5. ORIENTACIONES Y ACTIVIDADES UNIDADES DIDÁCTICAS 1. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso Asignatura 2009/2010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 1º Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba de Acceso a la Universidad INTRODUCCIÓN

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS (2013). Materia: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS (2013). Materia: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS (2013). Materia: Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales Esta prueba consta de dos bloques (A y B) de cuatro preguntas cada uno. El alumno

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

Tema 10. Estimación Puntual.

Tema 10. Estimación Puntual. Tema 10. Estimación Puntual. Presentación y Objetivos. 1. Comprender el concepto de estimador y su distribución. 2. Conocer y saber aplicar el método de los momentos y el de máxima verosimilitud para obtener

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

MURCIA JUNIO 2004. + = 95, y lo transformamos 2

MURCIA JUNIO 2004. + = 95, y lo transformamos 2 MURCIA JUNIO 4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos

Más detalles

Selectividad Junio 2008 JUNIO 2008 PRUEBA A

Selectividad Junio 2008 JUNIO 2008 PRUEBA A Selectividad Junio 008 JUNIO 008 PRUEBA A 3 a x + a y =.- Sea el sistema: x + a y = 0 a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valores del parámetro a. b) Resuélvelo

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A OPCIÓN A (3 puntos) Una imprenta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico necesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de tinta negra y dos de color. Si sólo

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

Selectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006

Selectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006 Bloque A SEPTIEMBRE 2006 1.- En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de administrativos más el triple del número de directivos, es igual

Más detalles

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Examen final. 18 de mayo de 2012. Nombre y apellidos:... Propuesta A

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Examen final. 18 de mayo de 2012. Nombre y apellidos:... Propuesta A Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Examen final. 18 de mayo de 2012 Nombre y apellidos:... Propuesta A 1. Dada la ecuación matricial. a) Resuelve la ecuación. (0,75 puntos) 1 b) Si 0 1 y

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.E.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.E. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.E. CURSO 2013-2014 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B). - Cada una de las preguntas

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 0-0 Opción A Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Un alambre de longitud metros se divide en dos trozos Con el primero se forma

Más detalles

Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incóg

Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incóg PreUnAB Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incógnita Clase # 11 Agosto 2014 Intervalos Reales Orden en R Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor que b, a < b, si b

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

CONTENIDOS MÍNIMOS BACHILLERATO

CONTENIDOS MÍNIMOS BACHILLERATO CONTENIDOS MÍNIMOS BACHILLERATO I.E.S. Vasco de la zarza Dpto. de Matemáticas CURSO 2013-14 ÍNDICE Primero de Bachillerato de Humanidades y CCSS...2 Primero de Bachillerato de Ciencias y Tecnología...5

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática

CAPITULO 3. Aplicaciones de la Derivada. Licda. Elsie Hernández Saborío. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Escuela de Matemática CAPITULO Aplicaciones de la Derivada Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Créditos Primera edición impresa: Rosario Álvarez, 1988. Edición Latex: Marieth

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 2º BACHILLERATO (Modalidad: Humanidades y Ciencias Sociales) Desarrollado en Decreto 67/2008, de 19 de junio. B.O.C.M.: 27 de junio de 2008. PROGRAMACIÓN

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2012-2013

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2012-2013 UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2012-2013 MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES Capítulo 6 MATRICES Y DETERMINANTES 6.. Introducción Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO 2004

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO 2004 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II JUNIO 2004 Problema 1. Dadas las matrices: 4 A = 1 0 1 1 B = 2 2 0 y 2 C = 1 0 2 Calcular la matriz X que verifica la ecuación AXB =2C Problema 2. Un banco

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

L A P R O G R A M A C I O N

L A P R O G R A M A C I O N L A P R O G R A M A C I O N L I N E A L 1. INTRODUCCIÓN: la programación lineal como método de optimación La complejidad de nuestra sociedad en cuanto a organización general y económica exige disponer

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

SEPTIEMBRE 2005. Opción A

SEPTIEMBRE 2005. Opción A Selectividad Septiembre 005 SEPTIEMBRE 005 Opción A 4 5.- Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que A + 3B = y que A B =..- Se considera la parábola p (x) = 0,5 x +,5 x y sea s (x) la línea poligonal

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1. Sean A y B dos sucesos y A, B sus complementarios. Si se verifica que p( B) = 2 / 3, p( A B) = 3 / 4 y p( A B) = 1/ 4, hallar: p( A), p( A B), y la probabilidad condicionada

Más detalles

ÁLGEBRA 2º Ciencias Sociales PAU- LOGSE

ÁLGEBRA 2º Ciencias Sociales PAU- LOGSE . (Jun. 205 Opción A) Dadas las matrices A = ( a 2 + 2 2 ), B = ( ) y C = (c 0 0 b 0 c ) Calcula las matrices A B y B C. Calcula los valores de a, b y c que cumplen A B B C. Sol.- 2. (Jun. 205 Opción B)

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,

Más detalles

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales Estadística 38 Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos

Más detalles

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES

ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES ( x 9) Dada la función f( x) = x 4 DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión, representar

Más detalles

Examen funciones 4º ESO 12/04/13

Examen funciones 4º ESO 12/04/13 Examen funciones 4º ESO 12/04/13 1) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. b. c. d. Calculamos las raíces del numerador y del denominador: Construimos la tabla para ver los signos: - - 0 +

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3

8LÍMITES Y DERIVADAS. Problema 1. Problema 2. Problema 3 CONTENIDOS Límite y asíntotas Cálculo de límites Continuidad Derivadas Estudio de funciones Problemas de optimización Varias de las características de diferentes tipos de funciones ya han sido estudiadas

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles