x = nº amarillos y = nº blancos z = nº rojos

Transcripción

1 67 70 Septiembre 0 Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 0000 euros. Lo invertido en las acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. La suma de la cantidad invertida en A y de la cantidad invertida en B no puede exceder de 5000 euros. La rentabilidad esperada para las acciones de tipo A es del % y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %. a) Dibuja la región factible. b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. x: invertidos en acciones tipo A y: invertidos en acciones tipo B función a optimizar: B(x, y 0.0x y 00 A = (0, 8000) 0 x y 8000 B = (7000, 8000) C = (0000, 5000) x + y 5000 D = (0000, 0) E = (0, 0) 000 (0, 8000) 800 Los valores que toma la función R(x,y 0.0x y en cada uno de los vértices: En el vértice A : B(0, En el vértice B : B(7000, En el vértice C : B(0000, En el vértice D : B(0000, 0 00 En el vértice E : B(0, 0 0 Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice C, es decir, para una inversión de 0000 en acciones de tipo A y de 5000 en tipo B, el beneficio obtenido es el máximo posible y es de (0, 0) (7000, 8000) (0000, 5000) (0000, 0) Un grupo de estudiantes para financiar su viaje de fin de curso vende para el día de San Valentín claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de, y euros respectivamente. Han vendido 900 claveles en total y han recaudado 600 euros. Siendo el número de claveles blancos vendidos la mitad del total de rojos y amarillos. a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de cada color han vendido. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x = nº amarillos y = nº blancos z = nº rojos x + y + z = 900 x + y + z = 900 x + y + z = 600 x + z x + y + z = 600 y = x y + z = 0 Lo resolvemos por Gauss x = 400 ( 600) F = F F ( ) y = 00 0 F = F F z = 00 Es decir, vendieron 400 claveles amarillos, 00 blancos y 00 rojos. La función G(t t 8t + 0, 0 t 6, representa las ganancias, en miles de euros, de una empresa durante los últimos 6 meses, siendo t el tiempo medido en meses. a) Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = )? b) Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? Cuál fue su valor? Para t = G( = 8, es decir las ganancias fueron de 8000

2 PAEG _ Matemáticas CCSS _ CLM Para que haya un mínimo: G (t)=0 y G (t)>0: G (t)= t 8 G (t)=0 t 8 = 0 t = 4 G (t)= > 0 mínimo G(4 4, es decir la ganancia mínima fue en el cuarto mes, siendo de Se considera la función f(x (x + ) t x 0 x si x > 0 c) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 0. d) Para t =, representa gráficamente la función f. Para que sea continua lim f(x lim f(x f(0) + lim f(x lim (x + ) t = t lim f(x lim + + x = f(0 x + t = t t = t = Para t = f(x)= (x + ) - x 0 x - - si x>0 Para x0: f(x x + x - VX = -b = - VY = - V(-,-) a Corte con eje x: (0.7, 0) y (-.7, 0) Corte con eje y: (0, -) Para x>0: f(x)= x - - x=0 y= -: (0, -) x= y= -: (, -) - x= y= -: (, -) x= y= -: (, -) Según un estudio, el 0% de las familias españolas van al cine regularmente, el 5% leen regularmente, y el 5% hacen las dos cosas. a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, cuál es la probabilidad de que esa familia lea regularmente? b) Se selecciona una familia al azar. Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al cine o lea regularmente? Suceso A: cine: P(A)=0. Suceso B: lee: P(B)=0.5 P(AB)=0.5 Si va al cine, la probabilidad de que lea: P( B P (A B) A P(A) = P(B A 0. 5 La probabilidad de que vaya al cine o lea: P(AB) P(AB P(A) + P(B) P(A B P(A B 0. 4

3 67 70 Septiembre 0 Se sabe que la cantidad de glucosa en la sangre en individuos adultos y sanos sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 0 mg/dl. Se eligió aleatoriamente una muestra de 00 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta muestra de 85 mg/dl. Se pide: a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de la cantidad de glucosa en sangre. b) Discute razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza. El intervalo de confianza viene dado por: IC (x ± Zα σ x = 85 = 0 n = 00 n ) - = 0.95 = 0.05 α = α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) - α buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα =.96 0 (85 ±.96 (85 ±.9 (8. 08, 88. 9) 00 Al aumentar el nivel de confianza (-) el intervalo aumenta porque se trata de calcular un intervalo que abarca una zona más grande bajo la curva normal N(0,), pero tenemos menos precisión en la determinación de la media. Y al revés si el nivel de confianza disminuye, el intervalo disminuye. / - / - Z / Z / a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: I + X + XA = B, suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). b) Si A = ( 0 ), calcula la matriz X que cumple AX = I, donde I es la matriz identidad de orden. 5 I + X + XA = B X + XA = B I X(I + A B I X(I + A)( + A) = (B I)( + A) X = (B I)( + A) XA = I XA(A) = I(A) X = A A = 0 5 = 6 0 A A = (Adj. A)t A Adj. A = ( 5 0 ) (Adj. A)t = ( 0 5 ) A = 6 ( 0 5 ) A = ( ) X = ( )

4 4 PAEG _ Matemáticas CCSS _ CLM Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa. La compañía dispone de 0 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble de la suma de los que van a Roma y a Lisboa. Y el número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta parte del número total de autobuses que van a Roma y a París. a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. x = nº a Roma y = nº a París z = nº a Lisboa x + y + z = 0 x + y + z = 0 y = (x + z) x + y z = 0 x + y z = x y + 4z = 0 4 Lo resolvemos por Gauss: 0 0 x + y + z = 0 ( 0 ) F = F + F ( ) y = F = F + F z = 0 x = 4 y = 0 z = 6 Es decir, van 4 autobuses a Roma, 0 a París y 6 a Lisboa. Dada la función f(x x + ax + bx + c. Calcula los valores de las constantes a, b y c para que la gráfica de la función pase por el punto (0, -6), tenga un máximo relativo en el punto de abscisa x = -, y un punto de inflexión en x =. (0,-6) f (0 6 c = -6 f(x x + ax + bx 6 Máximo relativo en x=- f ( 0 f (x x + ax + b a + b = 0 Punto de inflexión en x= f ( 0 f (x x + a + a = 0 a = - - (-) + b = 0 b = - Por tanto, la función pedida es: f(x x x x 6 (x + ) Se considera la función f(x si x 0 x si x > 0 a) Estudia la continuidad en x = 0. b) Calcula los extremos relativos en el intervalo (-6, 0). c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento en (-, 0). Para que sea continua lim f(x lim f(x f(0) + lim f(x lim (x + 9 lim f(x lim = + + x f(0 9 La discontinuidad que tiene es del tipo inevitable de salto finito. No es continua en x = 0 En el intervalo (-6, 0), la función tiene la expresión f(x (x + ) f (x x + 6 f (x 0 x + 6 = 0 x = - f (x f (x) > 0 un mínimo relativo f (- 0 Por tanto, existe un mínimo relativo en el punto (-,0). Para los intervalos de crecimiento, estudiamos el signo de f (x): f (x x + 6, a ambos lados del mínimo, es decir, de x = - f (x) > 0 f (-4 - < 0 la función es decreciente en (-, -) f (x) < 0 f (-- > 0 la función es creciente en (-, 0)

5 Septiembre 0 Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea produce el 60% de los artículos y el resto los produce la línea. Sabemos que el 0.5% de los artículos producidos por la línea tiene algún defecto y así mismo el % de los artículos producidos por la línea son defectuosos. a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la línea? Suceso A = elegir artículo de la línea P(A 0.6 Suceso B = elegir artículo de la línea P(B 0.4 Suceso D = salir defectuoso P( D A P(D B 0.0 La probabilidad de que sea defectuoso: P (D P(A) P( D A ) + P(B) P(D B P (D 0. 0 La probabilidad de que siendo defectuosos sea de la línea : P( B D ) P( B P(B D) D P( B P(B D) D P( D P(D B) B P(B) P(D B P( D B ) P(B) } P( B D P(D B ) P(B) = P( B D En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus clientes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos. El tiempo que emplearon 0 clientes elegidos aleatoriamente fue de 5, 0, 8,, 6, 0, 6, 8, 5 y 7 minutos respectivamente. Se pide: a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. b) Cuál debería ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la media sea inferior a minutos con el mismo nivel de confianza? El intervalo de confianza para la media es: IC (x ± Zα σ ) n x = = 7 n = 0 x =.6 - = 0.97 = 0.0 α = α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) - α buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα =.7 Por tanto, el intervalo de confianza sería: 7 IC (.6 ±.7 (.6 ± 4.8 (8. 8, 8. 4) 0 El error de estimación de la media viene dado por la expresión: E = Zα σ n n = (Zα σ E ) n > (.7 7 ) n > n = 58