Modelo 3 OPCIÓN A. Pasando4B al2º miembro: AX = C 4 B A AX = A ( C 4 B). = ( 4 ) = ( 4 ) I X A C B X A C B

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1 Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 3 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas. EJERCICIO 1 Modelo 3 OPCIÓN A Sean las matrices A = B= C= a) (,5 puntos) Calcule A ( 1) A = A.A= = = ( 1) ( 1).+. 3 b) ( puntos) Resuelva la ecuación matricial AX + 4B = C t t multiplicando por A 1 en los dos miembros, por la izquierda 1 1 t Pasando4B alº miembro: AX = C 4 B A AX = A ( C 4 B) 1 t 1 t. = ( 4 ) = ( 4 ) 1 t 1 t t I X A C B X A C B X = A ( C 4 B) =.[ adj( A)].( C 4 B) det( A) t X =.. 4. = ( )..4 + ( ).1.( 16) + ( ).( 4) X =. =. = ( 16) + 1.( 4) EJERCICIO a) (1 punto) Determine el valor de a para que sea continua en x = 1 la función ax, si x 1 f( x) = x 1 3 x 3x + 6x, si x > 1 Como debe ser continua en x= 1, entonces lim f( x) = f( 1) - Página 1 - x 1 ax a.( 1) a lim f( x) = lim = = x 1 x 1 x a ; f( 1) = 3 3 lim f( x) = lim ( x 3x + 6x ) = ( 1) 3.( 1) + 6.( 1) = 1 + x 1 x 1 a Para que f sea continua en x= 1debe ser = 1 a= 4.75 por la condición de continuidad y.5 por el valor de a.

2 b) (1,5 puntos) Calcule los coeficientes b y c de la función g(x) = x 3 + bx + cx para que (1, ) sea un punto de inflexión de g. La gráfica de g debe pasar por Como(1, ) debe ser un punto de inf lexión g (1) = (1,) g(1) = g ( x) = 3x + bx+ c ; g ( x) = [ g ( x)] = 6x+ b (1) 3 g = 1 + b.1 + c.1 = b+ c= 3 Como b= 3, c= 6 g (1) = 6. b= b= 3.5 por la ª derivada y.5 por cada coeficiente EJERCICIO 3 Lucía quiere ir de vacaciones a la costa. En su guía de viajes lee que en esa época del año llueve dos días a la semana y que hace viento el 5% de los días que llueve y el 4% de los días que no llueve. Elegido un día de esa época, A= llueve c Sean los sucesos ; p( A) = ; p( B/ A) =,5; p( B/ A ) =,4 B = hace viento 7 Trasladando los datos a un diagrama de árbol y teniendo en cuenta que las probabilidades de los sucesos que salen de un mismo nodo deben sumar 1, obtenemos: a) (1 punto) Cuál es la probabilidad de que haga viento? c c p( B) = p( A). p( B/ A) + p( A ). p( B/ A ) =.,5 +.,4 =. +. =, ,71% b) (,75 puntos) Si hace viento, cuál es la probabilidad de que esté lloviendo? 1 1., 5. p( A B) p( A). p( B/ A) p( A/ B) =, % p( B) = p( B) = 5 = 5 = 5 = 5 = c) (,75 puntos) Cuál es la probabilidad de que no llueva y no haga viento? c c c p( A B ) = p[( A B) ] = 1 p( A B) = 1 [ p( A) + p( B) p( A B)] = = 1 ( + ) = 1 =,486 4,86% Página -

3 EJERCICIO 4 a) (1,5 puntos) En una muestra aleatoria de 1 botellas de agua mineral se encontró un contenido medio de 48 cl. Sabiendo que la variable contenido de agua en una botella sigue una ley Normal con desviación típica 5 cl, determine un intervalo de confianza para la media poblacional, con un nivel de confianza del 95%. X = contenido de las botellas, en cl; X N( µ ;5);desviacióntípica: σ = 5 tamaño de la muestra: n= 1; Media muestral: x= 48; nivel de confianza: nc = 95% =,95 σ Elint ervalo de confianza es I = ( x E, x+ E), siendo el error E= zα. n nc zα cumple p( zα < Z < zα ) = nc φ( zα ) 1 = nc φ( zα ) =, donde φ ( zα ) = p( Z < zα ),95 1,95 En este caso, el nivel de confianza nc =,95, luegoφ( zα ) = = =,975. Buscamos dentro dela tablade la N(,1) el valor,975 y obtenemos z = 1,96 5 E= 1,96. =,98. Por tan to, el int ervalo de confianza es I = (48,98 ; 48+,98) 1 I = (47,;48,98) b) (1 punto) Qué tamaño muestral mínimo debería considerarse para estimar esta media con el mismo nivel de confianza y un error inferior a.5 cl? σ 5 5 E<,5 ; zα. <,5 1,96. <,5 1,96. < n 19, 6< n 384,16 n n n,5 Luego, el tamaño mínimo de la muestra es n= 385 OPCIÓN B EJERCICIO 1 Se dispone de 16 m de tejido de pana y 4 m de tejido de lana para hacer trajes y abrigos. Se usa 1 m de pana y m de lana para cada traje, y m de pana y m de lana para cada abrigo. Cada traje se vende a 5 y cada abrigo a 35. a) ( puntos) Cuántos trajes y abrigos se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio? A cuánto asciende dicho beneficio? Representamos en una tabla los datos del problema: Número nº de m de tejido de pana nº de m de tejido de lana beneficio ( ) trajes x 1x x 5x abrigos y y y 35y total - x + y x + y 5x + 35y Determinamos las restricciones y la función objetivo x+ y 16 Restricciones: x+ y 4 Función objetivo: beneficio = F(x, y) = 5x + 35y x y Para x= + y= 16 y= 8; Punto(,8) x+ y= 16 Para y= x+.= 16 x= 16; Punto(16, ) Para x= + y= 1 y= 1; Punto(,1) x+ y= 4 x+ y= 1 Para y= x+ = 1 x= 1; Punto(1, ) x= Recta vertical que pasa por x= EjeY y= Recta horizontal que pasa por y= Eje X - Página 3 - α

4 Cálculo de los vértices de la región factible x+ y= 16 x+ y= 4 A= x=, y= 8 A(,8) C= x= 1, y= C(1, ) x= y= x+ y= 16 x= B= x= 8, y= 4 B(8,4) D= x=, y= D(,) x+ y= 4 y= F( A) = = 8 F( C) = = 3 F( B) = = 34 F( D) = = El beneficio máximo es de 34, que se obtiene confeccionando8 trajes y 4 abrigos.5 por el planteamiento,.5 por la región factible,.75 por los vértices y.5 por el máximo. b) (.5 puntos) Pueden hacerse 6 trajes y 5 abrigos con esas cantidades de tejido? En caso afirmativo, obtendría el máximo beneficio al venderlo todo? x+ y 16 Comprobamos si esos valores cumplen las restricciones x+ y 4 x y ( se cumple) x= 6, y= ( se cumple) 6, 5 ( se cumplen) Luego, si pueden hacerse. Obtendría un beneficio de F(6, 5) = = 35. Lógicamente no obtendría el máximo beneficio, pues el máximo se da para 8 trajes y 4 abrigos.5 por cada cuestión. - Página 4 -

5 EJERCICIO Sea la función f(x) = x 3 9x + 8 a) (1,7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen. 3 f ( x) = 3x 18x; f ( x) = x(3x 18) = x= ; x= 6 Intervalo Signo de f ( x) (,) (,6) (6, ) + + Monotonía de f( x) creciente decreciente creciente f escrecienteen (,) y decreciente en elint ervalo (,6), luego en x= hay un máximo relativo. f() = = 8; El máximo relativo es el punto M(,8) f es decreciente en el int ervalo(, 6) y creciente en (6, ), luego en x= 6 hay un mínimo relativo. 3 f(6) = = 1; El mínimo relativo es el punto N(6, 1) 3 f ( x) = [ f ( x)] = 6x 18; f ( x) = x= 3 Intervalo Signo de f ( x) Curvatura de f(x) (,3) (3, ) + cóncava convexa Como f es cóncava( )en (,3) y convexa( ) en (3, ), en x= 3 hay un punto deinf lexión. f(3) = = 46; El punto deinf lexión es I(3, 46).5 por el cálculo de las derivadas y.4 por las coordenadas de cada punto. b) (,8 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. r : y= f ( a).( x a) + f( a). tg 3 Enestecaso, a= 1; f(a) = f(1) = = f ( a) = f (1) = = 15 r : y= 15.( x 1) + r : y= 15x+ 15 tg EJERCICIO 3 En una urna A hay 8 bolas verdes y 6 rojas. En otra urna B hay 4 bolas verdes, 5 rojas y 1 negra. Se lanza un dado, si sale un número menor que 3 se saca una bola de la urna A, y si sale mayor o igual que 3 se saca una bola de la urna B. tg V = sacar bola verde A= salir nº < 3= sacar bola de la urna A Sean los sucesos R = sacar bola roja B= salir nº 3= sacar bola de la urna B N = sacar bola negra a) (,5 puntos) Calcule la probabilidad de que la bola sea verde si ha salido un 4. 4 Si ha salido un4, se ha elegido la urna B. Nos piden entonces p( V/ B ) = = Página 5 -

6 b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que la bola elegida sea roja Por el teorema de probabilidad total, p( R) = p( A). p( R/ A) + p( B). p( R/ B) =. +. = c) (1 punto) Sabiendo que ha salido una bola verde, cuál es la probabilidad de que sea de la urna A? 8 4. p( A V) p( A). p( V/ A) p( A/ V) = p( V) = p( A). p( V/ A) + p( B). p( V/ B) = = 16 = EJERCICIO 4 La concentración de arsénico en los moluscos de una zona costera sigue una ley Normal con desviación típica 6 mg/kg. Para verificar la calidad de estos moluscos se toma una muestra aleatoria de tamaño 36 para contrastar si la media poblacional no supera el límite máximo de 8 mg/kg permitido por la normativa sanitaria (H: μ 8) a) (1,5 puntos) Determine la región crítica de este contraste a un nivel de significación del 5%. Contraste de hipótesis unilateral para la media, µ, de la v. a. normal X = concentración de arsénico( en mg/ kg). H: µ 8 ( hipótesis nula) ( µ = 8) H1: µ > 8 ( hipótesis alternativa) nivel de significación: α = 5% =,5; nivel de confianza: n = 1 α =,95 Re gión de aceptación: R= ( ; z ) Re gión crítica: R = ( z ; ) c α c α nc zα cumple p( zα < Z < zα ) = nc φ( zα ) 1 = nc φ( zα ) =, donde φ ( zα ) = p( Z < zα ),95 1,95 En este caso, φ( zα ) = = =,975. Buscamos dentro dela tablade la N(,1) el valor,975 y obtenemos z = 1,96 Re gión de aceptación: R= ( ;1,96) Re gión crítica: R c = (1,96; ) α.5 por el percentil z α/,.5 por la lateralidad (tipo de contraste) y.75 por la región. b) (1 punto) Debe rechazarse esta hipótesis nula, al nivel del 5%, si en esa muestra de 36 moluscos se encuentra una concentración media de arsénico de 8 mg/kg? Tamaño muestral: n= 36 ; Media muestral: x = 8 ; Desviavión típica: σ = 6; Estadístico de contraste z x µ σ : = = = n 36 Como z= R= ( ;1,96), debe rechazarse la hipótesis nula - Página 6 -