ESTADÍSTICA. Población Individuo Muestra Muestreo Valor Dato Variable Cualitativa ordinal nominal. continua

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1 ESTADÍSTICA Población Individuo Muestra Muestreo Valor Dato Variable Cualitativa ordinal nominal Cuantitativa discreta continua

2 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Frecuencia absoluta: fi Frecuencia relativa: ni Frecuencia acumulada: Fi Frecuencia acumulada relativa: Ni Ejercicio 1 x i Recuento f i F i n i N i 27 I II III III I

3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADAS = INTERVALOS Límites de clases : Li y Ls Amplitud de clase: ai Marca de clase: Ci Ejercicio 2 c i f i F i n i N i [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50)

4 PARÁMETRO ESTADÍSTICO Posición Centralización: Media Mediana Moda No centralizados: Quartiles Deciles Percentiles Dispersión Rango o Recorrido Desviación Media Varianza Desvío Estándar

5 Parámetros de Posición De Centralización: Media Mediana Moda

6 MEDIA Propiedades de la media aritmética La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero. La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número. Observaciones sobre la media aritmética La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

7 MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS Ejercicio 3 x i f i x i f i [10, 20) [20, 30) [30,40) [40, 50) [50, [60,70) [70, 80)

8 MEDIANA ME Cálculo de la Me Ordenamos los datos de menor a mayor. Serie con número impar de medidas la Me es la puntuación central de la misma. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me= 5 Serie con número par de puntuaciones la Me es la media entre las dos puntuaciones centrales. 7, 8, 9, 10, 11, 12 Me= 9.5 Cálculo de la mediana para datos agrupados La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. L i-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. N/2 es la semisuma de las frecuencias absolutas. F i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. a i es la amplitud de la clase.

9 Ejercicio 4: f i F i [60, 63) 5 5 [63, 66) [66, 69) [69, 72) [72, 75) /2=50 Clase modal: (66, 69)

10 MODA MO La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se puede hallar la Mo para variables cualitativas y cuantitativas. Hallar la moda de la distribución: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M o = 4 Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. Ej.: 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M o = 1, 5, 9 Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9 Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4

11 CÁLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS Todos los intervalos tienen la misma amplitud. L i-1 es el límite inferior de la clase modal. f i es la frecuencia absoluta de la clase modal. f i--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal. f i-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal. a i es la amplitud de la clase. También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado:

12 Ejercicio 5: f i [60, 63) 5 [63, 66) 18 [66, 69) 42 [69, 72) 27 [72, 75) 8 100

13 Los intervalos tienen amplitudes distintas. En primer lugar tenemos que hallar las alturas. La clase modal es la que tiene mayor altura. La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

14 Ejercicio 6 f i h i [0, 5) 15 3 [5, 7) [7, 9) 12 6 [9, 10)

15 Parámetros de Dispersión Rango o Recorrido Desviación Media Varianza Desvío Estándar

16 DESVIACIÓN MEDIA Desviación respecto a la media: es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética. D i = Desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. Desviación media para datos agrupados

17 Ejercicio 7 x i f i x i f i x - x x - x f i [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)

18 VARIANZA Es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. Varianza para datos agrupados

19 Propiedades de la varianza La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía. Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño: Si las muestras tienen distinto tamaño:

20 Ejercicio 8 x i f i x i f i x i2 f i [10, 20) [20, 30) [30,40) [40, 50) [50, [60,70) [70, 80)

21 DESVÍO ESTÁNDAR σ Es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación. Para datos agrupados:

22 Propiedades del desvío estándar Será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. Si a todos los valores de la variable se les suma un número el desvío estándar no varía. Si todos los valores de la variable se multiplican por un número el desvío estándar queda multiplicada por dicho número. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivos desvíos puede calcular el desvío estándar total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño: Si las muestras tienen distinto tamaño:

23 COEFICIENTE DE VARIACIÓN Y PUNTUACIONES TÍPICAS Coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media. se suele expresar en porcentajes: Permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas. Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí. La mayor dispersión corresponderá al valor del coef de variación mayor.

24 Ejercicio 9 Una distribución tiene x = 140 y σ = y otra x = 150 y σ = 25. Cuál de las dos presenta mayor dispersión? La primera distribución presenta mayor dispersión.

25 Puntuaciones típicas: z Puntuaciones diferenciales Resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética x i = X i X Puntuaciones típicas Son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre el desvío estándar. Este proceso se llama tipificación. Observaciones sobre puntuaciones típicas La media aritmética de las puntuaciones típicas es 0. El desvío estándar de las puntuaciones típicas es 1. Las puntuaciones típicas son adimensionales. Se utilizan para comparar los valores obtenidas en distintas distribuciones.

26 Ejercicio 10 En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es 58.2 kg y el de las alumnas y 54.4 kg. Los desvíos estándar de los dos grupos son, respectivamente, 3.1 kg y 5.1 kg. El peso de José es de 70 kg y el de Ana es 65 kg. Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso? José es más grueso respecto de su grupo.

27 INFERENCIA ESTADÍSTICA Estudia cómo sacar conclusiones generales para toda la población a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significación de los resultados obtenidos.

28 MUESTREO PROBABILÍSTICO Consiste en elegir una muestra de una población al azar. Hay varios tipos de muestreo: Muestreo aleatorio simple Muestreo aleatorio sistemático Muestreo aleatorio estratificado

29 INTERVALOS DE CONFIANZA Es un intervalo en el que sabemos que está el parámetro con un nivel de confianza determinado. : nivel de significación. 1- : nivel de confianza. z: coeficiente de confiabilidad. k: valor crítico = z /2 µ Valores críticos P(z>z /2 ) = /2 P(-z /2 <z< z /2 ) = 1-1 -α α/2 z α/

30 ESTIMACIÓN DE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA El intervalo de confianza, para la media de una población, con un nivel de confianza de 1- α, siendo x la media de una muestra de tamaño n y σ la desviación típica de la población, es: El error máximo de estimación es: Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, n, menor es el error. Cuanto mayor sea el nivel de confianza, 1-α, mayor es el error.

31 Tamaño de la muestra: Si aumentamos el nivel de confianza, aumenta el tamaño de la muestra. Si disminuimos el error, tenemos que aumentar el tamaño de la muestra. Depende de: Tamaño de σ. Grado deseado de confiabilidad. Amplitud del intervalo deseado. Si se desea un intervalo que se extienda d unidades hacia uno u otro lado del estimador, entonces: d = coef. de confiabilidad x error estándar

32 Ejercicio 11 El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviación típica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos. a)calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes. b) Indica el tamaño muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un error de ± 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%. n 4

33 PRUEBA DE HIPÓTESIS Una hipótesis es una afirmación acerca de una o mas poblaciones, generalmente se refiere a los parámetros de las poblaciones acerca de las cuales se hace la afirmación. 1-Hipótesis de investigación. 2-Hipótesis estadísticas.

34 PRUEBA DE HIPÓTESIS: 9 PASOS 1-Datos. 2-Suposiciones. 3- Hipótesis. 4-Estadística de Prueba. 5-Distribución de la Estadística de Prueba. 6- Regla de Decisión. 7-Estadística de Prueba Calculada. 8-Decisión Estadística. 9- Conclusión.

35 1-Datos: Comprender la naturaleza de los datos que forman la base de los procedimientos de prueba, determina la prueba particular que debe usarse. 2-Suposiciones: acerca de la normalidad de la distribución de la población, igualdad de las varianzas e independencia de las muestras. 3- Hipótesis: se trabaja con 2 hipótesis que deben enunciarse explícitamente. H 0 : debe probarse, se establece con el propósito de ser rechazada. H A 4-Estadística de Prueba: es alguna estadística que puede calcularse a partir de los datos de la muestra. Sirve como productor de decisiones. Según su magnitud se rechaza o no la H 0 Est. de prueba= Est. Relevante parámetro supuesto error estándar de la est, relevante

36 5-Distribución de la Estadística de Prueba: Es necesario especificar la distribución de probabilidad de la estadística de prueba. Por Ej.: la estadística de prueba z sigue una distribución normal si la Ho es verdadera y se satisfacen las suposiciones. 6- Regla de Decisión: Todos los valores posibles que la estadística de prueba puede tener son puntos sobre el eje horizontal de la gráfica de la distribución de la estadística y se dividen en dos grupos: Región de rechazo: estos valores tienen menor probabilidad de suceder si Ho es verdadera. Región de aceptación: Tienen mayor probabilidad de suceder si Ho es verdadera. Si el valor de la estadística de prueba que se calcula es uno de los valores de la región de rechazo, entonces se rechaza Ho. Si cae dentro de la región de aceptación, Ho no se rechaza.

37 Región de rechazo µ Región de aceptación Región de rechazo La decisión de que valores van hacia la zona de rechazo y cuáles a la de aceptación, se toma en base al nivel de significación deseado = es la probabilidad de rechazar Ho. ERROR TIPO I: Cuando se rechaza una Ho verdadera. ERROR TIPO II: Cuando se acepta una Ho falsa. es la probabilidad de cometer un error tipo I, para evitarlo se hace pequeña. β es la probabilidad de cometer un error tipo II, sobre β no se tiene control.

38 7-Estadística de Prueba Calculada: A partir de los datos de la muestra se calcula la estadística de prueba y se compara con las regiones de aceptación o rechazo. 8-Decisión Estadística: Consiste en el rechazo o no de la Ho 9- Conclusión: Si H 0 se rechaza, se concluye que H A es verdadera. Si H 0 no se rechaza, se concluye que H 0 puede ser verdadera.

39 Ejercicio 12 En el estudio sobre determinada enzima se tomó una muestra de 10 individuos, se calcula la media muestral = 22. Se sabe que la variable de interés presenta una distribución aproximadamente normal, con una varianza de 45. Se está planteando la siguiente pregunta: puede concluirse que la concentración media de la enzima en esta población es distinta de 25? Con base en el conocimiento que se tiene sobre las pruebas de hipótesis puede concluirse que la concentración media de la enzima es distinta de 25 si puede rechazarse la Ho de que la media es igual a 25. Utilice el procedimiento de prueba de hipótesis de 9 pasos para tomar una decisión. 1)Datos: n=10, = 22, = 45 2) Suposiciones: distribución normal, varianza conocida.

40 3) Hipótesis: H 0 : µ= 25 H A :µ 25 4) Estadística de prueba: 5) Distribución de la estadística de prueba: z presenta distribución normal con media=0 y varianza = 1, si Ho es verdadera. 6) Regla de decisión: =0,05, como la región de rechazo va a consistir en dos partes: /2=0,025 Tabla F: 0,975 obtengo los valores críticos: z = -1,96 y 1,96 El valor de y la regla de decisión se establecen antes de reunir los datos.

41 7) Calculo la estadística de prueba: z= -1,41 8) Decisión estadística: No se puede rechazar Ho, ya que -1,41 no está en la zona de rechazo. El valor calculado de z no es significativo en el nivel 0,05. 9) Conclusión: µ puede ser igual a 25. Se tomarán decisiones acordes a esta conclusión.

42 Valores p: En lugar de decir que el valor observado de la estadística de prueba es o no significativo, se puede reportar la probabilidad exacta de obtener un valor igual o mas extremo si la Ho es verdadera. En este caso p=0,1586 la probabilidad de obtener un valor tan extremo como 1,41 en cualquier dirección es de 0,1586 cuando la Ho es verdadera. Tabla F: z de -1,41 F=0,0793 La probabilidad de z -1,41 = 0,0793 La probabilidad de z 1,41 = 0,0793 P: -1,41 z 1,41 = 0,0793+0,0793 (cuando Ho es verdadera ) = 0,1586

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