ESTADISTICA APLICADA A LA EDUCACIÒN CODIGO: HOC220 PARAMETROS ESTADISTICOS
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- Juan Silva Carrasco
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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NUCLEO ACADEMICO TACHIRA ESTADISTICA APLICADA A LA EDUCACIÒN CODIGO: HOC220 PARAMETROS ESTADISTICOS COMPILADOR San Cristóbal, Junio
2 DEFINICIÓN DE PARÁMETRO ESTADÍSTICO U n p a r á m e t r o e s t a d í s t i c o e s u n n ú m e r o q u e s e o b ti e n e a p a rt i r d e l o s d a t os de u n a d i s t r i b u c i ón esta d í s t i c a. L o s p a r á m e t r o s e s t a d í s t i c os s i r v e n p a r a s i n t e t i z a r l a i n f o r m a c i ó n d a d a p o r una t a b l a o p o r u n a g r á f i c a. Tipos de parámetros estadísticos H a y t r e s t i p o s p a r á m e t r o s e s t a d í s t i c os : D e c e n t r a l i z a c ió n. D e p o s i ci ó n D e d i s p e r si ó n. Medidas de centralización N o s i n d i c a n e n t o r n o a q u é v a l o r ( c e n tro) s e d i s t ri b u y e n l o s d a t o s. L a m e d i d a s d e c e n t r a l i z a c i ón s o n : M e d i a a r i t m é t i c a L a m e d i a e s e l v a l o r p r o m e d i o d e l a d i s t r i b u c i ó n. M e d i a n a L a m e d i a n a e s l a p u n t a c i ó n d e l a e s c a la q u e s e p a r a l a m i t a d s u p e r i or d e l a d i s t ribución y l a i n f e r i or, e s d e c i r di v i d e l a s e r i e de d a t o s e n d os pa r t e s i g u a l e s. M oda L a m od a e s e l v a l or que más se repite e n u n a d i s t r i b u c i ó n. Medidas de posición L a s m e d i d a s d e p osición d i v i d e n u n c o n j u n t o d e d a t o s e n g r u p o s c o n e l m i s m o n ú m e r o d e i n d i v i d u o s. 2
3 P a r a c a l c u l a r l a s m e d i d a s d e p o s i c i ón e s n e c e s a r i o q u e l o s d a t o s e s t é n o r d e n a d o s d e m e n or a mayor. L a m e d i d a s d e p osi c i ón s o n : C u a r t i l e s L o s c u a r t i l e s d i v i d e n l a s e r i e d e d ato s e n c u a t r o p a r t e s i g u a l e s. D e c i l e s L o s d e c i l e s d i v i d e n la serie de dato s e n d i e z p a r t e s i g u a l e s. P e r c e n t i l e s L o s p e r c e n t i l e s d ividen l a s e ri e d e d a t o s e n i g u a l e s. c i e n p a r t e s Medidas de dispersión L a s m e d i d a s d e d i s p e r s i ó n n o s i n f o r m a n s o b r e c u a n t o s e a l e j a n d e l c e n t r o lo s v a l o r es de la distribució n. L a s m e d i d a s d e d i s p e r s i ó n s o n : R a n g o o recorrido E l r a n g o e s l a d i f e r e n c i a e n t r e e l m a y or y e l m e n or d e l o s d a t o s d e u n a d i s t r i bución estadísti c a. D e s v i a c i ón media L a d e s v i a c i ón m e d i a e s l a m e d i a a r i t m é t i c a d e l o s v a l ores a b s olutos de l a s d e s v i a c i ones respecto a la m e d i a. V a r i a n z a L a v a r i a n z a e s l a m e d i a a r i t m é t i c a d e l c u a d r a d o d e l a s d e s v i a c i ones r e s p e c t o a l a m e d i a. D e s v i a c i ón típica L a d e s v i a c i ón típica e s l a r a í z c u a d r a d a d e l a v a r i a n z a. 3
4 D e f i n i c i ón de moda L a m od a e s e l v a l or que tiene mayor frecuencia absoluta. S e r e p r e s e n t a p o r M o. S e p u e d e h a l l a r la m oda p a r a v a r i a b l e s c u a l i t a t i v a s y c u a n t i t a t i v a s. H a l l a r l a m oda d e l a d i s t r i b u c ió n : 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M o = 4 S i e n u n g r u p o h a y d os o v a r i a s p u n t u a c i ones c o n l a m i s m a f r e c u e n c i a y e s a f r e c u e n c i a e s l a m á x i m a, l a d i s t r i b u c i ón e s b i m odal o m u l t i m o d al, e s d e c i r, t i e n e v arias mod a s. 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M o = 1, 5, 9 C u a n d o t o d a s l a s p u n t u a c i one s d e u n g r u p o ti e n e n l a m i sm a f r e c u e n c i a, no h a y m oda. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9 S i d o s p u n t u a c i one s a d y a c e n t e s t i e n e n l a f r e c u e n c i a m á x i m a, l a m oda e s e l p r ome d i o d e l a s d o s p u n t u a c i o n e s a d y a c e n t e s. 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 M o = 4 Cálc ulo d e la mod a p a ra d atos agru pado s 1 º T odos los interv a l os tienen la mism a a m p l i t u d. 4
5 L i e s e l l í m it e i n f e r i or de la clase modal. f i e s l a f r e c u e n c i a a b s o l u t a d e l a c l a s e m odal. F a - 1 e s l a f r e c u e n c i a a b s o l u t a i n m e d i at am e n t e i n f e r i o r a l a cl a s e m o d a l. F a +1 e s l a f r e c u e n c i a a b s ol u t a i n m e di at a m e n t e p o s terio r a l a c l a s e m o d a l. a i e s l a a m p l i t u d d e l a c l a s e o e l i n t e r v a lo. T a m b i é n s e u t il i z a o t r a f órmula d e l a m oda q u e d a u n v a l o r a p r o x i m a d o d e é s t a : E j e m p l o C a l c u l a r l a m o d a d e u n a d i s t r i b u c i ó n estadísti c a q u e v i e n e d a d a p or l a s i g u i e n t e t a bl a : f i (60, 62) 5 (63, 65) 18 (66, 68) 42 (69, 71) 27 (72, 75) S e debe v e r i f i c a p r imero e n d o n d e e s t a l a c l a s e m o d a l o l as c l a s e s m o d a l e s, p a r a e m p e za r a s u s t i t u i r l o s v a l o r e s e n l a f o r m u l a m o d a l. 5
6 S u s t i t u c i ó n d e l o s v a lo r e s, e n l a f o r m u l a d e m o d a : 2 º L os intervalos tienen amplitude s d i s t i n t a s. E n p r i m e r l u g a r t e n e m o s q u e h a l l a r l a s a l t u r a s. L a c l a s e m o d a l e s l a q u e t i e n e m a y o r a l t u r a. L a f órmula d e l a m oda a p r oxima d a c u a n d o e x i s ten d i s t i n t a s a m p l it u d e s e s : 6
7 E j e m p l o E n l a s i g u i e n t e t a b la s e m u e s t r a l a s c a l i f i c a c io n e s ( s u s p e n s o, a p r o b a do, n o t a bl e y s o b r e s al i e n te) o b tenidas p o r u n g r u p o d e 5 0 a l u m n o s. C a l c u l a r l a m oda. f i h i (0, 5 ) 15 3 (5, 7 ) (7, 9 ) 12 6 (9, 1 0) D e f i n i c i ón de mediana E s e l v al or q u e o cupa e l l u g a r c e n t r a l d e to d o s lo s d at os c u a n d o é s t o s e s t á n o r d e n a d o s d e m e n or a m a y or. L a m e d i a n a s e r e p r e s e n t a p o r M e. La m e d i a n a s e p u e d e h a l l a r s ó l o p a r a v a r i a b l e s c u a n t i t a t i v a s. Cálc ulo d e la mediana 1 O r d e n a m o s l o s d a t os de m e n o r a m a y or. 7
8 2 S i l a s e r i e t i e n e u n n ú m e r o i m p a r d e m e d i d a s l a m e d i a n a e s l a p u n t u a c i ó n c e n t r a l d e l a m i s m a. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 M e = 5 3 S i l a s e r i e ti e n e un n ú m e r o p a r d e p un t u a c i o n e s l a m e d i ana e s l a m e d i a e n t r e l a s d o s p u n t u a c i o n e s c e n t r a l e s. 7, 8, 9, 1 0, 1 1, 1 2 M e = 9. 5 Cálc ulo d e la mediana p ar a d atos agrup ad os L a m e d i a n a s e e n c u e n t r a e n e l i n t e r v a lo d o n d e l a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a lle g a h as t a l a m i t a d d e l a s u m a d e l a s f r e c u e n c i a s a b s olutas. E s d e c i r t e n e m o s q ue b u s c a r e l i n tervalo e n e l q u e se e n c u entre. S i e n d o D e f i n i c i ó n d e lo s t é rm i n o s : L i = e s e l l í m i te inferior d e l a c l a s e d o n d e s e e n c u e n t r a l a m e d i a n a. d o s. e s l a o pe r a c i ó n a r i t m ét i c a d ad a, d e l t ot a l de d a to s e n t re F a - 1 e s l a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a a n t e r i o r a l a c l a s e m e d i a n a. a i e s l a a m p l i t u d d e la clase o e l i n t e r v a l o. L a m e d i a n a e s i n d e p e n d i e n t e d e l a s a m p l i t u d e s d e l o s i n t e r v a l os. 8
9 E j e m p l o C a l c u l a r l a m e d i a n a d e u n a d i s t r i b u c i ón e s t a d í s ti c a q u e v i e n e d a d a p o r l a s i g u i e n te tabla: f i fa (60, 62) 5 5 (63, 65) (66, 68) (69, 71) (72, 75) / 2 = 5 0 C l a s e d e l a m e d i a n a : (66, 68 ) Definición de media aritmética MEDIA ARITMETICA 1) Para datos simples La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. 9
10 es el símbolo de la media aritmética. Ejemplo medio. Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso 2) Para datos agrupados media es: Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la Ejercicio de media aritmética En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media. 10
11 x i f i (x i f i ) (10, 19) (20, 29) (30,39) (40, 49) (50, 59) (60,69) (70, 79) Propiedades de la media aritmética 1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero. Ejemplo: La suma de las desviaciones de los números 3, 5, 8, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0: = 11
12 = = 0 2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética. 3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número. 4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número. Observaciones sobre la media aritmética 1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas. 2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos. 3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos: 65 kg, 69kg, 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg. La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución. 4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada. 12
13 Pm f i (60, 62) 61 5 (63, 65) (66, 68) (69, 71) (72, ) En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo. CUARTILES Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q 1, Q 2 y Q 3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Q 2 coincide con la mediana. Cálculo de los cuartiles 1 Ordenamos los datos de menor a mayor. 13
14 2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión. Número impar de datos 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9 Número par de datos 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9 Cálculo de los cuartiles para datos agrupados En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra tabla de las frecuencias acumuladas., en la L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil. N es la suma de las frecuencias absolutas. 14
15 F a -1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil. a i es la amplitud de la clase. Ejercicio de cuartiles Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla: f i f a (50, 59) 8 8 (60, 69) (70, 79) (80, 89) (90, 99) (100, 109) 5 63 (110, 119)
16 Cálculo del primer cuartil Cálculo del segundo cuartil Cálculo del tercer cuartil DECILES Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos. D 5 coincide con la mediana. 16
17 Cálculo de los deciles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra, en la tabla de las frecuencias acumuladas. L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil. N es la suma de las frecuencias absolutas. f (a-1) es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil.. a i es la amplitud de la clase. Ejercicio de deciles: Calcular los deciles de la distribución de la tabla: f i fa (50, 59) 8 8 (60, 69) (70, 79) (80, 89) (90, 99) (100, 109) 5 63 (110, 119)
18 Cálculo del primer decil Cálculo del segundo decil Cálculo del tercer decil Cálculo del cuarto decil Cálculo del quinto decil 18
19 Cálculo del sexto decil Cálculo del séptimo decil Cálculo del octavo decil Cálculo del noveno decil 19
20 PERCENTIL Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos. P 50 coincide con la mediana. Cálculo de los percentiles En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra, en la tabla de las frecuencias acumuladas. L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil. N es la suma de las frecuencias absolutas. f (a-1) es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil. a i es la amplitud de la clase. 20
21 Ejercicio de percentiles: Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla: f i fa (50, 59) 8 8 (60, 69) (70, 79) (80, 89) (90, 99) (100, 109) 5 63 (110, 119) Percentil 35 Percentil 60 21
22 DESVIACIÓN RESPECTO A LA MEDIA L a d e s v i a c i ón r e s p e c t o a l a m e d i a e s l a d i f e r e n c i a e n v a l o r a b s o l u t o e n t re c a d a v a l or d e l a v a r i a b l e e s t a dí s ti c a y l a m e d i a a r i t m é t i c a. D i = x - x Desviación media para datos simples L a d e s v i a c i ón m e d i a e s l a m e d i a a r i t m é t i c a d e l o s v a l ores a b s olutos de las desviaciones respecto a la media. L a d e s v i a c i ón medi a s e r e p r e s e n t a p o r E j e m p l o Calcular la d e s v i a c i ón m e d i a de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 22
23 Desviación media para datos agrupados S i l o s d at o s v ienen a g r u p a d o s e n u n a t abla d e f r e c u e n c i a s, l a e x p r e s i ó n d e l a d e s v i a c i ón media e s : Ejemplo Calcular la d e s v i a c i ó n m e d i a de la distribución: Pm f i x i f i x - x x - x f i (11, 14) (15, 19) (20, 24) (25, 29) (30, 34)
24 La Varianza L a v a r i a n z a e s la m e d i a a r i t m é t i c a d e l c u a d r a d o d e l a s d e s v i a c i ones respe c t o a la media d e u n a d i s t r i b u c i ó n e s t a dí s t i c a. L a v a r i a n z a s e r e p r e s e n t a p o r. V a r i a n z a p a r a d a t o s s i m p l e s V a r i a n z a p a r a d a t o s a g r u p a d os P a r a s i m p li f i c a r el c á l c u l o d e l a v a r i a n z a v a m o s o u t i lizar l a s s i g u i e n t e s e x p r e si o ne s q u e s o n e q u i v a l e n t e s a l a s a n t e r i o r e s. V a r i a n z a p a r a d a t o s s i m p l e s V a r i a n z a p a r a d a t o s a g r u p a d os 24
25 E j e r c i c i os de varianza C a l c u l a r l a v a r i a n z a d e l a d i s t r i b u c ió n : 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 1 8 C a l c u l a r l a v a r i a n z a d e l a d i s t r i b u c ió n d e l a t a b l a : Pm f i x i f i x i 2 f i (11, 20) (21, 30) (31,40 ) (41, 50) (51, 60) (61,70 ) (71, 80)
26 Propiedades de la varianza 1 L a v a r i a n z a s e r á s i e m p r e u n v a l or p ositivo o c e r o, e n el c a s o d e q u e l a s p u n t u a c i o n e s s e a n i g u a l e s. 2 S i a t o do s l o s v a lores d e l a v a r i a bl e se l e s s u m a un n ú m e r o l a v a r i a n z a n o varía. 3 S i t o d o s lo s v a lores d e l a v a r i a b l e s e m u l t i p l i c a n p o r u n n ú m e r o l a v a r i a n z a q u e d a m u l t i p l i c a d a p o r el c u a d r a d o d e di c h o n ú m e r o. 4 S i t e n e m o s v a r i a s d i s t r i b u c i o n e s c o n l a m i s m a m e d i a y c o n o c e m o s s u s r e spe c t i v a s v a r i a n z a s s e p u e d e c a l c u l a r l a v a r i a n z a t otal. S i t o d a s l a s m u e s t r a s tienen el mismo tama ñ o : S i l a s m u e s t r a s t i e n e n d i s t i n t o t a m a ñ o : O bserv ac iones so bre l a v ar i anza 1 L a v a r i a n z a, a l i g u a l q u e l a m e d i a, e s u n í n d i c e m u y s e n s i b le a l a s p u n t u a c i o n e s e x t r e m a s. 2 En l o s c a s o s q u e n o s e p u e d a h a l l a r l a m e d i a t a m po c o s e r á p o s i bl e h a l l a r l a v a r ianza. 3 L a v a r i a n z a n o v i e n e e x p r e s a d a e n l as m i s m a s u n i d a d e s q u e l o s d a to s, y a q u e l a s d e s v i a c i o n e s e s t á n e levadas al cuadrado. 26
27 L A D E S V I A C I Ó N T Í P I C A E S L A R A Í Z C U A D R A D A D E L A V A R I A N Z A. E s d e c i r, l a r a í z c u a d r a d a d e l a m e d ia d e l o s c u a d r a d o s d e l a s p u n t u a c i o n e s d e d e s v i a c i ó n. L a d e s v i a c i ón típica s e r e p r e s e n t a p o r σ. Desv iac ión típic a par a dat os s imples D e s v i a c i ón típica para datos agr u p a d o s P a r a s i m p li f i c a r el cá l c u l o v a m o s o u ti li z a r l a s s iguientes e x presiones q u e s o n e q u i v a l e n t e s a l a s a n t e r i o r e s. Desv iac ión típic a par a dat os agru p ado s D e s v i a c i ón típica p a r a d a t o s a g r u p a d o s 27
28 E j e r c i c i os de desvi a c i ón típica C a l c u l a r l a d e s v i a c i ó n t í p i c a d e l a d i s t r i bución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 1 8 C a l c u l a r l a d e s v i a c i ón típica d e l a d i s t r ibución de la tabla: x i f i x i f i x i 2 f i (11, 20) (21, 30) (31,40 ) (41, 50) (51, 60) (61,70 ) (71, 80)
29 Propiedades de la desviación típica 1 L a d e s v i a c i ón t í p i c a s e r á s iempre u n v a l or p o s i t i v o o c e r o, e n e l c a s o d e q u e l a s p u n t u a c i o n e s s e a n i g u a l e s. 2 S i a t o do s l o s v a lores d e l a v a r i a bl e se l e s s u m a un n ú m e r o l a d e s v i a c i ón típica no varía. 3 S i t o d o s lo s v a lores d e l a v a r i a b l e s e m u l t i p l i c a n p o r u n n ú m e r o l a d e s v i a c i ón típica q u e d a m u l t i p l i c a d a p o r d i c h o n ú m e r o. 4 S i t e n e m o s v a r i a s d i s t r i b u c io n e s c o n l a m i s m a m e d i a y c o n o c e m o s s u s r e s pectivas d e s v i a c i ones t í p i c a s s e p u e d e c a l c u l a r l a d e s v i a c i ón típica total. S i t o d a s l a s m u e s t r a s tienen el mismo tama ñ o : S i l a s m u e s t r a s t i e n e n d i s t i n t o t a m a ñ o : O bserv ac iones so bre l a d esv i ació n típic a 1 L a d e s v i a c i ón t í p i c a, a l i g u a l q u e l a m e d i a y l a v a r i a n z a, e s u n í n d i c e m u y s e n s i b l e a l a s p u n t u a c i o n e s e x t r e m a s. 2 En l o s c a s o s q u e n o s e p u e d a h a l l a r l a m e d i a t a m po c o s e r á p o s i bl e h a l l a r l a d e s v i a c i ón típica. 3 C u a n t a m á s p e q u e ñ a s e a l a d e s v i a c ión t í p i c a m a y o r s e r á l a c oncentración de datos a l r e d e d o r de l a m e d i a. 29
30 Coeficiente de variación E l c oeficiente d e v a r i a c i ón e s l a r e l a c ión e n t r e l a d e s v i a c i ón t í p i c a d e u n a m u e s t r a y s u m e d i a. E l c oeficiente de variación s e s u e l e e x p r e s a r e n p orcent a j e s : E l c oeficiente d e variación p e r m i t e c omparar l a s d i s p e r s i ones d e d o s di s t ri b u c i o ne s d i s ti n t a s, s i e m pre q u e s u s m e d i a s s e a n p ositivas. S e c a l c u l a p a r a c ad a u n a d e l a s d i s t ri b u ci o n e s y lo s v a lo r e s que s e o b t ienen se comparan entre sí. L a m a y or d i s p e r s i ó n c o r r e s p o n d e r á a l va l o r de l c oeficiente d e v a r i a c i ón mayor. E j e r c i c i o U n a d i s t r i b u c ió n t i e ne x = y σ = y o t r a x = y σ = 2 5. C u á l d e l a s d o s p r e s e n t a m a y o r d i s p ersión? L a p r i m e r a d i s t ri b u c ió n p r e s e n t a m a y o r d i s p e r s i ó n. Puntuacione s d if e renc iale s PUNTUACIONES TÍPICAS L a s p u n t u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s r e s u l t a n d e r e s t a r l e s a l a s P u n t u a c i one s d i r e c t a s l a m e d i a a r i t m é t i c a. 30
31 x i = X i X Puntuacione s t ípicas L a s p u n t u a c i ones t í p i c a s s o n e l re sultado d e d i v i d i r l a s p u n t u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s e n t r e l a d e s v i a c i ón t í p i c a. E s t e p r o c e so s e l l a m a t i p i f i c a c i ón. L a s p u n t u a c i ones tí p i c a s s e r e p r e s e n t a n p o r z. O b s e r v a c i one s s o b r e p u n t u a c i ones típi c a s L a m e d i a a r i t m é t i c a d e l a s p u n t u a c i one s t í p i c a s e s 0. L a d e s v i a c i ón típica d e l a s p u n t u a c i one s t í p i c a s e s 1. L a s p u n t u a c i one s t í p i c a s s o n a d i m e n s i onales, e s d e c i r, so n i n d e p e n d ientes de las u n i d a d e s u t i l i z a d a s. L a s p u n t u a c i one s t í p i c a s s e u t i li z a n p a r a c omparar l as p u n t u a c i o n e s o b t e n i d a s e n d i s t i n t a s d i s t ri b u c i o n e s. E j e m p l o E n u n a c l a s e h a y 1 5 a l u m n o s y 20 a l um n a s. E l p e s o me d io d e lo s a l u m n o s e s k g y e l d e l a s a l u m n a s y k g. L a s d e s v i a c i o n e s t í pi c a s d e l o s do s grupos s o n, r e s p e c t i va m e n t e, 3. 1 k g y 5. 1 k g. E l p e s o d e Jo s é e s de 70 k g y el d e A n a e s 6 5 k g. C u á l de el lo s p u e d e, d e n t r o d el g r u p o d e a l u m n o s d e s u s e x o, c o n s i d e r a r s e m á s g r u e s o? J o s é e s m á s g r u e s o r e s p e c to d e s u g r u p o q u e A n a r e s p e c to a l s u y o. 31
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