8 MEDIDAS DE POSICIÓN

Transcripción

1 Capítulo 8 MEDIDAS DE POSICIÓN Como su nombre lo indica, estas medidas indican el lugar o posición de los datos de interés para el investigador. Las medidas de posición son los cuartiles, deciles, percentiles, mediana, rango intercuartílico, entre otras. CUARTILES En primer lugar aprenderás a calcular los cuartiles, los cuales dividen a la serie estadística en cuatro partes. Estos cuartiles se representan por,, y. El primer cuartil es el más pequeño y nos indica que en la serie existe un 5% valores iguales o ineriores a su valor y el 75% tienen valores iguales o superiores a él. Su representación gráica esta dada de la siguiente manera: El segundo cuartil ( ), es el intermedio y divide a la serie en dos partes iguales, con 50% de los datos menores o iguales y el otro 50% son iguales o superiores al segundo cuartil. Al segundo cuartil ( ) también se le llama mediana de la serie. La orma de representar gráicamente es el siguiente:

2 6 Capítulo 8 Medidas de Finalmente, el tercer cuartil ( ) es el cuartil superior y por lo tanto puede observar que el 75% de los valores son iguales o ineriores a él y el 5% de los valores son iguales o superiores. La representación gráica de este cuartil es: CUARTILES PARA SERIES SIMPLES Las órmulas empleadas para la obtención de la posición de los cuartiles son: de n de ( n ) n de la M d de ( ) n Cabe señalar que estas órmulas no nos dan los valores de los cuartiles sino su posición. Para encontrar los cuartiles, ya que conocemos su posición, se deben ordenar los datos en orma creciente y entonces se n busca el valor que ocupa la posición, ese será el primer cuartil, así

3 Fundamentos de Estadística para Odontología 7 mismo se ubica en la serie ordenada el segundo cuartil y el tercer respectivamente. Desarrollaremos un ejemplo para aplicar las órmulas anteriores e interpretar los resultados que de ellas se obtengan. Consideremos que los siguientes datos son los obtenidos a través de un levantamiento epidemiológico, con el cual se quiere determinar la experiencia de caries en dientes temporales, en un grupo de preescolares de género masculino y emenino (los datos se presentan ya ordenados): 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9,,,,,,,,, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 0. Calcularemos ahora la posición del primer cuartil: de n 6.5 Para encontrar el primer cuartil, se cuenta hasta el sexto valor en la serie ordenada, encontrándose que el primer cuartil es el número 8, por lo tanto, la interpretación de este resultado es el siguiente: el 5% de los preescolares estudiados tienen un índice ceo igual o menor a ocho o bien, el 5% de los preescolares estudiados tienen aproximadamente ocho dientes temporales o menos con alguna experiencia de caries. La posición del segundo cuartil ( ) se calcula de la siguiente orma: de n.5 El segundo cuartil es por lo tanto el valor de la serie ordenada que ocupa el lugar intermedio entre el duodécimo y décimo tercer dato. Esto es, es el segundo cuartil o mediana y se interpreta de la siguiente manera: El 50% de los preescolares estudiados tienen un índice ceo igual o menor a once. Por último calcularemos el tercer cuartil: de ( ) ( ) n 8.75 Nuevamente, el tercer cuartil es el valor que está entre el décimo octavo y décimo noveno lugar, es decir el tercer cuartil es 6. El resultado se interpreta como: el 75% de los preescolares estudiados tienen un índice ceo igual o menor a 6 o bien, el 75% de los preescolares tienen hasta 6 dientes temporales con alguna experiencia de caries. Fácil, no es verdad?

4 8 Capítulo 8 Medidas de Como pudiste observar, estas órmulas se diseñaron para estimar los valores de los cuartiles en series simples. CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS Antes de calcular los cuartiles para datos agrupados veamos como se agrupan los datos. Consideremos los siguientes datos de CPOD de 6 niños 6,,, 0,,,,,, 6, 0,, 5, 6,,,,, 9, 6,, 5,, 0, 5,,, 5, 7,,,,, 0,, 7 Al ser un tamaño de muestra de regular tamaño, se hace diícil trabajo con los datos tal como están, por lo que procederemos a agruparlos en intervalos o clases. Supongamos que queremos agrupar los datos en cinco clases como sigue: CLASE FRECUENCIA ( ) Observa que cada clase tiene dos valores, esto quiere decir que la amplitud de clase es. Esto se puede ver también de otra manera, ormando las ronteras de clase, al restarle a los límites ineriores 0.5 y sumarle a los límites superiores 0.5 y entonces la amplitud de clase será la dierencia de las ronteras superiores menos las ronteras ineriores. CLASE FRONTERAS FRECUENCIA ( ) Otra columna que es necesario agregar son las recuencias acumuladas, que no son otra cosa que la acumulación de las recuencias absolutas hasta la clase deseada, así como se muestra en la siguiente tabla.

5 Fundamentos de Estadística para Odontología 9 CLASE FRONTERAS FRECUENCIA ( ) FRECUENCIA ACUMULADA (F a ) Ahora estamos en condiciones de calcular los cuartiles para datos agrupados, utilizando las siguientes órmulas. Donde: n Fa Li ( i) n Fa Li ( i) n Fa Li ( i) n L i F a i es el tamaño de la muestra es la rontera inerior de la clase que contiene el cuartil respectivo es la recuencia acumulada de la clase anterior a la que contiene el cuartil respectivo es la recuencia absoluta de la clase que contiene al cuartil respectivo es la amplitud de clase. Para que aprendas su aplicación utilizaremos los datos de CPOD de la tabla anterior: n Fa Li ( i) L i F a i Primer cuartil Frontera inerior de la clase del primer cuartil Frecuencia acumulada anterior Frecuencia de la clase que contiene el primer cuartil Amplitud del intervalo de clase Ahora buscaremos los valores de cada uno de ellos:

6 Capítulo 8 Medidas de L i F a i Para saber cuál clase contiene al primer cuartil, dividiremos el tamaño de la muestra (n = 6) entre cuatro. Así tenemos que para nuestro ejemplo este valor es 9 que corresponde a la clase 0. Por lo tanto, la rontera inerior es 0.5. Este dato lo obtienes de la cuarta columna del cuadro, para el cálculo del primer cuartil tiene un valor de 0, ya que no hay recuencia anterior puesto que se trata de la primera clase. Este dato se obtiene de la tercera columna y sólo bastará que observes cuál es la recuencia para la primera clase, en este ejemplo es igual a 9. La amplitud del intervalo se obtiene restando a la rontera superior la rontera inerior, en este caso es igual a, recuerda que esto equivale al número de valores que pueden ser tabulados en esta clase. Muy bien!, Ahora sustituiremos en la órmula anterior: () El resultado se interpreta de manera similar como series simples, esto es: el 5% de los niños estudiados, tienen un índice CPOD igual o menor a.5. Ahora calcularemos el valor del segundo cuartil, primero buscamos su posición: 6 de 8.5 Esto corresponde a la tercera clase, de 5. Entonces el segundo cuartil es: () Este resultado se interpreta de la siguiente manera: el 50% de los niños en estudio, tienen un índice CPOD igual o menor que.67. Por último estimaremos el valor del tercer cuartil, su posición es: de (6 ) 7.75 Entonces, el tercer cuartil está ubicado en la tercera clase, 5 (6) 7.5 ()

7 Fundamentos de Estadística para Odontología El resultado se interpreta de la siguiente orma: El 75% de los niños estudiados presentan CPOD menor o igual que 5.7. DECILES PARA SERIES SIMPLES Los deciles son los nueve puntos que dividen a una serie en diez partes iguales, por lo tanto, cada uno de los deciles representa el %, de donde: el decil uno representa el %, el decil dos el 0%, el decil tres el 0% y así sucesivamente. La posición del decil se calcula a través de las siguientes órmulas: de D n de D ( n ) Así hasta el decil nueve (D 9 ). de D ( n ) Hagamos un ejemplo para que aprendas a calcular los deciles: Se estudió un grupo de niños para conocer a qué edad* les erupcionaron los primeros molares ineriores permanentes, los datos se presentan a continuación (la serie ya se encuentra ordenada): * La edad se tomó en años y meses. 5:, 5:, 5:, 5:5, 5:6, 5:6, 5:6, 5:7, 5:7, 5:8, 5:9, 5:9, 5:9, 5:9, 5:, 5:, 6:0, 6:0, 6:, 6:, 6:, 6:, 6:, 6:5, 6:8 Ahora calculemos el valor del primer decil (D ), su posición es: 5 de D.6 Por lo tanto el dato (por aproximación) que es 5: indica la posición del primer decil y se interpreta así: en el % de los niños estudiados, el primer molar inerior permanente erupcionó a los cinco años cuatro meses o antes. Ahora calculemos el séptimo decil (D 7 ), su posición es:

8 Capítulo 8 Medidas de de D 7( n ) 7(5 ) 7 8. Si observas la serie de datos, puedes determinar que el décimo octavo dato (por aproximación), esta ocupado por el valor 6:0. Se interpreta de la siguiente orma: en el 70% de los niños estudiados, el primer molar inerior permanente, erupcionó a los seis años o antes. DECILES PARA DATOS AGRUPADOS Al igual que los cuartiles, existen órmulas especíicas para calcular los deciles en datos agrupados, órmulas que a continuación te presento: D D n Fa ( ) n Fa ( ) Li i Li i Y así sucesivamente hasta: 9n Fa D 9 Li ( i) Ahora veamos su cálculo a través de un ejemplo: Consideremos que se estudia en Oaxaca a 0 comunidades rurales con el propósito de conocer la prevalencia de caries en cada una de ellas. La distribución de acuerdo al CPOD observado ue la siguiente: Cuadro 8. Distribución de comunidades según valores del CPOD observados. Oaxaca, México. 99. CLASE FRONTERAS FRECUENCIA FRECUENCIA ACUMULADA TOTAL 0 Fuente Didáctica Con estos datos calculemos algunos deciles:

9 Fundamentos de Estadística para Odontología El primero que calcularemos será el tercer decil, para lo cual utilizaremos la órmulas anteriormente establecida. Su posición es igual a 9. que corresponde a la segunda clase. de D ( n ) (0 ) 9. (0) 5 D.5 (0.) Cómo estimamos los valores? L i Para saber cuál clase tiene el tercer decil, dividiremos el tamaño de la muestra entre diez y lo multiplicaremos por tres; en nuestro ejemplo será igual a: (0)/ = Por lo tanto la clase que contiene a este decil es la que involucre al nonagésimo primer dato, en este caso es la segunda clase y así tenemos que el valor de la rontera inerior es de.5. F a Este dato lo obtienes de la cuarta columna del cuadro, para el cálculo del tercer decil tiene un valor de 5. Este dato se obtiene de la tercera columna y sólo bastará con que observes cuál es la recuencia para la segunda clase que es la que contiene al tercer decil, en este ejemplo es de 6. i Es la amplitud del intervalo, que en nuestro ejemplo es igual a 0.. Ahora determinaremos el decil ocho (D 8 ): 8( n ) 8(0 ) de D8. 8(0) 9 D 8.5 (0.) La interpretación es la siguiente: el 80% de las comunidades rurales estudiadas presentaron un CPOD hasta.5 dientes (permanentes) o menos con alguna evidencia de caries PERCENTILES PARA SERIES SIMPLES El percentil tiene 99 puntos que dividen la serie en 0 partes, por lo tanto cada percentil representa el % siendo el percentil 50 igual al quinto decil, al segundo cuartil e igual a la mediana.

10 Capítulo 8 Medidas de La búsqueda de la posición de cada percentil en series simples, se calcula a través de las siguientes órmulas: de P n 0 de P Y así sucesivamente hasta: ( n ) 0 de P 99 99( n ) 0 Muy bien!, ahora utilizaremos el ejemplo anterior sobre el estudio de un grupo de niños para conocer a qué edad (años y meses) les erupcionan los primeros molares ineriores permanentes. Los datos se transieren de la misma manera, recordando que ya se encuentran ordenados: 5:, 5:, 5:, 5:5, 5:6, 5:6, 5:6 5:7, 5:7, 5:8, 5:9, 5:9, 5:9, 5:, 5:, 6:0, 6:0, 6:, 6:, 6:, 6:, 6:, 6:5, 6:8 El primero que calcularemos es la posición del percentil 7, para el cual utilizaremos la siguiente órmula: 7( n ) 7(5 ) de P Por lo tanto, en el cuarto dato esta localizado el percentil diecisiete, lo buscamos en la serie y como podrás observar el valor de este dato es igual a 5:5, la interpretación de este resultado es: en el 7% de los niños estudiados, el primer molar inerior permanente, hizo erupción a los cinco años cinco meses o menos. Estimemos ahora el percentil 8 8( n ) 8(5 ) de P Buscamos el valor del vigésimo segundo dato y observarás que es igual a 6:, y se interpreta así: en el 8% de los niños estudiados, el primer molar inerior permanente erupcionó a los seis años cuatro meses o antes.

11 Fundamentos de Estadística para Odontología 5 PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS j( n ) de P j 0 jn Fa P 0 j Li ( i) Calculemos el percentil 50 (mediana) para los datos del cuadro 6 Cuadro 8. Distribución de comunidades según valores del CPOD observados. Oaxaca, México. 99. CLASE FRONTERAS FRECUENCIA FRECUENCIA ACUMULADA TOTAL 0 Fuente Didáctica 50( n ) ( n ) 0 de P n 0 Fa 5 P 0 ( ) Li i (0.) La interpretación es la siguiente: el 50% de las comunidades rurales estudiadas presentaron un CPOD hasta.86 dientes permanentes o menos con alguna evidencia de caries. RANGO INTERCUARTÍLICO El rango intercuartílico se deine como la dierencia del percentil 75 menos el percentil 5, o lo que es lo mismo decir la dierencia del cuartil menos el cuartil. RI P 75 P5 Para calcularlo, se necesitan los percentiles 75 y 5, los cuales calcularemos a continuación

12 6 Capítulo 8 Medidas de 75( n ) 75(0) de P (0) 9 P (0.) ( n ) 5(0) de P (0) 5 P (0.) RI La interpretación es la siguiente: entre el 5% y el 75% las comunidades rurales estudiadas presentaron una dierencia en el CPOD de hasta casi un diente permanente (0.8) con alguna evidencia de caries. Cuadro resumen Cuartil j Decil j Percentil j nj Fa j Li ( i) jn Fa D j Li ( i) jn Fa P 0 j Li ( i)