Sucesiones y Progresiones. Guía de Ejercicios

Transcripción

1 . Módulo 5 Sucesiones y Progresiones Guía de Ejercicios

2 Índice Unidad I. Sucesiones Ejercicios Resueltos... pág. 02 Ejercicios Propuestos... pág. 06 Unidad II. Sumatorias de sucesiones Ejercicios Resueltos... pág. 10 Ejercicios Propuestos... pág. 13 Unidad III. Progresiones aritméticas y geométricas Ejercicios Resueltos... pág. 14 Ejercicios Propuestos... pág. 17 1

3 Unidad I. Sucesiones Ejercicios Resueltos 1. En la siguiente secuencia numérica 1 2, 2 + 3, 3 4, 4 + 5,..., el octavo término es a) 15 b) 17 c) 56 d) 72 e) , 2 + 3, 3 4, 4 + 5, 5 6, 6 + 7, 7 8, Luego el octavo término es En la siguiente secuencia numérica 3, 7, 15, 31,..., la suma del quinto con el sexto término es a) 63 b) 94 c) 127 d) 190 e) = = = = = = 127 La suma del quinto con el sexto término es =190. 2

4 3. Se tiene la sucesión 1, 8, 27, 64,... ; al conservarse esta ley de formación el término enésimo es a) n b) 3n c) 3(n 1) d) n 3 e) otro término. 1 3 = 1, 2 3 = 8, 3 3 = 27, 4 3 = 64,..., n 3 4. Se tiene la sucesión 1, 2, 3, 4,...; si se conserva esta ley de formación el enésimo término es a) n(n + 1) b) n(n 1) c) n : (n + 1) d) (n + 1) : n e) (2n 1) : (2n + 1) 1 2 = , 2 3 = , 3 4 = , 4 5 = ,..., n n La ley de formación de una sucesión, siendo n perteneciente a los naturales, es (2 n +2)n. Entonces, el quinto término es a) 4 b) 12 c) 30 d) 72 e) 170 El quinto término es cuando n = 5, entonces ( )5 = (32 + 2)5 = 34 5 = 170 3

5 6. Se tiene la sucesión 1, 2, 3, 4,...; al conservarse esta ley de formación la diferencia entre el término enésimo y el primero es a) n 1 2(n+1) b) 2n 1 2 c) n 1 2 d) 1 n+1 e) n(n + 1) El término enésimo de la sucesión es el primero es n, luego la diferencia entre el término enésimo y n+1 n n = 2n (n + 1) 2(n + 1) = n 1 2(n + 1) 7. Una sucesión está expresada por la ley 1 2 ( 1)n + 1, siendo n N. Entonces, el primero y el quinto término son, respectivamente a) 1; 0 b) 0; 1 c) 0; 0 d) 0; 1 e) 1; 1 El primer y quinto término son cuando n = 1 y n = 5, entonces n = 1 : 1 2 ( 1)1 + 1 = = 1 2 n = 5 : 1 2 ( 1)5 + 1 = = 1 2 4

6 8. La ley de formación de una sucesión está dada por n2 +1 n! ; entonces, el cuarto término es a) 2 b) 5 2 c) 5 3 d) e) El cuarto término es cuando n = 4, entonces ! = =

7 Ejercicios Propuestos 1. La tabla siguiente muestra el número de baldosas negras n y blancas b. Cuál es la forma que relaciona n con b n b a) b = 5n b) b = 2n + 3 c) b = n + 4 d) b = n 4 e) b = 2n En la secuencia 3, 5, 9, 17,... el número siguiente es a) 25 b) 26 c) 29 d) 31 e) Los cuadrados de la figura están formados por palos de fósforos tal como se indica en los diagramas. Cuántos palos de fósforos se necesitan para formar el diagrama número 100? a) 296 b) 297 c) 299 d) 301 e) 304 6

8 4. Se tiene la sucesión 2, 4, 6, 8,... ; al conservarse esta ley de formación el término enésimo es a) n b) 2n c) n/2 d) 2(n 1) e) otra expresión. 5. Se tiene la sucesión 1, 2, 3, 4,...; al conservarse esta ley de formación el último término de ella sería un valor que tiende a a) 0 b) 1 c) infinito d) 1 : (n + 1) e) n(n + 1) 6. Se tiene la sucesión 2, 3, 4, 5, 6,... ; al conservarse esta ley de formación, el término de rango n es a) n b) n + 1 c) n(n + 1) d) (n + 1)n 1 e) 2n 2n+1 7

9 7. Se tienen las dos sucesiones siguientes i) 1 2, 1 3, 1 4, 1 5,... ii) 2, 3 2, 4 3, 5 4, 6 5,... Si se conserva la ley de formación de cada una y se multiplican ordenadamente los pares de términos entre sí (1 o con 1 o, 2 o con 2 o,..., último con último), entonces el producto de los términos enésimos de las sucesiones es a) n b) n(n + 1) c) 1 n+1 d) n + 1 e) 1 n 8. Se tiene la sucesión 1, 3, 5, 7, 9,... ; al conservarse esta ley de formación, el término de rango n es a) (2n + 1) 2 b) n2 n+1 c) (2n 1)2 n d) (2n+1)2 n! e) 2n 1 n! 8

10 9. Se tiene la sucesión 1, 9, 25, término queda expresado por a) (2 n 1 ) 2 ( b) ( c) ) 2 2+n n ) 2 2 n n d) (1 n 1 ) 2 ( e) ) 2 2n+1 n!, ,... ; al conservarse esta ley de formación, el enésimo 10. Se tiene la sucesión 3, 5, 7, 9,... ; si se conserva esta ley de formación, el enésimo término es a) 2n 1 2n+1 b) n 2 2n c) n 1 n+1 d) 2n n+2 e) n+1 n+3 9

11 Unidad II. Sumatorias de sucesiones Ejercicios Resueltos 1. Expresar como una sumatoria y luego calcular la siguiente suma }{{} 50veces Como se puede ver se trata de sumar 50 veces 4, lo que es igual a = }{{} 50veces 50 4 = 50 4 = Expresar como una sumatoria la siguiente suma Como se puede deducir, se trata de sumar números elevados a su misma potencia = = k k 3. Calcular la siguiente sumatoria 5 3(k 2 + 1) 5 5 3(k 2 + 1) = 3 (k 2 + 1) ( 5 5 ) = 3 k ( ) = =

12 4. Calcular la siguiente sumatoria 6 (k 2 3k + 2) (k 2 3k + 2) = k 2 3 k + 2 = ( ) 3( ) = = Calcular la siguiente sumatoria 5 k(k + 1) 4 5 k(k + 1) 4 = 1 5 k 2 + k 4 = 1 ( 5 k = 1 4 = ) k ( ( ) + ( ) 70 = 35 2 ) 6. Escribir y luego calcular la sumatoria de los 50 primeros números naturales. Utilizando la fórmula apropiada 50 50(50 + 1) k = = 2 = =

13 7. Calcular la sumatoria 112 (2k 1) Desarrollando y utilizando la fórmula apropiada 112 (2k 1) = k = = = Escribir y luego calcular la sumatoria de los cuadrados de los primeros 25 números naturales. Utilizando la fórmula conocida 25 k 2 25(25 + 1)( ) = = 6 = =

14 Ejercicios Propuestos 1. Expresar como una sumatoria y luego calcular las siguientes sumas = = = = = = 2. Calcular las siguientes sumatorias. i) 8 (3k 2) ii) 10 k 1 k + 1 iii) 10 (k + 1) 2 3. Aplicar las propiedades de las sumatorias y calcular. i) ii) 10 7k iii) 20 (k + 1) Usar la fórmula correspondiente y calcular cada una de las siguientes sumatorias. i) 140 (2k 1) ii) 63 (k ) iii) 70 (5 2k) 2 5. Usar las fórmulas conocidas y encontrar a su vez otra fórmula para cada una de las siguientes sumatorias. i) n 2k ii) n (k + 1) 2 iii) n ( 5 3 k2 4 9 ) 13

15 Unidad III. Progresiones aritméticas y geométricas Ejercicios Resueltos 1. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son 3; 9; 15. Cuál es el vigésimo término? a = 3 d = 9 3 = 15 9 = 6 n = 20 Luego, a n = a + (n 1)d a n = a n = Los dos primeros términos de una progresión aritmética son 5 y 2. Cuál es el décimo término? a = 5 d = 2 5 = 3 n = 10 Luego, a n = ( 3) a n = Los tres primeros términos de una progresión aritmética son 5; 2; 1 y el último es 43. Cuántos términos tiene la progresión? a = 5 d = 2 ( 5) = 1 ( 2) = 3 a n = 43 Luego, a n = a + (n 1)d 43 = 5 + (n 1) 3 51 = 3n n = 17 14

16 4. En una progresión aritmética de nueve términos el primero es 8 y el último 16. Cuál es la razón o diferencia? a = 8 a n = 16 n = 9 Luego, a n = a + (n 1)d 16 = 8 + (9 1)d 24 = 8d d = 3 5. Calcular el décimo término de la progresión geométrica de términos 1200, 600, 300,... a = 1200 r = 600 = n = 10 Luego, a n = ar n 1 ( a n = ) 9 = Cuántos términos tiene la progresión geométrica 1, 2,..., 256? a = 1 r = 2 a n = 256 Luego, Sustituyendo los datos se obtiene n = log log 2 1 log 2 2 n = log 2 a n log 2 a log 2 r + 1 = = = 9 15

17 7. Una progresión geométrica de siete términos comienza con y termina con 0,96. Cuál es la razón? n = 7 a = a n = 0, 96 Luego, Al sustituir los datos se obtiene r = n 1 a n a r = 0, = 0, 2 8. El último término de una progresión geométrica de cinco términos y de razón 0,2 es 4,8. Cuál es el primer término? a n = 4, 8 r = 0, 2 n = 5 Luego, a = a n r n 1 Al sustituir los datos en la fórmula se obtiene a = 4, 8 (0, 2) 4 =

18 Ejercicios Propuestos 1. En una progresión aritmética el noveno término es 7 y el undécimo es 8,5. Cuál es el primer término? 2. En una progresión aritmética de diez términos el primero es 17,5 y el último es 5. Cuál es la razón o diferencia? 3. El primer término de una progresión aritmética es 8 y el último es 16. Si la progresión tiene nueve términos, cuál es el término medio? cuánto vale la razón? 4. En una progresión aritmética la diferencia de los términos extremos es 15 y el término medio es 5. Cuál es el primer y el último término? 5. Si al término equidistante de los extremos de una progresión aritmética es 22 y la diferencia entre el primero y el último término es 24. Cuántos términos tiene la progresión? Cuáles son los términos extremos si la razón es 3? 6. Calcular los ángulos interiores de un triángulo si están en progresión geométrica de razón Tres números forman una progresión geométrica de razón 2. Cuáles son los números si suman 280? 8. Interpolar cuatro medios geométricos entre y 4,8. Escribir la progresión que se obtiene. 9. Cuánto vale el producto de los cuatro términos de una progresión geométrica que comienza con y termina con 24? 10. Entre 2 y 128 intercalar cinco medios geométricos. 17