LOS NÚMEROS NATURALES

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1 LOS NÚMEROS NATURALES INDUCCION MATEMÁTICA Existen diversas formas de sistematizar al conjunto de los números naturales y sus propiedades, la axiomática de Peano es aquella en que nos basaremos para deducir la Inducción Matemática y declarar algunas propiedades importantes de los naturales En 889, Giuseppe Peano ( presentó la siguiente axiomática para los números naturales N N n N! n + N tal que n + n + 3 n N : n + 4 n, m N : n m n + m + 5 [ S N tal que { a S b n S n + S ] S N Observación El axioma nos indica que todo natural n tiene un único sucesor n + n + El axioma 3 nos indica que el natural es sucesor de ningún natural, es decir, el es el primer natural El axioma 4 nos indica que dos naturales distintos no tienen el mismo sucesor El axioma 5, Axioma de la Inducción, nos permitirá demostrar la validez de proposiciones en todo el conjunto de los naturales La axiomática de Peano nos permite, además, definir en el conjunto N la operación adición, la operación multiplicación y una relación de orden

2 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Primer Teorema de la Inducción Teorema Primer Teorema de la Inducción Matemática Consideremos la proposición P (n, que contiene la variable n N Si la proposición P (n es tal que a Se cumple que P ( es verdadera b Asumiendo que P ( es verdadera, se verifica que P ( + es verdadera, entonces, P (n se cumple para todo natural Demostración Consideremos el conjunto S formado por todos aquellos naturales que satisfacen la proposición, es decir, sea S {n N / P (n es verdedera }, debemos demostrar que P (n se satisface para todo natural, es decir, debemos demostrar que S N Como P ( es verdadero entonces S, además, por hipótesis se cumple que P (V P ( + V ; esto indica que S ( + S Dado que el conjunto S satisface el quinto axioma de Peano concluimos que S N y entonces la proposición se cumple en N Observación Podemos anotar, en forma más breve, como sigue { } a P (V P (n es V, n N b P (V P ( + V También se conoce a esta proposición como Primer principio de la Inducción Matemática 3 En el Primer Principio de la Inducción podría ocurrir que en la parte a no se verifique P ( si no que para P (n 0, n 0 > entonces, si se cumple b para todo n n 0 concluimos que la proposición se cumple para todo n n 0 Ejemplo Demuestre que se cumple para todo natural n (n + n n + Solución Sea P (n n (n + n n + Debemos demostrar que a P ( es verdadera, y que b P ( V P ( + V ( Antes de realizar la demostración debemos notar que en ella está involucrada la sucesión y que el hecho de que P ( sea verdadera significa que la suma de los n (n+ n N primeros términos de la sucesión es +

3 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 3 a P ( es verdadero ya que + P ( es verdadero si se cumple Como el lado izquierdo de la última expresión tiene valor 3 derecho, concluimos que P ( es verdadero tanto como el lado b Si P ( es verdadero, es decir, si ( + +, debemos demostrar que P ( + es verdadero, es decir, debemos demostrar que ( + + ( + ( Veamos esto último, ( + + ( + ( ( + ( + ( + + ( + ( ( + ( + ( + ( + ( Así entonces la proposición se cumple en el conjunto de los Naturales Observación 3 Ahora estamos seguros de poder sumar los n primeros términos de la sucesión dada, sin sumarlos, bastando con aplicar la fórmula de suma declarada La deducción de la fórmula, cuestión que la vemos interesante, la estudiaremos en una sección posterior Ejemplo Demuestre que toda expresión del tipo 3 n es divisible por 8, para todo valor de n en los naturales Solución Sea P (n : 3 n 8r, para algún r N Debemos demostrar: a P ( es V y b P ( V P ( + V a P ( V ya que P ( : 3 8 8, N P ( será verdadera si existe r N tal que 3 8r Como 3 80 y entonces, con r 0 N se satisface la condición

4 4 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA b Si P ( es V entonces existe r N tal que 3 8r, debemos demostrar que P ( + es V, es decir, debemos demostrar que existe s N tal que 3 (+ 8s Veámoslo, con s (9r + N 3 ( ( (8r + 8 8(9r + 8s Por a y b los números de la forma 3 n son divisibles por 8 para todo natural n Notemos el uso de la hipótesis inductiva al reemplazar (en el quinto paso 3 por 8r Como, por hipótesis inductiva se cumple 3 8r, podemos despejar 3 obteniendo 3 8r + Si reemplazamos esto último en el paso conseguimos (8r + 3 7r + 8 8(9r + 8s Ejemplo 3 Demuestre que 5 n +( n+ es divisible por 3 para todo valor de n N Solución Sea P (n : 5 n +( n+ 3p para algún valor de p en N Debemos demostrar que: a P ( se cumple, b Si P ( se cumple entonces P ( + también se cumple a Como 5 + ( entonces se verifica P ( b Si P ( se cumple entonces existe p N tal que 5 + ( + 3p, debemos demostrar que P ( + también se cumple, es decir, debemos probar que existe q N tal que ( + 3q ( ( ( ( + 5( + + ( ( + [ ( +] + ( + ( 5 5 3p 6( + 3 (5p ( + 3q, donde q 5p ( + N

5 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 5 Segundo Teorema de la Inducción Usaremos el siguiente Principio del Buen Orden para demostrar el Segundo Principio de la Inducción Matemática Principio del Buen Orden Sea A, A N entonces existe p A tal que p n, n A Teorema Segundo Teorema de Inducción Matemática Sea P (n una proposición que contiene una variable n N, tal que a P ( es verdadera, b para todo N : P ( P ( P ( verdadera P ( + verdadera, entonces P (n es verdadera para todo n N Demostración Supongamos que S {n N / P (n es V } es subconjunto propio de N, entonces N S y N S N Por el Principio del Buen Orden existe m N S tal que m r, r N S, luego,,, m S, es decir, P (, P (,, P (m es verdadero, luego, por hipótesis se cumple que m S; esto último es una contradicción, de donde S N Ejemplo 4 Sea (a n n N una sucesión definida en R tal que a, a y además a n a n + + a + a, n 3 Demuestre que a n 3 n 3, n 3 Solución Sea P (n : a n 3 n 3, debemos demostrar que a P (3 es V y b P (3, P (4,, P ( es V entonces P ( + es V a P (3 es V ya que a 3 a + a + 3 (usando la definición y, usando la fórmula: a b Si a n 3 n 3, n N, 3 < n debemos demostrar que a n+ 3 n Veamos esto último a n+ a n + + a + a (usando la definición 3 n n (usando la hipótesis inductiva 3( n 3 + n ( Ahora debemos calcular n 3 + n Sea S n 3 + n ; si multiplicamos por obtenemos S n + n y restando obtenemos S n Si reemplazamos en ( obtenemos a n+ 3( n n Note el uso del Segundo Principio de la Inducción y de validez de la proposición a partir del natural 3

6 6 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA 3 Suma y Multiplicación en N Adición en los Naturales Se define la adición en N por { a n + n + b n + m + (n + m + Ejemplo 5 Demuestre que n + + n, n N Solución La demostración se debe realizar por inducción sobre n y usaremos tanto n + como su igual n + Sea P (n : n + + n, por demostrar a P ( es V, y b P ( V P ( + V a P ( es V ya que + + b Si P ( es V, es decir, si + + debemos demostrar que P ( + es V, es decir, debemos demostrar que Tenemos: + + ( + + ( Proposición Para todo n, m, p N se cumple a n + m N b m + (n + p (m + n + p c m + n n + m d Si m + p n + p entonces m n Demostración Demostraremos sólo la propiedad c, el resto de la proposición queda como ejercicio En la demostración, además de la definición de adición usamos, en particular, la asociatividad Sea m un natural arbitrario, pero fijo y P (n : n + m m + n Debemos demostrar que a P ( es V, b P ( V P ( + V a P ( es V ya que + m m + (ya se demostró b Si P ( es V, es decir, si + m m +, debemos demostrar que P ( + es V, es decir, debemos demostrar que + + m m + + Veámoslo, + + m ( + + m + ( + m ( + m + (m + + m + +

7 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 7 Multiplicación en los Naturales Se define la multiplicación en N por { a n n b n m + n m + n Proposición Para todo n, m, p N se cumple a n m N b m n n m c m (n p (m n p d Si m p n p entonces m n Además, se cumple e (m + n p m p + n p Demostración Demostraremos sólo la parte e de la proposición, asumiendo ya demostradas las otras propiedades Supongamos que m, n son números naturales arbitrarios pero fijos y realicemos inducción sobre p Sea P (p : (m + n p m p + n p Debemos demostrar que a P ( es V y que b P ( V P ( + V a P ( es V ya que (m + n m + n m + n b Si (m + n m + n debemos demostrar que (m + n + m + + n +, (m + n + (m + n + (m + n m + n + m + n m + (n + n + m (m + m + (n + n m + + n + 4 Ejercicios Propuestos Ejercicio Si n es un número natural, demuestre la validez en N a n n(n+ b n n(n+(n+ 6 c n 3 n (n+ 4

8 8 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA d (3n n(3n e n ( n f (n 3 n ( n g ( n n 3 h ( 6 n+ + 4 es divisible por 5 i 5 n n es divisible por 3 j x n y n es divisible por x y n 3 + n es divisible por 3 Ejercicio Probar que cada una de las siguientes proposiciones se cumple en N a n < n b 3 n n + c n n d x n y n es divisible por (x + y 0 e + r + 3r + 4r nr n (n+rn +nr n+ ( r Ejercicio 3 Demuestre que las siguientes afirmaciones se cumplen para todo natural n a n n n+ b n 3 n (n 3n + 4 c (n (n+ n n+ d n (n+(n+(n+3 n(n+ 4(n+(n+3 Ejercicio 4 Use Inducción en los siguientes casos a Sea (a n n N tal que a y a n 3a n, para todo n > Demuestre que a n 3 n, para todo natural n >

9 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 9 b Sea (a n n N tal que a y a n a n, para todo n > Demuestre que para todo natural n > a n 3 + ( n+ 3 + ( n c Sea (a n n N tal que a, a y a n a n + a n, para todo n 3 Demuestre que ( 7 n a n < 4 Ejercicio 5 Use inducción para demostrar a ( + h n > + nh, h R +, n b n > n +, n 3 Ejercicio 6 Demuestre que a m + n m, m, n N b (m + n + + m + + n +, m, n N c m + (n + p (m + n + p, m, n, p N d (m n + + m n + m +, m, n N e m + + n + (m + n + +, m, n N SUMATORIAS Sumatoria Simple Definición Una sucesión real es toda función con dominio un subconjunto de los números naturales y con valores en R, simbólicamente, la sucesión a es a : N R tal que n a(n a n Observación Denotamos la sucesión a por (a n n N, donde a n es el término general de la sucesión Ejemplo Para la sucesión (( n n n N, los tres primeros términos son a (, a ( 4, a 3 ( 3 3 8

10 0 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Definición Sea (a n n N una sucesión, definimos la sumatoria de los n primeros términos de la sucesión, denotada n a i, por a i a si n a i n a i + a n si n > Observación Usando la definición de sumatoria y las propiedades de los números reales podemos escribir a i n a i + a n ( n a i + a n + a n (( n 3 a i + a n + a n + a n a + a + a a n + a n + a n Ejemplo Desarrolle y calcule Solución a i (i + 3 a i considerando la sucesión (n + 3 n N ( ( ( Si nos interesa 75 a i necesitamos un poco más de teoría Propiedades de la sumatoria simple Proposición Sean (a n n N, (b n n N dos sucesiones y p R, se cumple a Si a n p, n N entonces a i p np

11 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO b Si (c n n N es una sucesión tal que c n pa n, n N entonces c i pa i p a i c Si (d i n N es una sucesión tal que d n a n + b n, n N entonces d i (a i + b i a i + b i d (a i a i a n a 0 o también n (a i+ a i a n+ a (Propiedad telescópica e ij a i n+r ij+r a i r n r ij r a i+r (Propiedad del reloj Demostración Sólo demostraremos la propiedad b Sea P (n : pa i p n a i Debemos demostrar a P ( es V y b [P (, P (,, P (] V P ( + V a P ( es V ya que pa i c i c pa p a i b Si r r pa i p a i, r debemos demostrar que + + pa i p a i

12 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Veámoslo, + pa i p + c i c i + c + pa i + pa + a i + pa + [ ] p a i + a + + p a i Algunas Sumatorias Importantes a (n + n i n(n + b (n + n i n(n + (n + 6 c (n 3 + n 3 i 3 n (n + 4 Estas fórmulas que nos permiten sumar sin sumar, ya fueron demostradas por inducción, sin embargo, es necesario mostrar algún camino que nos lleve a deducirlas, como un ejemplo deduciremos la suma de los cuadrados de los primeros n naturales Consideremos n (i + 3, tenemos, (i + 3 (i 3 + 3i + 3i + i 3 + 3i + 3i +

13 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 3 Asumiendo conocida la suma de los primeros n naturales y considerando además que al comparar n (i + 3 con n i 3 se simplifican terminos al realizar su diferencia, podemos despejar n i ; así, (i + 3 (i 3 + 3i + 3i + i 3 + 3i + 3i + (i + 3 i 3 3 i + 3 i + (n i n(n n (n + 3 n(n + n 3 3 i i (n + 3 (n + 3 n(n+ 3 n(n + (n + 6 Ejemplo 3 Calcule, usando las propiedades 0 (4i + Solución 0 (4i i i + 0 0(0 + ( ,560 Ejemplo 4 Determine la suma de los 0 primeros términos de la sucesión cuyos 5 primeros términos son, 3, 5, 7, 9 Solución Sea (a n n N la sucesión tal que a, a 3, a 3 5, a 4 7, a 5 9, es

14 4 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA inmediato deducir que a n n, de donde a + a + + a 0 0 a i 0 0 (i i 0 0( Ejemplo 5 Determine una fórmula para n (+(+ Solución Para resolver este problema necesitamos descomponer la fracción racional (+(+ en fracciones parciales Informalmente introduciremos las acciones básicas relacionadas con este tema, el cual se presentará en un Capítulo posterior En primer lugar notemos que la fracción racional dada tiene como denominador un polinomio de grado mayor que el polinomio del numerador y que está factorizado en polinomios lineales irreducibles; cada uno de estos factores lineales genera una fracción parcial del tipo Tenemos, A ax+b, de tal manera que debemos encontrar el valor real de A ( + ( + A + + B +, A( + + B( + ( + ( + ( + ( + A( + + B( + Si damos valores arbitrarios a, sucesivamente, podemos determinar A y B Si entonces A( + + B( + queda A Si entonces A( + + B( + queda B Entonces de donde ( + ( + + +, ( ( + ( + + +

15 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 5 ( Si consideramos la sucesión n+, usando la propiedad telescópica, n N tenemos, (a i a i a n a 0 ( + ( + ( + + ( + + ( n + n (n + Otra forma de aplicar la propiedad telescópica es cancelar, directamente los terminos en el desarrollo de la sumatoria, así, en tomando diversos valores de obtenemos ( +, + ( + ( + 3 +( ( n n + +( n + n + n + (n + (n + Demostremos que se cumple en N Sea P (n : a P ( es V ya que y por otro lado (+ 6 b Si se cumple que p ( + ( + n (n + (+(+ (+(+ p+ n (n+, ( + ( + 3 6, p (p+ debemos demostrar que ( + ( + p + (p + 3

16 6 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Veámoslo, p+ ( + ( + p p+ ( + ( + + p+ p (p + + (p + (p + 3 p(p (p + (p + 3 p + 3p + (p + (p + 3 p + (p + 3 ( + ( + Ejemplo 6 Calcule, usando fórmulas, la suma de todos los números impares entre 00 y 500 Solución Queremos los números impares desde 0 hasta 499 Si escribimos un número impar como entonces la suma pedida es 50 5 ( ; tenemos, 50 ( ( [( + 50 ] (0 + 00(99 60,000 Ejemplo 7 Determine una fórmula para n ( y demuestre la validez de ésta en N

17 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 7 Solución ( (n + n ( (n + ( n ( + ( + + n Veamos ahora la inducción pedida Sea P (n : ( n a Como ( + entonces se cumple P ( b Si P (r se cumple, es decir, si r ( r, debemos demostrar que P (r + también se cumple, es decir, debemos demostrar que (r+ ( r + (r+ ( r+ ( r ( (r + + (r + r (r + + (r + r + Sumatoria Doble Definición de Sumatoria Doble Supongamos el siguiente arreglo rectangular de números a a a m a a a m a n a n a nm Si sumamos los términos de la primera fila obtenemos m a j j

18 8 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Si sumamos los términos de la segunda fila obtenemos m a j Si sumamos los términos de la n-ésima fila obtenemos m a nj j j ( Ahora, si sumamos estas sumas obtenemos n m a ij Por otro lado, si sumamos los términos de la primera columna obtenemos n a i Si sumamos los términos de la segunda columna obtenemos n a i Si sumamos los términos de la m-ésima columna obtenemos n a im Ahora, si sumamos estas sumas obtenemos m ( a ij j Naturalmente que estas sumas dobles son iguales (forman la suma de todos los términos del arreglo por lo que podemos afirmar que (aceptando como definición j m m a ij a ij j j Propiedades de la Sumatoria Doble Se cumple: a m nm, R j b m a ij n j j m a ij, R c j m (a i + b j n m b j + m n a i j d j ( m a i b j ( m a i b j j

19 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 9 Si aplicamos la suma iterada a la sumatoria doble podemos mostrar las propiedades, por ejemplo: j m (a i + b j m (a i + b j j ma i + m m j b j m a i + n b j j Ejemplo 8 Calcule Solución 3 3 j j 4 (i + j 4 (i + j 3 4 j + 4 j 3 i 4(4 + 3( Ejercicios Propuestos Ejercicio Si se sabe que 6 (x i 3 8, 5 (x i 6 8 y x 6 8, determine el valor de 6 x i Resp 86 Ejercicio Sabiendo que n a i n + 3n encuentre el valor de Resp 0; 3 6 a i 5 3 y a 3 Ejercicio 3 Determine el valor de 5 i(i 3 i5

20 0 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio 4 Si se sabe que 7 x i 96; 0 (x i 3 30, x 8 x 9 3x 0 5, determine el valor de 7 x i Ejercicio 5 Si 6 (x i 4, 7 (x i + (x i 9 y x 7 4, determine el valor de 7 (x i 5 6 (x i + 3 Ejercicio 6 Encuentre una fórmula que permita sumar los n primeros términos de la sucesión a (n n N Resp n b ( 6n 3 Resp n(n + (n + n N Ejercicio 7 Calcule a Resp 6633 b c Resp 000 d Resp 0000 e Ejercicio 8 Calcule a b c 00 [ i(i + (i + (i + 00 [ + ] Resp 00 0 ] Resp,575 5,5 [( + ln( + ln(] Resp (n + ln(n +

21 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO Ejercicio 9 Usando descomposición en fracciones parciales y propiedad telescópica, determine una fórmula para a b c d e i(i + Resp n n+ (i + 3(i + Resp n 3(n+3 ( + ( + Resp 3 4 4n+3 (n+(n+ + ( + Resp (n+ n ( + ( + 3 Resp (n+ + 6(n+ + 6(n+3 Ejercicio 0 Resuelva la ecuación x (i + i + (i + 3i x (i + 8i Ejercicio Determine el valor de las siguientes sumatorias a b c d e 6 (3i 5 5 (i + 3 i 6 (i 3(i j 5 i0 j 6 (i (j + 3 ( i + (i 3i j

22 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio Si se sabe que 5 5 x i 30, x i 8, determine el valor de 5 (x i Resp Ejercicio 3 Si determine el valor de 6 6 (a i 3 (a i + y 6 a i (a i 3 Resp 6 a i 0, 6 a i Ejercicio 4 Dado 0 (x i 3 30, Cuál es el valor de Ejercicio 5 Si determine el valor de 7 x i? Resp 4 7 x i 96, x 8 3, x 9 3, x x i, x i ( 3x i 306, (x i + Resp 74 Ejercicio 6 Dado 8 8 x i 5 y x, determine el valor si 8 (4x i 4,000 Resp 0, 6 Ejercicio 7 Calcule el valor de la constante c, si se sabe que (x i 3y j + c 6,000, x i 8, y j Resp 07 j j

23 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 3 3 PROGRESIONES 3 Progresión Aritmética Definición 3 Una sucesión real (a n n N se llama Progresión Aritmética, denotada PA si { a a a n+ a n + d, para algún d R {0}, n N Observación 3 a se llama primer elemento de la PA d a n+ a n se llama diferencia de la PA 3 Si d > 0 entonces la PA es creciente Si d < 0 entonces la PA es decreciente 4 Si a, b, c están en PA entonces b a c b, es decir, b a + c Ejemplo 3 La sucesión de los números naturales es una PA con primer elemento a y diferencia d La sucesión formada por los números: 7, 5, 3,,, 3, 5, es una PA con primer elemento a 7 y diferencia d Observe que Teorema Regulatorio Teorema 3 Si (a n n N es una PA con primer elemento a y diferencia d entonces a a n a + (n d, n N b a i n [a + (n d] Demostración a Sea P (n : a n a + (n d a P ( es V ya que a a + ( d b Si P ( es verdadero, es decir, si a a + ( d, debemos demostrar que P ( + también es verdadero, es decir, debemos demostrar que a + a + (( + d; veámoslo, a + a + d a + ( d + d a + d

24 4 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA b Usaremos el Segundo Principio de Inducción Matemática Sea P (n : n a i n [a + (n d], debemos demostrar a P ( es V y b si P (n es V n N, n, entonces P (n + es V a P ( es verdadero ya que a i a y por otro lado [a + ( d] a b Si P (n es V n N, n entonces se cumple n a i n [a + (n d], debemos demostrar que P (n + es verdadero, es decir, que n+ a i n+ [a + nd] Veámoslo, n+ a i a i + n+ in+ a i n [a + (n d] + a n+ n [a + (n d] + a + nd na + n (n d + a + nd [ n ] (n + a + (n + n d n(n + (n + a + d n + [a + nd] Ejemplo 3 En una PA cuyos tres primeros términos son: 5,, 7 determine a el quinto término, b la suma de los 7 primeros términos Solución Como a 5 y d 5 6 entonces a a 5 a + 4d b 7 a i 7 [ ] 90 Ejemplo 33 Interpolar (intercalar ocho medios aritméticos entre 6 y 36 Solución Estamos considerando una PA donde el primer término es a 6 y el décimo término es a 0 36 Necesitamos la diferencia d Como a 0 a + 9d entonces d de donde d , así, los términos pedidos son, a , a ò a ( 3 3 3, a 4 6, a 5 9 3, a 6 3, a 7 6, a 8 9 3, a 9 3 3

25 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 5 Ejemplo 34 Determinar tres números en PA cuya suma sea 5 y la suma de los cuadrados sea 83 Solución Consideremos a x d, a x, a 3 x + d los tres números en PA Como (x d + x + (x + d 5 entonces x 5, así los números son: a 5 d, a 5, a d Dado que la suma de los cuadrados de los números debe ser igual a 83 entonces obtenemos la ecuación (5 d (5 + d 83; al resolver esta ecuación de segundo grado obtenemos d, d Si d, x 5 tenemos a 3, a 5, a 3 7; una PA creciente Si d, x 5 tenemos a 7, a 5, a 3 3; una PA decreciente 3 Progresión Geométrica Definición 3 Una sucesión real (a n n N se llama Progresión Geométrica, denotada PG si { a a a n+ a n r, para algún r R {0, }, n N Observación 3 a se llama primer elemento de la PG r a n+ a n se llama razón de la PG 3 Si r > entonces la PG es creciente Si 0 < r < entonces la PG es decreciente Si r < 0 entonces la PG es oscilante 4 Si a, b, c están en PG entonces b a c b, es decir, b ac Ejemplo 35 La sucesión cuyos primeros términos son, 4, 8, 6, 3, 64, es una PG, donde el primer término es a y la razón es r Si los 4 primeros términos de una PG son 3, 6,, 4 entonces el primer término es a 3 y la razón es r

26 6 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Teorema Regulatorio Teorema 3 Si (a n n N es una PG con primer elemento a y r, r 0 entonces a a n a r n, n N b a i a r n r Demostración Veamos, antes de realizar la demostración, la forma en que se producen las fórmulas propuestas a a a a a r a 3 a r (a r r a r a 4 a 3 r (a r r a r 3 b Resulta inmediato creer que a a a r n a i a + a + a a n + a n, es decir a i a + a r + a r + + a r n + a r n Si multiplicamos esta última igualdad por r obtenemos r a i a r + a r + + a r n + a r n + a r n ; al restar las dos expresiones tenemos n a i r n a i a a r n, así ( r n a i a ( r n, de donde, finalmente a i a r n r Demostremos ahora, por inducción, las formulas obtenidas a Sea P (n : a n a r n entonces, i P ( es verdadero ya que a a r ii Si P ( es verdadero, es decir si a a r debemos demostrar que a + a r Veamos esto último, a + a r (a r r a r

27 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 7 b Sea P (n : a i a r n r i P ( es verdadero ya que a i a a r r ii Si P ( es verdadero, es decir si a r i a + a i a r + r ; tenemos r debemos demostrar que + a i a i + a + a r r + a r a ( r r + r a r + r r + r a r + r Ejemplo 36 En una PG cuyos tres primeros términos son 3, 6,, determine a el quinto término, b la suma de los diez primeros términos Solución Como el primer término de la PG es a 3 y la razón es r entonces a a 5 a r b 0 a i a r 0 r 3 0 3,069 Ejemplo 37 Qué lugar ocupa el término de valor 7 4 en una PG que tiene primer elemento con valor 4 3 tal que la razón es r 3? Solución Como a n a r n entonces queremos n, tal que ( 3 n, ( 3 n ( 3 n así, n 5 y entonces el quinto término tiene valor 7 4 ( 3 4 ( 3 n,

28 8 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejemplo 38 La suma de tres números en PG es 70, si se multiplica los dos extremos por 4 y el término central por 5 entonces los nuevos números están en PA Determine los números originales Solución Si denotamos por a al primer número entonces, los otros números son ar y ar Por los datos disponibles obtenemos la ecuación a + ar + ar 70 Por otro lado, los números 4a, 5ar, 4ar quedan en PA y entonces, la ecuación que podemos deducir es 5ar 4a 4ar 5ar (ambos lados son igual a d; arreglando esta última expresión obtenemos 4ar 0ar + 4a 0 Como a 0 entonces la ecuación queda 4r 0r + 4 0, la cual tiene solución r, r Reemplazando en la primera ecuación deducida obtenemos: r a + a + 4a 70 a 0, así, los números pedidos son 0, 0, 40, r a + a + 4a 70 a 40, así, los números pedidos son 40, 0, 0 Ejemplo 39 Los recíprocos de b a, b, b c forman una Progresión Aritmética, demuestre que a, b, c están en Progresión Geométrica Solución Si b a, b, b c están en PA entonces se cumple b b a b c b, usando ésta igualdad debemos probar que b a c b, es decir, que b ac Si b b a b c b trabajando obtenemos b ac entonces b a b b(b a b (b c b a b(b c, es decir b a b+c b c, al seguir 33 Progresión Armónica Definición ( 33 Una sucesión real (a n n N se llama Progresión Armónica, denotada PH, si a n n N es una Progresión Aritmética; a n 0, n Ejemplo 30 La sucesión,, 3, 4,, n, es una PH ya que la sucesión formada por los recíprocos,, 3,, n, es una PA Ejemplo 3 Si los números x, y, z están en PH demuestre que y xz x+z Solución Si x, y, z están en PH entonces x, y, z están en PA Si x, y, z están en PA entonces y x z y de donde y x + xz z, finalmente y x+z 34 Ejercicios Propuestos Ejercicio Se sabe que los dos primeros términos de una PA son a 3 4, a 3 Determine, a a 5, b a x y c 5 a i Ejercicio Sea (a n n N una PA Si se sabe que

29 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 9 a La suma del tercer y cuarto término es igual a 43 y que la diferencia entre el octavo término con el quinto término es igual a 9 (a 8 a 5 9 Determine el primer término b La suma del cuarto término con el sexto término es igual a 8 y la suma del quinto y noveno término es igual a 9 Determine el segundo término c La diferencia d es el 40 % de a Exprese a como porcentaje de la suma de los 0 primeros términos d El primer término es, el último término es 9 y la suma es 6 Cuál es la diferencia d? e El tercer término es igual al cuádruple del primero y el sexto término tiene valor 7 Determine la progresión Ejercicio 3 Sea A { } a i / a i + (i, i n, n N a Demuestre que los elementos de A están en PA b Determine i a Ejercicio 4 Cuántos términos de la PA cuyos tres primeros términos son 6 4 5, 6 5, 6 se deben sumar para obtener 5 4 5? Ejercicio 5 La suma de tres números en PA es 39 y su producto es 84 Determine los números Ejercicio 6 La suma de 5 números en PA es 40 y la suma de sus cuadrados es 40 Determine los números Ejercicio 7 La suma de los p primeros términos de una PA es q, y la suma de los q primeros términos es p Calcule la suma de los p + q primeros términos Ejercicio 8 Sumar los n primeros términos de las siguientes PA a 3, 3 3, 4 3, b 6, 0, 34, c a b, 4a 3b, 6a 5b, d a+b 3a b, a,, e a a, 4a 3 a, 6a 5 a,

30 30 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA f +, 4, Ejercicio 9 La suma de tres números en PA es y la suma de sus cubos es 408, determine los números Ejercicio 0 Demostrar que la suma de un número impar de términos de una PA es igual al término central multiplicado por el número de términos Ejercicio Verificar que el cuadrado de las cantidades a a, a +, a + a forman una PA Ejercicio Una empresa tiene una producción de 0000 unidades en el primer año e incrementa su producción, cada año, en 00 unidades a Cuánto producirá el quinto año? b Cuál será la producción total en los primeros 5 años? Ejercicio 3 La producción de una empresa es de 5000 el primer año, luego la producción disminuye a razón de 750 por año a Cuál es la producción total en los primeros cinco años? b Cuándo la producción será nula? c Cuánto habrá producido la empresa hasta que la producción sea nula? Ejercicio 4 Una empresa A tiene una producción inicial de 000 unidades y disminuye a razón de 00 unidades por año Una empresa B tiene una producción inicial de 500 unidades (el año inicial es el mismo en ambas empresas y aumenta su producción en 5 unidades cada año a Cuándo serán iguales las producciones de A y B? b Cuándo será nula la producción de A? c Cuál será la producción de B ese mismo año? Ejercicio 5 En una PG la suma de tres términos es 4 y la suma de los extremos excede en 96 al término central Calcule los números Ejercicio 6 Sea (a n n N una PG,

31 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 3 a Si a + a 8 y a 3 + a 4 75 calcule el quinto término b Si a + a 3 30 y a 3 a 8 calcule el primer término Ejercicio 7 Sume los n primeros términos en cada una de las siguientes PG a, 3, 9, b, 5, 5, c 4,, 6, Ejercicio 8 Interpolar 5 medios geométricos entre y 40 Ejercicio 9 Si a, b, c, d están en PG demuestre que (b c + (c a + (d b (a d Ejercicio 0 Intercalar dos números reales entre y 9 4 formen una PA y los tres últimos formen una PG de modo que los tres primeros Ejercicio Sean x, y, z tres números en PA, tales que su suma es 4 Si restamos uno al primer término y dos al segundo, los nuevos números quedan en PG, determine los números originales Ejercicio Calcule la suma de todos los números impares entre 00 y 500 Ejercicio 3 Si a+b b+c, b, están en PH demuestre que a, b, c están en PG Ejercicio 4 Interpolar dos medios armónicos entre 5 y Ejercicio 5 Si y 485 son los medios geométricos y armónicos, respectivamente, entre dos números; determine estos números Ejercicio 6 La suma de los 50 primeros términos de una PA es 00 y la suma de los siguientes 50 términos es 700 Determine el primer término y la diferencia Ejercicio 7 Si a, b, c están en PA, demuestre que (c + b, (a + c y (b + a están en PH Ejercicio 8 La suma de los 6 primeros términos de una PG es 9 veces la suma de los 3 primeros términos Determine la razón

32 3 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA 4 ANALISIS COMBINATORIO Podemos considerar el análisis combinatorio como el conjunto de procedimientos y técnicas que nos permite determinar el número de subconjuntos que pueden formarse a partir de un conjunto dado, de acuerdo a ciertas instrucciones Estas deben indicar claramente como se diferencian dos subconjuntos entre si, de acuerdo a: la naturaleza de los elementos, el orden de los elementos Realizaremos el análisis combinatorio sin repetición, es decir, cada elemento debe aparecer una única vez en cada subconjunto 4 Principio del Análisis Combinatorio Si un evento, hecho o suceso se realiza de n formas distintas y otro evento, independiente del anterior, se realiza de r formas distintas entonces, los dos eventos se realizan, conjuntamente, de nr formas distintas Observación 4 Al Principio del Análisis Combinatorio también se le llama Principio Multiplicativo Ejemplo 4 Si entre dos ciudades A y B existe una línea de buses que las une y que dispone de 0 máquinas en uso De cuántas maneras una persona puede ir de A a B y volver en un bus distinto? Solución Como ir de A a B se puede realizar de 0 maneras distintas y volver de B a A de puede hacer de 9 otras formas distintas entonces, realizar el viaje completo, en las condiciones planteadas, se realiza de maneras 4 Factorial de un Número Definición 4 Sea n N {0} Definimos el factorial de n, denotado n!, que se lee factorial de n como { si n 0 n! n (n! si n Ejemplo 4 4! 4 3! 4 3! 4 3! Observación 4 Es inmediato notar que n! n(n (n 3

33 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 33 Ejemplo 43 Determine x! (x! Solución x! (x! x(x (x! (x! x(x Ejemplo 44 Solucione la ecuación (x!+(x+! x! (x! 3 Solución (x! + (x +! x! (x! 3 (x! + (x + x(x! 3 x(x! (x! (x![ + x(x + ] 3 (x!(x + x(x + 3 x x { x x x 7 x Naturalmente que la solución es x 43 Variaciones Sea A un conjunto con n elementos, llamamos variación de orden, n, a todo subconjunto ordenado de A que tenga elementos Observación 43 Dos variaciones de orden son diferentes si tienen al menos un elemento distinto o si teniendo los mismos elementos, estos están en distinto orden El número total de variaciones de orden que se puede formar, seleccionado los elementos de un conjunto que tiene n elementos se denota V (n, o V n Proposición 4 El número de variaciones V (n, es V (n, n! (n! Demostración El primer lugar de la -upla se puede llenar de n formas distintas El segundo lugar de la -upla se puede llenar de n formas distintas El tercer lugar de la -upla se puede llenar de n formas distintas El -ésimo lugar de la -upla se puede llenar de n ( formas distintas

34 34 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Usando el Principio Multiplicativo, llenar los lugares de la -upla se puede realizar de n (n (n (n ( formas, ahora, (n (n 3 V (n, n (n (n (n ( (n (n 3 n (n (n ( (n (n 3 (n (n 3 n! (n! Ejemplo 45 Cuántas palabras de 3 letras se puede formar usando las letras a, b, c, d? Solución Como el orden de las letras en cada palabra interesa entonces estamos frente a variaciones y la respuesta es: V (4, 3 4! (4 3! 4 Ejemplo 46 Cuántas señales diferentes se puede formar, si disponemos de 6 banderas de colores diferentes las cuales se colocan en un mástil, una tras otra, si se puede usar cualquier número de ellas a la vez? Solución Como el orden de las banderas en el mástil es importante entonces el problema es de variaciones y la respuesta es 6 V (6, 44 Permutaciones Una permutación de orden n es toda variación de orden n Observación 44 Dos permutaciones de orden n tienen los mismos elementos y son diferentes sólo por el distinto orden que presentan los elementos Al número total de permutaciones de orden lo denotamos P n Proposición 4 El número de permutaciones de orden n es P n n! Demostración P n V (n, n n! (n n! n! Ejemplo 47 De cuántas maneras se puede ordenar 6 libros en un estante? Solución De P 6 6! 70 formas distintas Si de estos libros, 3 de ellos forman una colección y por lo tanto van juntos, el número total de distribuirlos es ahora P 4 4! 4 maneras

35 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO Combinaciones Sea A un conjunto que tiene n elementos, llamamos combinación de orden, n, a todo subconjunto de A formado por elementos Observación 45 Dos combinaciones de orden son diferentes sólo si tienen al menos un elemento diferente, dado que el orden de los elementos no interesa Al número total de combinaciones de orden lo denotamos C(n, o también por ( n Proposición 43 C(n, n!!(n! Demostración Como cada variación de orden genera! variaciones de orden entonces!c(n, V (n,, de donde C(n, V (n,! n!!(n! Ejemplo 48 Si una prueba contiene 7 preguntas y el alumno debe responder sólo 4 de ellas Cuántas posibles tipos de pruebas espera como respuesta el corrector? Solución ( Como el orden de las respuestas no interesa, el número pedido es C(7, Ejemplo 49 En un grupo de 5 muchachos y 0 niñas, de cuántas maneras puede formarse un grupo compuesto por 3 muchachos y niñas? Solución Como al formar el grupo no interesa el orden entonces, los 3 muchachos pueden seleccionarse entre los 5 disponibles de C(5, 3 formas, por otro lado las niñas pueden seleccionarse de entre las 0 niñas de C(0, Usando el Principio Multiplicativo concluimos que, el grupo puede formarse de C(5, 3 C(0, 0,475 maneras Observación 46 Se cumple: ( n a, n N {0} n ( n b, n N {0} 0 ( n c n, n N n ( ( n n d, n, N {0}, < n n

36 36 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA e ( n + Demostración ( n + ( n + +, n, N {0}, < n e ( ( n n + + n!!(n! + n! ( +!(n! ( + n! + (n n! ( +!(n! n![ + + n ] ( +!(n! (n + n! ( +!(n! (n +! ( +!(n! ( n + + Ejemplo 40 Compruebe que ( n + + ( n ( n + + ( n Solución Usando la última afirmación tenemos ( ( ( n + n + n ( n ( n ( n Ejercicios Propuestos Ejercicio Existen 3 caminos para ir de las ciudad X a la ciudad Y, y caminos para ir de la ciudad Y a la ciudad Z Cuántas rutas distintas puede realizar una persona para ir desde X a Z? Resp 6 rutas Ejercicio Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos,, 3, 4? Cuántos de tales números son menores que 3000? Resp números son menores que 3000

37 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 37 Ejercicio 3 Cuántas señales puede mostrar un barco que dispone de 7 banderas, si cada señal consiste de 5 banderas colocadas verticalmente en un asta? Resp 500 señales Ejercicio 4 De cuántas maneras pueden ubicarse 9 estudiantes en 3 habitaciones donde cupen 3 estudiantes en cada una? Resp 680 Ejercicio 5 Cuántas palabras que contengan 3 consonantes y vocales se pueden formar con 6 consonantes y 4 vocales? Resp 4400 Ejercicio 6 En una reunión hay 6 estudiantes y 4 profesores, a Cuántas comisiones de 5 personas cada una pueden formarse si en cada una de ellas deben participar profesores? Resp 3360 b Cuántas comisiones de 5 personas cada una pueden formarse si en cada una de ellas participan a lo más profesores? Ejercicio 7 De un naipe de 5 cartas se extraen, al azar, 3 de ellas Determine, a El numero de grupos que se puede formar Resp ( 5 3 b El número de maneras de extraer un as Resp ( 4 ( 48 c El número de maneras de extraer al menos un as Ejercicio 8 Si 4 personas entran a un cine en el cual hay 7 lugares vacíos, de cuántas maneras diferentes se pueden sentar? Resp 840 Ejercicio 9 Simplifique a b (n +! + n! (n +! n! ( n+ + ( n ( 3n c ( 4n 3n n( n n d (n+! (n! n!

38 38 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio 0 Resuelva las siguientes ecuaciones a b ( x x ( x x ( x ( 4 x ( 3 x ( 4 + x 3 3 Resp x Resp x 6 35 c (x! x!(x! (x!(x +! (x! 3 Resp x 6 35 Ejercicio Verifique que n! (n!(n n! + (n! Ejercicio Verifique si se cumple ( ( ( n n n + + ( n + Ejercicio 3 Verifique que, ( ( ( ( n + n + n + n ( n TEOREMA DEL BINOMIO 5 Teorema y Propiedades Teorema 5 Sean a, b R, n N, entonces (a + b n Demostración Sea P (n : (a + b n 0 0 ( n a n b ( n a n b a P ( es verdadero ya que (a + b 0 ( a b, esto último dado que 0 ( a b ( a 0 b ( a b a + b

39 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 39 b Si P (r es verdadero, es decir, si (a + b r r ( r 0 a r b debemos demostrar que (a + b r+ r+ 0 a r+ b Veámoslo, ( r+ (a + b r+ (a + b r (a + b ( r ( r a r b (a + b 0 [( ( ( r r r a r + a r b + + a r ( b 0 ( ] r + + b r (a + b r ( ( ( ( r r r r a r+ + a r b + + a r + b + + ab r 0 r ( ( ( ( r r r r a r b + a r b + + a r + b r ( [( ( ] [( ( ] r r r r r a r+ + + a r b ab r 0 0 r r ( r + b r+ r ( ( ( ( r + r + r + r + a r+ + a r b + + ab r + b r+ 0 r r + (a + b r+ b r+ Observación 5 Desarrollando la sumatoria obtenemos, (a + b n ( n a n b 0 ( ( ( n n n a n + a n b + + a n ( b 0 ( ( n n + + a n (n b n + b n n n es decir, en el desarrollo de (a + b n obtenemos (n + términos El término de lugar, denotado t, es ( n t a n ( b, o quizás más fácil, el ( + -ésimo término es t + ( n a n b

40 40 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejemplo 5 Desarrolle (a + b 4 Solución (a + b 4 4 ( 4 (a 4 b 0 ( 4 (a ( 4 (a 3 b + ( 4 (a b + ( 4 (ab a a 3 b + 6 4a b + 4 a b 3 + b 4 6a 4 + 3a 3 b + 4a b + 8ab 3 + b 4 Observe que el coeficiente de ab 3 es 8 ( 4 Ejemplo 5 En x determine a el quinto término, b el(los término(s central(es Solución a t 5 ( ( x 4 00 x x8 ( 4 b 4 4 b Si el exponente del binomio es un número par, entonces existe un único término central, así, si n es par, entonces el término central es t n + ; el término pedido es ( 4 t 8 ( 7 x 7 ( x4 Ejemplo 53 Determine el coeficiente de x 8 (si existe, en el desarrollo de ( x + 3 x 5 Solución Supongamos que x 8 t t+ ( 5 (x 5 ( 3, x entonces x 8 ( 5 x 30 3 x ( 5 3 x 30 3 Esto nos indica que x 8 x 30 3, de donde , así, 4 Deducimos que el coeficiente de x 8 es ( Ejemplo 54 Determine el coeficiente de x 0 (si existe, en ( + x + 3x ( + x

41 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 4 Solución ( + x + 3x ( + x ( + x + x( + x + 3x ( + x Como ( ( ( + x x x, 0 0 concluimos que el coeficiente de x 0 es ( 0 ; el coeficiente de x 9 es ( 9 y que el coeficiente de x 8 es ( 8, así, el coeficiente de x 0 en el desarrollo de ( + x + 3x ( + x es ( ( ( Ejemplo 55 Determine el coeficiente de x 6 en ( + x + x 0, x R + {} Solución Como ( + x + x 0 [ ( + x + x ] ( 0 ( + x 0 (x ( p0 ( p x p ( x p ( 0 p0 ( 0 p 0 p x p+, entonces se debe cumplir que p + 6 Las posibilidades son ( 0 p 6 ( p 4 ( p ( 3 p 0, así, el coeficiente de x 6 es ( 0 0 ( ( 0 ( ( 0 ( ( 0 3 ( Ejercicios Propuestos ( 6 Ejercicio Determine el sexto término en el desarrollo de a 3 ( x Ejercicio Determine el sexto término en el desarrollo de x 8 3

42 4 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA Ejercicio 3 Determine el coeficiente de x 8 (si existe en el desarrollo de Ejercicio 4 Calcule el coeficiente numérico del término central de ( x + 3 x 5 ( 3s 9 t 8 Ejercicio 5 Es cierto que el coeficiente de x 6 en ( x + x 0 es 3360? ( Ejercicio 6 Determine el coeficiente de x en 9x 3 3 x Ejercicio 7 Determine el coeficiente de x 4 en ( + x( x n Ejercicio 8 Determine el coeficiente de x n en ( x + x ( + x n Ejercicio 9 Determine el coeficiente de x 5 en ( + x + x 0 Ejercicio 0 Demuestre que 0 ( n n Ejercicio En (3x+ 9 existen dos términos consecutivos con coeficientes iguales? Ejercicio Determine el coeficiente de x 5 en ( x + x ( Ejercicio 3 Existe n N para que el cuarto término de x + 3n x y (x + x 3n sean iguales? Ejercicio 4 En ( x + n+ determine a El(los termino(s central(es b El coeficiente de x 0 ( a 4 4 Ejercicio 5 En b + b a 7 determine (si existen a el séptimo término, b el coeficiente de ab Ejercicio 6 Determine (x + h4 x 4 Qué pasa si h es muy pequeño? h Ejercicio 7 En el desarrollo de (3x + 9, existirán dos términos consecutivos con coeficientes iguales? Ejercicio 8 Pruebe que los coeficientes de x y x 3 en el desarrollo de (x + x + n son, respectivamente n n y 3 n(n n

43 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 43 Ejercicio 9 Determine el coeficiente de x, x R+ {} en el desarrollo de ( + x n ( + x n Ejercicio 0 Determine el coeficiente de x 4, en el desarrollo de a ( x( + x 5 b ( + x( x n Ejercicio Considere p, q R + tal que p + q y P ( 0,,, n Demuestre que, a b P ( np 0 ( np P ( npq 0 ( n p q n, 6 EJERCICIOS DIVERSOS COMPLEMENTARIOS - NATURALES Ejercicio Calcule n! Solución! [( + ]! [( +!!] [( +!!], notamos que estamos en condición de aplicar la propiedad telescópica de las sumatorias, obtenemos (n +!!, así,! (n +! Ejercicio Demuestre que n! (n +! se cumple en todo N Solución Sea P (n :! (n +! Debemos demostrar: a P ( es V y b Si P (r es V entonces P (r + es V

44 44 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA a P ( es verdadero ya que!! ( +!! b Si P (r es verdadero, es decir, si r! (r +! Veámoslo, r+ r+! (r +!! (r +!, debemos demostrar que r! + r+ r+! (r +! + (r + (r +! (r +!( + r + (r +! ( n Ejercicio 3 Calcule ln e Solución ( n ln e ln(e e e 3 e n ln(e + ln(e + ln(e ln(e n n n(n + Ejercicio 4 Demuestre que 3 4n+ + 5 n+ es divisible por 4 para todo natural n Solución Sea P (n : 3 4n+ + 5 n+ 4r para algún r Z a P ( es verdadero ya que b Si P ( es verdadero, es decir, si r, para algún r Z, debemos demostrar que 3 4( (++ 4s, para algún s Z Veámoslo, 3 4( ( donde s 8r Z ( r (3 4 r s,

45 HERALDO GONZÁLEZ SERRANO 45 Ejercicio 5 Calcule ( ( ( ( Solución Denotemos por S a la suma propuesta, entonces, en realidad es cuestión de escribir la suma propuesta con los símbolos ya estudiados, tenemos: S 00 i i ( Ejercicio 6 Calcule 0 Solución ( 4 4 ( 4 ( 4 ( ( 0 ( ( 4 ( 4 La primera sumatoria corresponde a la suma de los primeros 0 términos de una Progresión Geométrica con primer término con valor ( y razón en tanto que la segunda sumatoria corresponde a la suma de los primeros 0 términos de una Progresión geométrica con primer término con valor y razón 4 Usted puede calcular estas sumas con aplicación de la fórmula r n a i a r

46 46 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA 7 EJERCICIOS PROPUESTOS COMPLEMENTARIOS ( n Ejercicio Calcule log n log( Ejercicio Calcule 00 Ejercicio 3 Demuestre que Ejercicio 4 Calcule Resp n(n+ n log(n! 3 9 Indicación: Separe y llege a dos PG n p (p + p! n(n +! se cumple para todo natural ( + Indicación: Sume y reste alguna expresión adecuada para usar la propiedad telescópica Resp n + + n + Ejercicio 5 Calcule 00 [ ( + 3 ] 4 + Ejercicio 6 Calcule n (+! Resp (n+! Ejercicio 7 Muestre que la suma de los n primeros naturales más n es igual a la suma de los siguientes n naturales Resp La suma común es n(3n+ Ejercicio 8 Determine x R para que x, x 6, x 8 estén en Progresión Armónica Resp x Ejercicio 9 Demuestre que ( ( 4 9 Ejercicio 0 Si determine 50 a ( 6 Ejercicio Demuestre que n n ( n a (+5( ( i+ ( n+ 3 n +, n N, n n se cumple para todo valor del natural Ejercicio Usando la propiedad telescópica determine una fórmula para las siguientes sumas a Resp (n n+ + b 3 Resp (n 3n + 4 Ejercicio 3 Demuestre que n ii (n n+ + se cumple para todo valor de n en los naturales