2.1. Término general Progresión aritmética. 2. Progresiones aritméticas y geométricas

Transcripción

1 Progresiones aritméticas y geométricas 1. Progresiones aritméticas y geométricas Una lista de números que sigue algún tipo de regla o patrón es llamada sucesión. A cada número de la sucesión se le llama término. Por ejemplo, 3, 7, 11, 15,... es una sucesión. El primer término es 3, el segundo es 7, etc. Podemos describirla de varios modos: Con palabras que la describan con precisión : la sucesión comienza en 3 y cada término se obtiene del anterior sumando 4 Usando una fórmula que la determine, por ejemplo: u n = 4n 1, n = 1,, 3,... ( la fórmula u n es llamada término general de la sucesión). Dando términos: 3, 7, 11, 15,... Dando una fórmula de recurrencia, por ejemplo como el la famosa sucesión de Fibonacci (búscalo en la red): a 1 = 1, a = 1, a n = a n +a n 1 para n Z +, n 3.1. Término general Así llamamos a una fórmula T n, t n, a n, u n, etc que puede usarse para ir obteniendo la sucesión al ir dando valores a n = 1,, 3, 4, 5,... (u n ) o {u n } representa a la sucesión completa, y u n al término general y al término n-ésimo, es decir, al que ocupa el lugar n. Por ejemplo {n+1} genera la sucesión 3, 5, 7, 9,... 1). Da los primeros cinco términos en las sucesiones: a) {n} e) {3n} i) {4n+3} m) { n } b) {n+7} f) {3n 1} j) {5n } n) {3 n 1 } c) {n 3} g) {3n+4} k) {6n+4} ñ) {5 n 1 } d) {n+11} h) {3n+7} l) {10n+1} o) {( ) n } ). Da los primeros términos de {15 ( ) n }.. Progresión aritmética {u n } progresión aritmética u n+1 u n = d para todo n entero positivo, siendo d constante (d es llamada diferencia precisamente por ser la diferencia constante entre cada término y el anterior). En una progresión aritmética (P.A.) u n+1 = u n +d, es decir, cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad constante d llamada diferencia.

2 c rafaselecciones Actividad: Demuestra que si tres números a, b, c están en progresión aritmética, b es la media aritmética de a y b. (posiblemente por esta razón se les llama aritméticas). Si consideramos una P.A. que comienza por u 1 y tiene diferencia d, vamos obteniendo: u 1 u = u 1 +d u 3 = u 1 +d u 4 = u 1 +3d... u n = u 1 +(n 1)d Eltérminogeneraldeunaprogresiónaritméticadeprimertérminou 1 ydiferenciades u n = u 1 +(n 1)d 3). Considera la sucesión, 9, 16, 3, 30,... a) Prueba que es aritmética. b) Encuentra el término 5-ésimo. Sol.: u 5 = 170 c) Da el término general u n Sol.: u n = 7n 5 d) Está 88 en la sucesión? Y 341? Sol.: u 119 = no está 4). Considera la sucesión 6, 17, 8, 39, 50,... a) Prueba que es aritmética. b) Encuentra el término 50-ésimo. Sol.: u 50 = 545 c) Da el término general u n Sol.: u n = 11n 5 d) Está 761 en la sucesión? Y 35? Sol.: No Sí, es u 30 5). Considera la sucesión 87, 83, 79, 75,... a) Prueba que es aritmética. b) Encuentra el término 40-ésimo. Sol.: u 40 = 69 c) Da el término general u n Sol.: u n = 91 4n d) Está 143 en la sucesión? Sol.: No 6). Considera la sucesión definida por u n = 3n a) Demuestra que es aritmética (has de comprobar que u n+1 u n es constante). b) Encuentra u 1 y d. Sol.: u 1 = 1 d = 3 c) Halla el término 57-ésimo. Sol.: u 57 = 169 d) A partir de qué término la sucesión supera al número 450? Sol.: A partir de u 151 7). Considera la sucesión dada por el término general u n = 71 7n a) Prueba que es aritmética. b) Halla u 1 y d. Sol.: u 1 = 3 d = 7 c) Halla u 75 Sol.: u 75 = 7

3 Progresiones aritméticas y geométricas 3 d) A partir de qué término la sucesión es menor que 00? Sol.: para n 68 8). Halla k si sabemos que 3k +1, k, y 3 están en progresión aritmética. Sol.: k = 9). Idem con: a) 3, k, 3 b) k +1, k +1, 13 c) 5, k, k 8 Sol.: k = 35 k = 4 k = 1 o k = 3 10). Encuentra u n en una P.A. si u 3 = 8 y u 8 = 17 Sol.: u n = 3 5n 11). Idem, si u 7 = 41 y u 13 = 77 Sol.: u n = 6n 1 1). Inserta cuatro números entre 3 y 1 de modo que los seis formen una progresión aritmética. Sol.: 3, 4,8, 6,6, 8,4, 10,, 1 13). Inserta tres números entre 5 y 10 de modo que los cinco formen una progresión aritmética. Sol.: 5, 5, 15, 17, 10 14). Inserta seis números entre -1 y 3 de modo que los ocho formen una progresión aritmética. Sol.: 1, 6 7, 59,..., ). Una progresiónaritmética comienza 3, 36, 49, 6,... a partir de qué término la progresiónexcede a ? Sol.: A partir del 770-ésimo.3. Progresión geométrica Una sucesión se dice que es una progresión geométrica si cada término se obtiene del anterior al multiplicarle un factor constante (llamado razón de la progresión). Por ejemplo:, 10, 50, 50,... es geométrica de razón r = 5 Observa cómo 10 = = 50 = 5, o sea, el cociente entre cada término y el anterior es constante. 50 {u n } es geométrica u n+1 u n = r para todo entero positivo n, donde r es constante (razón común) Actividad: Demuestra que si tres números a, b, c están en progresión geométrica, b es ± la media geométrica de a y b (por esta razón se les llama geométricas). En una P.G. {u n } de primer término u 1 y razón r tendremos: u = u 1 r u 3 = u 1 r u 4 = u 1 r 3 etc. y por tanto u n = u 1 r n 1 Así el término general en una progresión geométrica de primer término u 1 y razón r será: u n = u 1 r n 1

4 4 c rafaselecciones 16). Sea la sucesión 8, 4,, 1, 1,... a) Prueba que es geométrica. Sol.: 4 8 = 4 = 1 = 1 1 b) Encuentra el término 1-ésimo. Sol.: 1 56 c) Da el término general u n Sol.: u n = 4 n 17). En las siguientes progresiones geométricas encuentra b y c: a), 6, b, c,... Sol.: b = 18 c = 54 b) 10, 5, b, c,... Sol.: b =,5 c = 1,5 c) 1, 6, b, c,... Sol.: b = 3 c = 1,5 18). Prueba que 5, 10, 0, 40,... es geométrica. Encuentra u n y el término 15-ésimo. Sol.: u n = 5 n 1 u 15 = ). Prueba que 1, 6, 3, 1,5,... es geométrica. Da u n y el término 13-ésimo (como fracción). Sol.: u n = 1 ( 1 ) n 1 u 13 = ). Prueba que 8, 4, 4,,... es geométrica y expresa su término general u n de la forma más ( ) n 1 sencilla. Sol.: u n = = ( ) n 1 = n 1 1). k 1, k y 1 ksontérminosconsecutivosdeunaprogresióngeométrica.hallak. Sol.: k = 7 5 o k = 3 ). Idem con: a) 7, k, 8 b) k, 3k, 0 k c) k, k +8, 9k Sol.: k = ±14 k = k = o 4 3). En una progresión geométrica u = 6 y u 5 = 16. Encuentra u n. Sol.: u n = ( 3) n 1 4). Encuentra u n en las progresiones geométricas que cumplen: a) u 4 = 4 y u 7 = 19 b) u 3 = 8 y u 6 = 1 c) u 7 = 4 y u 15 = 384 d) u 3 = 5 y u 7 = 5 4 ( Sol.: u n = 3 n 1 u n = 3 ( 1 n 1 ) n 1 ) n 1 ) 1 n ) u n = 3 u n = 10 (1 = 10 ( 5). Usa tu calculadora gráfica para encontrar a partir de qué término la sucesión 6, 6, 1, 1,... excede al número (También puedes usar logaritmos). Sol.: El primero es u 17 = ). Usa tu calculadoragráficapara encontrarapartir de quétérmino la sucesión, 6, 18, 54,... excede al número (También puedes usar logaritmos). Sol.: El primero es u 9 = 131

5 Progresiones aritméticas y geométricas 5 7). Usa tu calculadora gráfica para encontrar a partir de qué término la sucesión 4, 4 3, 1, 1 3,... excede al número (También puedes usar logaritmos). Sol.: El primero es u ,66 8). Usa tu calculadora gráfica para encontrar a partir de qué término la sucesión 1, 6, 3, 1,5,... es menor que 0,0001. (También puedes usar logaritmos). Sol.: El primero es u 18 0, Interés compuesto Considera que inviertes 1000e en el banco. Dejas el dinero 3 años. Te son pagados intereses a razón del 10% anual. Después del primer año tienes ,1 = 1100e a los dos años a los tres años , ,1 = ,1 1,1 = ,1 1,1 = ,1 = 110e = ,1 3 Así, el dinero acumulado después de n años será ,1 n e u 1 =1000e = inversión inicial u =u 1 1,1 = dinero acumulado tras el primer año u 3 =u 1 1,1 = dinero acumulado tras el segundo año u 4 =u 1 1,1 3 = dinero acumulado tras el tercer año. u n+1 =u 1 1,1 n = dinero acumulado tras n años Y con esta última expresión resolvemos problemas sobre interés compuesto. 9). Siinvertimos5000e durante4añosal7%anual cuántoacumulamosenesos4años? Sol.: e 30). En cuánto se transforman 3000 e puestos al 10% de interés compuesto durante 3 años? qué parte son intereses? Sol.: 3993 e 31). En cuánto se transforman e puestos al 8% anual durante 5 años si los períodos de capitalización son semestrales? Sol.: e 3). En cuánto se transforman 45000e puestos al 7.5% de interés anual durante 1 meses si el período de capitalización es trimestral? Sol.: e 33). Qué capital debemos invertir si queremos que se convierta en 10000e en 4 años, invertido al 8.5% de interés compuesto anualmente? Sol.: e 34). Qué inversión inicial se requiere para obtener e en 60 meses a un interés del 5.5% anual? Sol.: e 35). Qué inversión inicial se requiere para obtener 40000e en 8 años a un interés del 9% anual, si los períodos de capitalización son mensuales? Sol.: e

6 6 c rafaselecciones 36). Lapoblacióninicialdeconejosenunagranjaesde50animales,ycreceun7%cadasemana. Cuántos conejos habrá después de 15 semanas? y después de 30 semanas? cuántas semanas deben pasar para alcanzar una población de 500 conejos? Sol.: 138 conejos 381 conejos semanas 37). El animal Eraticus es una especie en extinción. En 1985 quedaba sólo una colonia y tenía 555 miembros. Desde entonces ha decrecido su número un 4.5% por año. Cuál era la población en el año 000? Qué año su población bajará a 50 miembros? Sol.: Series Se llama Serie a una suma de términos de una sucesión, o sea u 1 +u +u u n es una serie. S n = u 1 +u +u u n es la suma de los primeros n términos. Nota importante: Observa cómo, a partir de las sumas S n, podemos obtener la sucesión: S n S n 1 = (u 1 + u +u u n 1 + u n ) (u 1 + u + u u n 1 ) = u n, pues los demás términos desaparecen. 38). Considera la sucesión 1, 4, 9, 16, 5,... a) Da una expresión para S n Sol.: S n = n b) Calcula S n para n = 1,, 3, 4 y 5 Sol.: S 1 = 1 S = 5 S 3 = 14 S 4 = 30 S 5 = 55 39). Para las siguientes sucesiones da una expresión para S n y calcula S 5 a) 3, 11, 19, 7,... Sol.: S n = (8n 5) S 5 = 95 b) 4, 37, 3, 7,... Sol.: S n = (47 5n) S 5 = 160 c) 1, 6, 3, 3,... Sol.: Sn = d), 3, 9, 7 4,... Sol.: Sn = e) 1, 1, 1 4, 1 8,... Sol.: Sn = ( (1 ) n 1 S 5 = 93 4 ) n (3 S 5 = 11 8 ) n 1 = 1 n S 5 = f) 1, 8, 7, 64,... Sol.: S n = n 3 S 5 = Series aritméticas Se llama así a las series que suman términos de una progresión aritmética. Así, como 3, 5, 7, 9,...,31 están en progresión aritmética, la suma se llama serie aritmética. Observa que la suma si la efectúo dos veces con astucia:

7 Progresiones aritméticas y geométricas es muy fácil de calcular. Vamos a usar ese truco para una progresión aritmética cualquiera: Si consideramos una progresión aritmética con primer término u 1 y diferencia d, es decir: u 1, u 1 +d, u 1 +d, u 1 +3d,..., u 1 +(n )d, u 1 +(n 1)d que, si lo piensas bien, también podemos poner justo al revés en la forma u n, u n d, u n d,..., u 1 + d, u 1 + d, u 1, pues lo mismo da ir añadiendo diferencias por abajo, que quitarlas por arriba. Ahora calculamos S n en orden ascendente o en orden descendente y efectuamos la suma S n +S n = S n, me explico: S n = u 1 +(u 1 +d)+(u 1 +d)+... +(u n d)+(u n d)+u n S n = u n +(u n d)+(u n d)+... +(u 1 +d)+(u 1 +d)+u 1 Y al sumar encontramos todos los fragmentos iguales pues las d van desapareciendo todas: S n = (u 1 +u n )+(u 1 +u n )+(u 1 +u n )+... +(u 1 +u n )+(u 1 +u n )+(u 1 +u n ) Así S n = n(u 1 +u n ) y por tanto S n = n(u 1 +u n ) 40). Calcula la suma de los 50 primeros términos en Sol.: S 50 = ). Calcula la suma de los 40 primeros términos en Sol.: S 40 = ). Calcula la suma de los 50 primeros términos en Sol.: S 50 = ). Calcula Sol.: S = ). Calcula Sol.: S 33 = ). Calcula ( 0) Sol.: S 141 = ). Calcula Sol.: S 31 = 81 47). Encuentra la suma de los múltiplos de 7 que hay entre 0 y Sol.: S 14 = ). Encuentra la suma de los enteros n, 1 n 100 que no son divisibles por 3. Sol.: ). Demuestra de dos formas que la suma de los enteros positivos de 1 a n es n(n+1) n 50). Considera la serie a) Cuál es el n-ésimo sumando? (te piden u n ). Sol.: u n = n 1

8 8 c rafaselecciones b) Qué vale la suma de los primeros n sumandos? (S n ). Sol.: S n = n c) Comprueba la validez de tu respuesta con S 1, S, S 3 y S 4 51). Encuentra los dos primeros términos de una progresión aritmética cuyo sexto término es 1 y la suma de los primeros diecisiete es 0. Sol.: u 1 = 56 y u = 49 5). La suma de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 1, y su producto 80. Encuéntralos. Sol.:, 4, 10 o 10, 4, 53). Cinco términos consecutivos de una progresión aritmética suman 40. El producto del término central y los dos extremos es 4. Encuentra los términos. Sol.:, 5, 8, 11, 14 o 14, 11, 8, 5,.4.. Series geométricas Se llama así a las series que suman términos de una progresión geométrica. Así, como 1,, 4, 8, 16,...,104 están en progresión geométrica, la suma se llama serie geométrica. Observa que si a la suma S = la multiplico por y hago resta S S: S = S = S S = todos los demás desaparecen S = 047 Esto es lo que vamos a hacer para deducir una fórmula para la suma S n de un serie geométrica: Si consideramos una progresión geométrica con primer término u 1 y razón r, tendremos: S n = u 1 +u 1 r +u 1 r +u 1 r u 1 r n +u 1 r n 1 y si multiplicamos por r subiremos el grado del exponente en cada potencia de r. Después haremos rs n S n y..., veamos: rs n = u 1 r+u 1 r +u 1 r 3 +u 1 r u 1 r n +u 1 r n 1 +u 1 r n S n = u 1 +u 1 r+u 1 r +u 1 r 3 +u 1 r u 1 r n +u 1 r n 1 rs S = u 1 r n u 1 todos los demás desaparecen y despejamos S n (r 1)S n = u 1 r n u 1 S n = u 1r n u 1 r 1 o S n = u 1(r n 1) r 1 o S n = u nr u 1 r 1 pues de las tres formas es frecuente que aparezca. Yo prefiero S n = u 1(r n 1) r 1 54). Suma 1 términos de la serie Sol.: S n = ). Suma 10 términos de la serie ,5+... Sol.: S ). Suma 1 términos de la serie Sol.: S ). Suma 15 términos de la serie Sol.: S 15 4

9 Progresiones aritméticas y geométricas 9 58). Suma 0 términos de la serie Sol.: S 0 0,585 59). Encuentra una fórmula para S n en la serie Sol.: Sn = 7 4 ( ( ) 1 1 n ) 3 60). Encuentra una fórmula para S n en la serie Sol.: S n = 3+ 3 (( 3 ) n 1 ) 61). Encuentra una fórmula para S n en la serie Sol.: Sn = 4( 1 ( ) 1 n ) 6). Encuentra una fórmula para S n en la serie 0,9+0,09+0,009+0, Sol.: S n = 1 (0,1) n 63). Encuentra una fórmula para S n en la serie Sol.: Sn = 40 3 ( ( ) 1 1 n ) 64). Cada 31 de diciembre ingreso en mi cuenta (al 6% anual con períodos de capitalización anuales), 000e. Los saldos a 1 de enero son entonces: A 0 =000 A 1 =A 0 1, A =A 1 1, etc. a) Prueba que A = , ,06 b) Prueba que A 3 = 000 [ 1+1,06+1,06 +1,06 3] c) Calcula tu saldo después de 10 años (no hay gastos en la cuenta). Sol.: 6361,59 e 65). Dejo caer una pelota que tarda un segundo en tocar el suelo. En el segundo bote tarda en volver a botar un 90% de lo que tardó en el primero, y así siempre el 90% de tiempo que en el bote anterior. a) Muestra, que el tiempo que transcurrehasta que la pelota se para se puede expresaren la forma 1+ 0,9+ 0,9 + 0, b) Encuentra S n para la serie anterior. Sol.: S n = 1+18 ( 1 0,9 n 1) c) Cuánto tiempo tarda la pelota en pararse? Sol.: 19 segundos.4.3. Suma de los infinitos términos de una serie geométrica Algunas veces es necesario considerar S n = u 1(1 r n ) 1 r Qué pasa entonces con S n? para valores muy grandes de n. Si 1 < r < 1, o lo que es lo mismo, si r < 1 se cumple que r n se aproxima muchísimo a 0, tanto que se puede despreciar. u 1 En estos casos queda S n en la forma y decimos que la serie converge y que su suma infinita es 1 r S = u 1 1 r para r < 1 Actividad: Piensaenlasumainfinita yrepresentasustérminoscomoáreasderectángulos dentro de un cuadrado de lado 1. Intuitivamente, qué vale la suma?

10 10 c rafaselecciones 66). Usa series geométricas para expresar 0, 7 como una fracción. Repite con 0, 3, 0, 16, y 0, 31 67). Desarrolla los sumatorios y calculas las sumas: a) 4 (3r 5) Sol.: 10 c) 7 r(r +1) Sol.: 168 b) 5 (11 r) Sol.: 5 d) 5 10 i 1 Sol.: 310 i=1 68). Calcula las sumas: a) 10 (r + 5) Sol.: 160 b) 15 (r 50) Sol.: 630 c) 0 r+3 Sol.: ). Calcula las sumas: a) 10 3 r 1 Sol.: 3069 b) 1 ( ) r 1 Sol.: 3,999 c) 5 6 ( ) r ). Calcula las sumas: a) 5 k(k +1)(k +) Sol.: 40 b) k= , k 3 Sol.: 31,87 k=6 71). (*) Encuentra n si: a) n (r+3) = 1517 Sol.: n = 37 b) n 3 r 1 = Sol.: n = Problemas variados: 7). (*) Un equipo informático vale hoy 795 e y se deprecia un % al mes. Cuánto tiempo pasará para que su precio baje a los 500e? Sol.: 86 meses 73). En una progresión geométrica el segundo término es 6 y la suma de los tres primeros es 14. Encuentra el cuarto. Sol.: u 4 = 3 o u 4 = 54 74). Una pelota cae verticalmente al suelo botando en cada bote un 75% que el bote anterior. Si ha recorrido en total hasta pararse 490 cm, desde qué altura cayó en el primer bote? 75). Halla x si Sol.: 70 cm ( ) r 1 3x = 4 Sol.: x = 1 76). La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es n(3n+11) Encuentra los dos primeros términos y el vigésimo. Sol.: u 1 = 7 u = 10 u 0 = 64

11 Progresiones aritméticas y geométricas 11 77). Una sucesión está definida por u n = 68 5n a) Prueba que es aritmética. Halla u 1, d y u 37 Sol.: u 1 = 63 d = 5 u 37 = 117 b) A partir de qué término la sucesión baja de 00? Sol.: el primero en bajar es u 54 = 0 78). Busca un término general para la sucesión 3 4, 1, 7 6, 9 7,... Sol.: un = n+1 n+3 n 79). Escribe como con un sumatorio (n términos) Sol.: (7r 3) 80). Escribe como con un sumatorio (n términos) n Sol.: ( ) 1 r+1 81). Calcula las sumas: a) 8 ( ) 31 3r b) ,8 r 1 Sol.: 70 y 41, 8). Halla el primer término de 5, 10, 0, 40,... que excede de Sol.: u 1 = ). Bajo qué condiciones es convergente 50(x 1) r 1?. Calcula la suma anterior si x = 0,3 Sol.: 0 < x < Selección de problemas del Bachillerato internacional 84). La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética es S n = 3n n. Halla el término n-ésimo u n. (BI-000) Sol.: u n = 6n 5 85). Halla la suma de los términos positivos de la sucesión 85, 78, 71, 64,... (BI-000) Sol.: S 13 = ). La suma infinita de una serie geométrica es 7, y la suma de sus primeros tres términos 13. Halla u 1. (BI-000) Sol.: u 1 = 9 87). En una P.G. u n = 3 4 n+1, n Z +. Halla r y S n. (BI-001) Sol.: r = 4 S n = 16(4 n 1) 88). Considera la serie geométrica infinita 1 + ( ) x + 3 ( ) x + 3 ( ) 3 x +... y halla los valores de x 3 para los que la serie converge. Calcula la suma para x = 1, (BI-001) Sol.: 3 < x < 3 S = 5 89). Tomemos la serie aritmética a) Halla una expresión de S n, la suma de los primeros n términos. Sol.: S n = 3n +n b) Halla el valor de n para el que S n = 1365 (BI-00) Sol.: n = c) Halla ln r expresandolarespuestaenlaforma alna,dondea Q(BI-00) Sol.: 175ln

12 1 c rafaselecciones 90). Una sucesión {a n } está dada por a 0 = 1, a 1 =, a n+1 = 3a n a n 1 donde n Z + a) Halla los primeros seis términos. b) Expresa a n en función de n, y comprueba que tu respuesta satisface a n+1 = 3a n a n 1 (BI-00*) Sol.: a n = n 91). Una P.G. tiene todos sus términos positivos. La suma de los dos primeros términos es 15 y la suma de los infinitos términos de la sucesión es 7. Halla r y a 1 BI-(003) Sol.: r = a 3 1 = 9 9). Los cuatro primeros términos de una progresión aritmética son, a b, a+b+7 y a 3b, donde a y b son constantes. Halla a y b. (BI-003) Sol.: a = b = 3 93). Los tres términos a, 1, b, están en progresión aritmética. Los tres términos 1, a, b, están en progresión geométrica. Halla a y b si sabemos que a b. (BI-004) Sol.: a = b = 4 94). Una serie geométrica tiene razón negativa. La suma de los dos primeros términos es 6. Su suma infinita es 8. Halla r y a 1 (BI-004) Sol.: r = 1 a 1 = 1 95). Dada la serie lnx + ln x y x x xm + ln + ln +..., expresa en la forma en la forma ln y y3 y n donde m, n Z +, la suma de los primeros 35 términos. (BI-004*) Sol.: ln x70 96). La suma de los n primeros términos de una serie viene dada por S n = n n, donde n Z + a) Halla los tres primeros términos de la serie. Sol.: 1, 5, 9 y 595 b) Halla una expresión para el término n-ésimo. (BI-004) Sol.: a n = 4n 3 97). La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética {a n } viene dada por la expresión S n = 4n n. Tres términos de esta progresión, a, a m y a 3, son términos consecutivos de una progresión geométrica. Halla m. (BI-005) Sol.: m = 7 98). Los primeros tres términos de una progresión geométrica son también el primero, undécimo y decimosexto de una progresión aritmética. Los términos de la P.G. son todos diferentes y su suma infinita es 18. Halla r y d. (BI-005*) Sol.: r = 1 d = ). Calcula 15 a n donde a n = lnx n (BI-005) Sol.: 140ln x 100). En una progresión aritmética el segundo término es 7 y la suma de los cinco primeros es 50. Halla d. (BI-006) Sol.: d = 3 101). La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es 3. La suma de los primeros cuatro es 30. Todos los términos son positivos. Halla la diferencia entre la suma de los infinitos términos y la suma de los ocho primeros. (BI-006) Sol.: S S 8 = ). a) Usa el método de inducción matemática para probar la proposición: 1 1!+!+3 3!+... +n n! = (n+1)! 1 con n Z + (BI-006*) b) Encuentra el mínimo número de términos necesarios para que la suma exceda a n = 1

13 Progresiones aritméticas y geométricas ). Considera la serie aritmética , y halla el menor de los términos necesarios para que la suma se mayor que (BI-007*?) Sol.: n = ). Considera la serie geométrica infinita (4 3x) k k=1 a) Halla los valores de x para los que la serie tiene suma finita. (BI-007*?) b) Si x = 1,, halla el mínimo número de términos necesarios para que la suma supere a 1,38 Sol.: x ( 1, 5 ) 3 n = 7 105). Los términos primero y cuarto de una progresión geométrica son 18 y 3 respectivamente. Halla la suma de los primeros n términos, y la suma de los infinitos términos de la serie. (BI-007) Sol.: S n = 7 (( ) 1 n ) 3 1 S = 7 106). Una progresión aritmética tiene a p como diferencia, y una progresión geométrica tiene a p como razón. Ambas progresiones tienen 1 como primer término. a) Escribe, en función de p, los primeros cuatro términos de cada progresión. Sol.: 1, 1+p, 1+p, 1+3p 1, p, p, p 3 b) Si la suma de los términos tercero y cuarto de la progresión aritmética es igual a la suma de los términos tercero y cuarto de la geométrica, encuentra los posibles valores de p. c) Paraquévalordepdelosanterioreslasumadelosinfinitostérminosdelaprogresióngeométrica tiene sentido? d) Para el mismo valor de p encuentra la suma de los veinte primeros términos de la progresión aritmética y escribe el resultado en la forma a+b c, donde a, b, c Z (BI-008) Sol.: p = o p = 3+ 5 o p = 3 5 p = 3+ 5 S = ). Invertimos 5000 e a un interés compuesto del 6,3% anual. a) Escribe una expresión que nos de el valor de nuestra inversión al cabo de n años. b) Cuál será al final del quinto año? Sol.: a n = ,063 n 6786,35 e c) El valor de nuestra inversión sobrepasará los e después de n años. Escribe una desigualdad que ilustre este hecho, y calcula el mínimo valor de n para que se produzca. (BI-008*) Sol.: ,063 n > n = 1 años 108). Halla la suma infinita de la serie geométrica 7, 9, 3, 1,... (BI-008) Sol.: S = ). La razón de una progresión geométrica es x a) Para qué valores de x existe la suma infinita? (BI-008) Sol.: x < 0 b) Si el primer término es 35, encuentra el valor de x para el cual la suma infinita es 40. Sol.: x = 3 110). Una progresión geométrica tiene como primer término a 1 =, y como razón r = 1,05. Halla el valor del menor de los términos mayores de 500. (BI-008*) Sol.: a ,77

14 14 c rafaselecciones 111). Una cuerda de 81 metros se corta en n trozos de longitud creciente, formando estas longitudes una progresión aritmética cuya diferencia es d metros. Sabiendo que las longitudes del trozo más corto y del más largo son 1,5 metros y 7,5 metros respectivamente, halla los valores de n y d. (BI-008) Sol.: n = 18 d = ). Considera a, a, 3a,..., na, donde a y n son enteros positivos. a) Prueba que la media aritmética de estos números es a(n+1) b) Si a = 4, encuentra el mínimo valor de n para el que la suma de estos números excede a su media en más de 100. (BI-009) Sol.: n = 8 113). Unasucesióndenúmerosvienedadapora n = n +3, n Z +.Juanconjeturaquetodoslosmiembros de la sucesión son números primos. Muestra que Juan se equivoca. (BI-010) Sol.: a 5 = ). Encuentra la suma de todos los números de tres cifras que no son divisibles por 3. (BI-010*) 115). Considera la sucesión aritmética 8, 6, 44,... Sol.: a) Encuentra una expresión para el término n-ésimo. Sol.: a n = 18n 10 b) Escribe la suma de los primeros n términos usando un sumatorio. Sol.: S n = n (18k 10) c) Calcula la suma de los primeros 15 términos. Sol.: S 15 = ). La suma S n de una progresión geométrica de término general a n es S n = 7n a n k=1 7 n, donde a > 0 a) Da una expresión para a n Sol.: a n = 7 a 7 ( a 7) n 1 b) Halla el primer término y la razón común. Sol.: a 1 = 7 a 7 r = a 7 c) ParaquévaloresdeasepuedecalcularS?HallaS cuandoexista. Sol.: 0 < a < 7 S = 1 117). La media de los diez primeros términos de una progresión aritmética es igual a 6. La media de los veinte primeros términos de la misma es igual a 16. Halla el valor del decimoquinto término. (BI-010) Sol.: a 15 = 5 118). Sea u 1, u, u 3,..., una progresión geométrica con u 1 = 7 y S = 81 a) Encuentra la razón. Sol.: r = 1 3 b) Una progresión aritmética v 1, v, v 3,... es tal que v = u y v 4 = u 4, encuentra el mayor N valor N para el que v n > 0 (BI-011) Sol.: N = 7 n=1