TEMA 1 PROGRESIONES Y SUCESIONES

Transcripción

1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS matemáticas nivel medio 1. Los dos primeros términos de una progresión geométrica u n son u 1 = 4 y u = 4 [6 puntos] (a) (i) Halle la razón. (ii) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, halle u 5. Otra progresión v n se define mediante v n = an k, donde a, k R y, n Z +, tal que v 1 = 0 05 y v = 0 5 (b) (i) Halle el valor de a. (ii) Halle el valor de k. (c) Halle el menor valor de n para el cual v n > u n. Calcule dando el resultado correcto en cada uno de los apartados, [6 puntos] a) ( k 7 ) b) c) ( 3 k ) Los tres primeros términos de una progresión aritmética son 5, 6 7 y 8 4. [6 puntos] (i) Halle la diferencia común (ii) Halle el vigésimo octavo término de la sucesión. (iii) Halle la suma de los veintiocho primeros términos. 4. Calcula, [6 puntos] a) (6n 3 1) n (1 + n ) (1 n ) b) 4 n n n + c) b n+1 con b n b 1 = 3, b = 8 n y b n+ = b n+1 + b n 5. Ramiro va todas las mañanas andando al instituto. En el primer minuto recorre 80 m. A partir de ahí, cada minuto recorre el 90 % de la distancia recorrida en el minuto anterior. La distancia entre su casa y el instituto es de 660 metros. Ramiro sale de su casa a las 8:00 y tiene que estar a las 8:15 sin falta. Bajo estas condiciones, Llegará Ramiro puntual al instituto?, Llegará Ramiro en algún momento al centro? De ser así, en qué momento llegará. Razona numéricamente tu respuesta explicando tus pasos. [6 puntos] 1

2 6. Los [5] puntos restantes hasta el total de la puntuación se otorgarán por, Se incorporan los enunciados bien escritos, hay orden en la resoluciones y pieza en los cálculos; los gráficos bien hechos y con todos los datos, etc. [1 punto] El uso adecuado del lenguaje matemático: expresiones algebraicas correctamente escritas y secuenciadas. [1 punto] Las argumentaciones y explicaciones que deben aportarse siempre a la vez que permitir entender a quien lee lo que se hace en cada momento. [1 punto] Debe haber una buena gramática y ortografía en las resoluciones. [1 punto] Se debe presentar en folios aparte con buena y adecuada presentación. [1 punto]

3 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA HOJA DE TRABAJO Nº1 SOBRE SUCESIONES Y PROGRESIONES. 1. Los dos primeros términos de una progresión geométrica u n son u 1 = 4 y u = 4. [6 puntos] (a) (i) Halle la razón. (ii) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, halle u 5. Otra progresión v n se define mediante v n = an k, donde a, k R y, n Z +, tal que v 1 = 0 05 y v = 0 5 (b) (i) Halle el valor de a. (ii) Halle el valor de k. (c) Halle el menor valor de n para el cual v n > u n Solución Los dos primeros términos de una progresión geométrica u n son u 1 = 4 y u = 4 (a) (i) Halle la razón. (ii) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, halle u 5. (i) Puesto que una progresión geométrica tiene por término general, u n = u 1 r n 1 Aplicando dicho término general al caso del n = obtenemos que, u = u 1 r 1 4 = 4 r 4 4 = r 1 05 = r Por lo tanto, la razón de la progresión geométrica es r = (ii) Calculamos ahora u 5 a partir del término general, u 5 = u 1 r 5 1 = =

4 Otra progresión v n se define mediante v n = an k, donde a, k R y, n Z +, tal que v 1 = 0 05 y v = 0 5 (b) (i) Halle el valor de a. (ii) Halle el valor de k. (i) Puesto que la progresión tiene por término general, v n = a n k Aplicando dicho término general al caso del n = 1 obtenemos que, v 1 = a 1 k 0 05 = a 1 = a a = 0 05 Por lo tanto, el valor de a es a = (ii) Calculamos ahora k a partir del término general sustituido para el caso n =, v = a k 0 5 = 0 05 k = k 5 = k Tomamos logaritmos decimales y despejamos k, 5 = k log 5 = log k log 5 = k log log 5 log = k = k Por lo tanto, k 319 (c) Halle el menor valor de n para el cual v n > u n Este es un ejercicio que se hace con calculadora. Se trata de comprobar a partir de qué valor n, la parte de la izquierda de la inecuación es mayor que la de la derecha, log 5 v n > u n a n k > u 1 r n nlog > n 1 4

5 Lo hacemos mediante un tanteo razonado, matemáticas nivel medio n log 5 log 5 v n = 0 05 nlog u n = n 1 v n u n = nlog n 1 v n > u n? 1 0,05 4-3,95 No 0,5 4, -3,95 No 3 0, ,41-3, No 4 1,5 4,6305-3,3805 No 5, ,8605 -, No 6 3, , , No 7 4, , , No 8 6,5 5, , Sí 9 8, , , Sí 10 10,4996 6, , Sí Por lo tanto, el menor valor natural para el que v n > u n es n = 8.. Calcule dando el resultado correcto en cada uno de los apartados, [6 puntos] a) ( k 7 ) b) c) ( 3 k ) 10 Solución. a) ( k 7 ) La serie es, ( k 7 ) = ( 7 ) 1 + ( 7 ) + ( 7 ) 3 + ( 7 ) Se trata de la suma infinita de una progresión geométrica de razón entre-1 y 1. En concreto la razón es, Su suma será finita y vale, r = 7 ( k 7 ) = a 1 1 r = /7 1 /7 = /7 5/7 = 5 = 0 4 5

6 b) Se trata de una suma finita de una progresión aritmética con diferencia d = 4. El número de términos a sumar se puede calcular a partir del término general, a n = a 1 + (n 1) d 3049 = 1 + (n 1) = (n 1) = (n 1) = n 1 76 = n = n 763 = n Por lo tanto, la suma valdrá, S 763 = (a 1 + a 763 ) 763 = ( ) 763 = = = = c) ( 3 k ) Se trata del producto de una progresión geométrica de razón r = 3. Operamos mediante la fórmula, En tal caso, n a k = (a 1 a n ) n n a k = ( 3 10 ) 10 = ( 3 10 ) 10 =

7 3. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son 5, 6 7 y 8 4. (i) Halle la diferencia común (ii) Halle el vigésimo octavo término de la sucesión. (iii) Halle la suma de los veintiocho primeros términos. Solución. (i) Halle la diferencia común Puesto que una progresión aritmética tiene por término general, a n = a 1 + (n 1) d Aplicando dicho término general al caso del n = obtenemos que, a = a 1 + ( 1) d 6 7 = 5 + d = d 1 7 = d Por lo tanto, la diferencia de la progresión aritmética es d = 1 7. (ii) Halle el vigésimo octavo término de la sucesión. Puesto que la progresión aritmética tiene por término general, a n = 5 + (n 1) 1 7 Aplicando dicho término general al caso del n = 8 obtenemos que, Por lo tanto, a 8 = a 8 = 5 + (8 1) 1 7 = = 50 9 (iii) Halle la suma de los veintiocho primeros términos. Aplicando la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, S n = (a 1 + a n ) n 7

8 Para el caso de los veintiocho primeros términos tendremos que, S 8 = (a 1 + a 8 ) 8 = ( ) 8 = = 78 6 Por lo tanto, S 8 = Calcula, [6 puntos] a) (6n 3 1) n (1 + n ) (1 n ) b) 4 n n n + c) b n+1 n b n con b 1 = 3, b = 8 y b n+ = b n+1 + b n Solución. a) (6n 3 1) n (1 + n 3 ) (1 n 3 ) = 36n 6 1n n 6 n 1 4n 6 = n 4n 6 = 9 n 1 = 9 b) 4 n n n + = n n n = n n = 0 c) n b n+1 b n con b 1 = 3, b = 8 y b n+ = b n+1 + b n En este caso, vamos tomando valores en la sucesión b n b 1 = 3 b = 8 b 3 = b + b 1 = = 11 b 4 = b 3 + b = = 19 b 5 = b 4 + b 3 = = 30 b 6 = b 5 + b 4 = = 49 8

9 Realizando los sucesivos cocientes de la nueva sucesión, calculamos el límite mediante la hoja de cálculo, n b(n) n b(n+1)/b(n) /3 =, /8 = 1, /11 = 1, /19 = 1, /30 = 1, /49 = 1, /79 = 1, /18 = 1, /07 = 1, /335 = 1, / 54 = 1, / 877 = 1, / = 1, / 96 = 1, / = 1, / = 1, /9 76 = 1, / = 1, / = 1, / = 1, Como = 1+ 5 el número de oro. = φ Podemos comprobar que el límite de los cocientes es b n+1 = φ n b n 5. Ramiro va todas las mañanas andando al instituto. En el primer minuto recorre 80 m. A partir de ahí, cada minuto recorre el 90 % de la distancia recorrida en el minuto anterior. La distancia entre su casa y el instituto es de 660 metros. Ramiro sale de su casa a las 8:00 y tiene que estar a las 8:15 sin falta. Bajo estas condiciones, Llegará Ramiro puntual al instituto?, Llegará Ramiro en algún momento al centro? De ser así, en qué momento llegará. Razona numéricamente tu respuesta explicando tus pasos. [6 puntos] Solución. Ramiro realiza, en las sucesivas distancias que va recorriendo paulatinamente en su recorrido, una progresión geométrica de razón, r = 90 % = = 0 9 9

10 Para saber si llega o no puntual debemos aplicar la fórmula de los n primeros términos de una progresión geométrica, S n = a 1 r n a 1 r 1 Ya que se trata de sumar los primeros quince términos de la progresión de va realizando en cada minuto, S 15 = m En tal caso, NO llegará al instituto puntual ya que tras los primeros 15 minutos habrá recorrido, aproximadamente, m que es menor que los 660 m que tenía que recorrer para llegar al instituto. Para saber si llegará alguna vez, calculamos la suma infinita. Esto se puede hacer porque se trata de una progresión geométrica con razón entre 1 y 1, S = m Como el resultado es superior a 660 m, entendemos que si llegará en algún momento. Para saber en qué momento llegará resolvemos, S n = n = (0 9 n 1) 0 1 = n 1 = 660 ( 0 1) n = ( 0 1) 80 Tomando logaritmos decimales, log 0 9 n = log (1 66 ) n log 0 9 = log ( ) n = log ( 7 40 ) log Por lo tanto, llegará entre el minuto 16 y 17 (16 minutos 3 57 segundos). 10