PÁGINA 30. Una actividad A cuál de las sucesiones de la derecha corresponde esta torre? Corresponde a la sucesión a).

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1 PÁGINA 30 Una actividad A cuál de las sucesiones de la derecha corresponde esta torre? a) 1, 5, 9, 13, 17, b) 170, 10, 70, 0, 30, 80, c), 4, 8, 16, 3, 64, d) 1, 3, 9, 7, 81, 43, e) 1, 1,, 3, 5, 8, f) 1, 4, 9, 16, 5, 36, Corresponde a la sucesión a). Entrénate 1 Añade tres términos más a cada una de las siguientes sucesiones: a) 1, 14, 16, 18, 0,, 4,... b) 5, 0, 15, 10, 5, 0, 5,... c) 7, 3, 1, 5, 9, 13, 17,... d) 13, 8, 3,, 7, 1, 17,... Escribe el octavo término de cada una de estas sucesiones, de las que conocemos sus cuatro primeros términos: a) a 1 =, a = 4, a 3 = 8, a 4 = 16 b) b 1 = 15, b = 9, b 3 = 3, b 4 = 3 a) a 8 = 56 b) b 8 = 7 1 Añade tres términos más a cada una de las siguientes sucesiones: a) 1 1, 1 4, 1 9, 1 16, 1 5, 1 36, 1 49, b) 1, 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, 7 8, c) 3, 6, 1, 4, 48, 96, 19, d) 1, 3, 4, 7, 11, 18, 9, Escribe el octavo término de cada una de estas sucesiones: a) a 1 = 1,; a =,3; a 3 = 3,4; a 4 = 4,5; a 8 = 8,9 b) b 1 = 1, b = 3, b 3 = 9, b 4 = 7, b 8 = 187

2 PÁGINA 31 Entrénate 1 Escribe los cuatro primeros términos de cada sucesión: a n = 7n 10 b n = 43 13n c n = ( 1) n n a 1 = 3, a = 4, a 3 = 11, a 4 = 18 b 1 = 30, b = 17, b 3 = 4, b 4 = 9 c 1 = 1, c = 4, c 3 = 9, c 4 = 16 Halla el término general de las siguientes sucesiones: a) 3, 9, 7, 81, b) 1,, 3, 4, c) 4, 5, 6, 7, d) 1, 3, 5, 7, a) a n = 3 n b) b n = n c) c n = n + 3 d) d n = n 1 3 Escribe los cuatro primeros términos y el décimo de cada una de las siguientes sucesiones: a n = n 5 n + 1 b n = 5 n 1 c n = 4 + 5n 5 a 1 = 3, a = 1 5, a 3 = 1 10, a 4 = 3 17, a 10 = b 1 = 5, b = 10, b 3 = 0, b 4 = 40, b 10 = 560 c 1 = 4, c = = 13, c 3 = 9, c 4 = = 3, c 10 = = 53 d 1 = 1, d =, d 3 = 3, d 4 = 4, d 10 = 10 4 Calcula los términos que se piden en cada una de estas sucesiones: a n = 3n n 8 a 5, a 10 y a 100 b n = ( )n 5 d n = ( 1) n + 1 n 8 b 5, b 6 y b 7 c n = 39 17n 8 c 1, c 4 y c 15 d n = ( ) n 8 d 1, d 6 y d 0 a 5 = 13 5, a 10 = 8 10 = 14 5, a 100 = = 149 b 50 5 = 3 5, b 6 = 64 5, b 7 = 18 5 c 1 =, c 4 = 9, c 15 = 16 d 1 =, d 6 = 3 = 8, d 0 = 10 = Halla el término general de las siguientes sucesiones: a) 1 3, 4 3, 9 3, 16, b) 7, 14, 1, 8, 3 a) a n = n 3 b) b n = 7n 6 Cuál es el término general de estas sucesiones? a) 1 5, 1 10, 1 15, 1 0, b) 1, 3, 3 4, 4 5, a) a n = 1 5n b) b n = n n + 1

3 7 Cuál es el término general de estas sucesiones? Pág. a) 0, 1 4, 6, 3, 8 b) 3, 6, 11, 18, 7, c) 1,, 7, 14, 3, d) 1, 14, 16, 18, e) 5, 0, 15, 10, f) 6, 1, 4, 48, a) a n = n 1 n b) b n = n + c) c n = n d) d n = (n + 5) e) e n = 30 5n f) f n = 3 n 8 Descubre la ley de recurrencia y añade un nuevo término a cada una de las siguientes sucesiones: a) 1, 4, 5, 9, 14, 3, (Diferencia) b) 1,, 3, 6, 11, 0, (Relaciona cada elemento con los tres anteriores) c) 1; ; 1,5; 1,75; (Semisuma) d) 1,,, 1, 1/, 1/, 1, (Cociente) a) Nuevo término: 37 Ley de recurrencia: a n = a n a n 1 b) Nuevo término: 37 Ley de recurrencia: b n = b n 1 + b n + b n 3 c) Nuevo término: 1,65 Ley de recurrencia: c n = c n 1 + c n d) Nuevo término: Ley de recurrencia: d n = d n 1 d n

4 PÁGINA 3 Con calculadora Añade cuatro términos a cada una de estas sucesiones. Si decimos que en a) la diferencia es 3, cuál será la diferencia en las demás? a), 5, 8, 11, 14, 17, b) 10, 140, 160, 180, 00, 0, c) 9, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, d) 5,83; 5,87; 5,91; 5,95; 5,99; 6,03; a) 0, 3, 6, 9, diferencia: 3 b) 40, 60, 80, 300, diferencia: 0 c) 7, 9, 11, 13, diferencia: d) 6,07; 7,11; 6,15; 6,19; diferencia: 0,04 1 Asocia cada una de las siguientes progresiones aritméticas I, II, III y IV con su término general: I) 3, 10, 17, 4, II) 8, 1, 16, 0, III) 14, 11, 8, 5, IV) 1,5; 0; 1,5; 3; a n = 3n + 17 b n = 7n 4 c n = 1,5n 3 d n = 4n 4 I) 5 b n II) 5 d n III) 5 a n IV) 5 c n Determina el término general de las progresiones aritméticas de las que conocemos: a) a 1 = 11; d = 3 b) b 1 = 5; d = a) a n = 11 + (n 1) 3 = 3n + 8 b) b n = 5 + (n 1) = n 7 3 Determina el término general de las progresiones aritméticas de las que conocemos: a) a = 7; d = 4 b) b = 3/; d = 1 a) a 1 = 3; a n = 3 + (n 1) ( 4) = 4n + 1 b) b 1 = 1 ; b n = 1 + (n 1) = n 1 4 Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a) 5, 0, 15, 10, b) 7, 3, 1, 5, c) 10, 7, 4, 1, d) 8, 1, 16, 0, a) a 1 = 5; d = 5; a n = 5 + (n 1) ( 5) = 5n + 30 b) b 1 = 7; d = 4; b n = 7 + (n 1) ( 4) = 4n + 11 c) c 1 = 10; d = 3; c n = 10 + (n 1) 3 = 3n 13 d) d 1 = 8; d = 4; d n = 8 + (n 1) ( 4) = 4n 4

5 PÁGINA 33 5 Calcula la suma de los treinta primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas: a) a 1 = 3; a = 10; a 3 = 1,7; a 4 = 4; ; a n = 7n 4 b)b 1 = 11, b = 14, b 3 = 17, b 4 = 0, ; b n = 3n + 8 c) c 1 = 10, c = 7, c 3 = 4, c 4 = 1, ; c n = 3n 13 d) d 1 = 7, d = 3, d 3 = 1, d 4 = 5, ; d n = 4n + 11 a) a 30 = 06; S 30 = (3 + 06) 30 = 3135 b) b 30 = 98; S 30 = ( ) 30 = 1635 c) c 30 = 77; S 30 = ( ) 30 = 1005 d) d 30 = 109; S 30 = (7 109) 30 = Calcula la suma de los veinte primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas: a) a n = n 7 b) b n = 4n 4 c) c n = 3n + 17 d) d n = 1,5n 3 a) a 1 = 5; a 0 = 33; S 0 = ( ) 0 = 80 b) b 1 = 8; b 0 = 84; S 0 = ( 8 84) 0 = 90 c) c 1 = 14; c 0 = 43; S 0 = (14 43) 0 = 90 d) d 1 = 1,5; d 0 = 7; S 0 = (1,5 + 7) 0 = 85 7 Calcula la suma de los once primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas: a) a n = 6 n b) b 1 = 4, b = 7 c) c 1 = 1, c 4 = 18 d) d = 10, d 4 = 16 a) a 1 = 5; a 11 = 5; S 11 = (5 5) 11 = 0 b) d = 3; b 11 = = 34; S 11 = (4 + 34) 11 = 09 c) c 4 = c 1 + 3d 8 18 = 1 + 3d 8 d = ; c 11 = c d = 3 S 11 = (1 + 3) 11 = 4 d) d 4 = d + d 8 16 = 10 + d 8 d = 3; d 1 = 7; d 11 = d d = 37 S 11 = (7 + 37) 11 = 4

6 8 Halla la suma de todos los números pares menores que cien:, 4, 6, 8,, 98. Pág. Los números pares forman una progresión aritmética de primer término a 1 = y diferencia d =. El número 98 es el término a 49. S 49 = ( + 98) 49 = En una progresión aritmética conocemos su sexto término, a 6 = 13, y la diferencia, d = 3. Calcula el primer término y la suma de los quince primeros términos. a 6 = a 1 + 5d 8 13 = a a 1 = 8; a 15 = a d = 8 4 = 14 S 15 = (8 14) 15 = En una progresión aritmética, a 1 = 5 y a = 7. Calcula el término que ocupa el lugar 40, a 40, y la suma de los primeros cuarenta términos, S 40. a 1 = 5 y d = 8 a n = 5 + (n 1) = 3 + n a 40 = = 83 y S 40 = (5 + 83) 40 = En una progresión aritmética, b 1 = 5 y b = 1. Calcula la suma de los 3 primeros términos, S 3. b 1 = 5 y d = 7 8 b n = 5 + (n 1) 7 = + 7n Así: b 3 = = S 3 = (5 + ) 3 = El primer término de una progresión aritmética es c 1 = 17 y el quinto es c 5 = 9. Halla la suma S 0. Como c 1 = 17 y c 5 = 9 8 c 1 = 17 y d = Así: c n = 17 + (n 1)( ) = 19 n; c 0 = 19 0 = 1 S 0 = (17 1) 0 = Los primeros términos de una progresión aritmética son a 1 = 4, a = 7. Halla esta suma: a 10 + a 11 + a a 19 + a 0 Como a 1 = 4 y a 5 = 7, tenemos que la diferencia de esta progresión es d = 3. Nos piden la suma de los términos del décimo al vigésimo. Lo que vamos a hacer es calcular S 0 y restarle S 9 : S 0 = (a 1 + a 0 ) 0 = (a 1 + a ) 0 = ( ) 0 = 650 S 9 = ( ) 9 = 144 Por tanto, la suma pedida es: = 506

7 PÁGINA 34 Con calculadora Añade dos términos a cada una de las progresiones siguientes: a) 3, 6, 1, 4, 48, 96, b) 3, 30, 300, 3 000, c) 80; 40; 0; 10; 5;,5; a) 19, 384, b) , , c) 1,5; 0,65; Entrénate 1 Asocia cada una de las progresiones geométricas I, II y III con su término general: I) 15, 50, 0, II) 1 000, 800, 640, III) 1 000; 160; 5,6; a n = (0,16) n 1 b n = 15 (0,4) n 1 c n = 1000 (0,8) n 1 I) 5 b n II) 5 c n III) 5 a n Halla el término general de estas progresiones geométricas: a) a 1 = 4, r = 3 b) b 1 = 3, r = c) c 1 = 5, r = 5 d) d 1 =, r = 1/3 a) a n = 4 3 n 1 b) b n = 3 ( ) n 1 c) c n = 5 5 n 1 = 5 n d) d n = (1/3) n 1 1 En las siguientes progresiones geométricas, calcula el término que se pide: a) a 1 = 5, r = 8 a 6 b) b 1 = 1/, r = 8 b 7 c) c 1 = 10, r = 0,1 8 c 5 d) d 1 = 15, r = 1/ 8 d 8 a) a 6 = 5 5 = 160 b) b 7 = 1/ ( ) 6 = 3 c) c 5 = 10 0,1 4 = 0,001 d) d 8 = 15 (1/) 7 = = 0, Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas: a) 5, 50, 500, 5000, b) 3, 9, 7, 81, c) 3, 6, 1, 4, d) 5, 15, 45 4, 135 8, a) a n = 5 10 n 1 b) b n = 3 ( 1 3) n 1 c) c n = 3 ( ) n 1 d) d n = 5 ( 3 ) n 1

8 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 35 Practica Sucesiones: formación, término general 1 Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones: a) Cada término se obtiene sumando 7 al anterior. El primero es 10. b) El primer término es 0,1. Los demás se obtienen multiplicando el anterior por. c) El primero es ; el segundo, 4, y los siguientes, la semisuma de los dos anteriores. a) 10, 3, 4, 11, 18, b) 0,1; 0,; 0,4; 0,8; 1,6; c) ; 4; 3; 3,5; 3,5; Escribe los términos a 10 y a 5 de las siguientes sucesiones: a) a n = 3n 1 b) b n = n + 1 c) c n = ( 1) n + 1 n d) d n = 1 + ( 1)n 10 e) e n = n (n 1) f) f n = n n + a) a 10 = 9; a 5 = 74 b) b 10 = 101 = 50,5; b 5 = 64 = 31 c) c 10 = = ; c 5 = = 4 5 d) d 10 = 1,1; d 5 = 0,9 e) e 10 = 10 9 = 90; e 5 = 5 4 = 600 f) f 10 = 8 1 = 3 ; f 5 = Escribe los cinco primeros términos de la siguiente sucesión: 1, 5, 13, 9, 61, a 1 = 1 a n = a n Averigua el criterio con el que se ha formado cada una de las siguientes sucesiones: a) 11, 9, 7, 5, b) 1, 1 4, 1 8, 1, c),5;,9; 3,3; 3,7; 16 d) 1, 1, 1 3, 1, e) 8, 1, 18, 7, f) 0, 3, 8, 15, 4 a) Restando unidades al término anterior: a n = 11 (n 1) = 13 n b) Multiplicando por 1 el término anterior: a n = ( 1 ) n c) Sumando 0,4 al término anterior: a n =,5 + (n 1) 0,4 =,1 + 0,4n d) Dividiendo 1 por n, lugar que ocupa el término: a n = 1 n e) Multiplicando por 1,5 el término anterior: a n = 8 1,5 n 1 f) Restando 1 a los cuadrados de los números naturales: a n = n 1

9 Soluciones a Ejercicios y problemas Progresiones aritméticas Pág. 5 En las siguientes progresiones aritméticas, calcula el término que se pide: a) a 1 = 5, d = 4 8 a 8 b) b 1 = 3, d = 8 b 10 c) c 1 = 4, c = 7 8 c 11 d) d 1 = 1, d 4 = 18 8 d 9 e) e = 10, e 4 = 16 8 e 1 a) a 8 = a 1 + 7d = = 33 b) b 10 = b 1 + 9d = 3 18 = 1 c) d = c c 1 = 3; c 11 = c d = = 34 d) d 4 = d 1 + 3d 8 18 = 1 + 3d 8 d = ; d 9 = d 1 + 8d = = 8 e) e 4 = e + d 8 16 = 10 + d 8 d = 3; e 1 = e d = 7 6 Calcula la diferencia de las siguientes progresiones aritméticas en las que conocemos dos términos: a) a 1 = 7, a 10 = 34 b) b = 3, b 8 = 15 c) c 3 = 8, c 11 = 16 a) 34 = 7 + 9d 8 d = 3 b) 15 = 3 + 6d 8 d = c) 16 = 8 + 8d 8 d = 1 7 Escribe los cinco primeros términos y a 0 de las siguientes progresiones aritméticas: a) a 1 = 1,5; d = b) a 1 = 3; d = 5 c) a 1 = 5; d = 0,5 d) a 1 = 3; d = 4 a) 1,5; 3,5; 5,5; 7,5; 9,5; a 0 = 1, = 39,5 b) 3, 7,, 17, 1; a 0 = ( 5) = 63 c) 5; 5,5; 6; 6,5; 7; a 0 = ,5 = 14,5 d) 3, 7, 11, 15, 19; a 0 = ( 4) = 79 8 Halla, en cada caso, el término general y calcula, después, a 50 : a) 5, 18, 11, 4, b) 13, 11, 9, 7, c) 1,4; 1,9;,4;,9; d) 3, 8, 13, 18, a) d = 7; a n = 3 7n; a 50 = 318 b) d = ; a n = 15 + n; a 50 = 85 c) d = 0,5; a n = 0,9 + 0,5n; a 50 = 5,9 d) d = 5; a n = 5n; a 50 = 48 9 Calcula la suma de los veinte primeros términos de las siguientes progresiones aritméticas: a) a 1 = 5; d = b) a 1 = 1; a = 7 c) Los números pares. d) Los múltiplos de 3. a) a 0 = = 43; S 0 = (5 + 43) 0 = 480 b) d = 7 ( 1) = 6; a 0 = ( 6) = 115; S 0 = ( 1 115) 0 c) d =, a 1 =, a 0 = + 19 = 40; S 0 = ( + 40) 0 = 40 d) a 1 = 3, d = 3, a 0 = = 60; S 0 = (3 + 60) 0 = 630 = 1 160

10 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 36 Progresiones geométricas 10 Escribe los cinco primeros términos de las siguientes progresiones geométricas: a) a 1 = 0,3; r = b) a 1 = 3; r = 1 c) a 1 = 00; r = 0,1 d) a 1 = 1 81 ; r = 3 a) 0,3; 0,6; 1,;,4; 4,8; b) 3, 3, 3 4, 3 8, 3 16, c) 00; 0; ; 0,; 0,0; d) 1 81, 1 7, 1 9, 1 3, 1, 11 Halla, en cada una de las sucesiones siguientes, el término general: a) 0; 8; 3,; 1,8; b) 40, 0, 10, 5, c) 6; 9; 13,5; 0,5; d) 0,48; 4,8; 48; 480; a) a n = 0 0,4 n 1 b) a n = 40 ( 1 ) n 1 c) a n = 6 ( 1,5) n 1 d) a n = 0,48 10 n 1 Resuelve problemas 1 En un teatro, la primera fila dista del escenario 4,5 m, y la octava, 9,75 m. a) Cuál es la distancia entre dos filas? b) A qué distancia del escenario está la fila 17? a) a 8 = a 1 + 7d 8 9,75 = 4,5 + 7d 8 d = 0,75 m La distancia entre dos filas es 0,75 m. b) a 17 = a d = 4, ,75 = 16,5 m está la fila Para preparar una carrera, un deportista comienza corriendo 3 km y aumenta 1,5 km su re-corrido cada día. Cuántos días tiene que entrenar para llegar a hacer un recorrido de 15 km? a n = a 1 + (n 1)d 8 15 = 3 + (n 1) 1, = 1,5 + 1,5n n = 9 días

11 Soluciones a Ejercicios y problemas 14 En el año 1986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra, a la que se acerca cada 76 años. Esta era la cuarta vez que nos visitaba desde que el astrónomo Halley lo descubrió. a) En qué año fue descubierto? b) Cuándo será visto en el siglo XXI? a) a 4 = a 1 + 3d = a a 1 = Fue descubierto en b) a 5 = = 06. Se verá en 06. Pág. 15 La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura 1 días. Cuántos miligramos tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento? a 1 = a d 8 a 1 = ( 5) = 45 S 1 = (a 1 + a 1 ) 1 = ( ) 1 = 870 mg 16 Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora. Cuántas bacterias habrá después de 6 horas? La reproducción de las bacterias es una progresión geométrica de r =. Término general: a n = n 1. Como 6 4 = 4 cuartos de hora, calculamos a 4 = 4 1 : a 4 = bacterias habrá después de 6 horas. 17 La población de un cierto país aumenta por término medio un,5% anual. Si la población actual es de 3 millones, cuál será dentro de 10 años? a 10 = 3 1,05 9 = dentro de 10 años.

12 Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA 36 1 Escribe, en cada caso, los cinco primeros términos de las sucesiones cuyo término general es: a) a n = 3n b) a n = n 1 c) a n = n + 1 n a) a 1 = 1; a = 4; a 3 = 7; a 4 = 10; a 5 = 13 b) a 1 = 1; a = ; a 3 = 4; a 4 = 8; a 5 = 16 c) a 1 = 1; a = 3 4 ; a 3 = 4 6 = 3 ; a 4 = 5 8 ; a 5 = 6 10 = 3 5 Añade un nuevo término a cada una de las progresiones siguientes. Después, escribe el término general de cada una: a) 7, 10, 13, 16,... b) 1, 3, 9, 7,... a) a 5 = 19; a n = 3n + 4 b) a 5 = 81; a n = 3 n 1 3 En una progresión aritmética conocemos a 1 = 13 y a 4 = 4. Escribe su término a 10 y el término general. a 4 = a 1 + 3d 8 4 = d 8 d = 3 a 10 = a 1 + 9d 8 a 10 = 13 7 = 14 a n = 13 3(n 1) = 16 3n 4 De una progresión geométrica sabemos que el primer término es igual a 5 y que la razón es. Escribe el cuarto término y el término general. a 4 = a 1 r 3 8 a 4 = 5 3 = 40 a n = a 1 r n 1 = 5 n 1 5 Por el alquiler de un local pagamos el primer año. En el contrato figura que habrá una subida de 100 al año. a) Cuánto pagaremos el décimo año? b) Calcula la cantidad total que pagaremos durante esos 10 años. Estamos ante una progresión aritmética con a 1 = y d = 100. a) a 10 = a 1 + 9d = = b) S 10 = (a 1 + a 10 ) 10 = ( ) 10 =