Unidad 5. El lenguaje algebraico

Transcripción

1 a las Enseñanzas Académicas Página 8 Resuelve 1. Cuál de estas igualdades asocias al enunciado del montón de trigo que aparece en el papiro egipcio? Cuántas medidas tiene ese montón? I 1 1 II III + La igualdad ii El montón tiene 0 medidas.. Completa en tu cuaderno la igualdad que relaciona las áreas de las dos figuras geométricas que tienes más arriba: a b a b (a + b) (a b). Traduce a lenguaje algebraico (al estilo actual) el enunciado del problema de la cosa, descrito más arriba. Después, averigua tanteando el valor de dicha cosa La cosa vale 7. 1

2 a las Enseñanzas Académicas 1 Epresiones algebraicas Página Describe mediante una epresión algebraica cada uno de los enunciados siguientes: El doble de un número menos su tercera parte. b) El doble del resultado de sumarle tres unidades a un número. c) El área de este triángulo es 6 cm. d) Gasté en un traje / de lo que tenía y 60 en dos camisas. Me queda la mitad de lo que tenía. 1 b) ( + ) c) 6 d) c + 60m 1

3 a las Enseñanzas Académicas Monomios Página 8 1. Cuál es el grado de cada uno de los siguientes monomios? y z b) 11y c) 1 Su grado es 6. b) Su grado es. c) Su grado es 0.. Efectúa las siguientes sumas de monomios: b) 6 y 1 y + y y c) y + d) yz + y z z y + zy 9 + b) y c) y d) yz + 6y z. Efectúa los siguientes productos de monomios: d n ( 6) b) d n d n 9 c) (7y ) (y) d) (yz) ( z) 4 4 b) 1 c) 14y d) 1 yz 4. Simplifica cada uno de los siguientes cocientes entre monomios: 4 y y y y 4 4 y b) y c) b) 4 y y c) y y 4 4

4 a las Enseñanzas Académicas Polinomios Página Di el grado de cada uno de estos polinomios: b) c) Su grado es 6. b) Su grado es 4. c) +. Su grado es.. Sean P + 1 y Q 4 +. Halla P + Q y P Q Halla los productos siguientes y di de qué grado son: ( + 1) b) ( 4 + 6) c) ( ) d) ( + 1) e) 7 ( 1) f) 7( + ) g) 4 ( + ) h) 8 ( + ) i) ( + ) j) 4 [ + () ] + 6 b) Su grado es. Su grado es 4. c) 6 + d) + Su grado es. Su grado es. e) f) Su grado es 7. Su grado es 4. g) h) Su grado es. Su grado es 4. i) j) Su grado es. Su grado es. 4

5 a las Enseñanzas Académicas Página Siendo P 4 +, Q + 7 y R 8, calcula: P Q b) P R c) Q R b) c) Opera y simplifica la epresión resultante. ( + 1) ( ) + 1 b) ( ) + ( y + 4) 7 ( y + ) 8 ( ) 4( y ) c) G d) ( + 7)( + ) ( + 1) b) 1 + y y y c) 10( ) 1(y ) + ( + ) y y 1 d)

6 a las Enseñanzas Académicas 6. Desarrolla los siguientes cuadrados: ( + 4) b) ( ) c) (1 6) d) d + n e) d 1 n f) (a + b ) b) c) d) ( ) e) ( ) f) a + b + ab 7. Efectúa los siguientes productos: ( + 1)( 1) b) ( + )( ) c) d 1 nd + 1 n d) (a + b )(a b ) 1 b) 4 9 c) d) a b 6

7 a las Enseñanzas Académicas 4 Identidades Página De estas igualdades, cuáles son identidades? a + a + a a b) a + 1 (a + ) c) 7 d) a + a + a 1 e) f) a + + a a + g) ( ) ( + ) 4 9 h) m m 6 (m + ) (m ) Son identidades, b), e), f) y h).. Completa, de la forma más breve posible, el segundo término de estas igualdades para que resulten identidades: a a a a a [?] b) a 4 + a a a a a a [?] a a c) a b + a c + a b [?] d) (1 b) (1 + b) + b + a 1 [?] a b) a 4 + a a a 4 c) ab + ac d) 1 b + b + a 1 a. Partiendo de cada una de las siguientes epresiones, llega mediante identidades a los resultados que se indican: ( + ) ( + + 6) + b) ( + ) ( + 6) ( + ) ( + ) + c) ( + 1) ( + 1) ( 1) 4 1 d) ( 1) ( 1) ( 1) e) (a + b) (a b) 4ab ( + ) ( + + 6) b) ( + ) ( + 6) ( + ) ( + ) ( ) ( ) + c) ( + 1) ( + 1) ( 1) ( ) ( 1) d) ( 1) ( 1) ( 1) ( + 1) ( 1) e) (a + b ) (a b ) (a + ab + b ) (a ab + b ) 4ab 7

8 a las Enseñanzas Académicas Página Etrae factor común en cada epresión: b) c) y y y + 7 y d) y y (y ) e) ( ) + ( ) ( ) f ) y 6 y + 4 y g) ( ) ( y 1) 7 ( + 1) ( y 1) h) 4 (1 + ) b) 1 c 4 1 m c) y (y y + + 7y) d) y( 10y + 1) e) ( )( + ) ( ) 0 0 f) y (1 y + y) 4 ( + 1) g) (y 1) e 7o ( y 1) c m h) 1 ( + 1)[( + 1) 4] 1 ( + 1)( ). Epresa en forma de cuadrado de una epresión algebraica o de producto de dos epresiones. 4 b) c) d) e) f) g) 144( ) h) ( ) i) j) ( + )( ) b) ( + 4) c) ( + 1) d) ( + 1) e) ( ) f) b + 1l g) (1 ) (1 + ) h) e + 1 o i) (4 ) (4 + ) j) c m 6. Completa estas igualdades para que sean identidades: + 1 ( ) b) ( + 6) c) 9 ( + )( ) d) ( + ) ( 1) b) ( + 6) c) 9 ( + ) ( ) d) f + c1 1 mp 4 8

9 a las Enseñanzas Académicas 7. Simplifica las epresiones siguientes: ( )( + ) ( + 4) b) ( 1) ( + 1) c) ( ) ( + + 0) d) ( 4)( + ) e) ( + ) ( + 40) f ) ( + ) [ + ( ) ] b) ( ) ( ) c) ( 10 + ) ( + + 0) d) e) f) ( ) [ + ( 6 + 9)] Asocia cada epresión de la izquierda con el factor común que se puede etraer de ella en la derecha: y 4 ( ) ( 1) + ( + 1) (4 4) 6( 4 + 4) ( 8) + (0 60) y 6yz Obtén las epresiones simplificadas después de etraer los factores y 4 4 c + y 1 m ( 1) + ( + 1) (4 4) ( 1) [( + 1) + ( 1) 4] ( 1)( 4) 6( 4 + 4) ( 8) + (0 60) ( ) [( ) ( + ) + 1] ( )( + 7) 9 18y 6yz + 6 ( 6y yz + ) 9. Multiplica y simplifica el resultado. + 1 por 8 b) por c) ( 4 ) ( 1 ) ( + ) ( ) por 8 d) por e) d n ( + ) ( ) por 6 f ) b) ( 1) (1 + 4) c) ( 4) 4( + 1) 40 ( ) d) 9( + ) + 6( + ) 10(4 + 1) e) 9( 1) ( + 7) 4(4 + 7) f) 4( + ) ( 9) + 10( + ) por 0 9

10 a las Enseñanzas Académicas Cociente de polinomios Página Halla el cociente y el resto de estas divisiones: ( ) : ( + 1) b) (6 4 + ) : ( + ) c) ( ) : ( ) por Ruffini Cociente: 4 1 ; Resto: b) / / 4 + 8/ Cociente: + 4 ; Resto: c) Cociente: ; Resto: 9. Transforma los siguientes polinomios en producto de factores: P () 7 6 b) P () c) P () + d) P () 4 ( + )( )( + 1) b) ( 1)( + + 4) c) ( + )( 1) d) ( + 1)( 1) 10

11 a las Enseñanzas Académicas 6 Fracciones algebraicas Página 9 1. Simplifica las fracciones siguientes. Para ello, saca factor común cuando convenga: 1 ( ) 9( + 1) ( + 1) d) ( + 1) c) e) ( 1 ) ( ) 1 ( ) ( 1) b) c) 9( 1) e) ( ) ( ) 1 ( ) ( )( + ) ( 9) 9 f). Opera y simplifica. b) 1 ( + 1)( 9 ) d) ( + 1) ( 1) ( 1) ( ) f ) ( 1 ) 6( + 1) ( + 1) + + b) ( 1) 1 ( 1) c) 7 + d) ( ) b) ( 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( ) 4 6 ( + 1) + 1 c) ( + ) ( + )( ) + ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( ) + ( + ) d) + ( + )

12 a las Enseñanzas Académicas. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica. Ten en cuenta las identidades notables: 1 :( 1) ( ) b) : 4 + c) + 1 : 1 d) 6 ( ) e) + 1 f ) : g) + h) 6 10 ( + ) 4 i) 4 4 j) ( 1) ( + 1 )( 1 ) ( + 1)( 1) :( 1) b) ( ) ( + )( ) ( ) : + 1 ( + ) ( + )( ) c) ( 1 ) ( ) : ( ) 6( ) d) 6 18 e) ( 1) ( + 1) ( + 1 )( 1 ) f) ( ) : ( 1) 1 1 ( 1) 1 ( ) g) ( + ) 10( + ) h) i) 4 j) ( 1) 1 ( + ) ( ) 4 ( ) 18( 1) Opera y simplifica. 1 6 : d + n b) ( + 1)( ) 6 ( + ) + ( ) : 6 ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + + ) ( + 1) b) ( + 1)( ) ( + 1)( ) ( + 1)( ) ( + ) ( + 1)( ) ( + 1) ( + 1)( ) ( + 1) ( + 1)( ) + ( ) + 1 ( ) 1

13 a las Enseñanzas Académicas Ejercicios y problemas Página 9 Practica Traducción a lenguaje algebraico 1. Epresa en lenguaje algebraico con una sola incógnita. El doble de un número más su cuadrado. b) El producto de dos números consecutivos. c) La mitad de un número aumentado en. d) Un múltiplo de menos 7. + b) ( + 1) c) ( + ) d) 7. Utiliza dos incógnitas para epresar en lenguaje algebraico estos enunciados: Un número más la mitad del cuadrado de otro. b) El cuadrado de la diferencia de dos números. c) La suma de las edades de un padre y su hijo hace años. + y b) ( y) c) ( ) + (y ). Asocia cada una de las siguientes epresiones al périmetro y al área de los rectángulos A, B y C : 1 b) 4 c) d) e) + f) A B 6 C es el área de B b) 4 es el perímetro de C. c) es el perímetro de A. d) es el perímetro de B. e) + es el área de A. f) es el área de C. 4. Epresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: A y B y C 1 y + 1 A c) C Perímetro ( + y) + y * b) B Área y Perímetro ( + y + 1) + y + * Área y ( + 1) y + Perímetro ( 1+ y) + y * Área ( 1) y y y 1

14 a las Enseñanzas Académicas. Epresa en lenguaje algebraico utilizando dos incógnitas. La edad de Andrea, dentro de 7 años, será el doble que la que tenga Lucía. b) En una empresa aceitera se han envasado 1 00 litros de aceite en garrafas de, litros y de litros. c) En un test de matemáticas te dan 4 puntos por cada acierto y te restan 1 punto por cada error. Luis obtuvo 60 puntos. d) El cubo de la diferencia de dos números es y b), + y 1 00 c) 4 y 60 d) ( y) 8 Monomios y polinomios. Operaciones 6. Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: y b) (7) c) 8 d) (y) e) f ) 4 g) y h) 1 Grado. b) Grado. c) Grado 1. d) Grado 4. e) Grado 0. f) Grado. g) Grado. h) Grado 1. Son semejantes: y g); b) y f); d) y e). 7. Calcula el valor numérico de los monomios del ejercicio anterior para 1 e y. (1) 1 b) [7 (1)] 4 c) 8(1) 8 d) [(1) ] 9 e) f) 4 (1) 4 g) ( 1) 9 h) 1 (1) 1 8. Efectúa b) + 7y + y c) y y y + y + y b) + 7y + y + 8y c) y y y + y + y y y 4y 9. Efectúa los siguientes productos de monomios: (6 )() b) (y )(4 y ) c) d nd 1 n d) d 1 ynd z n () 18 b) (y )(4 y) 8 y c) c mc 1 m 6 d) c 1 ymc z m yz 14

15 a las Enseñanzas Académicas 10. Efectúa, reduce y di cuál es el grado del polinomio resultante en cada caso: ( ) ( + ) 7( + 1) b) ( + 1) ( ) ( ) ( + ) 7( + 1) Grado. b) ( + 1) ( ) Grado. 11. Considera estos polinomios: A + 1 B C + 7 Halla: A + B; A C; A B + C A + B A C ( + 1) ( + 7) A B + C ( + 1) ( ) + ( + 7) Prueba si los números 1, 1,, son raíces de alguno de los siguientes polinomios: b) c) + 1 y son raíces de b) es raíz de c) 1, 1 y son raíces de Opera y simplifica. ( + )( 1) ( ) b) ( + )( ) ( ) c) d n(6 1) 6 ( + )( 1) ( ) b) ( + )( ) ( ) c) c m(6 1)

16 a las Enseñanzas Académicas Página Reduce las siguientes epresiones: 6d n 6 b) 1 d n 4 c) 0 ( 1 ) ( + 1 ) + 1G c m 4 + ( ) ( 1) b) 1c m 4( + 6) 6( + 1) + ( 1) ( ) ( ) c) G 4( 1) 4( + 1) Multiplica cada epresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica el resultado: b) ( 1) 1 ( + ) c) c m ( + ) 4( ) ( + 1) b) ( 1) 1 ( + 1) c ( 1) 1 ( + ) m 6 ( 1) 4( + 1) c) < F 6( ) 10( + 1) Igualdades notables 16. Desarrolla estas epresiones: ( + 6) b) (7 ) c) ( ) d) d + n e) ( y ) f ) d 1 yn 1 16

17 a las Enseñanzas Académicas ( + 6) b) (7 ) c) ( ) d) c + m e) ( y) + 4y 4y f) c 1 ym y 4 y Epresa como diferencia de cuadrados. ( + 7)( 7) b) ( + )( ) c) ( + 4)( 4) d) ( + 1)( 1) e) d1 1nd1 + 1n f ) d nd 1 1 n ( + 7)( 7) 49 b) ( + )( ) 9 c) ( + 4)( 4) 9 16 d) ( + 1)( 1) 4 1 e) c1 1mc1 + 1m 1 1 f) c1 + 1 mc 1 1 m Completa con el término que falta para que cada epresión sea el cuadrado de una suma o el de una diferencia: b) + 10 c) d) b) + 10 c) d) Etrae factor común b) + c) y 4 y + y d) ( 1) b) + ( + 1 ) c) y 4 y + y y(y 4 + y) d) ( + ) 0. Epresa como cuadrado de una suma o de una diferencia, como en el ejemplo ( + ) b) + 1 c) d) ( 7) b) ( 1) c) () ( + 1) d) ( + 6) 17

18 a las Enseñanzas Académicas 1. Transforma en producto b) c) d) ( 7)( + 7) b) ( 9) c) ( + ) d) ( )(11 10). Reduce las siguientes epresiones: 18 ( ) ( + 1 ) G b) 8 ( ) ( + ) ( + + ) G c) 0 ( ) ( + 1 ) + 1G ( ) ( + 1 ) G ( ) 9 ( + 1) ( ) ( ) ( ) b) G 4( ) + ( + ) ( + ) 4 8 ( ) ( ) c) G ( ) ( ) Etrae factor común, igual que se ha hecho en el ejemplo. ( + 1) ( + 1) + ( + 1)( ) ( + 1)( + ) ( + 1)( ) ( ) + ( ) ( ) b) ( + 1) ( + ) + ( ) c) ( + ) 6 ( + ) ( ) + ( ) ( ) ( )( + ) b) ( + 1) ( + ) + ( ) [ + 1 ( + ) + ( )] ( 7) c) ( + ) 6( + ) ( + )( 6) 4. Transforma en producto, como en el ejemplo. + + ( + + 1) ( + 1) 4 b) c) 4 d) ( 4) ( + )( ) b) ( ) ( 1) c) 4 ( 1) ( + 1)( 1) d) ( ) ( 4) 18

19 a las Enseñanzas Académicas División de polinomios. Regla de Ruffini. Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes: ( + 6) : ( ) b) ( + ) : ( + 1) c) ( 4 + 7) : ( 1) d) ( ) : ( + ) e) ( + 7) : ( ) b) Cociente: ; Resto: 0 Cociente: 4 + 4; Resto: 1 c) d) Cociente: + ; Resto: Cociente: 6 + ; Resto: 0 e) Cociente: ; Resto: 7 19

20 a las Enseñanzas Académicas Página Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones: ( + + 1) : ( + 1) b) ( + 1) : ( 1) c) ( + ) : ( + 1) d) ( 4 + ) : ( + 1) Cociente: + ; Resto: 1 b) Cociente: 1; Resto: c) Cociente: 4; Resto: 7 6 d) Cociente: 7; Resto: Aplica la regla de Ruffini para transformar en producto los polinomios siguientes: + b) 4 c) + d) 6 e) f ) ( + )( 1) b) ( )( + 1) c) ( ) c 1 m d) ( )( + ) e) ( + 1) c m f) ( 1)( )( + ) 0

21 a las Enseñanzas Académicas 8. Transforma en producto. + b) 4 c) d) ( 1)( ) b) ( )( + 1) c) ( + 1)( + 1)( ) d) ( )( + )( + ) Fracciones algebraicas 9. Simplifica estas fracciones algebraicas: 9 1 ( + 1) b) ( + 1) b) ( + 1) ( + 1 ) 1 c) c) + ( ) ( + ) 0. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. Para ello, saca factor común: 4 b) + d) 4 e) ( 1 ) 4 ( 4) 4 b) c) + ( + 1) ( + 1 ) ( + 1 ) + 1 e) ( 1) 4 f) ( 1 ) ( 1 ) 1 1. Simplifica las siguientes fracciones: ( ) b) 1 6( ) b) + d) c) 1 4 d) + 1 ( + ) c) 4 d) 1 + c) + ( + 1 ) f ) + 4+ ( + ) + ( + ) ( + ) ( + 1) ( + 1) e) 4 + f ) e) f). Simplifica. Para ello, transforma en producto el numerador y el denominador. d) c) e) f) + 4 b) c) ( + ) ( + ) e) b) 1 d) ( ) 9 4 ( + )( ) ( + ) ( + + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) f ) ( + 1)( 1) 1 ( ) ( + )( ) +

22 a las Enseñanzas Académicas. Reduce a mínimo común denominador y opera estas epresiones: 1 + b) + 1 c) d) + 1 e) + f ) c) + b) ( 1) + e) 1 4. Efectúa. + 1 ( ) + 1 d) f) ( + 1) b) + 1 c) d) 1 e) f ) b) 1 ( 7) + ( 1) ( 7) 7 7 c) 1 ( 4) ( 1) ( 4) ( 4) 4 d) 1 ( + ) ( 1)( ) + 6 ( 4 + ) + ( )( + ) e) ( 1) + ( 1) ( 1) 4( 1) 4( 1) f) 1 ( + 1) 1+ ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1). Opera y reduce b) c) + d) ( 1 ) e) : 1 f ) + : + c) + 1 ( ) b) ( + ) ( ) ( + ) ( 1) d) 1 ( + )( ) ( ) ( 1) ( ) e) ( )( 1 ) f) 1 ( + ) ( + )

23 a las Enseñanzas Académicas 6. Opera, y simplifica si es posible. + 1 c) : ( 1 ) ( + 1) ( + 1) b) + ( ) : ( + 1)( 1) 1 c) : ( 1) ( 1 ) 1 ( 1) d) ( + 1) : 1 ( 1) ( + 1) ( + 1) 1 ( + 1)( 1) 1 b) + : d) ( + 1) : 1 7. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica. Ten en cuenta las igualdades notables: d 4 n: d1 + 1n b) d : 1 n + c) d 9 n d) 1 1 : d n d + n 4 + e) d1 + 1 n 1 f ) d : ( ) 4 ( )( ) : + + ( ) 4 ( + ) ( + ) b) c) 9 + ( + ) + d) c + m: 4 e) 1 6 ( ) ( ) ( ) f) ( + ) ( + )( ) ( ) 6 ( + ) 1 1 ( ) + ( + )( ) ( + )( ) + n 1 9

24 a las Enseñanzas Académicas Página 98 Resuelve problemas 8. Epresa en lenguaje algebraico. La cantidad de agua que hay en un depósito del que se sacan, primero, 1/ de su capacidad; después, / de lo que queda, y luego, 0 litros. b) Compré dos pantalones por 60. Uno estaba rebajado un 0 %, y el otro, un %. c) Un refresco vale 1 más que una botella de agua. Por tres refrescos y dos aguas he pagado 6. b l 0 0 b) 80 + y 7 60 o 0,8 + 0,7y c) Si es el valor de la botella de agua, ( + 1) + 6 Si es el precio del refresco, + ( 1) 6 9. La epresión 10a + b representa un número de dos cifras. Escribe en forma algebraica: Un número de tres cifras. b) El número siguiente y el anterior al que has escrito en. c) La diferencia entre un número de tres cifras y el que resulta de invertir las cifras del mismo. 100a + 10b + c b) 100a + 10b + c + 1 y 100a + 10b + c 1 c) (100a + 10b + c) (100c + 10b + 99a 99c 40. La mitad de un número es 0 unidades menor que su triple. Cuál de estas epresiones algebraicas corresponde a ese enunciado? b) 0 0 c) Es la c) He pagado 9 por un refresco, un bocadillo y un bollo. El bocadillo cuesta el triple que el refresco, y este, el doble que el bollo. Si el precio del bollo es, epresa algebraicamente este enunciado Un grupo de amigos quiere comprar un regalo para María y les toca a 1 cada uno. Si fueran tres amigos más, les tocaría a 4 menos cada uno. Cuál de estas igualdades representa este enunciado? 1( 4) 8( + ) b) 1 8( + ) c) 1 9( + 4) La igualdad b). 4

25 a las Enseñanzas Académicas 4. Si mezclamos 6 kg de pintura con 9 kg de otra de calidad inferior, que cuesta menos por kilo, la mezcla nos sale a,0 /kg. Si es el precio de la pintura cara, rellena la tabla adjunta y epresa algebraicamente este enunciado. cantidad (kg) precio ( /kg) coste ( ) pintura pintura 9 mezcla,0 cantidad (kg) precio ( /kg) coste ( ) pintura pintura 9 9( ) mezcla 1, ( ) Coste de la mezcla 6 + 9( ) 1,0 44. Epresa algebraicamente el área y el perímetro de la parte coloreada. Dos de los vértices del triángulo coinciden con puntos medios de los lados del cuadrado. Calculamos el lado mayor del triángulo, L: L + b l L + b l 4 Calculamos el lado menor del triángulo, l: l bl + bl Calculamos la altura que corresponde al lado menor del triángulo, h: h L c l m 10 9 c m 8 h Perímetro L + l Área l h 1 8 +

26 a las Enseñanzas Académicas 4. Epresa algebraicamente el área total y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son tres números naturales consecutivos Área: [( + 1)( + ) + ( + 1) + ( + )] ( ) Volumen: ( + 1)( + ) ( + + ) + + ( ) Epresa algebraicamente el área total y el volumen de un cilindro cuya altura mide el doble que el radio de la base. R R Área: πr + πr R πr + 4πR 6πR Volumen: πr R πr 47. Epresa algebraicamente el área y el perímetro de esta figura: El lado que falta es la hipotenusa de un triángulo de catetos y. Mide, por tanto, 0. Perímetro Área Epresa algebraicamente el área de la parte coloreada. y A y ( 4)( 4) y (y 4 4y + 16) 4 + 4y 16 6

27 a las Enseñanzas Académicas Página Piensa en tres números consecutivos. Resta al cuadrado del mayor el cuadrado del menor. Divide el resultado por el del medio. Obtienes siempre 4! Justifícalo utilizando el lenguaje algebraico. Tres números consecutivos son ; + 1; + ( + ) ( + 1) Escribe tres números impares consecutivos. Suma al menor y elévalo al cuadrado. Réstale el producto de los otros dos. Qué obtienes? Tres números impares consecutivos: 1, + 1, + ( 1 + ) ( + 1)( + ) ( + ) ( + 1)( + ) Siempre se obtiene 1. Problemas + 1. Adivina el número secreto! Piensa un número cualquiera, multiplícalo por, réstale 10, réstale el número pensado, súmale y dime el resultado. Razona por qué obtengo el número secreto sumando 7 al resultado que me des. Llamamos al número pensado. Multiplícalo por : Réstale 10: 10 Réstale el número pensado: Súmale : Si al resultado le sumo 7, obtengo.. Piensa un número cualquiera, súmale 7, multiplica el resultado por, resta 4, divide por y dime el resultado. Cómo puedo saber el número que has pensado? Llamamos al número pensado. Le sumamos 7: + 7 Multiplicamos por : + 14 Restamos 4: + 10 Dividimos por : + Si restamos al resultado, obtenemos. 7

28 a las Enseñanzas Académicas. Cuántos números de dos cifras verifican que sumando sus dos cifras más el producto de estas nos da el número inicial? Suponemos que el número es ab. a + b + a b 10a + b ab 9a b 9 Los números que acaben en 9 cumplirán esta regla. 4. Observa: Cuál será el valor de ? Y de n? Epresa con palabras esta propiedad e intenta demostrarla es la suma de los 10 primeros términos de la progresión 1,,, 7 a n n 1 S ( n 1) n S n n n La suma de los n primeros números impares es igual a n. Refleiona sobre la teoría. Cuándo se dice que un número es raíz de un polinomio? Cuál de los siguientes polinomios tiene por raíces 1 y? + b) 4 1 c) + d) e) + f ) + + Un número a es raíz de un polinomio P () si P ( 0. es raíz de +. b) 1 es raíz de 4 1. c) Ni 1 ni son raíces de +. d) es raíz de. e) y 1 son raíces de +. f) es raíz de Verdadero o falso? Justifica y pon ejemplos. ( + ( b) ( (a ) c) () d) Si multiplicamos dos monomios, obtenemos un binomio. e) Dos monomios son semejantes si su parte literal tiene las mismas letras. f ) Si la suma de dos monomios es positiva, también lo es su producto. 8

29 a las Enseñanzas Académicas Verdadero. Por ejemplo: ( + ) ( ) () ( [( + ] ( + b) Verdadero. Por ejemplo: (8 ) 9 ( 8) () ( [( + ] ( + + a a c) Falso. Por ejemplo: () 4 d) Falso. Por ejemplo: ab 4a b 1a 4 b. El producto de dos monomios es un monomio. e) Falso. Por ejemplo: El monomio 8a b y no es semejante a aby. f) Falso. Por ejemplo: 7 + () y, sin embargo, 7 (). 7. Cuál debe ser el valor de k para que sea raíz del polinomio 7 + k? Justifica tu respuesta. Para que sea raíz de ese polinomio, al dar a ese valor el polinomio debe ser igual a 0. Por tanto: () () 7 () + k k 0 k Cuál es el resultado de multiplicar una fracción por su inversa? Compruébalo con + y su inversa. El producto de una fracción por su inversa es igual a ( + ) 1 ( + ) 9. Simplifica la epresión (a + 1) (a 1). b) Halla, sin utilizar la calculadora, el valor de: (a + 1) (a 1) (a (a + 1 a a a 1 + a 4a b) Averigua cuál debe ser el valor de a, en cada caso, para que las dos epresiones sean idénticas: ( + ( + 7 y 9 18 b) ( + a 46 y + 18 ( + ( a + 7 Si 9 a a a b) ( + a 46 + a a + a 46 + a 46 Si + a a a 64 a a a 8 a Cuáles de las siguientes epresiones son identidades? Justifícalo. 9 b) ( + 1) + 1 c) ( ) Es una identidad: 9 9 b) y c) no son identidades. 9

30 a las Enseñanzas Académicas 6. Si es un número entero, qué podemos afirmar del valor de? Para que 1 sea entero, ha de ser un número par. 6. Al simplificar la fracción algebraica , cuál de estas fracciones se obtiene? Justifícalo. 4 La c): b) ( 4) c) 4 6 0

31 a las Enseñanzas Académicas Página 100 Investiga Un triángulo curioso Esta colección de números que se abre indefinidamente hacia abajo tiene multitud de regularidades curiosas, pero, antes que nada, averigua cómo se construye. Podrías completar las casillas vacías? ???? 10??? Suma los números de cada fila y completa la tabla: n n S 1 S S S 4 S n S 1 S S S 4 S S n 4 8 Escribe una epresión algebraica para calcular la suma de los términos de la fila enésima, S n. S 1 S S S 4 S S n n 1

32 a las Enseñanzas Académicas Fíjate en estas tres escaleras de números: n? Observa que: Cuál es el tercer número de la 6.ª fila? 1 6? Y el de la número 0 (vigésim? 1 0? Escribe una epresión algebraica para la tercera casilla de la enésima fila: 1 n? Los números de la tercera escalera coinciden con las sucesivas sumas de los primeros números naturales. a 1 1 a 1 + a a Así: a ( 1+ 0 ) 0 10 Y, por fin: a n ( 1+ n) n

33 a las Enseñanzas Académicas Página 101 Entrénate resolviendo problemas Dos ciclistas parten del mismo lugar, a la misma hora y en el mismo sentido. Sus velocidades respectivas son 0 km/h y 4 km/h. Qué ventaja le sacará el primero al segundo cuando haya transcurrido una hora y cuarenta minutos? Los ciclistas se distancian a una velocidad de km/h En h se distancian 6 10 km 1 h 40 min 1 h h 6 10 h h Después de la clase de educación física, hemos guardado en 4 cajas los 9 balones que teníamos. Cada caja contiene un número impar de balones y en ningún caso coinciden el número de balones de dos cajas. Cómo es posible? De 0 jóvenes a los que se entrevistó en una sala de baile, 1 declararon ser aficionados al rock, y 1, al electro-latino. De ellos, 6 aseguraron ser aficionados a ambos ritmos musicales. Rock 6 Electro-latino Ni rock ni electro-latino Cuántos no son aficionados ni a lo uno ni a lo otro? Como hay 6 a quienes les gusta el rock y el electro-latino, a los chicos y a las chicas que les gusta uno de los dos estilos o ambos a la vez son: Como en total hay 0, a quienes no les gusta ni lo uno ni lo otro son 0 8.

34 Autoevaluación 1. Describe, mediante una epresión algebraica, los enunciados siguientes: a las Enseñanzas Académicas El precio de la pintura que se obtiene al mezclar kg de una de /kg con 7 kg de otra de /kg. b) Lo que tenemos que pagar por un helado, un refresco y un café, si el helado cuesta el triple que el café y el refresco la mitad que el helado. c) El área total y el volumen de un prisma de base cuadrada de lado y de cm de altura. El precio es b) Si es el precio de un café, + + c) Área total Volumen. Efectúa y reduce: ( ) ( )( 1) b) 4 < ( ) 4F 4 ( ) ( )( 1) b) < ( ) 4F 4< F Multiplica por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica. ( 1) 7 ( 1) ( ) ( ) 6e o 0( 1) + (7 ) 18( 1) Transforma en productos el numerador y el denominador y simplifica la fracción siguiente: ( ) ( )( + )

35 a las Enseñanzas Académicas. Calcula el cociente y el resto en cada caso: ( ) : ( + ) b) ( + + ) : ( + ) Cociente: 4 + 6; Resto: b) Cociente: + 4; Resto: Efectúa y simplifica si es posible. + 1 b) d :( ) n ( ) ( ) b) c m:( ) + 1 ( ) ( + 1)( ) Cuál debe ser el valor de m para que sea raíz del polinomio P + m + 1? + m m m 8 m 7 8. Verdadero o falso? Justifica y pon ejemplos. La epresión 9 1 ( ) es una identidad b) Si multiplicamos dos binomios de grados 1 y, se obtiene un polinomio de grado. c) Si sumamos dos binomios, se obtiene siempre un binomio. d) Los números son monomios. e) Los monomios a b y ab son semejantes. f) Al dividir y : 6y se obtiene un monomio. Verdadero, se ha etraído factor común. b) Verdadero. ( (byz) (abyz) c) Falso. Por ejemplo: ( + ) + ( ) d) Falso. Un monomio ha de tener parte literal. e) Falso, ya que las partes literales de ambos son distintas. f) Verdadero. Se obtiene.