Además habrá operaciones de fracciones algebraicas del tipo que hemos realizado en clase y que os aparecen en la hoja de ejercicios nº2.

Transcripción

1 Modelo examen tema 2 Además habrá operaciones de fracciones algebraicas del tipo que hemos realizado en clase y que os aparecen en la hoja de ejercicios nº2. Ejercicio nº 1.- a) Halla el valor numérico de P(x) 2x 3 x 2 3x 6 para x 1. b) Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x 1? a) P( 1) b) Sí. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x) : (x 1) coincide con P( 1). En este caso P( 1) 0; por tanto, P(x) es divisible entre x 1. Ejercicio nº 2.- Descompón en factores los siguientes polinomios: a) x 5 x 4 2x 3

2 b) x 3 3x 2 a) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación: x 5 x 4 2x 3 x 3 x 2 x 2 Por tanto: x 5 x 4 2x 3 x 3 x 1 x 2 b) Utilizamos la regla de Ruffini: x 3 3x 2 x 1 2 x 2

3 Ejercicio nº 3.- Descompón en factores el dividendo y el divisor, y luego simplifica: En el primer paso sacamos factor común y en el segundo paso aplicamos el producto notable a 2 b 2 a b a b a la expresión x 4 1. Ejercicio nº 4.- Opera y simplifica:

4 a) Observamos que tenemos el producto notable a b a b a 2 b 2. Así: x 2 4x 4 (x 2) 2 Luego: Ejercicio nº 5.-

5 Una cuadrilla de segadores siega un campo de heno en x horas. Una segunda cuadrilla tarda el doble en segar el mismo campo. Expresa en función de x la parte de campo que siegan las dos cuadrillas en 1 hora. Ambas cuadrillas juntas segarán en 1 hora: Ejercicio nº 6.- Escribe un polinomio de cuarto grado que cumpla, en cada caso, las siguientes condiciones: a No tenga raíces. b Tenga sólo dos raíces: 2 y 3.

6 a Por ejemplo, P(x 3x 4 2. b Por tener como raíces 2 y 3, el polinomio ha de tener como factores x 2 y x 3. Además, otro factor debe ser un polinomio de grado 2 sin raíces, como por ejemplo x 2 1. Por tanto: Ejercicio nº 7.- Opera y simplifica:

7 Otro modelo de examen: Matemáticas, opción B Opción B Educación Secundaria 4 SOLUCIONES Evaluación: Fecha:... Ejercicio nº 1.- Halla el valor de k para que el polinomio P(x) kx 3 2kx 2 3x 1 sea divisible entre x 1. Para que P(x) sea divisible ente x 1, ha de ser P(1) 0; es decir: Ejercicio nº 2.- Factoriza estos polinomios: a) x 4 2x 3 x 2 b) x 3 4x 2 x 6

8 a) Sacamos factor común y utilizamos que a 2 2ab b 2 a b 2 : x 4 2x 3 x 2 x 2 x 2 2x 1 x 2 x 1 2 b) Utilizamos la regla de Ruffini: x 3 4x 2 x 6 x 2 x 3 x 1 Ejercicio nº 3.- Descompón en factores el numerador y el denominador, y luego simplifica.

9 En el primer paso sacamos factor común; en el segundo paso aplicamos la identidad notable a 2 b 2 a b a b a la expresión x 2 49, y finalmente dividimos numerador y denominador entre el máx.c.d. de ambos, que es x (x 7). Ejercicio nº 4.- Calcula y simplifica: a Efectuamos el producto:

10 Factorizamos para simplificar: x 4 3x 2 2x x x 3 3x 2 Aplicamos Ruffini para calcular las raíces de la ecuación x 3 3x 2 0: Así: x 4 3x 2 2x x x 1 2 x 2 x 2 6x 9 x 3 2 x 2 2x 1 x 1 2 x 2 + 2x x x 2 Por tanto:

11 Ejercicio nº 5.- Expresa mediante polinomios el área y el volumen de este cilindro:

12 Volumen A BASE Altura x 2 (x 5 x 3 5 x 2 Área A LATERAL A BASES 2 x (x 5 2 x 2 2 x 2 10 x 2 x 2 4 x 2 10 x Ejercicio nº 6.- Razona por qué x 1, x 1, x 2, x 2 son posibles divisores del polinomio x 3 2x 2 x 4. Puede serlo también x 3? Que x 1, x 1, x 2, x 2 sean posibles divisores de x 3 2x 2 x 4 equivale a decir que 1, 1, 2 y 2 son posibles raíces de dicho polinomio, lo cuál es cierto porque los cuatro números son divisores del termino independiente 4. Por ese mismo motivo, 3 no puede ser raíz entera del polinomio y por tanto x 3 no va a ser divisor suyo. Ejercicio nº 7.- Opera y simplifica:

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14 Matemáticas, opción B Opción E Educación Secundaria 4 SOLUCIONES Evaluación: Fecha:... Ejercicio nº 1.- Halla el valor de k para que el polinomio P(x) kx 3 2kx 2 3x 1 sea divisible entre x 1. Para que P(x) sea divisible ente x 1, ha de ser P(1) 0; es decir: Ejercicio nº 2.- Descompón en factores los siguientes polinomios: a) x 5 x 4 2x 3 b) x 3 3x 2

15 a) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación: x 5 x 4 2x 3 x 3 x 2 x 2 Por tanto: x 5 x 4 2x 3 x 3 x 1 x 2 b) Utilizamos la regla de Ruffini: x 3 3x 2 x 1 2 x 2

16 Ejercicio nº 3.- Simplifica la siguiente fracción algebraica: Descomponemos factorialmente el numerador y el denominador: Numerador Sacamos factor común 2 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º grado: 2x 3 10x 2 16x 8 2 x 3 5x 2 8x Así:

17 2x 3 10x 2 16x 8 2 x 2 2 x 1 Denominador Sacamos factor común 4 y aplicamos la regla de Ruffini hasta llegar a un polinomio de 2º grado: 4x 3 8x 2 4x 8 4 x 3 2x 2 x x x 2 1 x 1 Así: 4x 3 8x 2 4x 8 4 x 2 x 1 x 1 Simplificación: Se obtiene dividiendo numerador y denominador entre el máx.c.d. de ambos, que es 2 x 2 x 1.

18 Ejercicio nº 4.- Efectúa y simplifica: a) Efectuamos cada paréntesis y luego multiplicamos: b) Observamos que 4x 2 1 2x 1 2x 1. Luego:

19 Ejercicio nº 5.- Traduce al lenguaje algebraico empleando una sola incógnita: a El área de un rombo cuyas diagonales suman 46 cm. b Una cantidad x aumentada un 25%. c El producto de dos números cuya diferencia es 9. d La diferencia de precio que habría entre alquilar un autobús por 540 x estudiantes o seis menos. b 1,25x

20 c Los números son x y 9 x Producto x (9 x 9x x 2 Ejercicio nº 6.- Opera y simplifica:

21 Ejercicio nº 7.- Expresa algebraicamente mediante un polinomio el área de esta figura: