TEMA 2: ÁLGEBRA 1. TEOREMA DEL RESTO Y APLICACIONES

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Esperanza Río Cano
hace 6 años
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1 TEMA 2: ÁLGEBRA 1. TEOREMA DEL RESTO Y APLICACIONES Dado un polinomio P(x) y un número real a, el resto de la división de P(x) entre (x a) es P(a) (es decir, el resultado de sustituir el valor de x por el número a y calcular). Demostración y ejemplo: Consecuencia: Si al sustituir la x por un número el resultado es cero, significa que la división anterior es exacta. Esos números que dan resultado cero se denominan raíces del polinomio. Además, si a es una raíz de P(x) podemos factorizar el polinomio como P(x) = C(x) (x a) donde C(x) es un polinomio de menor grado que P(x). Factorización de un polinomio de coeficientes enteros: Buscamos escribir un polinomio como multiplicación de otros que sean de menor grado, si es posible de la forma (x a). Seguimos los siguientes pasos: 1) Si el polinomio es de segundo grado: ax 2 + bx + c resolvemos la ecuación ax 2 + bx + c = 0. Existen varias posibilidades a la hora de resolver: a) Si la ecuación no tiene solución real (raíz de número negativo), entonces no se puede factorizar. No tiene raíces reales. 2x 2 + 3x +5 b) Si la ecuación tiene dos soluciones distintas p y q, esos números son las raíces del polinomio y podremos factorizar de la forma a (x p) (x q) 2x 2 + 5x - 3 c) Si la ecuación tiene una única solución p, entonces se dice que es raíz doble y se puede factorizar de la forma a (x p) 2 2x 2-4x + 2

2 2) Si el polinomio es de grado mayor que dos y el término independiente es cero, sacamos factor común x elevado al menor exponente (en ese caso una raíz es el número cero), si no fuera cero aplicamos el método de Ruffini con los divisores del término independiente, ya que esos números son las únicas raíces enteras posibles. Si conseguimos que algún número a de resto cero, habremos encontrado una raíz y podremos factorizar el polinomio de la forma P(x) = C(x) (x a) donde C(x) es el cociente de la división. Podremos continuar el proceso siguiendo los pasos 1) o 2) con el nuevo polinomio C(x) x 5-2x 4 x 3 +2x 2 2. FRACCIONES ALGEBRAICAS Se denominan fracciones algebraicas a fracciones en las que aparecen polinomios. Para realizar operaciones entre ellas se trabaja de forma idéntica que con las fracciones numéricas, considerando que ahora los factores no son números sino polinomios, sobre todo a la hora de calcular el m.c.m. Simplificación: Factorizamos el numerador y del denominador, y posteriormente eliminamos los factores comunes a ambos. Operaciones: En el caso de sumas o restas debemos sacar el m.c.m. de los denominadores.

3 3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES A) Polinómicas: Dejamos uno de los miembros de la ecuación igual a cero. Las soluciones serán las raíces del polinomio resultante. (Ejemplo idéntico a la factorización de polinomios). B) Racionales: Son ecuaciones con polinomios en denominadores. Para resolverlas, se calcula el m.c.m. de todos los denominadores y se multiplican ambos miembros por ese resultado, de esta forma conseguiremos una ecuación polinómica equivalente a la dada. Debemos comprobar al final, si las soluciones resultantes, anulan algún denominador inicial, si fuera ese el caso, esa solución no es válida. C) Irracionales: Son ecuaciones en las que la incógnita aparece dentro de un radical. Para resolverlas se comienza aislando uno de los radicales en un miembro, para posteriormente elevar toda la ecuación al índice de la raíz aislada. Este procedimiento, debe repetirse hasta que desaparezcan todas las raíces. Una vez ocurra esto, tendremos una ecuación del tipo A) o B). Las soluciones finales, deben comprobarse en la ecuación inicial, para asegurar que son correctas. D) Exponenciales: Son ecuaciones donde la incógnita aparece en exponentes. Podrían darse varios casos: Que todas las bases sean iguales o potencias de la menor: Entonces usamos las propiedades de las potencias para que aparezcan todas con igual base y exponente. En tal caso realizamos un cambio de variable para poder expresarlas como una ecuación polinómica. Después de resolver deshacemos el cambio de variable.

4 Que existan bases con distintos factores. Entonces separamos una base en un miembro y otra en otro, para después hacer logaritmos en una de las bases y resolver. E) Logarítmicas: Son ecuaciones en las que la incógnita está en el argumento de un logaritmo. Para resolverlas, aplicamos propiedades de logaritmos hasta que conseguimos uno de los siguientes casos: Cada miembro de la ecuación es una expresión logarítmica de igual base. En tal caso, igualamos los argumentos, para resolver la ecuación. Comprobamos que la solución final dé argumentos positivos. En un miembro hay un logaritmo y en el otro no. Aplicamos la definición de logaritmo en forma de potencia. Comprobamos que la solución final dé argumentos positivos.

5 4. SISTEMAS DE ECUACIONES A) Lineales: Aplicamos el conocido como método de Gauss, en el cual se va realizando el método de reducción sucesivamente hasta que llegamos a un sistema equivalente triangular (cada ecuación tiene menos incógnitas que la ecuación anterior). Si alguna ecuación resultante es de la forma 0 = k entonces no existe solución, y si es de la forma 0 = 0 tiene infinitas soluciones. B) No lineales: En estos sistemas, las ecuaciones tienen expresiones complejas (raíces, potencias, logaritmos, ). Podemos resolverlas aplicando sobre todo los métodos de sustitución o reducción, y con las propiedades necesarias para su simplificación. Es interesante utilizar cambios de variable, para que la expresión tenga una forma más simple. Siempre que utilicemos este último método debemos deshacer el cambio al final. Ejemplos:

6 5. INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones donde aparecen los símbolos <, >, o. Las soluciones de una inecuación son intervalos de números. Estudiemos los siguientes casos: A) Primer grado: Se resuelven de forma idéntica a las ecuaciones de primer grado, con la salvedad de que si multiplicamos o dividimos la ecuación por un número negativo, invertimos el símbolo de la desigualdad. B) Polinómicas: Dejamos cero en uno de los miembros y el resto de la ecuación en el otro miembro. Calculamos las raíces de ese polinomio. Posteriormente, se colocan esas raíces en la recta real dividiendo ésta en intervalos. Elegimos un número en cada uno de esos intervalos para comprobar si cumple la condición de la inecuación (observamos solamente el signo). C) Racionales: De igual forma que en las anteriores, dejamos cero en uno de los miembros y operamos el resto de la expresión hasta que obtenemos una fracción algebraica. Calculamos las raíces del numerador y del denominador y realizamos el mismo proceso que en el apartado B).

7 D) Sistemas de inecuaciones con una incógnita: Resolvemos cada inecuación por separado, para posteriormente realizar la intersección entre todas las soluciones. E) Sistemas lineales con dos incógnitas: Estos sistemas ser resuelven de forma gráfica. Dibujamos las rectas asociadas a cada inecuación, sustituyendo los símbolos <, >, o por el signo =. Elegimos las coordenadas de un punto del plano que no pertenezca a las rectas dibujadas anteriormente. Sustituimos en cada inecuación las coordenadas de dicho punto para comprobar si cumple o no la condición. Eliminamos el semiplano que no cumpla la condición. Las soluciones del sistema son todos los puntos del plano que han quedado sin eliminar. En el caso de que alguna de las inecuaciones tenga el símbolo o, entonces los puntos de esa recta están incluidos.

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