Tema 1: Otros tipos de ecuaciones. En este tema trataremos otras ecuaciones distintas a las de primer y segundo grado.

Transcripción

1 Tema 1: Otros tipos de ecuaciones En este tema trataremos otras ecuaciones distintas a las de primer y segundo grado.

2 Ecuaciones polinómicas Caso general: son las formadas por un polinomio igualado a cero. Por ejemplo: -x 3 +2x 2 +x-2 = 0 En este tema se estudian aquellas que las soluciones son enteras y se pueden resolver aplicando la regla de Ruffini sucesivamente probando los divisores del término independiente (en el ejemplo propuesto se probaría con 1, 1,2 y 2, siendo finalmente las soluciones: 1, 1 y 2). Una misma solución puede repetirse varías veces diciéndose entonces que son dobles (2 veces), triples (3 veces), etc. El número total de soluciones contando las repeticiones es igual al grado del polinomio. En este ejemplo vemos que es 3. Ecuaciones productos: son el aquellas en el que el polinomio está descompuesto en factores. Por ejemplo (x-2)(x+5)(x-3)=0 = 0 Para obtener las soluciones basta igualar cada factor a cero. X- 2 = 0 => x = 2 ; x+5=0 => x = -5 ; x-3 = 0 => x = 3

3 Ecuaciones irracionales Son aquellas en las que aparecen raíces de polinomios en su expresión. Para resolverlas se intenta aislar una de las raíces en un miembro y se elevan los dos al cuadrado para simplificarla. Si hubiera más de una raíz se repetiría el procedimiento. Sustituir las soluciones obtenidas en la ecuación original para comprobar si son válidas. Hay que tener en cuenta que las raíces de índice par de números negativos no son válidas (no son números reales). Puede ser necesario el utilizar el cuadrado de una suma o de una diferencia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2

4 Logaritmos Es la operación inversa de la exponenciación. El logaritmo en base a de un número c es el exponente b al que hay que elevar la base a para obtener el número c y se expresa de la siguiente forma: b = c <=> a c = b (siendo: a>0, b>0, a 1) Por ejemplo: log 2 16 = 4 ya que 2 4 = 16 Cuando la base es el número 10, se llaman logaritmos decimales (o también llamados vulgares o de Briggs) y en este caso no hace falta especificar la base, de esta forma: log lo escribiremos como log Propiedades Ejemplos 1 = 0 a = 1 log 5 1 = 0 log 5 5 = 1 b + c = b c b c = b/c b n = n b a n = n log log 2 7 = log = log 2 35 log 2 45 log 2 7 = log 2 45/7 = log 2 5 log = 4 log 2 5 ; log 6 3 = 3 log 6 log = 4 ; log 10 6 = 6 z = log b z/log b a log 2 9 = log 5 9/log 5 2 log 2 15 = log 15/log 2

5 Ecuaciones exponenciales Son aquellas en las que la incógnita está en el exponente de alguna potencia de base conocida. No todas estas ecuaciones se pueden resolver mediante transformaciones algebráicas y se utilizan en dichos casos cálculos numéricos que nos dan una solución aproximada de la solución exacta. En algunas de ellas hay que aplicar logaritmos. Tipos: 3 2 x-1 = 48 podemos reducirlas a una igualdad entre dos potencias de la misma base. 3 2 x-1 = 27 no podemos reducirlas a una igualdad entre dos potencias de la misma base, por lo que haremos uso de los logaritmos y de sus propedades (sobre todo el de la potencia: n = n 8 x-1 = 2 x+5 podemos reducirlas a una igualdad entre dos potencias de la misma base. 2 x+2-2 x+1 = 16 podemos sacar factor común una potencia, quedándonos reducida la ecuación a una más sencilla. 2 2x -5 2 x + 4 = 0 podemos reducirlas a una ecuación de segundo grado realizando un cambio de incógnita.

6 Ecuaciones logarítmicas Son aquellas en las que la forma parte de un logaritmo. No todas estas ecuaciones se pueden resolver mediante transformaciones algebráicas y se utilizan en dichos casos cálculos numéricos que nos dan una solución aproximada de la solución exacta. Finalmente hay que comprobar las soluciones ya que el logaritmo de un número menor o igual que cero no es un número real. Tipos: log 2 (x-1) = 3 basta aplicar la definición de logaritmo. log 2 (x-1) + log 2 3 = log 2 (x+1) se aplican las propiedades de los logaritmos (en este caso el de la suma) y conseguir que en cada miembro quede un logaritmo con la misma base. log x+ log (x+1) = 1 hay que expresar los números que no estén con logaritmos de forma logarítmica (aplicamos la propiedad n = a n ) y conseguir que en cada miembro quede un logaritmo con la misma base.