2 x. log = logaritmo, por definición, debe ser positiva, es decir, x > 0. Luego x=2. 8 no es exacto, pues

Transcripción

1 EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO ) Hallar el eponente al que ha que elevar 7 para obtener 0 Piden hallar para que ) Calcular el aritmo en base de los siguientes números: a) ; b) ; c) ; d) ; e) a) ( ) b) c) ( ) d) ( ) e) ( ) ) Hallar en: a) ; b) 6 ; c) a) ± ± Pero la base de un aritmo, por definición, debe ser positiva, es decir, > 0 Luego * b) 6 6 ± 6 ± ± Pero la base de un aritmo, por definición, debe ser positiva, es decir, > 0 Luego Nota *: Ya sabemos que (véase los problemas de radicales): n ± a si n es par a > 0 (a es positivo) n a no eiste si n es par a < 0 (a es negativo) n a si n es impar (a da igual que sea positivo, negativo o cero) c) 66 ) Calcular 0 El aritmo 0 no es eacto, pues 0 ( ) esta ecuación eponencial ( ) 0 no se puede resolver algebraicamente, pues las bases, no son la misma Así, para calcularlos aplicamos la fórmula del cambio de base del aritmo a, por ejemplo, base el número e (aritmo neperiano): e ln, , ln 0,77076 e Página:

2 EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO ) El aritmo de 0, en una cierta base es Se pide: a) Hallar dicha base b) Calcular el aritmo de 0,0 en dicha base a) Piden hallar para que 0, Pues vamos, con ánimo alegría a hallar esa base que nos piden, VINGA! : 0, 0, 0, ( ) ( 0,) ( 0,) 0,07 b) 0,0 0,07 0, Como los decimales, al ilustre profesor que ( ) 0 0,07 escribe, no le gustan mucho, a que prefiere operar, por tanto enseñar, con fracciones o radicales, pues resulta que: 0,07 0, Como a tenemos una ecuación (ecuación viene del latín equal, es decir, igualdad) con la misma base, a saber por el lector miope 0, igualamos los eponentes Luego Observación: Los siguientes ejercicios puede, según el libro de referencia que utilice el alumno/a, que las ecuaciones eponenciales arítmicas se estudien al ver las funciones arítmicas eponenciales, allá, en la maoría de los centros educativos, por el segundo trimestre 6) Resolver la ecuación: Este es el uno de los dos tipos clásicos (de los que han caído en los eámenes durante toda la vida) para resolver ecuaciones eponenciales Consiste, como has visto en el ejercicio en el anterior en ingeniárselas (un poco de ingenio por parte del lector, por favor) para que en los dos miembros de la equal (igualdad) tengan la misma base Pos vamos allá : ( ) [ ] Y ahora, pos igualamos los eponentes san sacabó : 7) Resolver la ecuación: Este es el otro de los dos tipos clásicos (de los que han caído en los eámenes durante toda la vida) para resolver ecuaciones eponenciales Consiste en hacer un cambio de variable 0 Página:

3 EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO ( ) 0 La ecuación anterior es Realizando el cambio, la ecuación eponencial ( ) 0 queda como la siguiente ecuación de segundo grado en : 0 ; cua soluciones son, - Deshaciendo el cambio, se tiene que 0 0 Esta solución es imposible pues las funciones eponenciales son siempre positivas ) Resolver la ecuación: 7 0 Otro ejemplito del segundo tipo de ecuación eponencial clásico (del que te pondrá tu ilustrísimo profesor en el próimo eamen) para resolver ecuaciones eponenciales Consiste, recuerda, en hacer un cambio de variable La ecuación anterior es ( ) 7 ( ) 0 la ecuación eponencial ( ) 7 ( ) 0 Página: Realizando el cambio, queda como la siguiente ecuación de tercer grado en : 7 0 : Aplicamos el método de Rufinni para factorizar (poner como producto de factores) el primer miembro 7 Ya sabemos que debemos que las posibles raíces que sean números enteros se encuentran entre los divisores de, a saber: ±, ±, ±, ± Probando con queda: -7 - Luego: 7 ( )( ) polinomio : -0-0 Sigamos descomponiendo el ( ) ( ) ± ± 6 ± ± Por tanto, la ecuación de tercer grado en queda así: 7 0 ( )( ) ( ) 0 Así, si tenemos varios productos igualados a 0, al menos uno de ellos es 0 Luego: ( )( ) ( ) Las soluciones de la ecuación 7 0 son,, Deshaciendo el cambio, se tiene que 0 0 ) Resolver la ecuación: 6

4 EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO Este es otro ejemplo del segundo tipo de ecuación eponencial clásico (del que te pondrá tu ilustrísimo profesor en el próimo eamen) para resolver ecuaciones eponenciales, lo que pasa es que éste ejemplo está un poco escondido Vamos a encontrarlo Recuerda que consiste en hacer un cambio de variable 6 Ya sabemos que las soluciones de una equal no cambian si multiplicamos ambos miembros por una cantidad no nula (no nula quiere decir distinta de cero) Multipliquemos ambos miembros por el denominador : ( ) Como ha denominadores, multiplicamos ambos miembros por el denominador : ( ) ( ) Realizando el cambio, la ecuación eponencial ( ) queda como la siguiente ecuación de segundo grado en : Luego ( ) ( ) ( ) ± ± ± ± Deshaciendo el cambio, se tiene que Esta solución es imposible pues las funciones eponenciales son siempre positivas 0) Resolver el sistema: La primera ecuación es una ecuación eponencial del primer tipo, es decir, para resolverla necesito en ambos miembros la misma base, para después igualar los eponentes La segunda ecuación es una ecuación con dos incógnitas e de toda la vida Así: Página:

5 EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO 7 Si, entonces 7 Luego la solución al sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es, ) Resolver las siguientes ecuaciones arítmicas: a) ( ) b) 0 c) d) 0 00 e) ( ) Todas estas ecuaciones son ecuaciones arítmicas, pues como el lector puede comprobar, interviene la palabra de aritmo Este tipo de ecuaciones se resuelven mu fácilmente, están tiradas!, a que basta poner los dos miembros con aritmos en la misma base para luego igualar las epresiones de dentro Resolvámoslas: a) El primer miembro a lo tengo todo como aritmo en una base (0), sin embargo el segundo miembro no lo tengo como aritmo en base 0 Pues pongámoslo: 0 a que 0 0 Luego: ( ) ( ) 0 Y ahora que tenemos los dos miembros con aritmos en la misma base, igualamos las epresiones algebraicas de dentro: ( ) b) ± ± Sin embargo la solución si es válida pues tiene sentido pues son aritmos de números positivos, pero la solución - no es válida pues ( ) no tiene sentido a que ( ) no eiste (Ya sabe el lector que la función aritmo en cualquier base sólo eiste para valores positivos, es decir, el 0, ) dominio de la función aritmo es ( ) Página:

6 EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO c) d) , ( 0 ) ( ) 0 0 Ahora observamos las dos soluciones que hemos obtenido 0, las substituimos en la ecuación inicial 0 00, obteniendo: , que no tiene sentido pues el aritmo de 0 en cualquier base no eiste (el dominio de la función aritmo es ( 0, )) 0 00, en el que todo tiene sentido pues son aritmos de números positivos Conclusión: La solución a la ecuación arítmica es e) ( ) ( ) 00 ( ) ( ) Ahora observamos las dos soluciones que hemos obtenido 0 las substituimos en la ecuación inicial ( ), obteniendo: 0 0 ( 0) 0 0 0, que no tiene sentido pues el aritmo de 0 en cualquier base no eiste (el dominio de la función aritmo es 0, ) ( ) Página: 6

7 EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO ( ) 7 7, en el que todo tiene sentido pues son aritmos de números positivos Conclusión: La solución a la ecuación arítmica es ) Resolver los siguientes sistemas: a) ; b) a) 0 ; c) ( ) Por tanto, resolver el sistema de dos ecuaciones arítmicas se ha reducido a resolver el sistema no lineal Ya sabemos que para resolver un sistema de ecuaciones no lineal, lo normal es aplicar los métodos de sustitución o de reducción Terminemos de resolver el problema: Si, entonces Luego la solución es,, las cuales tienen sentido, a que al sustituirlas en el sistema inicial todos los aritmos son de números positivos 0 0 b) Resolviendo la ecuación de segundo grado en , se tiene que 00 Página: 7

8 EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO ( ) ± 0 00 ± 0000 ± Si, entonces Si -00, entonces ( 00) Pero la solución, -00 no tiene sentido al sustituirla en el sistema, pues en la 0 primera ecuación da aritmos de números negativos que no eisten Por tanto la solución es 00, 0 c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Si, entonces 7 La solución es 7,, pues al sustituirla en el sistema 7 todo tiene sentido al salir aritmo de números positivos 7 ) Resolver la ecuación: 6 6 ) Resolver la ecuación: 7 ( ) 6 6 ( ) ) Resolver la ecuación: ( ) 0 0 Realizando el cambio, la ecuación eponencial ( ) 0 0 queda como la siguiente ecuación de segundo grado en : son, Deshaciendo el cambio, se tiene que 0 0, cuas soluciones Página:

9 EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PROFESOR: ANTONIO PIZARRO Esta solución es imposible pues las funciones eponenciales son siempre positivas 6) Resolver los sistemas: 6 a) ; b) Éste es el último de los problemas clásicos (insisto, de los que caen en el eamen) Consiste en realizar un cambio convertir el sistema de ecuaciones eponenciales en un sistema de ecuaciones lineal que a sabemos resolver desde º de ESO Después, no olvidarse de deshacer el cambio Resolvamos los sistemas: a) a b Realizando el cambio a, b el sistema anterior queda, cuas a b soluciones son a, b 7 Deshaciendo el cambio, se tiene que a b 7 b) a b 6 Realizando el cambio a, b el sistema anterior queda, cuas a b 0 soluciones son a, b Deshaciendo el cambio, se tiene que a b Página: