TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES 7.1 Ecuaciones lineales con dos incógnitas Actividades página Obtén dos soluciones de cada ecuación y representa las rectas correspondientes. b) x y Esto se lee como que tenemos dos valores que al sumarlos nos da cuatro. Elegimos primero un valor para una de las variables y luego calculamos el otro en función del elegido. si x 3 3 y y 3 1 punto A 3, 1 si x 7 7 y y 7 3 punto B 7,3 Ya tenemos dos puntos, y sabemos que una recta queda univocamente determinada si conocemos dos de sus puntos. Por lo tanto, estamos en condiciones de representarla. Tareas : 1 a, 7. Sistemas de ecuaciones lineales Dado un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se clasifica según su solución en: Sistema compatible determinado: tiene un única solución. Gráficamente es: y x Es decir, las dos rectas se cortan en un punto. Sistema compatible indeterminado: tenemos infinitas soluciones

2 Gráficamente es: y x Es decir, tenemos dos rectas superpuestas que coinciden en todos sus puntos. Sistema incompatible: no tiene solución. Gráficamente es: y 3 1 Es decir, tenemos dos rectas paralelas. Tareas : 1 de la página x 7.3 Resolución de sistemas de ecuaciones Método de sustitución Actividades página 113 Resuelve, por el método de sustitución, los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x y 9 3x y 8 Elegimos una incógnita, por ejemplo la x y la primera ecuación. Despejamos la x en dicha ecuación: x y 9 x 9 y x 9 y Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación. 3 9 y y

3 Se trata de una ecuación de 1º grado en la incógnita y. 7 3y y 8 Como tenemos una igualdad con los mismos denominadores a ambos lados, se pueden eliminar. 7 3y 8y 3 y 3 7 y y 1 Ahora, hemos de sustituir este valor de y para hallar el correspondiente valor de x: x El sistema es compatible determinado con una única solución x, y, 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 7.3. Método de igualación Actividades página 11 3 Resuelve, por el método de igualación, los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x y x 3y Elegimos la incógnita y. En las dos ecuaciones para despejarla. y x x 3y y x x y 3 Igualamos las dos expresiones obtenidas. x x 3 3 x x 1 3x x x 3x 8 8x x Ahora sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y: y 1 1 Es un sistema compatible determinado con solución única x, y 1, 1 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Método de reducción Actividades página 11 Resuelve, por el método de reducción, los siguientes sistemas de ecuaciones. a) x y 3x 7y Elegimos una incógnita, la x. Multiplicamos la segunda ecuación por el coeficiente de la x en la primera ecuación, mientras que multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de x en la segunda ecuación. 3

4 x y 3 3x 7y 6x 1y 1 6x 1y Restando en columna nos queda: 0x 1y 1y 1 9y 8 y 9 8 Sustituimos este valor de y en una de las dos ecuaciones para hallar el correspondiente valor de x. x 8 9 x 0 9 8x Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son cero, los podemos quitar. 8x x Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 38 9, 8 9 Tareas : 7. Sistemas de ecuaciones lineales más complejos NO! 7. Sistema no lineales Actividades página Resuelve los siguientes sistemas d) y x 1 y x Por la forma que tiene, lo resolvemos por el "método de igualación" x x 1 x x 1 x x x 1 10x x x 1 0 x 11x 0 Ecuación de º grado completa con a 1 b 11 c que se resuelve aplicando la fórmula x b b ac a Ahora hemos de hallar los valores correspondientes de y, para lo cual sustituimos estos valores de x. si x 8 y 8 3 tenemos el punto x, y 8,3 si x 3 y 3 tenemos el punto x, y 3, Ahora hemos de realizar la comprobación pues hemos elevado al cuadrado para resolver.

5 si x, y 8, La primera no se cumple, entonces no es solución. si x, y 3, Se cumplen las dos, entonces es solución. Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 3, Tareas : 1(a b c) Examen del tema 6: Jueves Resolución de problemas mediante sistemas Actividades página 118 La suma de dos cifras de un número es. Si invertimos el orden de las cifras, el número es 9 unidades menor que el inicial. De qué número se trata? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: x es la cifra de las decenas y es la cifra de las unidades suma de dos cifras de un número es x y Si invertimos el orden de las cifras, el número es 9 unidades menor que el inicial 10 x y 9 10 y x RESOLUCIÓN x y 10x y 9 10y x Aplicamos el método de igualación. Elegimos la incógnita x para despejarla en ambas ecuaciones. x y 10x x 9 10y y x y 9x 9 9y x y x 1 y Ahora igualamos las dos expresiones obtenidas. y 1 y 1 y y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x 1 3 Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 3, SOLUCIÓN El número es 3 Atención, recuerda que como estamos trabajando en el sistema decimal es:

6 Sofía tiene un capital de euros. Deposita parte en un banco, al % anual. El resto lo invierte en acciones, con las que pierde el 11%. Al final del año ha ganado 0 euros. Cuánto destinó a cada inversión? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: x a la parte que deposita en el banco y a la parte que invierte en acciones un capital de euros x y Deposita parte en un banco, al % anualdeposita x en un banco, al % anualal final de año le dan x % de x x 0. 0x 1. 0x El resto lo invierte en acciones, con las que pierde el 11%y invierte en acciones, con las que pierde el 11%Al final le dan y 11% de y y 0. 11y 0. 89y Al final del año ha ganado 0 euros 1. 0x 0. 89y RESOLUCIÓN x y x 0. 89y 00 Aplicamos el método de sustitución. Elegimos la incógnita x en la primera ecuación para despejarla. x y Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación y 0. 89y 00 Nos ha quedado una ecuación de 1º grado en la incógnita y y 0. 89y y 0. 89y y y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 17000, 000 SOLUCIÓN Deposita en el banco euros en el banco y 000 en acciones. Tareas : 1,3, EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 1. Comprueba si el par 3, 1 es solución de alguno de los siguientes sistemas. a) x y 3x y 11 Sustituimos el punto dado en las dos ecuaciones Cierto! Entonces es solución. Tareas :1 b 6

7 Completa en tu cuaderno para que los siguientes sistemas tengan como solución x 1 y x 3y _ a) x y _ Sustituir los valores de las incógnitas y operar. 1 3 _ 1 _ _ 0 _ Finalmente es x 3y 7 x y 0, Solution is: x 1, y Tareas : (b c d) 3 Busca dos soluciones para cada una de estas ecuaciones y representa las rectas correspondientes. b) x y Como se trata de una recta, basta con conocer dos de sus puntos para que quede unívocamente determinada. Vamos a desarrollar una tabla de valores. x 0 3 y Vamos a hallar los correspondientes valores para la y. si x 0 0 y y y 1 si x 3 3 y 6 y 6 y y La tabla me queda x 0 3 y Hemos de pintar los puntos A 0,, B 3, Tareas : 3 a, 7 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución. 7

8 a) 3x y x y 1 Elegimos la incógnita y en la segunda ecuación para despejarla. y 1 x Sustituimos este valor de y en la primera ecuación. 3x 1 x 3x 0x 3x x Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y. y Es un sistema compatible determinado con solución única x, y 0,1 Tareas : 7 (b c d) 8 Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación. d) x y 3x y 10 Elegimos la incógnita x para despejarla en las dos ecuaciones. x y 3x 10 y y x 10 y x 3 Ahora igualamos las dos expresiones obtenidas para x. y 10 y 3 Nos ha quedado una ecuación de 1º en la incógnita y. 3 y 10 y 6 1y 0 8y 1y 8y 0 6 3y 6 y 6 3 Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x 10 8 Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y, Tareas : 8 (a b c) 9 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción. d) x y 3 10x 3y 1 Elegimos la incógnita y. Multiplicamos por 3 (coeficiente de y en la segunda ecuación) la primera ecuación; mientras que multiplicamos por (opuesto del coeficiente de y en la primera ecuación) la segunda ecuación. x y 33 10x 3y 1 1x 6y 9 0x 6y 8

9 Sumando en columna, obtenemos: 1x 0x 6y 6y 9 3x 7 x Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y. 1 y 3 1 y y y 1 Se trata de un sistema compatible determinado con soluición única x, y 1,1 Tareas : 9 ( a b c) 1 Halla las soluciones de este sistema. d) 3x y 3 x y 9 Elegimos la incógnita y en la primera ecuación para despejarla. 3x 3 y Sustituimos este valor de y en la segunda ecuación. x 3x 3 9 x 3x 3x x 9x 18x x 18x 0 x11x 18 0 Como tenemos un producto, será cero si alguno de los multiplicandos es cero. x 0 Ó 11x 18 0 x 0 Ó 11x 18 x 0 Ó x Sustituimos estos valores de x para hallar los correspondientes valores de y. si x 0 y solución 0,3 si x y solución 18 11, 1 11 El sistema tiene dos soluciones. Gráficamente sería: 9

10 Se trata de la intersección de una elipse con una recta. Tareas : 1 (a b c) 13 Resuelve los sistemas siguientes por el método de reducción y comprueba que tienen cuatro soluciones. b) 3x y 7 x 11y 3 Elegimos la incógnita x. Multiplicamos la primera ecuación por (coeficiente de la x en la segunda ecuación), y multiplicamos la segunda ecuación por 3 (coeficiente de la x en la primera ecuación). 3x y 7 x 11y 33 6x 10y 1 6x 33y 9 Ahora si restamos en columna nos queda: 6x 6x 10y 33y 1 9 3y 3 y y 1 1 Sustituimos estos valores de y para hallar los correspondientes valores de x. si y 1 3x 1 7 3x 7 3x 7 x 1 3 x Es decir, tenemos los puntos, 1 y, 1 si y 1 3x 1 7 3x 7 3x 7 x 1 3 x Es decir, tenemos los puntos,1 y,1 Finalmente, es cierto que quedan cuatro puntos. Gráficamente sería: 10

11 Tareas : 13 (a) 1 Resuelve los siguientes sistemas (no olvides comprobar las soluciones). a) y x x y 1 Aplicamos el método de sustitución: utilizamos la primera ecuación en la segunda. x x 1 x 1 x Elevamos al cuadrado en ambos lados de la igualdad para eliminar la raíz cuadrada. x 1 x x x 1 1 x x x 1 x x x x x 6x 7 0 Ecuación de º grado completa con x b b ac a a 1 b 6 c que se resuelve aplicando la fórmula: Ahora, hemos de sustituir estos valores de x para hallar los correspondientes valores de y. si x 7 y si x 1 y Por ahora tenemos los puntos 7, 3 y 1, 1 Vamos a comprobarlos: si x, y 7, 3 si x, y 1, Finalmente sólo tenemos una solución x, y 7, 3 es cierto en ambas, entonces si vale!!!! es falsa la segunda, entonces no vale! 11

12 Gráficamente sería: Tareas : 1 (b c d) 18 Encuentra dos números tales que añadiendo tres unidades al primero se obtenga el segundo y, en cambio, añadiendo dos unidades al segundo se obtenga el doble del primero. PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: x es el número mayor y es el número menor añadiendo tres unidades al primero se obtenga el segundo x y 3 añadiendo dos unidades al segundo se obtenga el doble del primero x y RESOLUCIÓN x y 3 x y Aplicamos el método de sustitución. Sustituimos el valor de x de la primera ecuación en la segunda. y 3 y y y y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x 3 8 Se trata de un sistema compatible deteminado con solución única x, y 8, SOLUCIÓN Los números buscados son y 8. 0 Una empresas aceitera ha envasado 3000 litros de aceite en 100 botellas de litros y litros. Cuántas botellas de cada clase ha utilizado? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: x es el número de botellas de litros y es el número de botellas de litros envasado aceite en 100 botellas x y 100 envasado 3000 litros en botellas de litros y litros x y 3000 RESOLUCIÓN 1

13 x y 100 x y 3000 Aplicamos el método de igualación. Elegimos la incógnita x para despejarla en las dos ecuaciones. x 100 y x 3000 y x 100 y 3000 y x Igualamos las dos expresiones obtenidas para x y 100 y 100 y 3000 y 00 y 3000 y y y y 600 y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 1000, 00 SOLUCIÓN Se han utilizado 1000 botellas de litros y 00 botellas de cinco litros. Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0.80 euros por cada pieza que sale de su taller para la venta, pero sufre una pérdida de 1 euro por cada pieza defectuosa que debe retirar. En un día ha fabricado bombillas, obteniendo unos beneficios de 170 euros. Cuántas bombillas válidas y defectuosas se fabricaron ese día? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: x es el número de bombillas válidas y es el número de bombillas defectuosas un beneficio de 0.80 euros por cada pieza que sale de su taller para la venta, pero sufre una pérdida de 1 euro por cada pieza defectuosa que debe retirar. Obteniendo unos beneficios de 170 euros 0. 8x y 170 un día ha fabricado bombillas x y RESOLUCIÓN 0. 8x y 170 x y Aplicamos el método de reducción. Sumamos en columna para obtener. 0. 8x x y y x 00 x Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y. y y 30 Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y, 30 13

14 SOLUCIÓN Ha fabricado bombillas válidas y 30 defectuosas. La diferencia de dos números es 6, y la de sus cuadrados es 1. Halla los números. PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: x es un número y es el otro número La diferencia de dos números es 6 x y 6 la diferencia de sus cuadrados es 1 x y 1 RESOLUCIÓN x y 6 x y 1 Aplicamos el método de sustitución. Despejamos la x en la primera ecuación. x y 6 Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación. y 6 y 1 y y 6 6 y 1 1y 1 36 y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. x Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 1, 9 SOLUCIÓN Los números son 9 y 1. ATENCIÓN. EL JUEVES DE ABRIL A LAS 08:00 EXAMEN DEL TEMA 7: SISTEMAS DE ECUACIONES. 1