SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN GRÁFICA Y CLASIFICACIÓN

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Cristina Araya San Segundo
hace 7 años
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1 SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN GRÁFICA Y CLASIFICACIÓN (Representación gráfica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas) La gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una recta, por lo tanto, al representar un sistema de dos ecuaciones de primer grado o lineales con dos incógnitas obtendremos dos rectas Ax + By = C Ax + By = C 1) Se representa la recta correspondiente a la primera ecuación. 2) Se representa la recta correspondiente a la segunda ecuación. 3) La solución del sistema es el punto de intersección de ambas rectas EJEMPLOS Resuelve gráficamente los siguientes sistemas: 4x 3y= 19 8x 12y= 12 1) 2) x+ 2y= 13 10x+ 15y= 15 3) 2x+ 3y= 8 2x+ 3y= 2 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 1

2 Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es de la forma Ax + By = C Para representar una ecuación de primer grado con dos incógnitas: 1) Se despeja una de las incógnitas. (La más fácil de despejar) 2) Se hallan dos puntos de la recta. Para hallar un punto de la recta se le da un valor arbitrario a la incógnita no despejada y se calcula el correspondiente valor de la otra incógnita. Para hallar el otro punto volvemos a repetir el procedimiento anterior. (Intenta localizar, si es posible, algún valor para que las dos coordenadas sean números enteros). x1 y1 P( x1, y1) Q x, y Recuerda: x es la primera coordenada e y la segunda coordenada. No las cambies de orden. 3) Representamos en unos ejes de coordenadas los dos puntos y trazamos la recta que determinan. I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 2

3 EJEMPLO 1 Resuelve gráficamente el sistema: 4 x 3 y= 19 x+ 2y= 13 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 3

4 EJEMPLO 1 Resuelve gráficamente el sistema: 4 x 3 y= 19 x+ 2y= 13 4x 3y=19 3y= 4x+ 19 3y=4x 19 4x 19 y = 3 x= 1 y= 5 x= 4 y= A 1, B 4, 1 x+ 2y= 13 x= 2 y+ 13 y= 1 x= 11 y= 2 x= C 11,1 9 2 D 9, 2 Se han obtenido dos rectas secantes que se cortan en el punto P ( 7, 3). Este punto es la solución del sistema y como solo tiene una solución es un sistema compatible determinado. I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 4

5 Rectas secantes SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (Solución única) x = 7 Punto de intersección P ( 7, 3) Solución única y = 3 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 5

6 EJEMPLO 2 Resuelve gráficamente el sistema: 8x 12y= 12 10x+ 15y= 15 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 6

7 EJEMPLO 2 Resuelve gráficamente el sistema: 8x 12y=12 12y= 8x y=8x 12 8x 12 y = 12 x= 0 y= 1 x= 3 y= A 0, B 3,1 8x 12y= 12 10x+ 15y= 15 10x+ 15y= 15 15y= 10x 15 10x 15 y = A 0, B 3,1 Con las dos ecuaciones se obtiene la misma recta y, por lo tanto, cualquier punto de la recta cumpliría las dos ecuaciones y sería solución del sistema. El sistema tiene infinitas soluciones. Cualquier punto de la recta es una solución del sistema. Es un sistema compatible indeterminado. I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 7

8 Rectas coincidentes SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (Infinitas soluciones) Las dos ecuaciones representan a la misma recta 2x 3y= 3 Cualquier punto de la recta es solución del sistema 6, 5 3, 3 0, 1 Algunas soluciones son ( ), ( ), ( ), ( 3,1 ), ( 6, 3 ), 9, 5,... I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 8

9 Simplificando las dos ecuaciones podemos comprobar que son equivalentes y representan a la misma recta: 8x 12y= 12 10x+ 15y= 15 8x 12y= 12 8x 12y= 12 :4 2x 3y= 3 10x+ 15y = 15 10x+ 15y = 15 : ( 5) 2x 3y = 3 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 9

10 EJEMPLO 3 Resuelve gráficamente el sistema: 2 x+ 3 y= 8 2x+ 3y= 2 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 10

11 EJEMPLO 3 Resuelve gráficamente el sistema: 2 x+ 3 y= 8 2x+ 3y= 2 2x+ 3y=8 3y= 2 x+ 8 2x + 8 y = 3 x= 1 y= 2 x= 4 y= A 1, B 4, 0 2x+ 3y= 2 3y= 2x 2 2x 2 y = 3 x= 2 y= 2 x= 5 y= C 2, D 5, 4 Se han obtenido dos rectas paralelas. No hay punto de intersección. No hay ningún punto que cumpla simultáneamente las dos ecuaciones. El sistema no tiene solución y, por lo tanto, es un sistema incompatible. I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 11

12 Rectas paralelas SISTEMA INCOMPATIBLE (No tiene solución) I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 12

13 EJERCICIOS Para cada uno de los siguientes sistemas se pide: a) Clasifica, sin resolverlo, e interpreta gráficamente. b) Resuelve gráficamente. c) Resuelve por alguno de los métodos algebraicos. 1) 6x 15y= 18 4x+ 10y= 22 3) 2x+ 8y= 18 3x+ 12y= 27 5) 2x+ y= 5 4x+ 2y= 3 2) x+ 3y= 14 3x 4y= 16 4) 2x+ y= 4 x 3y= 5 6) 2x+ y= 1 4x 2y= 2 I.E.S. "Miguel de Cervantes" (Granada) - Departamento de Matemáticas - GBG 13

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