Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

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1 Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU.

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3 Introducción Definición 1.1 (Ecuación lineal) Una ecuación que puede escribirse en la forma ax + dy = k (1) donde a, d y k son números reales y a, d no son ambos cero, se denomina ecuación de primer grado en las variables x y y. La solución o el conjunto solución de (1) es el conjunto de pares ordenados S 0 = {(x, y) : ax + dy = k}. (2)

4 Introducción Definición 1.1 (Ecuación lineal) Una ecuación que puede escribirse en la forma ax + dy = k (1) donde a, d y k son números reales y a, d no son ambos cero, se denomina ecuación de primer grado en las variables x y y. La solución o el conjunto solución de (1) es el conjunto de pares ordenados S 0 = {(x, y) : ax + dy = k}. (2) Supongamos que d 0, entonces (2) lo podemos escribir como S 0 = j(x,y) : y = ad + kd ff x. S es una función y el conjunto {(x, y) : ax + dy = k, a 0, d 0}

5 Introducción Definición 1.1 (Ecuación lineal) Una ecuación que puede escribirse en la forma ax + dy = k (1) donde a, d y k son números reales y a, d no son ambos cero, se denomina ecuación de primer grado en las variables x y y. La solución o el conjunto solución de (1) es el conjunto de pares ordenados S 0 = {(x, y) : ax + dy = k}. (2) Supongamos que d 0, entonces (2) lo podemos escribir como S 0 = j(x,y) : y = ad + kd ff x. S es una función y el conjunto {(x, y) : ax + dy = k, a 0, d 0}

6 Introducción - Sistemas de ecuaciones o, en una forma equivalente, el conjunto {(x, y) : y = mx + b, m 0} se llama Función lineal general. y y = mx + b x Figura 1

7 Introducción - Sistemas de ecuaciones o, en una forma equivalente, el conjunto {(x, y) : y = mx + b, m 0} se llama Función lineal general. y y = mx + b x Figura 1

8 Introducción - Sistemas de ecuaciones o, en una forma equivalente, el conjunto {(x, y) : y = mx + b, m 0} se llama Función lineal general. y y y = mx + b Figura 1 x x

9 Introducción - Sistemas de ecuaciones o, en una forma equivalente, el conjunto {(x, y) : y = mx + b, m 0} se llama Función lineal general. y y y = mx + b Figura 1 x x

10 Introducción - Sistemas de ecuaciones o, en una forma equivalente, el conjunto {(x, y) : y = mx + b, m 0} se llama Función lineal general. y y y = mx + b Figura 1 x x

11 Introducción - Sistemas de ecuaciones o, en una forma equivalente, el conjunto {(x, y) : y = mx + b, m 0} se llama Función lineal general. y y y = f(x) y = mx + b Figura 1 x P(a, b) b y=g(x) a c Figura 2 Q(c, d) d x

12 Introducción - Sistemas de ecuaciones o, en una forma equivalente, el conjunto {(x, y) : y = mx + b, m 0} se llama Función lineal general. y y y = f(x) y = mx + b Figura 1 x P(a, b) b y=g(x) a c Figura 2 Q(c, d) d x

13 Sistemas de ecuaciones Dos o más ecuaciones se dice que forman un sistema o son simultaneas cuando tienen las mismas soluciones. Sistemas equivalentes son los que tienen las mismas soluciones, y resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus soluciones.

14 Sistemas de ecuaciones Dos o más ecuaciones se dice que forman un sistema o son simultaneas cuando tienen las mismas soluciones. Sistemas equivalentes son los que tienen las mismas soluciones, y resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus soluciones. Consideremos las funciones f y g de donde se tiene el sistema j y = f(x) y = g(x). (3)

15 Sistemas de ecuaciones Dos o más ecuaciones se dice que forman un sistema o son simultaneas cuando tienen las mismas soluciones. Sistemas equivalentes son los que tienen las mismas soluciones, y resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus soluciones. Consideremos las funciones f y g de donde se tiene el sistema j y = f(x) y = g(x). (3) Consideremos la siguiente pregunta:

16 Sistemas de ecuaciones Dos o más ecuaciones se dice que forman un sistema o son simultaneas cuando tienen las mismas soluciones. Sistemas equivalentes son los que tienen las mismas soluciones, y resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus soluciones. Consideremos las funciones f y g de donde se tiene el sistema j y = f(x) y = g(x). (3) Consideremos la siguiente pregunta: Qué pares ordenados son elementos de la relación R = {(x, y) : y = f(x) y y = g(x)}?

17 Sistemas de ecuaciones Dos o más ecuaciones se dice que forman un sistema o son simultaneas cuando tienen las mismas soluciones. Sistemas equivalentes son los que tienen las mismas soluciones, y resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus soluciones. Consideremos las funciones f y g de donde se tiene el sistema j y = f(x) y = g(x). (3) Consideremos la siguiente pregunta: Qué pares ordenados son elementos de la relación R = {(x, y) : y = f(x) y y = g(x)}? Si R xy y H xy son proposiciones en las variables x y y, entonces {(x, y) : R xy y H xy} = {(x, y) : R xy} {(x, y) : H xy}.

18 Sistemas de ecuaciones Dos o más ecuaciones se dice que forman un sistema o son simultaneas cuando tienen las mismas soluciones. Sistemas equivalentes son los que tienen las mismas soluciones, y resolver un sistema de ecuaciones es hallar sus soluciones. Consideremos las funciones f y g de donde se tiene el sistema j y = f(x) y = g(x). (3) Consideremos la siguiente pregunta: Qué pares ordenados son elementos de la relación R = {(x, y) : y = f(x) y y = g(x)}? Si R xy y H xy son proposiciones en las variables x y y, entonces {(x, y) : R xy y H xy} = {(x, y) : R xy} {(x, y) : H xy}.

19 Sistemas de ecuaciones Podemos escribir R = {(x, y) : y = f(x)} {(x, y) : y = g(x)}. Resolver o definir la solución del sistema dado en (3) como el conjunto S = {(x, y) : y = f(x)} {(x, y) : y = g(x)}. (4)

20 Sistemas de ecuaciones Podemos escribir R = {(x, y) : y = f(x)} {(x, y) : y = g(x)}. Resolver o definir la solución del sistema dado en (3) como el conjunto S = {(x, y) : y = f(x)} {(x, y) : y = g(x)}. (4)

21 Guía para el método de sustitución Guía para un sistema de dos ecuaciones es: 1 Despeja una variable x(y) de una de las ecuaciones en términos de la otra variable y(x).

22 Guía para el método de sustitución Guía para un sistema de dos ecuaciones es: 1 Despeja una variable x(y) de una de las ecuaciones en términos de la otra variable y(x). 2 Sustituya en la otra ecuación la expresión x(y) encontrada en el ítem 1, para obtener una ecuación sólo en y(x).

23 Guía para el método de sustitución Guía para un sistema de dos ecuaciones es: 1 Despeja una variable x(y) de una de las ecuaciones en términos de la otra variable y(x). 2 Sustituya en la otra ecuación la expresión x(y) encontrada en el ítem 1, para obtener una ecuación sólo en y(x). 3 Encuentra las soluciones de la ecuación en y(x) que se obtuvo en el ítem 2.

24 Guía para el método de sustitución Guía para un sistema de dos ecuaciones es: 1 Despeja una variable x(y) de una de las ecuaciones en términos de la otra variable y(x). 2 Sustituya en la otra ecuación la expresión x(y) encontrada en el ítem 1, para obtener una ecuación sólo en y(x). 3 Encuentra las soluciones de la ecuación en y(x) que se obtuvo en el ítem 2. 4 Reemplaza los valores y(x) encontrados en el ítem 3, en la ecuación del ítem 1, para hallar los valores correspondientes de x(y).

25 Guía para el método de sustitución Guía para un sistema de dos ecuaciones es: 1 Despeja una variable x(y) de una de las ecuaciones en términos de la otra variable y(x). 2 Sustituya en la otra ecuación la expresión x(y) encontrada en el ítem 1, para obtener una ecuación sólo en y(x). 3 Encuentra las soluciones de la ecuación en y(x) que se obtuvo en el ítem 2. 4 Reemplaza los valores y(x) encontrados en el ítem 3, en la ecuación del ítem 1, para hallar los valores correspondientes de x(y). 5 Comprueba cada par (x,y) encontrado en el ítem 4 en el sistema dado.

26 Guía para el método de sustitución Guía para un sistema de dos ecuaciones es: 1 Despeja una variable x(y) de una de las ecuaciones en términos de la otra variable y(x). 2 Sustituya en la otra ecuación la expresión x(y) encontrada en el ítem 1, para obtener una ecuación sólo en y(x). 3 Encuentra las soluciones de la ecuación en y(x) que se obtuvo en el ítem 2. 4 Reemplaza los valores y(x) encontrados en el ítem 3, en la ecuación del ítem 1, para hallar los valores correspondientes de x(y). 5 Comprueba cada par (x,y) encontrado en el ítem 4 en el sistema dado.

27 Ejemplo 1. Resolver el sistema j x 2 y = 0 3x + 4 y = 0. Solución:

28 Ejemplo 1. Resolver el sistema j x 2 y = 0 3x + 4 y = 0. Solución: Despejemos la variable y de ambas ecuaciones resultando

29 Ejemplo 1. Resolver el sistema j x 2 y = 0 3x + 4 y = 0. Solución: Despejemos la variable y de ambas ecuaciones resultando y x 2 y = 0 j y = x 2 y = 3x + 4 3x + 4 y = 0 x Figura 3

30 Ejemplo 1. Resolver el sistema j x 2 y = 0 3x + 4 y = 0. Solución: Despejemos la variable y de ambas ecuaciones resultando y x 2 y = 0 j y = x 2 y = 3x + 4 3x + 4 y = 0 x Figura 3

31 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2

32 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2 x 2 3x 4 = 0 restando 3x + 4

33 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2 x 2 3x 4 = 0 restando 3x + 4 (x 4)(x + 1) = 0 factorizando

34 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2 x 2 3x 4 = 0 restando 3x + 4 (x 4)(x + 1) = 0 factorizando x 4 = 0 o x + 1 = 0 Teorema del factor cero

35 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2 x 2 3x 4 = 0 restando 3x + 4 (x 4)(x + 1) = 0 factorizando x 4 = 0 o x + 1 = 0 Teorema del factor cero x = 4 o x = 1 despejar x

36 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2 x 2 3x 4 = 0 restando 3x + 4 (x 4)(x + 1) = 0 factorizando x 4 = 0 o x + 1 = 0 Teorema del factor cero x = 4 o x = 1 despejar x Ahora, determinamos los valores de y

37 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2 x 2 3x 4 = 0 restando 3x + 4 (x 4)(x + 1) = 0 factorizando x 4 = 0 o x + 1 = 0 Teorema del factor cero x = 4 o x = 1 despejar x Ahora, determinamos los valores de y si x = 4 entonces y = 4 2 = 16

38 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2 x 2 3x 4 = 0 restando 3x + 4 (x 4)(x + 1) = 0 factorizando x 4 = 0 o x + 1 = 0 Teorema del factor cero x = 4 o x = 1 despejar x Ahora, determinamos los valores de y si x = 4 entonces y = 4 2 = 16 si x = 1 entonces y = ( 1) 2 = 1.

39 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2 x 2 3x 4 = 0 restando 3x + 4 (x 4)(x + 1) = 0 factorizando x 4 = 0 o x + 1 = 0 Teorema del factor cero x = 4 o x = 1 despejar x Ahora, determinamos los valores de y si x = 4 entonces y = 4 2 = 16 si x = 1 entonces y = ( 1) 2 = 1. Por lo tanto, el conjunto solución como es dado en (4) tiene los pares S = {(4, 16), ( 1,1)} y gráficamente lo podemos ver en la figura 3.

40 Ejemplo 1. Luego, sustituyendo la variable y de la ecuación y = 3x + 4 en la ecuación y = x 2, tenemos x 2 = 3x + 4 sustituyo y = 3x + 4 en y = x 2 x 2 3x 4 = 0 restando 3x + 4 (x 4)(x + 1) = 0 factorizando x 4 = 0 o x + 1 = 0 Teorema del factor cero x = 4 o x = 1 despejar x Ahora, determinamos los valores de y si x = 4 entonces y = 4 2 = 16 si x = 1 entonces y = ( 1) 2 = 1. Por lo tanto, el conjunto solución como es dado en (4) tiene los pares S = {(4, 16), ( 1,1)} y gráficamente lo podemos ver en la figura 3.

41 Método de eliminación Consideremos un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas j a1x + b 1y = k 1 a 2x + b 2y = k 2. (5) El método de sustitución. 8 >< k1 b1y >: x = ; a 1 a 1x + b 1y = k 1 «k1 b 1y a 2 + b 2y = k 2. a 1 (6)

42 Método de eliminación Consideremos un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas j a1x + b 1y = k 1 a 2x + b 2y = k 2. El método de sustitución. 8 >< k1 b1y >: x = ; a 1 a 1x + b 1y = k 1 «k1 b 1y a 2 + b 2y = k 2. El método de igualación, también llamado de comparación. 8 < a 1x + b 1y = k 1 : k 1 b 1y k2 b2y =. a 1 a 2 a 1 (5) (6) (7)

43 Método de eliminación Consideremos un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas j a1x + b 1y = k 1 a 2x + b 2y = k 2. El método de sustitución. 8 >< k1 b1y >: x = ; a 1 a 1x + b 1y = k 1 «k1 b 1y a 2 + b 2y = k 2. El método de igualación, también llamado de comparación. 8 < a 1x + b 1y = k 1 : k 1 b 1y k2 b2y =. a 1 a 2 El método de reducción. ( a1a 2x + b 1a 2y = k 1a 2 ; a 1x + b 1y = k 1 a 1a 2x b 2a 1y = k 2a 1 ; a 1 (b 1a 2 b 2a 1)y = k 1a 2 k 2a 1. (5) (6) (7) (8)

44 Método de eliminación Consideremos un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas j a1x + b 1y = k 1 a 2x + b 2y = k 2. El método de sustitución. 8 >< k1 b1y >: x = ; a 1 a 1x + b 1y = k 1 «k1 b 1y a 2 + b 2y = k 2. El método de igualación, también llamado de comparación. 8 < a 1x + b 1y = k 1 : k 1 b 1y k2 b2y =. a 1 a 2 El método de reducción. ( a1a 2x + b 1a 2y = k 1a 2 ; a 1x + b 1y = k 1 a 1a 2x b 2a 1y = k 2a 1 ; a 1 (b 1a 2 b 2a 1)y = k 1a 2 k 2a 1. (5) (6) (7) (8) Lo mismo se haría para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

45 Método de eliminación Consideremos un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas j a1x + b 1y = k 1 a 2x + b 2y = k 2. El método de sustitución. 8 >< k1 b1y >: x = ; a 1 a 1x + b 1y = k 1 «k1 b 1y a 2 + b 2y = k 2. El método de igualación, también llamado de comparación. 8 < a 1x + b 1y = k 1 : k 1 b 1y k2 b2y =. a 1 a 2 El método de reducción. ( a1a 2x + b 1a 2y = k 1a 2 ; a 1x + b 1y = k 1 a 1a 2x b 2a 1y = k 2a 1 ; a 1 (b 1a 2 b 2a 1)y = k 1a 2 k 2a 1. (5) (6) (7) (8) Lo mismo se haría para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

46 Sistemas de ecuaciones con dos variables Teorema 2.1 Dado un sistema de ecuaciones, resulta un sistema de ecuaciones equivalentes si: 1 Se intercambian dos ecuaciones. 2 Una ecuación se multiplica o divide por una constante diferente de cero. 3 Un múltiplo constante de una ecuación se suma a otra ecuación.

47 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. 3x 7y = 24 x

48 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. (8,0) x 3x 7y = 24 Figura 4

49 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. (8,0) 3x 7y = 24 Figura 4 La primera ecuación la multiplicamos por 7 y la segunda ecuación por 5. x

50 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. (8,0) 3x 7y = 24 Figura 4 La primera ecuación la multiplicamos por 7 y la segunda ecuación por 5. j 14x + 35y = x 35y = 120. x

51 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. (8,0) 3x 7y = 24 Figura 4 La primera ecuación la multiplicamos por 7 y la segunda ecuación por 5. j 14x + 35y = x 35y = 120. Ahora, sumamos la primera ecuación a la segunda x

52 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. (8,0) 3x 7y = 24 Figura 4 La primera ecuación la multiplicamos por 7 y la segunda ecuación por 5. j 14x + 35y = x 35y = 120. Ahora, sumamos la primera ecuación a la segunda j 14x + 35y = x = 232. x

53 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. (8,0) 3x 7y = 24 Figura 4 La primera ecuación la multiplicamos por 7 y la segunda ecuación por 5. j 14x + 35y = x 35y = 120. Ahora, sumamos la primera ecuación a la segunda j 14x + 35y = x = 232. De aquí 29x = 232, y por lo tanto x = = 8. x

54 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. (8,0) 3x 7y = 24 Figura 4 La primera ecuación la multiplicamos por 7 y la segunda ecuación por 5. j 14x + 35y = x 35y = 120. Ahora, sumamos la primera ecuación a la segunda j 14x + 35y = x = 232. De aquí 29x = 232, y por lo tanto x = = y = 16, luego y = 16, así y = 0. x

55 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. (8,0) 3x 7y = 24 Figura 4 La primera ecuación la multiplicamos por 7 y la segunda ecuación por 5. j 14x + 35y = x 35y = 120. Ahora, sumamos la primera ecuación a la segunda j 14x + 35y = x = 232. De aquí 29x = 232, y por lo tanto x = = y = 16, luego y = 16, así y = 0. Conjunto solución S = {(8,0)}. x

56 Ejemplo 2 Resuelva el sistema y 2x + 5y = 16 j 2x + 5y = 16 3x 7y = 24. (8,0) 3x 7y = 24 Figura 4 La primera ecuación la multiplicamos por 7 y la segunda ecuación por 5. j 14x + 35y = x 35y = 120. Ahora, sumamos la primera ecuación a la segunda j 14x + 35y = x = 232. De aquí 29x = 232, y por lo tanto x = = y = 16, luego y = 16, así y = 0. Conjunto solución S = {(8,0)}. x

57 Solución gráfica Tomemos dos rectas L 1 y L 2 que son gráficas de a 1x + b 1y = k 1 y a 2x + b 2y = k 2 respectivamente. Casos que aparecen: i) Si L 1 y L 2 son la misma recta, entonces S dado en (4), tiene un número infinito de elementos, el sistema que tiene esta característica es llamado sistema dependiente y consistente.

58 Solución gráfica Tomemos dos rectas L 1 y L 2 que son gráficas de a 1x + b 1y = k 1 y a 2x + b 2y = k 2 respectivamente. Casos que aparecen: i) Si L 1 y L 2 son la misma recta, entonces S dado en (4), tiene un número infinito de elementos, el sistema que tiene esta característica es llamado sistema dependiente y consistente. ii) Si L 1 y L 2 son distintas y paralelas, entonces S es el conjunto vacío, y el sistema es llamado inconsistente.

59 Solución gráfica Tomemos dos rectas L 1 y L 2 que son gráficas de a 1x + b 1y = k 1 y a 2x + b 2y = k 2 respectivamente. Casos que aparecen: i) Si L 1 y L 2 son la misma recta, entonces S dado en (4), tiene un número infinito de elementos, el sistema que tiene esta característica es llamado sistema dependiente y consistente. ii) Si L 1 y L 2 son distintas y paralelas, entonces S es el conjunto vacío, y el sistema es llamado inconsistente. iii) Si L 1 y L 2 son distintas y no paralelas, entonces se intersectan en un punto, y el conjunto S esta formado por un par ordenado y es llamado sistema consistente.

60 Solución gráfica Tomemos dos rectas L 1 y L 2 que son gráficas de a 1x + b 1y = k 1 y a 2x + b 2y = k 2 respectivamente. Casos que aparecen: i) Si L 1 y L 2 son la misma recta, entonces S dado en (4), tiene un número infinito de elementos, el sistema que tiene esta característica es llamado sistema dependiente y consistente. ii) Si L 1 y L 2 son distintas y paralelas, entonces S es el conjunto vacío, y el sistema es llamado inconsistente. iii) Si L 1 y L 2 son distintas y no paralelas, entonces se intersectan en un punto, y el conjunto S esta formado por un par ordenado y es llamado sistema consistente.

61 Solución gráfica y y L 1 L 2 y L 1 L 2 L 1 = L 2 x x x S. Depend. y consist. S. Inconsistente S. Consistente Figura 5

62 Ejemplo 3. Resolver el sistema j 5x 2y = 15 10x 4y = 30. Solución:

63 Ejemplo 3. Resolver el sistema j 5x 2y = 15 10x 4y = 30. Solución: Multiplicando la primera ecuación por 2, j 10x 4y = 30 10x 4y = 30.

64 Ejemplo 3. Resolver el sistema j 5x 2y = 15 10x 4y = 30. Solución: Multiplicando la primera ecuación por 2, j 10x 4y = 30 10x 4y = 30. Si hacemos 10x 4y = 30, tenemos que 10x = y, de donde x = 30+4y = 15+2y. 10 5

65 Ejemplo 3. Resolver el sistema j 5x 2y = 15 10x 4y = 30. Solución: Multiplicando la primera ecuación por 2, j 10x 4y = 30 10x 4y = 30. Si hacemos 10x 4y = 30, tenemos que 10x = y, de donde x = 30+4y = 15+2y Luego, si le damos un valor a y obtenemos un valor para x.

66 Ejemplo 3. Resolver el sistema j 5x 2y = 15 10x 4y = 30. Solución: Multiplicando la primera ecuación por 2, j 10x 4y = 30 10x 4y = 30. Si hacemos 10x 4y = 30, tenemos que 10x = y, de donde x = 30+4y = 15+2y Luego, si le damos un valor a y obtenemos un valor para x. Si y = 3 entonces x = = 21 5, x = 21 5.

67 Ejemplo 3. Resolver el sistema j 5x 2y = 15 10x 4y = 30. Solución: Multiplicando la primera ecuación por 2, j 10x 4y = 30 10x 4y = 30. Si hacemos 10x 4y = 30, tenemos que 10x = y, de donde x = 30+4y = 15+2y Luego, si le damos un valor a y obtenemos un valor para x. Si y = 3 entonces x = = 21 5, x = Conjunto solución j «ff y S =, y. 5

68 Ejemplo 3. Resolver el sistema j 5x 2y = 15 10x 4y = 30. Solución: Multiplicando la primera ecuación por 2, j 10x 4y = 30 10x 4y = 30. Si hacemos 10x 4y = 30, tenemos que 10x = y, de donde x = 30+4y = 15+2y Luego, si le damos un valor a y obtenemos un valor para x. Si y = 3 entonces x = = 21 5, x = Conjunto solución j «ff y S =, y. 5

69 Ejemplo 4. Resolver el sistema j 3x + 2y = 3 15x + 10y = 4. Solución:

70 Ejemplo 4. Resolver el sistema j 3x + 2y = 3 15x + 10y = 4. Solución: Multiplicando la primera ecuación por -5 y sumándola con la segunda,

71 Ejemplo 4. Resolver el sistema j 3x + 2y = 3 15x + 10y = 4. Solución: Multiplicando la primera ecuación por -5 y sumándola con la segunda, j 3x + 2y = 3 0 = 11

72 Ejemplo 4. Resolver el sistema j 3x + 2y = 3 15x + 10y = 4. Solución: Multiplicando la primera ecuación por -5 y sumándola con la segunda, j 3x + 2y = 3 0 = 11 de donde tenemos que 0x + 0y = 11, lo que es falso para todo par ordenado (x, y), por lo tanto el sistema no tiene solución.

73 Ejemplo 4. Resolver el sistema j 3x + 2y = 3 15x + 10y = 4. Solución: Multiplicando la primera ecuación por -5 y sumándola con la segunda, j 3x + 2y = 3 0 = 11 de donde tenemos que 0x + 0y = 11, lo que es falso para todo par ordenado (x, y), por lo tanto el sistema no tiene solución.

74 Ecuaciones de primer grado con tres variables Definición 1 Una ecuación que tiene la forma ax + by + cz = d, donde a, b, c, y d son números reales y a, b, y c no son todos cero, se llama ecuación de primer grado en las variables x, y y z y su conjunto solución es el conjunto de ternas ordenadas S 1 = {(x, y, z) : ax + by + cz = d}.

75 Ecuaciones de primer grado con tres variables Definición 1 Una ecuación que tiene la forma ax + by + cz = d, donde a, b, c, y d son números reales y a, b, y c no son todos cero, se llama ecuación de primer grado en las variables x, y y z y su conjunto solución es el conjunto de ternas ordenadas S 1 = {(x, y, z) : ax + by + cz = d}.

76 Sistemas de ecuaciones en tres variables Definición 2 Es una generalización de la definición de la solución del sistema (5). En particular definimos la solución del sistema 8 < : a 1x + b 1y + c 1z = k 1 a 2x + b 2y + c 2z = k 2 a 3x + b 3y + c 3z = k 3 (9)

77 Sistemas de ecuaciones en tres variables Definición 2 Es una generalización de la definición de la solución del sistema (5). En particular definimos la solución del sistema como el conjunto 8 < : a 1x + b 1y + c 1z = k 1 a 2x + b 2y + c 2z = k 2 a 3x + b 3y + c 3z = k 3 (9) S 2 = {(x, y,z) : a 1x + b 1y + c 1z = d 1} {(x, y,z) : a 2x + b 2y + c 2z = d 2} {(x, y, z) : a 3x + b 3y + c 3z = d 3}.

78 Sistemas de ecuaciones en tres variables Definición 2 Es una generalización de la definición de la solución del sistema (5). En particular definimos la solución del sistema como el conjunto 8 < : a 1x + b 1y + c 1z = k 1 a 2x + b 2y + c 2z = k 2 a 3x + b 3y + c 3z = k 3 (9) S 2 = {(x, y,z) : a 1x + b 1y + c 1z = d 1} {(x, y,z) : a 2x + b 2y + c 2z = d 2} {(x, y, z) : a 3x + b 3y + c 3z = d 3}.

79 Ejemplo 5. Determinar la solución del sistema dado 8 < 2x + 2y + 5z = 5 [1] 4x + 2y 2z = 1 [2] : 5x + 4y z = 3. [3]

80 Ejemplo 5. Determinar la solución del sistema dado 8 < 2x + 2y + 5z = 5 [1] 4x + 2y 2z = 1 [2] : 5x + 4y z = 3. [3] Solución:

81 Ejemplo 5. Determinar la solución del sistema dado 8 < 2x + 2y + 5z = 5 [1] 4x + 2y 2z = 1 [2] : 5x + 4y z = 3. [3] Solución: Despejando x de la ecuación [1] tenemos x = 5 2y 5z 2

82 Ejemplo 5. Determinar la solución del sistema dado 8 < 2x + 2y + 5z = 5 [1] 4x + 2y 2z = 1 [2] : 5x + 4y z = 3. [3] Solución: Despejando x de la ecuación [1] tenemos x = 5 2y 5z 2 luego reemplazando en [2] y [3] se obtiene 8 < 2y 12z = 9 : y 27z 2 = 19. 2

83 Ejemplo 5. Determinar la solución del sistema dado 8 < 2x + 2y + 5z = 5 [1] 4x + 2y 2z = 1 [2] : 5x + 4y z = 3. [3] Solución: Despejando x de la ecuación [1] tenemos x = 5 2y 5z 2 luego reemplazando en [2] y [3] se obtiene 8 < 2y 12z = 9 : y 27z 2 = Observemos que llegamos a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde aquí podemos aplicar uno de los métodos ya vistos para este tipo de sistemas.

84 Ejemplo 5. Determinar la solución del sistema dado 8 < 2x + 2y + 5z = 5 [1] 4x + 2y 2z = 1 [2] : 5x + 4y z = 3. [3] Solución: Despejando x de la ecuación [1] tenemos x = 5 2y 5z 2 luego reemplazando en [2] y [3] se obtiene 8 < 2y 12z = 9 : y 27z 2 = Observemos que llegamos a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde aquí podemos aplicar uno de los métodos ya vistos para este tipo de sistemas.

85 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución:

86 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución: Sea x el número de estudiantes que compraron boleto, y y el número de personas del público en general que compraron boleto.

87 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución: Sea x el número de estudiantes que compraron boleto, y y el número de personas del público en general que compraron boleto. j x + y = 450 3,000x + 4,500y = 1555,500.

88 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución: Sea x el número de estudiantes que compraron boleto, y y el número de personas del público en general que compraron boleto. j x + y = 450 3,000x + 4,500y = 1555,500. De la primera ecuación x = 450 y y reemplazamos su valor en la segunda ecuación 3,000(450 y) + 4,500y = 1555,500 sustituyo x en la segunda ecuación

89 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución: Sea x el número de estudiantes que compraron boleto, y y el número de personas del público en general que compraron boleto. j x + y = 450 3,000x + 4,500y = 1555,500. De la primera ecuación x = 450 y y reemplazamos su valor en la segunda ecuación 3,000(450 y) + 4,500y = 1555,500 sustituyo x en la segunda ecuación 1350, y = 1555,500 propiedad distributiva de reales

90 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución: Sea x el número de estudiantes que compraron boleto, y y el número de personas del público en general que compraron boleto. j x + y = 450 3,000x + 4,500y = 1555,500. De la primera ecuación x = 450 y y reemplazamos su valor en la segunda ecuación 3,000(450 y) + 4,500y = 1555,500 sustituyo x en la segunda ecuación 1350, y = 1555,500 propiedad distributiva de reales 1500y = 205,500 restando

91 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución: Sea x el número de estudiantes que compraron boleto, y y el número de personas del público en general que compraron boleto. j x + y = 450 3,000x + 4,500y = 1555,500. De la primera ecuación x = 450 y y reemplazamos su valor en la segunda ecuación 3,000(450 y) + 4,500y = 1555,500 sustituyo x en la segunda ecuación 1350, y = 1555,500 propiedad distributiva de reales 1500y = 205,500 restando y = 205,500 = 137 simplificando 1500

92 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución: Sea x el número de estudiantes que compraron boleto, y y el número de personas del público en general que compraron boleto. j x + y = 450 3,000x + 4,500y = 1555,500. De la primera ecuación x = 450 y y reemplazamos su valor en la segunda ecuación 3,000(450 y) + 4,500y = 1555,500 sustituyo x en la segunda ecuación 1350, y = 1555,500 propiedad distributiva de reales 1500y = 205,500 restando y = 205,500 = 137 simplificando 1500 x = = 313. reemplazando y en x = 450 y

93 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución: Sea x el número de estudiantes que compraron boleto, y y el número de personas del público en general que compraron boleto. j x + y = 450 3,000x + 4,500y = 1555,500. De la primera ecuación x = 450 y y reemplazamos su valor en la segunda ecuación 3,000(450 y) + 4,500y = 1555,500 sustituyo x en la segunda ecuación 1350, y = 1555,500 propiedad distributiva de reales 1500y = 205,500 restando y = 205,500 = 137 simplificando 1500 x = = 313. reemplazando y en x = 450 y Luego concluimos que el número de estudiantes que compraron boleto fueron 313 y del público en general 137 compraron boletos.

94 Aplicaciones Ejemplo 6. El precio de ingreso a una obra de teatro en secundaria fue de $3.000 para estudiantes y $4.500 para el público en general. Si se venden 450 boletos para un total de $ , Cuántos boletos de cada clase se vendieron? Solución: Sea x el número de estudiantes que compraron boleto, y y el número de personas del público en general que compraron boleto. j x + y = 450 3,000x + 4,500y = 1555,500. De la primera ecuación x = 450 y y reemplazamos su valor en la segunda ecuación 3,000(450 y) + 4,500y = 1555,500 sustituyo x en la segunda ecuación 1350, y = 1555,500 propiedad distributiva de reales 1500y = 205,500 restando y = 205,500 = 137 simplificando 1500 x = = 313. reemplazando y en x = 450 y Luego concluimos que el número de estudiantes que compraron boleto fueron 313 y del público en general 137 compraron boletos.

95 Aplicación Ejemplo 7. Una pequeña compañía de mueblera fabrica sofás y sillones. Cada sofá requiere 8h de mano de obra y $60 en materiales, en tanto que un sillón se puede construir por $35 en 6h. La compañía dispone de 340 horas de mano de obra por semana y puede comprar $2250 en materiales. Cuántos sillones y sofás puede producir si debe utilizar todos los recursos materiales y humanos? Solución:

96 Aplicación Ejemplo 7. Una pequeña compañía de mueblera fabrica sofás y sillones. Cada sofá requiere 8h de mano de obra y $60 en materiales, en tanto que un sillón se puede construir por $35 en 6h. La compañía dispone de 340 horas de mano de obra por semana y puede comprar $2250 en materiales. Cuántos sillones y sofás puede producir si debe utilizar todos los recursos materiales y humanos? Solución: Denotemos por x y y el número de sillones y sofás respectivamente, que debe producir la compañía.

97 Aplicación Ejemplo 7. Una pequeña compañía de mueblera fabrica sofás y sillones. Cada sofá requiere 8h de mano de obra y $60 en materiales, en tanto que un sillón se puede construir por $35 en 6h. La compañía dispone de 340 horas de mano de obra por semana y puede comprar $2250 en materiales. Cuántos sillones y sofás puede producir si debe utilizar todos los recursos materiales y humanos? Solución: Denotemos por x y y el número de sillones y sofás respectivamente, que debe producir la compañía. j 8x + 6y = x + 35y = 2250

98 Aplicación Ejemplo 7. Una pequeña compañía de mueblera fabrica sofás y sillones. Cada sofá requiere 8h de mano de obra y $60 en materiales, en tanto que un sillón se puede construir por $35 en 6h. La compañía dispone de 340 horas de mano de obra por semana y puede comprar $2250 en materiales. Cuántos sillones y sofás puede producir si debe utilizar todos los recursos materiales y humanos? Solución: Denotemos por x y y el número de sillones y sofás respectivamente, que debe producir la compañía. j 8x + 6y = x + 35y = 2250 sistema equivalente 8 >< >: 340 6y x = y x =. 60

99 Aplicación Ejemplo 7. Una pequeña compañía de mueblera fabrica sofás y sillones. Cada sofá requiere 8h de mano de obra y $60 en materiales, en tanto que un sillón se puede construir por $35 en 6h. La compañía dispone de 340 horas de mano de obra por semana y puede comprar $2250 en materiales. Cuántos sillones y sofás puede producir si debe utilizar todos los recursos materiales y humanos? Solución: Denotemos por x y y el número de sillones y sofás respectivamente, que debe producir la compañía. j 8x + 6y = x + 35y = 2250 sistema equivalente 8 >< >: 340 6y x = y x =. 60

100 Aplicación Ejemplo 7. Una pequeña compañía de mueblera fabrica sofás y sillones. Cada sofá requiere 8h de mano de obra y $60 en materiales, en tanto que un sillón se puede construir por $35 en 6h. La compañía dispone de 340 horas de mano de obra por semana y puede comprar $2250 en materiales. Cuántos sillones y sofás puede producir si debe utilizar todos los recursos materiales y humanos? Solución: Denotemos por x y y el número de sillones y sofás respectivamente, que debe producir la compañía. j 8x + 6y = x + 35y = 2250 sistema equivalente 8 >< >: 340 6y x = y x =. 60

101 Aplicación Ejemplo 7. Igualando las ecuaciones resultantes, 340 6y 8 = y 60 igualando las ecuaciones 20, y = 18, y quitando los denominadores 20,400 18,000 = 360y 280y transponiendo términos 2400 = 80y realizando las sumas y restas y = = 30. despejando y x = = de donde x = 20. La compañía mueblera puede producir un total de 20 sillones y 30 sofás para utilizar todos los recursos materiales y humanos que se tiene.

102 Aplicación Ejemplo 7. Igualando las ecuaciones resultantes, 340 6y 8 = y 60 igualando las ecuaciones 20, y = 18, y quitando los denominadores 20,400 18,000 = 360y 280y transponiendo términos 2400 = 80y realizando las sumas y restas y = = 30. despejando y x = = de donde x = 20. La compañía mueblera puede producir un total de 20 sillones y 30 sofás para utilizar todos los recursos materiales y humanos que se tiene.

103 Matrices Definición 3.1 (Matriz) Llamaremos matriz a un cuadro formado por mn números distribuidos en m filas y en n columnas. Los números m y n reciben el nombre de dimensiones de la matriz y se denotan como m n. Arreglo matricial a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n.... a i1 a i2... a ij... a in.... a m1 a m2... a mj... a mn m n

104 Matrices Definición 3.1 (Matriz) Llamaremos matriz a un cuadro formado por mn números distribuidos en m filas y en n columnas. Los números m y n reciben el nombre de dimensiones de la matriz y se denotan como m n. Arreglo matricial a 11 a a 1j... a 1n a 21 a a 2j... a 2n.... a i1 a i2... a ij... a in.... a m1 a m2... a mj... a mn m n

105 Ejemplo 8 Matriz de orden 2, es decir, matriz cuadrada que contiene dos filas y dos columnas»

106 Ejemplo 8 Matriz de orden 2, es decir, matriz cuadrada que contiene dos filas y dos columnas» donde a 11 = 3, a 12 = 4, a 21 = 1 y a 22 =

107 Ejemplo 8 Matriz de orden 2, es decir, matriz cuadrada que contiene dos filas y dos columnas» donde a 11 = 3, a 12 = 4, a 21 = 1 y a 22 =

108 Matrices y sistemas de ecuaciones 8 < : a 1x + b 1y + c 1z = k 1 a 2x + b 2y + c 2z = k 2 a 3x + b 3y + c 3z = k 3 su matriz de coeficientes es

109 Matrices y sistemas de ecuaciones 8 < : a 1x + b 1y + c 1z = k 1 a 2x + b 2y + c 2z = k 2 a 3x + b 3y + c 3z = k 3 su matriz de coeficientes es 2 4 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c

110 Matrices y sistemas de ecuaciones 8 < : a 1x + b 1y + c 1z = k 1 a 2x + b 2y + c 2z = k 2 a 3x + b 3y + c 3z = k 3 su matriz de coeficientes es 2 4 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c Matriz aumentada 2 4 a 1 b 1 c 1 : k 1 a 2 b 2 c 2 : k 2 a 3 b 3 c 3 : k

111 Matrices y sistemas de ecuaciones 8 < : a 1x + b 1y + c 1z = k 1 a 2x + b 2y + c 2z = k 2 a 3x + b 3y + c 3z = k 3 su matriz de coeficientes es 2 4 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c Matriz aumentada 2 4 a 1 b 1 c 1 : k 1 a 2 b 2 c 2 : k 2 a 3 b 3 c 3 : k

112 Teorema Teorema 3.1 Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: i. Se intercambian dos renglones. ii. Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. iii. Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Un ejemplo de la matriz escalonada es

113 Teorema Teorema 3.1 Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: i. Se intercambian dos renglones. ii. Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. iii. Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Un ejemplo de la matriz escalonada es 2 1 a 12 a 13 a a 23 a a

114 Teorema Teorema 3.1 Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: i. Se intercambian dos renglones. ii. Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. iii. Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Un ejemplo de la matriz escalonada es 2 1 a 12 a 13 a a 23 a a

115 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución:

116 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : :

117 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : R 1 R 2

118 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : R 1 R : : :

119 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : R 1 R : : : R 2 R 3

120 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : R 1 R : : : R 2 R 3

121 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : R 1 R R 1 + R 3 R : : : R 2 R 3

122 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : R 1 R R 1 + R 3 R : : : : : : 7 5 R 2 R 3 3 5

123 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : R 1 R R 1 + R 3 R : : : : : : 7 5 R 2 R R 2 R 2

124 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : : : : R 1 R R 1 + R 3 R : : : : : : 7 5 R 2 R R 2 R 2

125 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : R 1 R R 1 + R 3 R : : R R 3 R : : : : : : : 7 5 R 2 R R 2 R 2

126 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : : : : R 1 R R 1 + R 3 R R 2 + R 3 R : : : : : : 7 5 R 2 R : : : R 2 R 2

127 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : : : : R 1 R R 1 + R 3 R R 2 + R 3 R : : : : : : 7 5 R 2 R R 2 R : : R 3 R : 75

128 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : : : : R 1 R R 1 + R 3 R R 2 + R 3 R : : : : : : : : : 7 5 R 2 R R 2 R : : R 3 R :

129 Ejemplo 9. Resolver el sistema de ecuaciones usando la matriz escalonada 8 < 5x + 2y z = 7 x 2y + 2z = 0 : 3y + z = 17. Solución: : : : : : : : : : R 1 R R 1 + R 3 R R 2 + R 3 R : : : : : : : : : 7 5 R 2 R R 2 R : : R 3 R :

130 Ejemplo 9. De la última fila tenemos que z = 5 y reemplazando este valor en la ecuación resultante de la segunda fila se tiene y = 17 3 de donde y = = 4 y finalmente, reemplazando los valores de z y y en la ecuación que resulta de la primera fila de la matriz reducida es x 2(4) + 2(5)0 de donde x = 8 10 = 2. Concluimos así que el conjunto solución del sistema es S 2 = {( 2, 4,5)}.

131 Álgebra de matrices Definición 3 Sean A, B y C matrices de orden m n y c un número real. i. A = B si y sólo si a ij = b ij para todo i y j. Cuando dos matrices A y B no son iguales, escribimos A B. ii. C = A + B si y sólo si c ij = a ij + b ij para todo i y j. iii. El producto de un número real c y una matriz A es ca = c(a ij), donde (a ij) denota la matriz A de orden m n. La matriz nula o matriz cero de orden m n denotada por O, es la matriz con m renglones y n columnas, en que cada elemento es cero.

132 Álgebra de matrices Definición 3 Sean A, B y C matrices de orden m n y c un número real. i. A = B si y sólo si a ij = b ij para todo i y j. Cuando dos matrices A y B no son iguales, escribimos A B. ii. C = A + B si y sólo si c ij = a ij + b ij para todo i y j. iii. El producto de un número real c y una matriz A es ca = c(a ij), donde (a ij) denota la matriz A de orden m n. La matriz nula o matriz cero de orden m n denotada por O, es la matriz con m renglones y n columnas, en que cada elemento es cero.

133 Teoremas Teorema 3.2 Si A, B y C son matrices m n y si O es la matriz nula m n, entonces: 1 A + B = B + A. 2 A + (B + C) = (A + B) + C. 3 Existe un único elemento O tal que A + O = O + A = A. 4 A + ( A) = O.

134 Teoremas Teorema 3.2 Si A, B y C son matrices m n y si O es la matriz nula m n, entonces: 1 A + B = B + A. 2 A + (B + C) = (A + B) + C. 3 Existe un único elemento O tal que A + O = O + A = A. 4 A + ( A) = O. La resta de dos matrices A y B del mismo orden,

135 Teoremas Teorema 3.2 Si A, B y C son matrices m n y si O es la matriz nula m n, entonces: 1 A + B = B + A. 2 A + (B + C) = (A + B) + C. 3 Existe un único elemento O tal que A + O = O + A = A. 4 A + ( A) = O. La resta de dos matrices A y B del mismo orden, A B = A + ( B).

136 Teoremas Teorema 3.2 Si A, B y C son matrices m n y si O es la matriz nula m n, entonces: 1 A + B = B + A. 2 A + (B + C) = (A + B) + C. 3 Existe un único elemento O tal que A + O = O + A = A. 4 A + ( A) = O. La resta de dos matrices A y B del mismo orden, A B = A + ( B). Teorema 3.3 Si A, B matrices de orden m n y si c, d números reales, entonces:

137 Teoremas Teorema 3.2 Si A, B y C son matrices m n y si O es la matriz nula m n, entonces: 1 A + B = B + A. 2 A + (B + C) = (A + B) + C. 3 Existe un único elemento O tal que A + O = O + A = A. 4 A + ( A) = O. La resta de dos matrices A y B del mismo orden, A B = A + ( B). Teorema 3.3 Si A, B matrices de orden m n y si c, d números reales, entonces: 1 c(a + B) = ca + cb. 2 (c + d)a = ca + da. 3 (cd)a = c(da).

138 Teoremas Teorema 3.2 Si A, B y C son matrices m n y si O es la matriz nula m n, entonces: 1 A + B = B + A. 2 A + (B + C) = (A + B) + C. 3 Existe un único elemento O tal que A + O = O + A = A. 4 A + ( A) = O. La resta de dos matrices A y B del mismo orden, A B = A + ( B). Teorema 3.3 Si A, B matrices de orden m n y si c, d números reales, entonces: 1 c(a + B) = ca + cb. 2 (c + d)a = ca + da. 3 (cd)a = c(da).

139 Multiplicación de matrices Definición 4 Sean la matrices A y B denotadas por (a ij) de orden m n y (b ij) de orden n p respectivamente. El producto AB es (c ij) de orden m p y donde c ij = (a i1, a i2,..., a in)(b 1j, b 2j,..., b nj) para i = 1, 2,..., m y j = 1,2,..., p. = a i1b 1j + a i2b 2j + + a inbb nj,

140 Multiplicación de matrices Definición 4 Sean la matrices A y B denotadas por (a ij) de orden m n y (b ij) de orden n p respectivamente. El producto AB es (c ij) de orden m p y donde c ij = (a i1, a i2,..., a in)(b 1j, b 2j,..., b nj) para i = 1, 2,..., m y j = 1,2,..., p. = a i1b 1j + a i2b 2j + + a inbb nj, El producto de matrices no es conmutativa, esto es, AB BA.

141 Multiplicación de matrices Definición 4 Sean la matrices A y B denotadas por (a ij) de orden m n y (b ij) de orden n p respectivamente. El producto AB es (c ij) de orden m p y donde c ij = (a i1, a i2,..., a in)(b 1j, b 2j,..., b nj) para i = 1, 2,..., m y j = 1,2,..., p. = a i1b 1j + a i2b 2j + + a inbb nj, El producto de matrices no es conmutativa, esto es, AB BA.

142 Teoremas Teorema 3.4 Sean A, B y C matrices del orden tal que el producto indicados sea compatibles. Entonces 1 la multiplicación de matrices es asociativa. Esto es A(BC) = (AB)C. 2 La multiplicación de matrices es distributiva con respecto a la adición, esto es

143 Teoremas Teorema 3.4 Sean A, B y C matrices del orden tal que el producto indicados sea compatibles. Entonces 1 la multiplicación de matrices es asociativa. Esto es A(BC) = (AB)C. 2 La multiplicación de matrices es distributiva con respecto a la adición, esto es i. A(B + C) = AB + AC. ii. (A + B)C = AC + BC.

144 Teoremas Teorema 3.4 Sean A, B y C matrices del orden tal que el producto indicados sea compatibles. Entonces 1 la multiplicación de matrices es asociativa. Esto es A(BC) = (AB)C. 2 La multiplicación de matrices es distributiva con respecto a la adición, esto es i. A(B + C) = AB + AC. ii. (A + B)C = AC + BC.

145 Teoremas Teorema 3.5 Existe una única matriz con la propiedad de que para cualquier matriz A, AI = IA = A donde I es la matriz identidad que tiene en su diagonal principal 1 s y el resto de sus componentes son cero. Teorema 3.6 Si k R y A, B matrices, entonces A(kB) = (ka)b = k(ab).

146 Teoremas Teorema 3.5 Existe una única matriz con la propiedad de que para cualquier matriz A, AI = IA = A donde I es la matriz identidad que tiene en su diagonal principal 1 s y el resto de sus componentes son cero. Teorema 3.6 Si k R y A, B matrices, entonces A(kB) = (ka)b = k(ab).

147 Ejemplo 10. Sean A =» y B =» Determinar A + B, B + A y demostrar que A + B = B + A.

148 Ejemplo 10. Sean A =» y B =» Determinar A + B, B + A y demostrar que A + B = B + A. Solución:

149 Ejemplo 10. Sean A =» y B =» Determinar A + B, B + A y demostrar que A + B = B + A. Solución: A + B =» »

150 Ejemplo 10. Sean A =» y B =» Determinar A + B, B + A y demostrar que A + B = B + A. Solución: A + B =» » =»

151 Ejemplo 10. Sean A =» y B =» Determinar A + B, B + A y demostrar que A + B = B + A. Solución: A + B =» » =» =»

152 Ejemplo 10. Sean A =» y B =» Determinar A + B, B + A y demostrar que A + B = B + A. Solución: A + B =» » =» =» B + A