UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS"

Transcripción

1 UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana. Método de GAUSS-JORDAN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: conjunto de ecuaciones que tienen exponente uno y su representación gráfica es una recta. 2X +3Y =4 3X+7Y=-2 ecuaciones SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: Son expresiones definidas de la siguiente manera a1.x1 + a2.x2 + + an. xn =b sus variables están elevadas al exponente uno, donde: x1, x2,, xn: son variables de la ecuación a1, a2,, an: son coeficientes de las variables. b: término independiente o constante. ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS. Esta definida dela forma a x + a y = c Donde: x, y : son variables. a, b: son coeficientes. c: son términos independientes o constantes

2 TIPOS DE SISTEMA DE ECUACIONES. La resolución de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de número reales que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema, el mismo valor de las variables debe satisfacer todas las ecuaciones. Única Solución: Las variables tienen una respuesta satisfactoria. X=N, Y=N Son llamados sistema compatible determinado y gráficamente las rectas se cortan en un solo punto, es decir tienen un punto en común. Infinitas Soluciones: En este sistema X y Y son iguales a cero, 0=0 Son llamados sistema compatible indeterminado y gráficamente las rectas se solapan (una sobre la otra), tienen infinitos puntos en común. Sin Solución: En este caso no se cumple la igualdad en el resultado obtenido, 3=5, 0=4, dos líneas paralelas la recta no se corta son llamados sistema incompatibles o inconsistente gráficamente las rectas son paralelas no tienen punto común de intersección. NOTA: LOS SISTEMA COMPATIBLE O CONSISTENTE SON AQUELLOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE TIENEN UNO O INFINITAS SOLUCIONES. NOTA: LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEOS SON SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DONDE TODOS LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES O CONSTANTES SON CEROS Y SIEMPRE TIENEN AL MENOS UNA SOLUCIÓN TRIVIAL (SUS VARIABLES SERAN IGUAL A CERO) MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA SISTEMA DE ECUACIONES. o Método de Sustitución: Consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente para a

3 continuación sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistema con más de dos incógnitas la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en las que hemos despejado 3x+y =22 4x-3y=-1 Despejando Y Y=22-3X Sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación para así obtener una ecuación en donde la única incógnita sea X entonces 4x-3(22-3x) = -1 4x-66+9x = -1 13x =65 X=5 Si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos 3(5) +y = 22 Y = Y=7 o Método de Igualación: Se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí, aparte derecha de ambas ecuaciones. Despejamos ambas: 3x+y = 22 4x-3y =-1 Y= 22-3x (-1) -3y = -1-4x (-1) Y = 1+4x / 3

4 Ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda puede afirmar que las partes derechas también son iguales. 22-3x= 1+4x 3 3(22-3x) = 1+4x 66-9x = 1+4x -9x-4x= 1-66 (-1) -13x = -65 (-1) X = 65/13 X=5 por lo que se Ahora que tenemos a X sustituimos en una de las ecuaciones originales y buscamos el valor de Y. o Método de Eliminación o Reducción: Consiste en transformar una de las ecuaciones de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. Si suman las dos ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita. 2x-3y=5 5x+6y =4 2 { 2x +3y = 5 {5x+ 6y =4-4x -6y= -10 5x+6y =4 X=-6 2(-6) +3y= y = 5 Y = 17/3 GUIA DE EJERCICIOS. MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA SISTEMA DE ECUACIONES. 1. 3X + Y = 22

5 4X - 3Y = X + 3Y = 9-2X + Y = X + 3Y = 8 3X Y = 1 4. X + Y = 5 X Y = X - 3Y = -15 3X + Y = 0 6. X - 2Y = 5 Y - 3X = X + 2Y = 7 2X - 3Y = X + 3Y = 11 5X - 2Y = X + 6Y = 39 8X - 7Y = X + 2Y = 21 5X - 3Y = X + Y = 1 X - Y = X + Y = 22 4X - 3Y = -1

6 RESOLUCIÓN DE m de ECUACIONES LINEALES CON n INCÓGNITAS. Conjunto finito de ecuaciones lineales Se escribe: a11.x1 + a12.x2 + + a1n.xn = b1 a21.x1 + a22.x2 + + a2n.xn = b2 a31.x1 + a32.x2 + + a3n.xn = b3... am1.x1 + am2.x2 + + amn.xn = bm Donde: x1: es la incógnita o variable 1 i n. aij: coeficiente que acompaña a las incógnitas i: número de ecuaciones, 1 i m j: número de incógnitas a la cual multiplica 1 j n. a11 representa el coeficiente que acompaña a la primera variable ubicada en la primera ecuación, a32 representa el coeficiente que acompaña la segunda variable ubicada en la tercera ecuación. b1: término independiente o constante 1 i m MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA TRIANGULAR: ES UN SISTEMA EN EL CUAL TODOS LOS COEFICIENTES DE LA LINEA DIAGONAL NO SON NULOS, Y NULOS TODOS LOS SITUADOS DEBAJO DE ELLA. SON SISTEMAS TRIANGUALES LOS SIGUIENTES: 2X + Y + Z = 2 -Y - 3Z = 4 2Z = 8

7 X + Y Z = -3 2Y - 4Z = 10 3Z = 6 3X - 2Y Z = 4 3Y + Z= 10-2Z = -2 Este método consiste en transformar el sistema de ecuaciones original hasta obtener un sistema triangular.la idea es obtener un sistema equivalente aplicando el método de reducción para conseguir que las diversas ecuaciones sean tales que en una de ellas sólo aparezca una incógnita ; en otra aparezca dos incógnitas ; entre las que se encuentran la que ha permanecido en la ecuación anterior; en otra ecuación aparezca tres incógnitas, entre las que se encuentre las dos que han permanecido en la ecuación anterior ; y así sucesivamente. Cuando el sistema quede triangulado la resolución será más sencilla. OBSERVACIONES: Debemos tener presente lo siguiente: Si el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y admite una única solución. Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas el sistema resulta COMPATIBLE INDETERMINADO y como consecuencia admitirá infinitas soluciones.

8 Si tiene una ecuación en donde todos los coeficientes son nulos y el término independiente diferente de cero, el sistema es INCOMPATIBLE y como consecuencia no tiene solución. Si el sistema es homogéneo éste será SIEMPRE COMPATIBLE. Aquí se hace el mismo razonamiento anterior, con la condición que la solución es trivial sí el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema admite soluciones diferentes de la trivial, Se dice que es INDETERMINADO. TEOREMA: UN SISTEMA HOMOGÉNEO DE ECUACIONES LINEALES, QUE TIENE MÁS INCÓGNITAS QUE ECUACIONES, SIEMPRE TIENE UN NÚMERO INFINITO DE SOLUCIONES. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSIANA Consiste en reducir sistema de ecuaciones lineales a otro que es más fácil de resolver y que tiene el mismo conjunto de soluciones que el original. Procedimiento: a) Conformar la matriz aumentada asociada al sistema, b) Aplicar las operaciones elementales por filas hasta llevar la matriz a la forma escalonada. c) Con los elementos anteriores conformamos el nuevo sistema de ecuaciones. Ejemplo: Sea el siguiente sistema x + 3y z = 0 2y +z = 1 3x +7y +z = 2 un

9 a) Se conforma la matriz aumentada asociada al sistema. NUEVO SISTEMA DE ECUACIONES X + 3Y Z = 0 (A) Y 2Z = 1 (B) Z = -1/ A= b) Se aplican las operaciones elementales A= A= A= A= / A= /5 Sustituyendo C en B y despejando Y, nos queda : y = 3/5 Sustituyendo C, B, en A y despejando X, nos queda : x= F2 F2, 1 2-3F1+ F3 F3 F3+F2 F2 F3 F3 F2 < F3 MATRIZ ESCALONADA COMPRUEBE QUE LOS VALORES DE x = -2, y= 3/5, z = -1/5, son los correctos y satisfacen el sistema, sustituyéndolos en el sistema original.

10 GUIA DE EJERCICIOS. MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSIANA. a) X+Y+2Z=9 2X+4Y-3Z=1 3X+6Y-5Z=0 b) 2X-4Y+3Z=11 3X+3Y-Z=2 X-Y+2Z=5 c) 2X+2Y+Z=4 X+3Y+Z=0 5X+Y+Z=12 d) 2X+5Y+Z= 27 3X+2Y+4Z=13 2X+Y-2Z=7 e) X+Y+Z=4 2X-Y+3Z=-2 3X-+2Z=1 f) 3X-4Y+2Z=-3 4X+2Y-4Z=4 2X-3Y+Z=-3 g) 3X+Y-2Z=2 X+Y Z=1 2Z+2Y-3Z=1

11 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Consiste en reducir un sistema de ecuaciones lineales a otro sistema que es más fácil de resolver y que tiene el mismo conjunto de solución que el sistema original. Procedimiento: a) Conforme la matriz aumentada asociada al sistema. b) Aplicar las operaciones elementales por filas hasta llevar la matriz a la forma escalonada reducidas por filas. c) Con los elementos anteriores conformamos el nuevo sistema de ecuaciones Ejemplo: Tomando la matriz escalonada del ejemplo anterior A= /5-3F2+F1 F A= /5 2F3+F2 F2, -5F3+F1 F1 Se obtiene la matriz escalonada reducida por filas: El nuevo sistema es: X= -2 Y= 3/5 Z= -1/ A= / /5

12 Método Gauss Jordán 1. X -2 Y+ 3Z = 11 4X + Y- Z = 4 2X - Y+ 3Z = X + 6Y -6Z = 9 2X - 5Y+ 4Z = 6 -X + 16Y -14 = X + 6Y-6Z = 9 2X -5Y+ 4Z = 6 5X + 28Y-26Z = X + Y- Z = 7 4X - Y+ 5Z = 4 6X + Y+ 3Z = X + 4Y+ 6Z = 18 4X + 5Y+ 6Z = 24 2X + 7Y+ 12Z = X + 4Y+ 6Z = 18 4X + 5Y+ 6Z = 24 3X + Y-2Z = X + 6Y -9Z = 3 2X + 4Y -8Z = 0-2X - 3Y+4 Z = X + 2Y+ Z = 1 5X + 3Y+ 4Z = 2 X + Y- Z = 1

13 9. 2X - Y+ 2Z = 6 3X + 2Y- Z = 4 4X + 3Y-3 Z = X + Y+ Z = 1 2X + 3Y -4Z = 9 X - Y+ Z = X + 2Y+ Z = 1 5X + 3Y+ 4Z = 2 X + Y- Z = X - 9Y+ 5Z = 33 X + 3Y- Z = -9 X - Y+ Z = X + 3Y+ Z = 1 3X -2Y-4Z = -3 5X Y- Z = X + 2Y+ 4Z = 1 5X Y - 3Z = -7 4X + 3Y+ Z = 2

14 UNIDAD II: VALORES Y VECTORES PROPIOS. DEFINICIÓN DE MATRIZ: Una matriz es un cuadro rectangular de números formados por m filas y n columnas. Los números en el cuadro son llamados elementos de una matriz. Los elementos de las líneas horizontales los llamaremos filas y los elementos de las líneas verticales los llamaremos columnas. Consideremos la siguiente matriz: < A= < < FILAS COLUMNAS Las matrices serán denotadas con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Este último es el caos de la matriz F. F= a b c d ORDEN DE UNA MATRIZ: se define como número s de filas x número de columnas; por tanto, una matriz de m filas y n columnas de orden mxn. De los ejemplos vistos anteriormente se tiene que: A es una matriz de 3 filas y cuatro columnas. Tiene orden 3x3 - A 3X4 F es una matriz de dos filas y dos columnas. Tiene orden 2x2 F 2x2 EXPRESIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN mxn: La expresión ge Eral de una matriz cualesquiera puede escribirse empleando letras con subíndices asi:

15 a 11 a 12 a 13 a1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n am1 am2 am3 amn Los subíndices indican la posición del número en la matriz. El primero indica la fila y el segundo indica la columna. a 23 : denota el elemento de la fila 2 y la columna 3. a 41 : denota el elemento de la fila 4 y la columna 1. a ij : denota el elemento de la fila i y la columna j. Ejemplo: M= a 23 = 5 a 32 = 4 a 33 = 8 a 12 = 1 a 21 = 2 a 13 = 0 ALGUNOS TIPOS DE MATRICES: Atendiendo su forma Matriz: fila, columna, cuadrada, traspuesta. Atendiendo a los elementos Matriz: Nula, diagonal, unidad o identidad, triangular. OPERACIONES CON MATRICES. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES: La suma de dos matrices A y B del mismo orden es otra matriz A + B del mismo orden, obtenida sumando los elementos correspondientes de las matrices sumandos A = B=

16 La suma de las matrices A y B vendrá dada así: A + B = = A + B = PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES. 1. Propiedad Asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C. 2. Propiedad Conmutativa. A + B = B + A Es la matriz nula. A + 0 = A 4. La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya que: A+(-A)=0 Dos matrices son opuestas si su suma es la matriz nula o cero. LA DIFERENCIA DE LAS MATRICES A y B se representa por A B, y se define así: A B = A + (-B) PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO. Es otra matriz obtenida multiplicando cada uno de los elementos de la matriz por el número Ejemplo: A = y el escalar 3 se tiene que: A = A = = 3. ( 5) ( 2) ( 3) 3.0

17 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ. Si h y k son nímeros reales cualesquiera y A y B matrices se tiene que: 1. Propiedad distributiva primera k (A + B) = ka + kb. 2. Propiedad distributiva segunda (k + h) A = ka + Ka. 3. Propiedad asociativa mixta k(h.a) = (kh) A 4. Elemento neutro 1.A = A GUÍA DE EJERCICIOS MATRICES. Dadas las matrices A= B= D= E= F= C= ESCALARES k 1 = 2 k 2 = 3 G= Encontrar: k 1. A + k 2. B k 1. B + k 2. C A t + C t Método para resolver sistemas aplicando inversa de una matriz. Inversa de una matriz 2x2. Inversa de una Matriz de tamaño nxn. Transpuesta de una matriz.

18 GUIA DE EJERCICIOS MATRICES B= C= D= E= 3/ /5 F= 2 1/ /2 G= H= I=

19 J= K= L= 4 6 M= N= O= P= Q= R=

20 0 1 2 S= T= U= V= UNIDAD III: TÓPICOS DE ANÁLISIS NUMÉRICOS. Función determinante. Función permutación. Definición de determinante. Determinante de una matriz de tamaño 2x2, 3x3 y nxn. Regla de CRAMER. Método de Co-Factores. Ejercicios Prácticos

21 UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES. Espacio vectorial. Definición de espacio vectorial y SUBESPACIO vectorial. Realización de ejercicios. Definición de combinación lineal. Definición de dependencia e independencia lineal. Definición de base vectorial y dimensionamiento. Vectores propios: propiedades y aplicaciones. UNIDAD V: TRANSFORMACIONES LINEAL. Transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal. Definición de imagen, rango y núcleo. Transformaciones ortogonales. Transformaciones de R2 a R2 de R3 a R3, de Rn a Rn.

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

MATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.

MATRICES. 2º Bachillerato. Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Concepto de matriz. Igualdad de matrices MATRICES 2º Bachillerato Concepto de matriz. Igualdad de matrices Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números

Más detalles

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones. TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Tema 4: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Sistemas Lineales pueden ser de No lineales Gráficamente Ecuaciones se clasifican se resuelven Algebraicamente Compatible determinado Compatible indeterminado

Más detalles

Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (3ª Parte)

Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (3ª Parte) Sistema de Ecuaciones Lineales Matrices y Determinantes (ª Parte) Definición: Sistemas Equivalentes Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto solución Teorema fundamental

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Matriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a

Más detalles

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 6 2 Herramientas 8 21 Operaciones

Más detalles

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ... TEMA : MATRICES Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas a a a... a n a a a... an A... am am am... amn A los números reales a ij se les llama elementos

Más detalles

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden

Más detalles

Vectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector

Vectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector UNIDAD I: MATRICES Vectores en el plano Un vector,, es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (etremo).un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto

Más detalles

Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

Matrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología

Matrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------

Más detalles

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.

Más detalles

Matrices. Álgebra de matrices.

Matrices. Álgebra de matrices. Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,

Más detalles

Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Matrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se

Más detalles

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.

TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Más detalles

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:

Más detalles

1. Matrices. Operaciones con matrices

1. Matrices. Operaciones con matrices REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se

Más detalles

Tema 5. Matrices y Determinantes

Tema 5. Matrices y Determinantes Tema 5. Matrices y Determinantes 1. Definiciones 2. Operaciones Propiedades 3. Determinantes Orden 2 Orden 3: Regla de Sarrus Orden mayor de 3 Propiedades 4. Matriz inversa Ecuaciones matriciales 5. Rango

Más detalles

Matemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara

Matemáticas Física Curso de Temporada Verano Ing. Pablo Marcelo Flores Jara Matemáticas Física Curso de Temporada Verano 2016 Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com UNIDAD III: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL Ing. Pablo Marcelo Flores Jara pablofloresjara@gmail.com

Más detalles

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.

Matrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. TEMA 1.- MATRICES 1.-Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( ) MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una

Más detalles

ECUACIONES. Las letras representan números y se llaman incógnitas.

ECUACIONES. Las letras representan números y se llaman incógnitas. ECUACIONES. Una ecuación es una expresión algebraica (un conjunto de letras y números), unidos entre sí por signos aritméticos, de radicalización y potenciación. Las letras representan números y se llaman

Más detalles

MATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

MATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n

Más detalles

MATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

MATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. 1 MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos horizontales

Más detalles

MATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

MATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en: Repaso de Matrices MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: 1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con

Más detalles

Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: 2x 3y 4z

Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: 2x 3y 4z 1. Ecuación lineal Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: x y 4z 8 x 6y z 5 7y z 1. Sin embargo, no son, ecuaciones lineales: x y z 1,

Más detalles

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Más detalles

Matrices y sistemas lineales

Matrices y sistemas lineales 15 Matemáticas I : Preliminares Tema 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números

Más detalles

Tema II. Sistemas de ecuaciones lineales

Tema II. Sistemas de ecuaciones lineales Tema II. Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas 1 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Teorema de Rouché 3. Resolución de s.e. lineales 4. Regla de Cramer 5. Otros métodos 1. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

2.- Sistemas lineales.

2.- Sistemas lineales. 2.- Sistemas lineales. 2.1.-Definiciones previa. 2.1.1.-Ecuación lineal con n incógnitas: Cualquier expresión del tipo:, donde a i, b, ú. Los valores a i se denominan coeficientes, b término independiente

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible

Más detalles

MATRICES DETERMINANTES

MATRICES DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES INTRODUCCIÓN, MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de

Más detalles

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos

Más detalles

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...

Más detalles

Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?

Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?

Más detalles

Lo rojo sería la diagonal principal.

Lo rojo sería la diagonal principal. MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).

Más detalles

Tema 1: Matrices. October 13, 2016

Tema 1: Matrices. October 13, 2016 Tema 1: Matrices October 13, 2016 1 Matrices Las matrices se usan en muchos ámbitos de las ciencias: sociología, economía, hojas de cálculo, matemáticas, física,... Se inició su estudio en el siglo XIX

Más detalles

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos

Más detalles

BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*)

BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*) BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*) Matrices. Determinantes. Rango. Sistemas de ecuaciones lineales. El Álgebra Lineal es una parte de la Matemática de frecuente aplicación

Más detalles

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ...

Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares a i j de la forma: ... ... a... ... MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss

Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss En los artículos anteriores se ha hablado de ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas y de ecuaciones lineales de primer grado con tres

Más detalles

UNIDAD II SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

UNIDAD II SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Licenciatura en Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Raga, Esp. Ciudad Ojeda, febrero 07 Sistema de dos ecuaciones lineales

Más detalles

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan).

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan). Ejemplo 19: Demuestre que la matriz A es invertible y escríbala como un producto de matrices elementales. Solución: Para resolver el problema, se reduce A a I y se registran las operaciones elementales

Más detalles

PREPA N o 2. Matriz Inversa y Determinantes.

PREPA N o 2. Matriz Inversa y Determinantes. UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR MATEMÁTICAS III (MA-1116) Elaborado por Miguel Labrador 12-10423 Ing. Electrónica PREPA N o 2. Matriz Inversa y Determinantes. Sist. de ecuaciones lineales (cierre), cálculo de

Más detalles

Matemáticas Aplicadas a los Negocios

Matemáticas Aplicadas a los Negocios LICENCIATURA EN NEGOCIOS INTERNACIONALES Matemáticas Aplicadas a los Negocios Unidad 4. Aplicación de Matrices OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TRABAJO PRÁCTICO Nº 3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 BLOQUE I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 Los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden ser: única solución infinitas soluciones no tienen solución rectas que se cortan

Más detalles

1. Lección 3: Matrices y Determinantes

1. Lección 3: Matrices y Determinantes Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: A n m = (

Más detalles

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.

Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma: TEMA Sistemas de ecuaciones SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades de la forma: a a an n b a

Más detalles

Tema 1: Matrices y Determinantes

Tema 1: Matrices y Determinantes Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz

Más detalles

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE 3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método

Más detalles

APUNTES ALGEBRA SUPERIOR

APUNTES ALGEBRA SUPERIOR 1-1-016 APUNTES ALGEBRA SUPERIOR Apuntes del Docente Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Contenido MATRICES Y DETERMINANTES... ELEMENTOS

Más detalles

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.

Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5

Más detalles

Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2012 2013 Índice Sistemas de ecuaciones lineales 1 Interpretación geométrica y definición 1 Método de eliminación 4 Resolución de sistemas

Más detalles

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,

Más detalles

Propiedades de los Determinantes

Propiedades de los Determinantes Propiedades de los Determinantes Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 26 de mayo de 2010 Índice 19.1. Propiedades............................................... 1 19.2. La adjunta de una matriz cuadrada..................................

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Definiciones Sea K un cuerpo Una ECUACIÓN LINEAL CON COEFICIENTES EN K es una expresión del tipo a 1 x 1 + + a n x n = b, en la que n es un número natural y a

Más detalles

Instituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =..

Instituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =.. Instituto Tecnológico Autónomo de México TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ DEFINICION : Transpuesta Sea A = (a ij ) una matriz de mxn Entonces la transpuesta de A, que se escribe A t, es la matriz de nxm obtenida

Más detalles

UNIDAD 1 : MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD 1 : MATRICES Y DETERMINANTES Material de estudio 05: Matrices y UNIDAD : MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe

Más detalles

Ecuaciones Simultáneas de primer grado. I. Eliminación por igualación. P r o c e d i m i e n t o

Ecuaciones Simultáneas de primer grado. I. Eliminación por igualación. P r o c e d i m i e n t o Ecuaciones Simultáneas de primer grado I. Eliminación por igualación P r o c e d i m i e n t o 1. Se ordenan (alfabéticamente) y nombran las ecuaciones 2. Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

Más detalles

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo

Más detalles

1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO. Infinitas soluciones) Infinitas soluciones)

1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO. Infinitas soluciones) Infinitas soluciones) TEMA 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS La ecuación 2x 3 5 tiene un término en x (el término 2x), otro en y (el término -3y) y un término independiente (el 5) Este

Más detalles

TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y gastó en total $ 84.00. Si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $ 6.00. Cuánto

Más detalles

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ignacio López Torres. Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio electrónico

Más detalles

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5 DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno

Más detalles

Ejemplo 1. Ejemplo introductorio

Ejemplo 1. Ejemplo introductorio . -Jordan. Ejemplo 1. Ejemplo introductorio. -Jordan Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA Índice Presentación... 3 Método de la matriz inversa... 4 Observaciones... 5 Ejemplo I.I... 6 Ejemplo I.II... 7 Ejemplo II... 8 Sistemas compatibles indeterminados... 9 Método

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de Gauss SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: x+ y+ 4z= x = (I) 2y+ z= 4 y= ( 2,, ) es la sol ución 3z = 6 z = 2 El sistema (I)

Más detalles

Tema 1. Álgebra lineal. Matrices

Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices ) Dada la matriz M=, prueba que n n M M, n. ) Demuestra la siguiente implicación: Si I A I AA A

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Capítulo 4 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN DE MATRIZ DE NÚMEROS REALES Una matriz de números reales de tamaño m n es un conjunto ordenado por filas y columnas de números

Más detalles

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria

Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes

Más detalles

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5 de Abril de 2 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clase ) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Puntos a tratar. Definición

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema ( ecuaciones y incógnitas) es un sistema de la forma: Ï a 11 x + a 1 y = b 1 Ó a 1 x + a y

Más detalles

Universidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL.

Universidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL. UNIDAD II: MATRICES Universidad Alonso de Ojeda. MATRIZ Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas EJEMPLO: Cada uno de los números

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS Definición: se llama matriz de m filas y n columnas sobre un cuerpo K (R ó C), a una ordenación rectangular de la forma Notación: a11 a...... a1n a21 a...... a2n A = M M M donde cada elemento a ij Є K

Más detalles

Ing. Ramón Morales Higuera

Ing. Ramón Morales Higuera MATRICES. Una matriz es un conjunto ordenado de números. Un determinante es un número. CONCEPTO DE MATRIZ. Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y Las líneas horizontales

Más detalles

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo

Más detalles