Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales

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1 Tema 5: Sistemas de Ecuaciones Lineales Eva Ascarza-Mondragón Helio Catalán-Mogorrón Manuel Vega-Gordillo Índice 1 Definición 3 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales 4 21 Tipos de sistemas ecuaciones lineales 5 3 Aplicación lineal asociada a un sistema de ecuaciones lineales 5 4 Sistemas equivalentes 6 5 Discusión de un sistema de ecuaciones Teorema de Rouché-Frobenius 7 51 Teorema de Rouché-Frobenius 8 6 Resolución de un sistema de ecuaciones lineales 8 61 Sistemas Compatibles Determinados Regla de Cramer Método de la matriz inversa Método de triangularización de Gauss Sistema compatible indeterminado 12 1

2 7 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas 13 2

3 1 Definición forma: Consideremos un sistema en k con m ecuaciones y n incógnitas x 1, x 2,, x n, de la a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m cuya expresión matricial es a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n x 1 x 2 = b 1 b 2 a m1 a m2 a mn x n b m y que, por lo tanto, podemos expresar en la siguiente forma reducida A X = B Este sistema se denomina sistema de ecuaciones lineales Diremos que A es la matriz asociada al sistema; X es la matriz n 1 de incógnitas y B es la matriz m 1 de los coeficientes o términos independientes En el caso particular de que la matriz B sea igual a la matriz nula, esto es, B = 0, entonces diremos que el sistema es un sistema homogéneo Los números a ij, donde 1 i m y 1 j n, se denominan coeficientes del sistema, mientras que los números b i, 1 i m, son los términos independientes del sistema de ecuaciones Cuando nos enfrentamos a un sistema de ecuaciones lineales podemos o bien resolverlo o bien discutirlo Resolver un sistema es demostrar todas sus soluciones Discutir un sistema es analizar si posee ninguna, una o varias soluciones 3

4 2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales Una solución de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es una n-upla de números (r 1, r 2,, r n ), tales que cuando se reemplaza x 1 por r 1, x 2 por r 2, etcétera, se satisfacen todas las ecuaciones del sistema Esto es, de una matriz columna λ 1 λ 2 λ n diremos que es la solución del sistema si verifica a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn λ 1 λ 2 λ n = b 1 b 2 b m Si la matriz columna λ 1 λ 2 λ n es solución del sistema se verificará que x 1 = λ 1, x 2 = λ 2,, x n = λ n Por lo tanto, vamos a intentar resolver el sistema 4

5 es decir, estudiaremos las condiciones que debe cumplir para que admita alguna solución y analizaremos el conjunto de las posibles soluciones 21 Tipos de sistemas ecuaciones lineales Aludiendo al número de soluciones, los sistemas se clasifican en : (i) Ninguna solución: sistemas incompatibles (ii) Alguna solución: sistemas compatibles (iia) Una solución: determinados (iib) Varias soluciones: indeterminado 3 Aplicación lineal asociada a un sistema de ecuaciones lineales Dado el sistema de m ecuaciones y n incógnitas esto es consideremos la aplicación lineal f: k n k m canónicamente asociada a la matriz A, k n f k m ē j ā j con 1 j m Diremos que f es la aplicación lineal asociada al sistema Dado que f es la aplicación lineal canónicamente asociada a la matriz A se tiene que f (x) = b donde x y b son los vectores columna de X y B, respectivamente 5

6 Una matriz columna de orden (n 1), X 1, es solución del sistema si y sólo si f (x 1 ) = b 1 Corolario Una condición necesaria y suficiente para que el sistema tenga solución es que el vector b sea combinación lineal de los vectores columna de A Corolario Una condición necesaria y suficiente para que el sistema admita alguna solución es que rg (A) = rg (A B) donde (A B) se denomina matriz ampliada del sistema y que podemos expresar como (notación en columnas) (A B) = (A 1 A 2 A n B) donde A i, con 1 i n, es la columna j-ésima de la matriz A 4 Sistemas equivalentes Dados dos sistemas de ecuaciones lineales en k CZ = D diremos que son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones 6

7 Proposición Sea un sistema en k de m ecuaciones y n incógnitas Si T es una matriz cuadrada de orden m y su rango es igual a m entonces los sistemas de m ecuaciones con n incógnitas y (T A) X = T B son equivalentes Corolario Considerando el sistema si A 1 y B 1 son el resultado de aplicar a las matrices A y B, respectivamente, una misma transformación elemental, entonces los sistemas y A 1 X = B 1 son equivalentes Si en un sistema de ecuaciones lineales se multiplica una de las ecuaciones por un número, el sistema obtenido es equivalente al primero Si se añade a una ecuación de un sistema lineal una combinación de las restantes, es sistema resultante es equivalente al primero Si en un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación es combinación lineal de las restantes, el sistema que resulta de suprimir dicha ecuación es equivalente al primero 5 Discusión de un sistema de ecuaciones Teorema de Rouché-Frobenius Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas en k el número de soluciones del sistema está totalmente determinado por los rangos de la matriz de coeficientes, A y de la matriz ampliada A B 7

8 51 Teorema de Rouché-Frobenius Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas en k tiene alguna solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada rg (A) = rg (A B) Si los dos rangos son iguales e iguales al número de incógnitas, el sistema tendrá una solución única Si los dos rangos son iguales pero menores que el número de incógnitas, el sistema tendrá infinitas soluciones En resumidas cuentas Si rg (A) = rg (A B), el sistema es compatible Si rg (A) = rg (A B) = n, sistema compatible determinado (solución única) Si rg (A) = rg (A B) < n, sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones) Si rg (A) rg (A B), sistema incompatible 6 Resolución de un sistema de ecuaciones lineales 61 Sistemas Compatibles Determinados 611 Regla de Cramer Si un sistema es compatible determinado puede reducirse a un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas cuya matriz de coeficientes A tiene determinante no nulo, esto es:, A M n n, A 0, por tanto, A admite matriz inversa y la solución del sistema será: X = A 1 B, 8

9 cuya expresión matricial es la siguiente por lo cual x 1 x 2 x n = = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn A 11 A 21 A n1 A A A A 12 A 22 A n2 A A A A 1n A 2n A nn A A A 1 x ı = A 1ib ı + A 2i b A ni b n ; 1 i n A b 1 b 2 b n b 1 b 2 b n = el numerador de esta fracción es el desarrollo por la columna i-ésima del determinante: a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn lo que nos lleva a la regla de Cramer: la solución de un sistema compatible determinado es igual a 9

10 a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn x i =, 1 i n a 11 a 1i a 1n a 21 a 2i a 2n a n1 a ni a nn Por lo tanto, el denominador corresponde al determinante de la matriz de coeficientes, mientras que el numerador es el determinante de la matriz que resulta de sustituir la columna de los coeficientes de la variable que queremos calcular por la columna de términos independientes 612 Método de la matriz inversa Este método consiste en la aplicación del cálculo matricial al sistema dado en forma matricial Si el sistema viene dado por donde si A = 0, existirá la matriz inversa de A, es decir, A 1 Operando con esta matriz inversa sobre el sistema anterior A 1 AX = A 1 B luego por la propiedad asociativa del producto ( A 1 A ) X = I X = A 1 B por consiguiente X = A 1 B 10

11 Si representamos el sistema de la siguiente manera X C = D donde si C 0 existirá la matriz inversa de C, C 1, lo que nos permite operar de la siguiente manera X C C 1 = D C 1 X ( C C 1) = X I = D C 1 luego X = D C Método de triangularización de Gauss Este método consiste en la aplicación de transformación elementales (tal como vimos en el estudio del rango de una matriz) a los sistemas de ecuaciones Este procedimiento lo podremos entender mejor a partir del siguiente ejemplo: 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 2x 3 = 1 x 1 + x 2 x 3 = 2 Primera transformación elemental: cambiamos la ecuación 1 por la ecuación 3 x 1 + x 2 x 3 = 2 2x 1 + x 2 2x 3 = 1 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 ; sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por 2 y restamos a la tercera la primera multilplicada por 3 x 1 + x 2 x 3 = 2 3x 2 4x 3 = 5 x 2 + 4x 3 = 7 ; 11

12 cambiamos de signo la tercera ecuación y la intercambiamos con la segunda x 1 + x 2 x 3 = 2 3x 2 4x 3 = 5 x 2 4x 3 = 7 x 1 + x 2 x 3 = 2 x 2 4x 3 = 7 ; 3x 2 4x 3 = 5 por último restamos a la tercera ecuación la primera multilplicada por 3 x 1 + x 2 x 3 = 2 x 2 4x 3 = 7 8x 3 = 16 Luego la solución de este sistema será x 1 x 2 x 3 = Sistema compatible indeterminado Si un sistema compatible es indeterminado se extrae del mismo un subsistema que sea compatible determinado El subsistema elegido lo determinan los componentes del menor que define el rango de la matriz del sistema x 1 x 2 + x 3 = 1 4x 1 + 5x 2 5x 3 = 4 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 + 2x 2 2x 3 = 1 12

13 rg (A) = rg = rg (A B) = rango = rango A = rango ( A, b ) = 2 < 3 = n o de incógnitas Compatible indeterminado Por consiguiente 3 2 = 1, una incógnita, de las tres del sistema, deberá desempeñar el papel del producto x 1 x 2 = 1 x 3 4x 1 + 5x 2 = 4 + 5x 3 x 1 = 1 x 2 = x 3 x 1 = 1 x 2 = λ x 3 = λ 7 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas Se llama sistema lineal homogéneo a todo sistema lineal de ecuaciones en el que los términos independientes o segundos miembros de cada ecuación son cero, es decir: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 12 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 En los sistemas lineales homogéneos, el rango de la matriz ampliada es siempre igual al rango de la matriz de coeficientes, puesto que estas dos matrices se diferencia tan sólo en una columna de ceros Por lo tanto, los sistemas homogéneos son siempre compatibles, evidentemente, siempre tienen alguna solución, pues al menos x i = 0, 1 i n, es una solución que se denomina solución trivial 13

14 En un sistema homogéneo caben dos posibilidades: El rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas, entonces el sistema es compatible determinado y no tiene otra solución más que la trivial El rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas, entonces el sistema tiene infinitas soluciones Para resolver un sistema homogéneo en estas condiciones es preciso expresar unas variables en función de las otras Teorema El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con n incógnitas es un subespacio vectorial de R n, cuya dimensión es igual a n menos el número de ecuaciones linealmente independientes del sistema (el número de ecuaciones linealmente independientes coincide con el rango de la matriz de coeficientes del sistema) Por lo tanto, (a) El conjunto de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones homogéneas es un subespacio vectorial de dimensión igual a la dimensión del espacio menos el número de ecuaciones linealmente independientes (b) Todo subespacio vectorial está caracterizado por un sistema lineal homogéneo de ecuaciones que se denominan ecuaciones implícitas del subespacio, el número de ecuaciones es igual a la dimesión del espacio menos la dimensión del subespacio Otro procedimiento para caracterizar un subespacio vectorial consiste en hallar las ecuaciones paramétricas del mismo Para entender estas ecuaciones, supongamos que U es un espacio vectorial n-dimensional y sea S un subespacio m-dimensional que tiene como base los vectores { s 1, s 2,, s m } de coordenadas respectivas s i = (s i1, s i2,, s in ) donde i = 1,, m, entonces los vectores de S se caracterizan por ser una combinación lineal única de los vectores { s 1, s 2,, s m }, esto es, dado cualquier vector x S existen m escalares 14

15 α 1,, α m que satisfacen la siguiente relación x = α 1 v 1 + α 2 v α m v m ecuación implícita que, coordenada a coordenada podemos escribir como x 1 = α 1 v 11 + α 2 v α m v m1 x 2 = α 1 v 12 + α 2 v α m v m2 x m = α 1 v 1m + α 2 v 2m + + α m v mm que son ecuaciones que caracterizan al subespacio S y que se denominan ecuaciones paramétricas El número de parámetros de las ecuaciones paramétricas es igual a la dimensión del subespacio 15

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