Determinante de una matriz

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1 25 Matemáticas I : Preliminares Tema 3 Determinante de una matriz 31 Determinante de una matriz cuadrada Definición 67- Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto ordenado de un elemento de cada fila, cada uno de los cuales pertenece a columnas distintas Es decir, una expresión de la forma a 1j1 a 2j2 a njn con todos los j k distintos Llamaremos producto elemental con signo al valor (1) N a 1j1 a 2j2 a njn donde el número N, para cada producto elemental, es el número de inversiones del orden en el conjunto de las columnas {j 1, j 2,, j n }, es decir, el número de veces que cada índice j k es menor que los anteriores a él Ejemplo 68 {2, 4, 1, 3} Para calcular las inversiones tenemos que ver cuantas veces 4, 1 y 3 son menores que sus anteriores Para el 4, hay inversión cuando 4 < 2, no Para el 1, cuando 1 < 2, si; y cuando 1 < 4, si Y para el 3, cuando 3 < 2, no; 3 < 4, si; y 3 < 1, no El conjunto presenta entonces tres inversiones, N = 3 Definición 69- Definimos la función determinante en el conjunto de las matrices de orden n, como la función que asigna a cada matriz A el número real, que denotaremos por det(a) ó det A ó, y cuyo valor es la suma de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en A: det(a) = = (1) N a 1j1 a 2j2 a njn (j 1,j 2,,j n) Expresión del determinante de las matrices de orden 1, 2 y 3 Los determinantes de las matrices de los primeros órdenes de magnitud se obtienen de la forma: a 11 = a 11 y a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Estas expresiones admiten una regla nemotécnica gráfica para recordar la construcción de los productos elementales y el signo, siguiendo las direcciones de las diagonales principal y secundaria (para matrices de orden 3 se conoce como Regla de Sarrus): sign( ) = + sign( ) = Observación: Cada uno de los productos elementales con signo se corresponde con el determinante de una matriz que se forma haciendo cero todos los elementos que no estan 0 a (1) 3 a 12 a 24 a 31 a 43 = a 24 a a 43 0 en el producto Es claro, pues cualquier otro producto tendrá alguno de sus factores distinto de estos y, en consecuencia, será 0 De manera similar son inmediatos los dos resultados recogidos en la proposición siguiente ITI en Electricidad

2 26 Matemáticas I : Preliminares 31 Determinante de una matriz cuadrada Proposición Si A es una matriz que tiene una fila o una columna de ceros, entonces = 0 2- Si A es una matriz triangular superior o triangular inferior, es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir, = a 11 a 22 a nn (En todos los demás productos elementales aparece al menos un 0: si hay algún elemento por encima de la diagonal, hay alguno por debajo) 311 Determinantes y operaciones elementales Teorema 71- Sea A n n una matriz Se tiene que: a) si A es la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por una constante λ 0, entonces det(a ) = λ det(a) b) si A es la matriz que resulta de intercambiar dos filas de A, entonces det(a ) = det(a) c) si A es la matriz que resulta de sumar a la fila k un múltiplo de la fila i, entonces det(a ) = det(a) Corolario 72- Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero Corolario 73- a) Si E es la matriz elemental resulta de multiplicar una fila de I por k IR, entonces det(e) = k b) Si E es la matriz elemental que resulta de intercambiar dos filas de I, entonces det(e) = 1 c) Si E es la matriz que resulta de sumar a una fila k un múltiplo de la fila i, de I, entonces det(e) = 1 a) det(e) = k det(i) = k ; b) det(e) = det(i) = 1; c) det(e) = det(i) = Cálculo de determinantes por reducción a la forma escalonada El teorema anterior nos ofrece la posibilidad de calcular el determinante de una matriz usando el método de Gauss Si tenemos que E k E 2 E 1 A = R, donde R es la matriz escalonada que se obtiene al aplicar el método de Gauss, se tiene que det(r) = det(e k E k1 E k2 E 1 A) = δ k det(e k1 E k2 E 1 A) = δ k δ k1 det(e k2 E 1 A) = = δ k δ k1 δ k2 δ 1 det(a), donde δ i es k, 1 ó 1, según la operación elemental que represente E i Luego det(a) = 1 δ 1 1 δ k det(r) = 1 δ 1 1 δ k r 11 r 22 r nn pues R es una matriz triangular superior (recordar observación 63 de pág 22) y det(r) = r 11 r 22 r nn 312 Otras propiedades del determinante Teorema 74- Si A y B son matrices cuadradas de orden n, entonces det(ab) = det(a) det(b) Teorema 75- Sea A n n entonces, A es inversible det(a) 0 Si A es inversible I = AA 1, luego det(i) = det(aa 1 ) = det(a) det(a 1 ), pero al ser det(i) = 1 0, necesariamente ha de ser det(a) 0 ITI en Electricidad

3 27 Matemáticas I : Preliminares 32 Desarrollo por cofactores Si A no es inversible, por la parte 3 de la demostración del Teorema 74 (Anexo 0, pág 36), se tiene que det(ai) = 0 = det(a) det(i) y como det(i) = 1, debe ser det(a) = 0 Corolario 76- Si A es inversible, A 1 = 1 Teorema 77- Si A es una matriz cuadrada, entonces A t = 32 Desarrollo por cofactores Definición 78- Sea A una matriz cuadrada, llamaremos menor del elemento a ij, y lo denotaremos por M ij, al determinante de la submatriz que se forma al suprimir en A la fila i y la columna j Al número (1) i+j M ij lo llamaremos cofactor del elemento a ij y lo denotaremos por C ij Ejemplo A partir de la matriz A de abajo, construimos los cofactores C 21, eliminando la fila 2 y la columna 1, y C 34, eliminando la fila 3 y columna 4: A = C 21 = (1) C 34 = (1) Teorema 79- El determinante de una matriz A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (o de una columna) por sus cofactores correspondientes y sumando todos los productos resultantes; es decir, para cada 1 i n y para cada 1 j n: det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in y det(a) = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj Ejemplo = 21(1) (1) (1) = 13(1) (1) (1) Corolario 80- Si desarrollamos una fila de una matriz A por los cofactores de otra distinta, el resultado es cero; es decir, a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn = 0, si i j Idéntico resultado para las columnas Es claro, pues si en A hacemos la fila j igual a la fila i, la matriz obtenida A tiene determinante cero y 0 = A = a j1 C j1 + a j2 C j2 + + a jn C jn = a i1c j1 + a i2 C j2 + + a in C jn Definición 81- Dada una matriz A cuadrada de orden n, llamaremos matriz de cofactores de A a la matriz que tiene por elementos los cofactores de A, C = (C ij ), y llamaremos matriz adjunta de A a la matriz de cofactores traspuesta, Adj(A) = C t Nota: También es usual utilizar las denominaciones de menor adjunto para el cofactor y matriz adjunta para la matriz de cofactores (sin trasponer) En este caso, los resultados son idénticos a los que aquí se presentan con la única consideración a tener en cuenta es que donde aparece Adj(A) tendrá que aparecer Adj(A) t Teorema 82- Si A es una matriz inversible, entonces A 1 = 1 Adj(A) ITI en Electricidad

4 28 Matemáticas I : Preliminares 33 Rango de una matriz Si probamos que A Adj(A) = I entonces, como 0, será A Adj(A) = I y A 1 = 1 Adj(A) En efecto, aplicando el teorema 79 y el corolario 80 anteriores, a 11 a 12 a 1n C 11 C 21 C n1 0 0 A Adj(A) = AC t a 21 a 22 a 2n C 12 C 22 C n2 = = 0 0 = I a n1 a n2 a nn C 1n C 2n C nn 0 0 Ejemplo A = ; A 1 = t = Regla de Cramer 83- Sea AX = B, un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, tal que A es inversible, entonces el sistema tiene como única solución: b 1 a 12 a 1n a 11 b 1 a 1n a 11 a 12 b 1 b 2 a 22 a 2n a 21 b 2 a 2n a 21 a 22 b 2 b n a n2 a nn a n1 b n a nn a n1 a n2 b n x 1 =, x 2 =,, x n = 33 Rango de una matriz Definición 84 (Segunda definición del rango)- Se llama rango de una matriz A m n, rang(a) ó rg(a), al máximo orden que resulta de considerar todas las submatrices cuadradas que pueden formarse eliminando filas y columnas completas de A y cuyo determinante sea distinto de cero Del determinante de una submatriz cuadrada de orden r de A, formada eliminando filas y columnas completas, de suele decir que es un menor de orden r de A, por analogía a la denominación dada en la definición 78 a los menores de un elemento Resulta evidente que para A m n, se tiene rg(a) mín{m, n} Esta nueva definición de rango de una matriz es equivalente a la dada anteriormente: el rango de una matriz es el número de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas escalonadas de la matriz, puesto que el menor formado con las filas y columnas que contienen a los elementos principales de la matriz escalonada es distinto de 0, y cualquier menor de orden mayor es cero Corolario 85- Si A es una matriz, rg(a) = rg(a t ) De la nueva definición de rango y de M = M t para cualquier submatriz cuadrada de A Proposición 86- Sea A una matriz m n, entonces a) Si existe un menor de orden r distinto de cero el rg(a) r b) Si todos los menores de orden r son cero el rg(a) < r a) es claro, pues como r es el orden de un menor distinto de cero, el máximo de los órdenes de los menores distintos de cero es al menos r ITI en Electricidad

5 29 Matemáticas I : Preliminares 34 Ejercicios b) Si todos los menores de orden r son cero, como un menor de orden r + 1 puede descomponerse como suma de menores de orden r por constantes, todos los menores de orden r + 1 son cero y, también todos los menores de orden mayor Luego rg(a) < r En una matriz m n, el número de menores de orden r que podemos formar puede ser muy alto, de hecho es ( m ) ( n ) = r r m! r!(m r)! n! r!(n r)!, es decir, todas las posibles elecciones de r filas de entre las m y de r columnas de entre las n Por tanto, para ver que una matriz tiene rango menor que r usando los menores, hemos de comprobar que cada uno de los m! n! r!(mr)! r!(nr)! menores son cero Sin embargo, el coste de la evaluación por menores, puede reducirse usando el siguiente resultado: Orlado de menores 87- Sea A m n una matriz, y M r r una submatriz de A con determinante distinto de cero Entonces, si el determinante de todas las submatrices de orden r + 1 que se pueden conseguir en A añadiendo una fila y una columna a M son cero, el rango de A es r Este resultado nos indica el método conocido como orlado de menores para encontrar el rango de una matriz usando los menores: Buscamos un menor de orden uno distinto de cero: si no existe rg(a) = 0; si existe M 1 0 entonces rg(a) 1, y buscamos un menor de orden 2 distinto de cero de entre los que orlan al anterior: si todos ellos son cero, por el resultado anterior, el rg(a) = 1; si algún M 2 0 entonces rg(a) 2, y buscamos un menor de orden 3 distinto de cero de entre los que orlan a M 2 : si no existe rg(a) = 2, y si existe M 3 0 entonces rg(a) 3, y buscamos 34 Ejercicios 341 Suponiendo que det(a) = 5, siendo A = a b c d e f, calcular g h i a) e) d e f g h i a b c a g h b h e c i f b) f) a b c 2d 2e 2f g h i 2a d d g 2b e e h 2c f f i 342 Hallar el valor exacto del determinante de la derecha: a) Usando únicamente el método de Gauss b) Mediante el desarrollo por cofactores c) a+d b+e c+f d e f g h i c) Aplicando simultaneamente ambas técnicas para resolverlo más rápida y fácilmente a b c d) d3a e3b f 3c 2g 2h 2i g) det(3a) h) det(2a 1 ) i) det((2a) 1 ) Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada fila es cero Demostrar que A no es inversible 344 Sean A y B matrices de orden n tales que A 0, B 0 y AB =0 Demostrar que det(a)=det(b)=0 345 Calcular los posibles valores del determinante de una matriz ortogonal 346 Sea A una matriz antisimétrica de orden n impar Demostrar que det(a) = Si A es una matriz de orden n probar que Adj(A) = n1 ITI en Electricidad

6 30 Matemáticas I : Preliminares 34 Ejercicios 348 Calcular el valor de los determinantes 6 6 y n n siguientes: a a a a a a b a 0 b a 0 0 b 0 0 a b 0 a b a n1 n n n n+1 n+2 n1 n n+1 2n3 2n2 n n+1 n+2 2n2 2n1 a) Cuál es el rango de la matriz del primer determinante en función de los valores de a y b? b) Cuál es el rango de la matriz del segundo determinante para cada valor de n = 1, 2, 3,? ITI en Electricidad

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