Lo rojo sería la diagonal principal.

Transcripción

1 MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas). Si m = n (m nº de filas y n nº de columnas) se dice que la matriz es de orden m., por lo que el orden de una matriz sería el nº de filas o columnas que tiene. Ejemplo: Esta matriz tendría dimensión 3x3 y sería de orden 3 ya que tiene el mismo número de filas que de columnas (3). Tipos de matrices: - Iguales: Cuando coinciden sus dimensiones y sus números y la posición en la que se encuentran los mismos. - Matriz cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas y de columnas. En ella la diagonal principal son los números que ocupan la diagonal que va desde el primer número hasta el último: Lo rojo sería la diagonal principal. - Matriz rectangular: Es aquella matriz que no tiene el mismo número de filas que de columnas. - Matriz fila: Aquella que tan solo tiene una fila. - Matriz columna: Aquella que solo tiene una columna. - Matriz nula: Aquella matriz en la que todos los números son 0. - Matriz unidad o identidad. Es una matriz cuadrada de cualquier orden en la que su diagonal principal está formada únicamente por unos y lo demás son ceros: - Matriz traspuesta de A: Es aquella matriz en la que las filas de una matriz A aparecen como columnas: traspuesta: - Matriz simétrica: Matriz que es simétrica por la diagonal principal. Coincide con su

2 Suma (y resta) de matrices. Para sumar dos matrices se suman (o restan) los números que ocupan la misma posición. Ejemplo Producto de matrices: Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que la segunda dimensión de la 1ª matriz coincida con la 1ª dimensión de la segunda, es decir, que la primera matriz tiene que tener el mismo número de columnas que las filas de la segunda matriz. La matriz resultante tendrá las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda. Pero las matrices no tienen propiedad conmutativa. Una matriz multiplicada por la matriz unidad es la misma matriz. Para calcular el primer elemento se hace lo siguiente: 1*0 + 0*1 + 1*1 = 1. Porque para calcular un elemento hay que multiplicar el primer elemento de la fila a la que pertenezca (en este caso la primera) de la primera matriz por el primer elemento de la columna a la que pertenezca (en este caso también la primera) de la segunda matriz más el segundo elemento por el segundo más el tercero por el tercero Así hasta acabar la fila o columna. Lo voy a poner con letras. Si AB=0 n s necesario que alguna de las dos matrices sea 0, si AB = AC B y C no tienen por qué ser iguales. (A+-B) 2 no tiene por qué ser igual a A AB + B 2 y finalmente (A+B)(A-B) no tiene por qué ser igual a A 2 B 2. Producto de una matriz por un número: Simplemente se multiplica cada elemento de la matriz por ese número. Una matriz por su inversa es igual a la identidad, por lo que una de las fórmulas para calcular la inversa de la matriz será

3 A partir de aquí sacamos un sistema de ecuaciones: a + 2c=1 b+2d=0 -a=0 -b=0 De donde sacamos que b =0 a =0 c =1/2 y d=0. Una fila o columna de una matriz depende linealmente de las otras si es proporcional a ellas o si es la suma de varias de ellas. El rango es el número de filas o columnas linealmente independiente, y un método para calcularlo (método de Gauss) sería ir eliminando las columnas y filas que dependen linealmente de otras. Además se pueden restar filas y columnas sin que varíe el rango y multiplicarlas también sin que varíe el rango. DETERMINANTES: Solo se pueden calcular en el caso de que la matriz sea cuadrada. Determinante de orden 2: = ad bc Determinante de orden 3: Se usa la regla de Sarrus: Matriz complementaria de un elemento: Es la matriz que queda al eliminar la columna y la fila en la que se encuentra un elemento. Ejemplo: La matriz cuadrada del elemento que está en rojo sería: El adjunto de un elemento es la determinante de su matriz complementaria con signo + si se encuentra en una posición en la que la suma del nº de columna en la que se encuentra más el nº de fila en el que se encuentra es par y si es impar se le pone signo -: En la matriz de arriba el adjunto del nº verde llevaría el signo menos (ya que se encuentra en la primera fila y en la segunda columna y 1+2= 3 que es un número impar) y el adjunto del número azul llevaría signo + porque se encuentra en la primera fila y en la tercera columna y 1+3=4, que es par.

4 La determinante de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos correspondientes. Para que nos resulte más fácil hay que coger la fila o columna con más ceros posibles. Por ejemplo en la matriz de arriba su determinante sería: 0*Adjunto-3*adjunto2+0*adjunto3+1*adjunto4=3adj2+adj4 La determinante de una matriz triangular (en la cual por debajo o encima de la diagonal principal hay ceros) es igual al producto de los números de la diagonal que está por encima o debajo de los ceros. Propiedades de los determinantes: 1. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces se determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa fila o columna el primer y segundo sumando y los demás elementos iguales: 2. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada, el determinante queda multiplicado por ese número: 3. Si A y B son matrices cuadradas entonces la determinante de A por B es igual a la determinante de A por la determinante de B. Det (A*B) = det A * det B 4. Si se cambian de posición dos filas o columnas de una matriz cuadrada, la determinante de ésta cambia de signo. 5. Si una matriz tiene una columna o fila de ceros su determinante es 0 (ya que esta columna es dependiente de cualquier columna al multiplicarla por 0). 6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales o alguna de sus filas o columnas es combinación lineal de otras, su determinante es Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una paralela (multiplicada o no por un número), su determinante no varía.

5 Calculo de rangos por la determinante: Si la determinante de una matriz de orden 3 es 0, su rango será menor de 3, si la matriz es de orden 2 y su determinante es 0, su rango será menor de 2 (osea 1) Por lo tanto en una matriz de orden n si su determinante es 0, su rango será menor a 0. Una matriz con determinante 0 no tiene inversa. Siempre que encontremos filas o columnas proporcionales o de ceros se pueden eliminar. Caso 1 matriz de orden 2: Será de rango 2 cuando su determinante sea distinto de 0 (o si las filas o columnas son independientes) y rango 1 cuando su determinante sea 0. Caso 2 matriz de dos filas o columnas. Tiene rango 2 si encontramos una submatriz de orden 2 con determinante distinto de 0 (o si las filas o columnas son independientes). Si las filas o columnas son proporcionales rango 1. Caso 3 matriz cuadrada de orden 3. Primero se busca una submatriz de orden 2 con determinante distinta de 0 sino la encontramos rango 1. Si la encontramos el rango será al menos 2. Después se calcula la determinante de la matriz en general. Si es 0 el rango es 2 y si no es 0 el rango es 3. Caso 4: matriz no cuadrada: Primero se busca una submatriz de orden 2 con determinante distinta de 0 sino la encontramos rango 1. Si la encontramos el rango será al menos 2. Después se calcula la determinante de submatrices de orden 3. Y si no encontramos ninguna con determinante distinto de cero el rango será 2 y si la encontramos el rango será al menos 3. En el caso de que haya parámetros, el rango se calcula igual, pero podremos obtener diversas soluciones según el valor del parámetro, y por ello hay que estudiarlas por separado. Parámetro: Letra que puede tomar infinitos valores y que para cada valor hay una matriz distinta. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA DETERMINANTE: Hay que multiplicar por 1 partido de la determinante de la matriz que vamos a sacar la inversa la matriz traspuesta de la matriz adjunta de esa determinante. La matriz adjunta es aquella que está formada en vez de por sus elementos, por el adjunto de cada uno. Por tanto, para que una matriz tenga inversa, su determinante tiene que ser distinta de 0.

6 Ecuaciones matriciales: Para resolver la ecuación: AX = B Multiplicamos a la izquierda por la inversa de A: A -1 *A*X=A -1 B y simplificando nos queda: IX= A -1 B, que sería X = A -1 B. Pero si la ecuación es XA = B habría que multiplicar por la inversa de A por la derecha, ya que si la multiplicamos por la derecha la multiplicaríamos la inversa de A por X y no por A como queremos. Para resolver una ecuación de tipo AX+B=C primero habría que llevar la B al otro miembro y después aplicar lo que he dicho antes. Si tenemos una ecuación de tipo AX + BX = C sacaríamos factor común a X (en este caso por la derecha, ya que la X se encuentra a la derecha). (A+B)X=C y después se multiplicaría por la izquierda en ambos miembros por la inversa de A+B. Finalmente si tenemos una ecuación de tipo XAB XC = D, habría que sacar factor común a X por la izquierda, ya que la X se encuentra por la izquierda X (AB-C)=D y después se multiplicaría por lo derecha por la inversa de (AB- C). Una solución de un sistema es aquellos valores de las incógnitas que al sustituirlos por ellas se satisface la ecuación. Para pasar de un sistema de ecuaciones a AX=B hay que hacer lo siguiente: 1- Se ordenan las ecuaciones, se dejan los términos independientes en el 2º miembro y se ordenan las x y z. 2- A la matriz A se le ponen los coeficientes de las ecuaciones. Una fila para cada ecuación y una incógnita para cada columna. A la matriz X se ponen en columna las incógnitas y en la matriz B van los términos independientes también en columna. Pero para ahorrar tiempo la matriz de los coeficientes y la de los términos independientes se pueden poner juntas, pero separadas de una línea discontinua. A la matriz con los términos independientes se la denomina matriz ampliada(a*). Ejemplo: A A* Hay 3 tipos de sistemas: compatible determinado, en el cual coinciden el rango de la matriz de los coeficientes con el rango de la matriz ampliada y el nº de incógnitas es igual o menor a este rango. En este caso hay 3 soluciones concretas que se pueden obtener resolviendo el sistema o usando la regla de Cramer, en obtenemos la determinante de la matriz en la que sustituimos la columna de las x (en el caso de calcular la x), la columna de las y

7 (en el caso de calcular la y), o la columna de las z (en el caso de calcular la z), por la columna de los términos independientes y la dividimos entre la determinante de la matriz de los coeficientes. Sistema compatible indeterminado. En este caso coinciden el rango de la matriz ampliada y de coeficientes, pero el nº de incógnitas es mayor. Tiene infinitas soluciones. Para resolver este sistema, hay que llevar una de las incógnitas al 2º miembro y tratarlas como término independiente para después usar la regla de Cramer. Sistema incompatible: En este caso no coinciden el rango de la matriz ampliada con el de la matriz de coeficientes, y no tiene solución.