Matrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012

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1 3 agosto 2012

2 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa

3 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante

4 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante Inversa por menores

5 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante Inversa por menores Regla de Cramer.

6 Matriz Inversa Definición Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible si existe una matriz cuadrada de orden n, que denotaremos A 1 tal que: A A 1 = A 1 A = I n

7 Matriz Inversa Definición Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible si existe una matriz cuadrada de orden n, que denotaremos A 1 tal que: A A 1 = A 1 A = I n

8 Matriz Inversa Definición Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible si existe una matriz cuadrada de orden n, que denotaremos A 1 tal que: A A 1 = A 1 A = I n Observación

9 Matriz Inversa Definición Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible si existe una matriz cuadrada de orden n, que denotaremos A 1 tal que: A A 1 = A 1 A = I n Observación 1 También se denomina regular, no singular o inversible.

10 Matriz Inversa Definición Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible si existe una matriz cuadrada de orden n, que denotaremos A 1 tal que: A A 1 = A 1 A = I n Observación 1 También se denomina regular, no singular o inversible. 2 Si una matriz inversa existe, entonces es única. (demostrar)

11 Proposición Sean A, B M(n, R) matrices no singulares:

12 Proposición Sean A, B M(n, R) matrices no singulares: 1 (AB) 1 = B 1 A 1.

13 Proposición Sean A, B M(n, R) matrices no singulares: 1 (AB) 1 = B 1 A 1. 2 (A 1 ) 1 = A.

14 Proposición Sean A, B M(n, R) matrices no singulares: 1 (AB) 1 = B 1 A 1. 2 (A 1 ) 1 = A. 3 (A T ) 1 = (A 1 ) T.

15 Proposición Sean A, B M(n, R) matrices no singulares: 1 (AB) 1 = B 1 A 1. 2 (A 1 ) 1 = A. 3 (A T ) 1 = (A 1 ) T. 4 (αa) 1 = 1 α A 1, α 0.

16 Proposición Sean A, B M(n, R) matrices no singulares: 1 (AB) 1 = B 1 A 1. 2 (A 1 ) 1 = A. 3 (A T ) 1 = (A 1 ) T. 4 (αa) 1 = 1 α A 1, α 0. 5 (A k ) 1 = (A 1 ) k, k N.

17 Proposición Sean A, B M(n, R) matrices no singulares: 1 (AB) 1 = B 1 A 1. 2 (A 1 ) 1 = A. 3 (A T ) 1 = (A 1 ) T. 4 (αa) 1 = 1 α A 1, α 0. 5 (A k ) 1 = (A 1 ) k, k N.

18 Proposición Sean A, B M(n, R) matrices no singulares: 1 (AB) 1 = B 1 A 1. 2 (A 1 ) 1 = A. 3 (A T ) 1 = (A 1 ) T. 4 (αa) 1 = 1 α A 1, α 0. 5 (A k ) 1 = (A 1 ) k, k N. (demostrar)

19 Observación 1 En general, podemos definir: A A A A, k N A k = A 0 = I n, k = 0 (A 1 ) m, m = k, k < 0

20 Observación 1 En general, podemos definir: A A A A, k N A k = A 0 = I n, k = 0 (A 1 ) m, m = k, k < 0 2 Las matrices elementales son todas invertibles:

21 Observación 1 En general, podemos definir: A A A A, k N A k = A 0 = I n, k = 0 (A 1 ) m, m = k, k < 0 2 Las matrices elementales son todas invertibles: 1 E 1 ij = E ji

22 Observación 1 En general, podemos definir: A A A A, k N A k = A 0 = I n, k = 0 (A 1 ) m, m = k, k < 0 2 Las matrices elementales son todas invertibles: 1 E 1 ij 2 E 1 i = E ji = E i

23 Observación 1 En general, podemos definir: A A A A, k N A k = A 0 = I n, k = 0 (A 1 ) m, m = k, k < 0 2 Las matrices elementales son todas invertibles: 1 E 1 ij 2 E 1 i 3 E 1 ij = E ji = E i (λ) = E ij ( λ)

24 Ejercicios 1 Sean A, B M(n, R) matrices no singulares tal que A es simétrica y B T = 2B 1. Encuentre X M(n, R) en la expresión: XA + (AB) T = (A 1 B) 1

25 Ejercicios 1 Sean A, B M(n, R) matrices no singulares tal que A es simétrica y B T = 2B 1. Encuentre X M(n, R) en la expresión: XA + (AB) T = (A 1 B) 1 2 Resolver la ecuación matricial: (AX 1 B) T = AB, donde: A = y B = (son matrices invertibles).

26 Ejercicios 1 Sean A, B M(n, R) matrices no singulares tal que A es simétrica y B T = 2B 1. Encuentre X M(n, R) en la expresión: XA + (AB) T = (A 1 B) 1 2 Resolver la ecuación matricial: (AX 1 B) T = AB, donde: A = y B = (son matrices invertibles). 3 Sean A, B matrices regulares y simétricas. a) AB T es simétrica e invertible. b) (A 1 ) T = (A T ) 1. c) (A + B) 1 = A 1 + B 1. Cuáles son verdaderas?

27 Teoremas Teorema 1

28 Teoremas Teorema 1 Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si y solo si ρ(a) = n.

29 Teoremas Teorema 1 Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si y solo si ρ(a) = n. Teorema 2

30 Teoremas Teorema 1 Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si y solo si ρ(a) = n. Teorema 2 A 1 A I n.

31 Teoremas Teorema 1 Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si y solo si ρ(a) = n. Teorema 2 A 1 A I n. Teorema 3

32 Teoremas Teorema 1 Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si y solo si ρ(a) = n. Teorema 2 A 1 A I n. Teorema 3 Sea A una matriz de orden n invertible. Si una sucesión de operaciones elementales por filas E 1, E 2,, E k transforma la la matriz A en la identidad I n.

33 Teoremas Teorema 1 Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si y solo si ρ(a) = n. Teorema 2 A 1 A I n. Teorema 3 Sea A una matriz de orden n invertible. Si una sucesión de operaciones elementales por filas E 1, E 2,, E k transforma la la matriz A en la identidad I n. Entonces la misma sucesión de operaciones elementales convierte la matriz I n en A 1.

34 Método G-J Método de Gauss Jordan: Inversa de una Matriz

35 Método G-J Método de Gauss Jordan: Inversa de una Matriz

36 Método G-J Método de Gauss Jordan: Inversa de una Matriz Sea A una matriz invertible.

37 Método G-J Método de Gauss Jordan: Inversa de una Matriz Sea A una matriz invertible. 1 Se construye la matriz aumentada: (A, I n ).

38 Método G-J Método de Gauss Jordan: Inversa de una Matriz Sea A una matriz invertible. 1 Se construye la matriz aumentada: (A, I n ). 2 (A, I n ) operaciones elementales (I n, E) E = A 1

39 Ejemplos Calcular la inversa, en caso de existir:

40 Ejemplos Calcular la inversa, en caso de existir: A = B = C =

41 Determinante Definición Sea A M(n, R), el determinante de A es una función det : M(n, R) R, que a cada matriz A le asocia un número real det(a) = A.

42 Determinante Definición Sea A M(n, R), el determinante de A es una función det : M(n, R) R, que a cada matriz A le asocia un número real det(a) = A.

43 Determinante Definición Sea A M(n, R), el determinante de A es una función det : M(n, R) R, que a cada matriz A le asocia un número real det(a) = A. Aplicación:

44 Determinante Definición Sea A M(n, R), el determinante de A es una función det : M(n, R) R, que a cada matriz A le asocia un número real det(a) = A. Aplicación: Criterio para analizar si una matriz tiene inversa.

45 Determinante Definición Sea A M(n, R), el determinante de A es una función det : M(n, R) R, que a cada matriz A le asocia un número real det(a) = A. Aplicación: Criterio para analizar si una matriz tiene inversa. Calcular inversa de una matriz.

46 Determinante Definición Sea A M(n, R), el determinante de A es una función det : M(n, R) R, que a cada matriz A le asocia un número real det(a) = A. Aplicación: Criterio para analizar si una matriz tiene inversa. Calcular inversa de una matriz. Sistemas de Ecuaciones Lineales.

47 Determinante Definición Sea A M(n, R), el determinante de A es una función det : M(n, R) R, que a cada matriz A le asocia un número real det(a) = A. Aplicación: Criterio para analizar si una matriz tiene inversa. Calcular inversa de una matriz. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Recursividad La definición del determinante es recursiva, previo necesitamos definir...

48 Definiciones Definición

49 Definiciones Definición 1 Una submatriz de A corresponde a una parte de la matriz A.

50 Definiciones Definición 1 Una submatriz de A corresponde a una parte de la matriz A. 2 Sea A M(n, R) se llama menor de orden ij de A y se denota M ij al determinante de la matriz de orden n 1 que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A.

51 Definiciones Definición 1 Una submatriz de A corresponde a una parte de la matriz A. 2 Sea A M(n, R) se llama menor de orden ij de A y se denota M ij al determinante de la matriz de orden n 1 que resulta de eliminar la fila i y la columna j de A. 3 Se llama cofactor de ij de A al número c ij = ( 1) i+j M ij.

52 Definición Recursiva para Calcular el Determinante Definición

53 Definición Recursiva para Calcular el Determinante Definición 1 Para n = 1 : A = (a 11 ). Entonces det(a) = a 11.

54 Definición Recursiva para Calcular el Determinante Definición 1 Para n = 1 : A = (a 11 ). Entonces det(a) = a 11. [ ] a11 a 2 Para n = 2 : A = 12 a 21 a 22 Entonces det(a) = a 11 a 22 a 21 a 12.

55 Definición Recursiva para Calcular el Determinante Definición 1 Para n = 1 : A = (a 11 ). Entonces det(a) = a 11. [ ] a11 a 2 Para n = 2 : A = 12 a 21 a 22 Entonces det(a) = a 11 a 22 a 21 a Para n > 2 : A = (a ij ) Entonces { det(a) = n i=1 ( 1)i+j a ij M ij = n i=1 a ijc ij 1 j n con j fijo. n j=1 ( 1)i+j a ij M ij = n j=1 a ijc ij 1 i n, con i fijo.

56 Observación 1 Podemos calcular el determinante por filas o columnas.

57 Observación 1 Podemos calcular el determinante por filas o columnas. 2 Podemos realizar operaciones por filas (E) o columnas (C).

58 Ejemplos Calcular el determinante:

59 Ejemplos Calcular el determinante: 1 A = ( 6)

60 Ejemplos Calcular el determinante: 1 A = ( 6) [ ] B = 0 1

61 Ejemplos Calcular el determinante: 1 A = ( 6) [ ] B = C =

62 Ejemplos Calcular el determinante: 1 A = ( 6) [ ] B = C = D =

63 Observación 1 El calculo del determinante de una matriz de orden n, se traslada al cálculo de n determinantes de submatrices de orden n 1.

64 Observación 1 El calculo del determinante de una matriz de orden n, se traslada al cálculo de n determinantes de submatrices de orden n 1. 2 Es conveniente elegir una columna o fila con la mayor cantidad de ceros, así la cantidad de operaciones será mínima.

65 Observación 1 El calculo del determinante de una matriz de orden n, se traslada al cálculo de n determinantes de submatrices de orden n 1. 2 Es conveniente elegir una columna o fila con la mayor cantidad de ceros, así la cantidad de operaciones será mínima. 3 El valor del determinante no depende de la fila o columna elegida.

66 Observación 1 El calculo del determinante de una matriz de orden n, se traslada al cálculo de n determinantes de submatrices de orden n 1. 2 Es conveniente elegir una columna o fila con la mayor cantidad de ceros, así la cantidad de operaciones será mínima. 3 El valor del determinante no depende de la fila o columna elegida. 4 det(i n ) = 1.

67 Observación 1 El calculo del determinante de una matriz de orden n, se traslada al cálculo de n determinantes de submatrices de orden n 1. 2 Es conveniente elegir una columna o fila con la mayor cantidad de ceros, así la cantidad de operaciones será mínima. 3 El valor del determinante no depende de la fila o columna elegida. 4 det(i n ) = 1. 5 Regla de Sarrus: Forma nemotecnica para el calculo del determinante, SOLO para una matriz de orden 3. Esto es, de la forma: a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Repetir las dos primeras columnas y realizar la operación...

68 Regla de Sarrus: Términos Negativos a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a Términos Positivos

69 Propiedades 1 det(a) = det(a T ).

70 Propiedades 1 det(a) = det(a T ). 2 Si A posee una fila o columna de ceros, entonces det(a) = 0.

71 Propiedades 1 det(a) = det(a T ). 2 Si A posee una fila o columna de ceros, entonces det(a) = 0. 3 Si A = (a ij ) diagonal, triángular superior o inferior, entonces: det(a) = n i=1 a ii.

72 Propiedades 1 det(a) = det(a T ). 2 Si A posee una fila o columna de ceros, entonces det(a) = 0. 3 Si A = (a ij ) diagonal, triángular superior o inferior, entonces: det(a) = n i=1 a ii. 4 det(αa) = α n det(a), α R.

73 Propiedades 1 det(a) = det(a T ). 2 Si A posee una fila o columna de ceros, entonces det(a) = 0. 3 Si A = (a ij ) diagonal, triángular superior o inferior, entonces: det(a) = n i=1 a ii. 4 det(αa) = α n det(a), α R. 5 det(a B) = det(a) det(b).

74 Propiedades 1 det(a) = det(a T ). 2 Si A posee una fila o columna de ceros, entonces det(a) = 0. 3 Si A = (a ij ) diagonal, triángular superior o inferior, entonces: det(a) = n i=1 a ii. 4 det(αa) = α n det(a), α R. 5 det(a B) = det(a) det(b). 6 Si A tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, entonces det(a) = 0.

75 Propiedades 1 det(a) = det(a T ). 2 Si A posee una fila o columna de ceros, entonces det(a) = 0. 3 Si A = (a ij ) diagonal, triángular superior o inferior, entonces: det(a) = n i=1 a ii. 4 det(αa) = α n det(a), α R. 5 det(a B) = det(a) det(b). 6 Si A tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, entonces det(a) = 0. 7 Si se intercambian dos filas o dos columnas en una matriz, entonces su determinante cambia de signo. det(e ij A) = det(a) ; det(c ij A) = det(a).

76 Propiedades 1 det(a) = det(a T ). 2 Si A posee una fila o columna de ceros, entonces det(a) = 0. 3 Si A = (a ij ) diagonal, triángular superior o inferior, entonces: det(a) = n i=1 a ii. 4 det(αa) = α n det(a), α R. 5 det(a B) = det(a) det(b). 6 Si A tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, entonces det(a) = 0. 7 Si se intercambian dos filas o dos columnas en una matriz, entonces su determinante cambia de signo. det(e ij A) = det(a) ; det(c ij A) = det(a). 8 det(e i (α)a) = αdet(a). det(c i (α)a) = αdet(a).

77 Propiedades 1 det(a) = det(a T ). 2 Si A posee una fila o columna de ceros, entonces det(a) = 0. 3 Si A = (a ij ) diagonal, triángular superior o inferior, entonces: det(a) = n i=1 a ii. 4 det(αa) = α n det(a), α R. 5 det(a B) = det(a) det(b). 6 Si A tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, entonces det(a) = 0. 7 Si se intercambian dos filas o dos columnas en una matriz, entonces su determinante cambia de signo. det(e ij A) = det(a) ; det(c ij A) = det(a). 8 det(e i (α)a) = αdet(a). det(c i (α)a) = αdet(a). 9 det(e ij (α)a) = det(a). det(c ij (α)a) = det(a).

78 Ejemplos Es importante entender cómo utilizar estas propiedades, por tanto, a continuación, calcularemos algunos determinantes, pero utilizando las propiedades mencionadas anteriormente: A =

79 Ejemplos Es importante entender cómo utilizar estas propiedades, por tanto, a continuación, calcularemos algunos determinantes, pero utilizando las propiedades mencionadas anteriormente: A = B =

80 Ejemplos Es importante entender cómo utilizar estas propiedades, por tanto, a continuación, calcularemos algunos determinantes, pero utilizando las propiedades mencionadas anteriormente: A = B = C =

81 Ejemplos Es importante entender cómo utilizar estas propiedades, por tanto, a continuación, calcularemos algunos determinantes, pero utilizando las propiedades mencionadas anteriormente: A = B = C = x D = 1 x x

82 Ejercicios 1 Resolver: x a b a b c x b c b c a x a c = 0

83 Ejercicios 1 Resolver: 2 Calcular: x a b a b c x b c b c a x a c a a a a a b b b a b c c a b c d y a b c a 2 b 2 c 2 = 0

84 Ejercicios 1 Resolver: 2 Calcular: x a b a b c x b c b c a x a c a a a a a b b b a b c c a b c d y a b c a 2 b 2 c 2 3 Mostrar que: y 1 + z 1 z 1 + x 1 x 1 + y 1 y 2 + z 2 z 2 + x 2 x 2 + y 2 y 3 + z 3 z 3 + x 3 x 3 + y 3 = 2 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 = 0

85 Inversa de una matriz Definición Sea A M(n, R), se define la matriz de cofactores C = (c ij ) donde c ij son los cofactores de A. Además, se define la matriz adjunta de A, Adj(A) = C T. Ejemplo...

86 Inversa de una matriz Definición Sea A M(n, R), se define la matriz de cofactores C = (c ij ) donde c ij son los cofactores de A. Además, se define la matriz adjunta de A, Adj(A) = C T. Ejemplo... Teorema A Adj(A) = A I n Adj(A) A = A I n

87 Método para calcular la inversa Método Del teorema anterior y por unicidad se tiene que A 1 = 1 A Adj(A) Más aún, det(a 1 ) = 1 det(a)

88 Método para calcular la inversa Método Del teorema anterior y por unicidad se tiene que A 1 = 1 A Adj(A) Más aún, det(a 1 ) = 1 det(a) Teorema A es no singular ssi det(a) 0

89 Ejemplos Hallar la matriz inversa, si es posible, de: A =

90 Ejemplos Hallar la matriz inversa, si es posible, de: A = B =

91 Regla de Cramer Método Resolver el sistema de ecuaciones lineales AX = B, de n ecuaciones y n incognitas.

92 Regla de Cramer Método Resolver el sistema de ecuaciones lineales AX = B, de n ecuaciones y n incognitas.

93 Regla de Cramer Método Resolver el sistema de ecuaciones lineales AX = B, de n ecuaciones y n incognitas. A = (a ij ) X = (x i ) B = (b i )

94 Regla de Cramer Método Resolver el sistema de ecuaciones lineales AX = B, de n ecuaciones y n incognitas. A = (a ij ) X = (x i ) B = (b i ) Si det(a) 0 entonces el sistema tiene solución única, dada por:

95 Regla de Cramer Método Resolver el sistema de ecuaciones lineales AX = B, de n ecuaciones y n incognitas. A = (a ij ) X = (x i ) B = (b i ) Si det(a) 0 entonces el sistema tiene solución única, dada por: x i = A i, i = 1, n A

96 Regla de Cramer Método Resolver el sistema de ecuaciones lineales AX = B, de n ecuaciones y n incognitas. A = (a ij ) X = (x i ) B = (b i ) Si det(a) 0 entonces el sistema tiene solución única, dada por: x i = A i, i = 1, n A donde A i se obtiene a partir de A, al reemplazar la i-esima columna por la matriz B.

97 Ejercicio Resolver: x y = z 3

98 Una observación para solución de sistemas 1 Los sistemas que aparecen en muchas aplicaciones son de gran tamaño.

99 Una observación para solución de sistemas 1 Los sistemas que aparecen en muchas aplicaciones son de gran tamaño. 2 El tiempo de cálculo del computador necesario para resolver el sistema debe ser lo menor posible.

100 Una observación para solución de sistemas 1 Los sistemas que aparecen en muchas aplicaciones son de gran tamaño. 2 El tiempo de cálculo del computador necesario para resolver el sistema debe ser lo menor posible. 3 Por ejemplo: El Método de Eliminación Gaussiana es mas rápido que la Regla de Cramer (realiza menos operaciones).

101 Fin Terminamos!!!

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