Matrices. En este capítulo: matrices, determinantes. matriz inversa

Transcripción

1 Matrices En este capítulo: matrices, determinantes matriz inversa 1

2 1.1 Matrices De manera informal una matriz es un rectángulo de números dentro de unos paréntesis. A = a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 4,1 a 4,2 a 4,3 Filas de la matriz: tiras de números dispuestas en sentido horizontal. Columnas: las que están en posición vertical. 2

3 En el ejemplo anterior la matriz tendría 4 filas y 3 columnas. En una matriz abstracta, sin números expĺıcitos en su interior normalmente se denota: a i,j i = número de fila. j = número de columna. A veces nos referimos a la matriz que tiene dentro los números a i,j (según el convenio anterior) cómo A = ( a i,j ) i=1,...,n j=1,...,m Los elementos de la forma a i,i diagonal de A. se llaman la 3

4 Cuando una matriz tiene n filas y m columnas solemos decir que la matriz es de tipo (o tamaño) n m. Diremos que pertenece al conjunto M n m de las matrices con n filas y m columnas. En el caso de que el número de filas y de columnas es el mismo se dice que la matriz es cuadrada. La matriz cuadrada se llama matriz identidad de tamaño n y se denota por I n, luego se verá el porqué. 4

5 Definición. Dada una matriz A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm M n m llamamos matriz transpuesta A t M m n (ó A ) de A, a la matriz cuya fila i es igual a la columna i de A para todo i. Es decir, A t = A = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n a 1m a 2m a nm M m n Dicho de otra manera la matriz traspuesta de A es la que resulta de poner las filas de A como columnas. Es fácil comprobar que (A T ) T = A. 5

6 Definición. Dada una matriz cuadrada, A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn M n n, la traza de A es el número real traza(a) = a 11 + a a nn 6

7 1.1.1 Suma y producto por escalares Las matrices del mismo tamaño se pueden sumar. La suma se hace sumando los elementos que se encuentran en la misma fila y columna en las dos matrices. Así si A = ( a i,j ) i=1,...,n j=1,...,m y B = ( b i,j ) i=1,...,n j=1,...,m MATRICES DEL MISMO TAMAÑO Entonces A + B = ( a i,j + b i,j ) i=1,...,n j=1,...,m 7

8 Ejemplo. A = A + B = ( ) B = ( ( ( 2) 5 + ( 3) = ( ) ) ) 8

9 Producto por escalares (números reales). Si A = ( a i,j ) i=1,...,n j=1,...,m λ R entonces λa = ( λa i,j ) i=1,...,n j=1,...,m 9

10 Ejemplo. Tomemos λ un número cualquiera y la matriz ( ) A = entonces λa = Si fijamos λ = 7 ( A = ( λ 2 λ 1 λ 3 λ 9 λ 6 λ 5 ) = ) ( ) 10

11 Propiedades. Sean A, B y C matrices del mismo tamaño y α y β números reales cualesquiera: 1. (A + B) T = A T + B T. 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa). 3. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa respecto a la suma). 4. α(a + B) = αa + αb. 5. (α + β)a = αa + βa. 6. A(BC) = (AB)C (propiedad asociativa respecto al producto). 11

12 7. A(B + C) = AC + AB y A(B + C) = AB + AC (propiedad distributiva respecto a la suma). 8. I n A = AI n = A y 0 n A = A0 n = 0 n donde 0 n es la matriz cuyos elementos son todos ceros.

13 Multiplicación de matrices. Consideremos ahora A = (a ij ) i=1,...n j=1,...,m una matriz n m y B = (b ij ) i=1...m j=1...l del tipo m l, la matriz A tiene el mismo número de columnas que filas tiene B. Este es un requisito indispensable para poder multiplicar dos matrices. La matriz producto C = A B es una matriz que tiene n filas (el mismo número que A) y l columnas (tantas cómo B) de manera que el elemento c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a im b mj es decir, el elemento de la matriz producto que está en posición i, j es el resultado de multiplicar la fila i de A por la columna j de B. 12

14 Ejemplo. Consideremos las matrices A = ( ) B = la matriz C = A B es una matriz 2 2 ( 49 8= ( 4) C = ) 13

15 Atención. En general el producto de dos matrices no es conmutativo. De hecho esto es algo mas fuerte, en muchos casos sólo se puede hacer uno de los dos productos y el otro no. Por ejemplo si tomamos las matrices ( ) ( A = B = podemos hacer A B pero en cambio B A no se puede puesto que el número de columnas de B no coincide con el de filas de A. ) 14

16 ATENCIÓN Si multiplicamos una matriz cuadrada de M n n por la matriz identidad I n el resultado es la matriz original. EJEMPLO: ( ) ( ) = ( ) 15

17 Determinantes A toda matriz cuadrada se le puede asociar un número llamado determinante de la matriz. Veremos mas adelante que es muy importante y útil. Vamos a definirlo de manera inductiva. Si A M 1 1, A = (a) entonces det(a) = a Si A M 2 2, det(a) = a c b d = ad cb 16

18 En el caso de que A sea 3 3 tenemos dos maneras equivalentes de definir el determinante: 1. La regla de Sarrus: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a Desarrollando por una fila o una columna: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 17

19 No es necesario utilizar la primera fila o la primera columna. Se puede utilizar cualquiera. Hay que tener cuidado con el signo que lleva delante el elemento a i,j este es ( 1) i+j. Ejemplo. Si queremos calcular = ( 1) ( 1) ( 1) = 2 ( 3) + 3 (0) (1) 1 = 5 18

20 Para matrices de mayor tamaño el sistema es el mismo que el de matrices 3 3. El método consiste en desarrollar por filas o columnas de manera que un determinante 4 4 equivale a calcular 4 determinantes 3 3. Si A = (a ij ) es una matriz cuadrada de orden n n, llamaremos menor complementario del elemento a ij de la matriz A al determinante de la submatriz de orden n 1 n 1 que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El adjunto del elemento a ij de la matriz A es el menor complementario de a ij multiplicado por ( 1) i+j. Se denota por A ij 19

21 Con esta notación, podemos desarrollar el determinante por la fila i, A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in o por la columna j, A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj Veamos un ejemplo. 20

22 Ejemplo. Consideremos el determinante: Lo mas interesante en este caso es desarrollar por la columna 3 o también por la fila 4. Esto es debido a que hay ceros y entonces tendremos que hacer menos cálculos. Desarrollemos por la columna 3. 21

23 = 0 +( 1) ( 1)

24 Propiedad. Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño entonces 1. AB = A B. 2. A = A T. 3. λa = λ n A. 4. Si toda una fila o toda una columna son ceros entonces el determinante es cero. O, equivalentemente, 5. Si dos filas (o dos columnas) son idénticas, el valor del determinante es cero. 23

25 Propiedad. 1. Si multiplicamos toda una fila o toda una columna por un número diferente de cero entonces el determinante se multiplica por ese número. 2. Si intercambiamos dos filas o dos columnas entonces el determinante cambia de signo. 3. Si a una fila le sumamos un múltiplo de otra fila entonces el determinante no cambia. Utilizando estas tres propiedades el calculo de determinantes se simplifica mucho. 24

26 Ejemplo. Consideremos el determinante: = = = = = = 50 25

27 Rango de una matriz Dada una matriz cualquiera A llamamos rango de A al número de filas diferentes de cero que tiene la matriz después de escalonarla. 26

28 Rango de una matriz Dada una matriz cualquiera A llamamos rango de A al número de filas diferentes de cero que tiene la matriz después de escalonarla. Ejemplo. Consideremos la matriz: A = que es una matriz escalonada, entonces el rango de A es cuatro. 27

29 Hay una definición alternativa del rango de una matriz mediante determinantes. Propiedad. Sea A una matriz cualquiera. El rango de A es el tamaño del mayor determinante diferente de cero que podemos construir dentro de la matriz eliminando filas y columnas. 28

30 Ejemplo. 1. Tomemos la matriz ( 1 2 ) El rango de esta matriz es como mucho 2 ya que no se puede construir dentro un determinante 3 3. Miremos si podemos construir uno 2 2 que no valga cero con este no funciona = 0 = 1 0 Cómo este determinante no vale cero entonces la matriz tiene rango Si ahora tomamos ( ) 29

31 entonces como antes el rango puede ser como mucho 2. Como mínimo es 1 ya que para que sea 0 toda la matriz tendría que ser cero. Veamos si es 2: = 0, = 0, Por lo tanto el rango es = 0

32 Atención. El rango de dos matrices equivalentes es el mismo 30

33 Matriz Inversa Dada una matriz cuadrada n n, A, decimos que tiene inversa si existe una matriz n n que denotamos por A 1 tal que A A 1 = A 1 A = I n Donde I n es la matriz identidad de tamaño n. Propiedad. Si A tiene inversa, 1. A 1 es única. 2. (A 1 ) 1 = A. 3. (A T ) 1 = (A 1 ) T. 31

34 Propiedad. Una matriz cuadrada A tiene inversa si, y solo si, su determinante es diferente de cero. Equivalentemente una matriz cuadrada n n tiene inversa si y solo si su rango es n. Propiedad. Si A tiene inversa entonces det(a 1 ) = 1 det(a) Propiedad. Sean A y B matrices cuadradas de tamaño n. A B y B A tienen inversa si y solo si A y B tienen inversa. Además (A B) 1 = B 1 A 1 (B A) 1 = A 1 B 1 32

35 Cálculo de la matriz inversa mediante el método de Gauss Si tenemos una matriz A = Creamos la matriz a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn

36 A toda esta matriz le aplicamos cambios elementales hasta que conseguir (si es que se puede lo cual es equivalente a que tenga rango máximo) que en la parte de la izquierda nos quede la identidad. En caso que sea posible obtendremos b 11 b b 1n b 21 b b 2n b n1 b n2... b nn la matriz que tenemos ahora en la derecha es la inversa de A. 34

37 Este método funciona ya que de hecho la matriz que se obtiene en la derecha es el producto de todas las matrices por las que hay que ir multiplicando la matriz original para hacerle los cambios que nos llevan a la identidad. 35

38 Ejemplo. Consideremos la matriz montamos la matriz grande:

39 Hacemos los cambios que toquen (f 3 f 1 ) (f 3 + f 2 ) Aquí vemos que el rango de A es 3 por lo tanto se puede invertir. 37

40 (2f 2 f 3 ) (2f 1 f 2 ) Finalmente dividimos por /2 1/2 1/ /2 1/2 1/ /2 1/2 1/2 Por lo tanto la matriz inversa es A 1 = 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 38