Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria

Transcripción

1 T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes matrices: 3.3 Desarrollo de un determinante por recurrencia Se llama matriz complementaria de un elemento de una matriz A, a la matriz resultante que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j de la matriz A: Matriz complementaria del elemento Se llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria adjunto del elemento Desarrollo de un determinante por recurrencia: El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o de una columna, multiplicados por sus adjuntos correspondientes. Como es lógico, resolver un determinante por recurrencia tiene sentido en matrices cuadradas de orden superior a 3.

2 Ejercicio 2: Halla los determinantes de las siguientes matrices por recurrencia: 3.4 Desarrollo de un determinante por un elemento y su adjunto Un determinante no varía si: o Si a una fila o a una columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela. o Si a una fila o a una columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número. El determinante de una matriz cuadrada en la que todos los elementos de una fila o de una columna sean 0 excepto uno, es igual al producto de ese elemento por su adjunto: Utilizando las propiedades mencionadas anteriormente, transformaremos una fila o una columna para que todos sus elementos sean 0 excepto uno. Ejercicio 3: Halla los determinantes de las siguientes matrices por un elemento y su adjunto: 3.5 Método de Gauss para calcular un determinante. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal: El método de Gauss consiste en transformar la matriz dada en otra que sea triangular con el mismo determinante, para cual podremos hacer las siguientes transformaciones: o Si se permutan dos filas o dos columnas entre sí, el determinante cambiará de signo respecto del original o Si a una fila o a una columna se le suma otra paralela el determinante no varía. o Si a una fila o a una columna se le suma otra paralela multiplicada por un número el determinante no varía.

3 Ejercicio 4: Halla los determinantes de las siguientes matrices por el método de Gauss: 3.6 Matriz Inversa Dos matrices cuadradas son inversas si su producto es la matriz unidad: Calcula la matriz Inversa de Método de Gauss-Jordan: 1º Se adjunta a la matriz A la matriz (A I ) 2º Se transforma la matriz (A I ) en la matriz ( I A ) mediante los siguientes cambios: o Se pueden permutar dos filas entre sí. o Se puede multiplicar o dividir cualquier fila por un número no nulo. o Se puede sumar o restar a cualquier fila otra paralela. Calcula la matriz Inversa de Ejercicio 5: Halla la inversa de la matriz A por el método de Gauss-Jordan:

4 Matriz Adjunta: Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente, y se representa por Adj(A) Calcula la matriz adjunta de Matriz Inversa por Determinantes: La matriz inversa de una matriz A es igual a la matriz traspuesta de su adjunta dividida por el determinante de la matriz A. Calcula la matriz Inversa de Ejercicio 6: Halla la inversa de la matriz A por determinantes: 3.7 Rango de una matriz Dependencia Lineal: Una fila o una columna de una matriz depende linealmente de sus paralelas si: siendo: números reales. Rango de una matriz: Es el nº de filas o columnas linealmente independientes: El nº de filas linealmente independiente coincide con el nº de columnas linealmente independientes. Ejemplos:

5 Ejercicio 7: Halla el rango de las siguientes matrices: c) d) Matriz Escalonada: Es aquella en la que el primer elemento no nulo de cada fila está más a la derecha que el primer elemento no nulo de la anterior. Escalonadas: No escalonada: Cálculo del Rango por el método de Gauss: El rango de una matriz es igual al número de filas no nulas de la matriz transformada en matriz escalonada. Las transformaciones que no hacen variar el rango son: o Permutar dos filas o dos columnas entre si. o Multiplicar o dividir una fila o una columna por un número no nulo. o Sumar o restar a una fila o columna otra paralela. o Si se suprimen las filas o columnas nulas. o Si se suprimen las filas o columnas que dependen linealmente de otras. Ejercicio 8: Halla el rango de las siguientes matrices: c) d) Cálculo del Rango por Determinantes: o Si las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes, su determinante es 0. o Si el determinante de una matriz cuadrada es 0, las filas o columnas son linealmente dependientes. Una matriz tiene rango si se verifica que: o Existe un determinante de orden r, extraído de la matriz, distinto de 0. o Todos los determinantes de orden r+1, extraídos de la matriz, son nulos.

6 Ejercicio 9: Halla el rango de las siguientes matrices por determinantes: c) d) 3.8 Regla de Cramer Sea el sistema de ecuaciones: y sean las matrices: Se tiene entonces que: Ejemplos: Ejercicio 10: Resuelve por el método de Cramer el siguiente sistema: c) d)