APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ignacio López Torres. Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio electrónico o mecánico, por fotografía, grabación o cualquier otros sistemas de procesamiento de información, sin autorización del autor. 1

2 1. Definición y expresiones. Tema 2. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas y coeficientes en un cuerpo K (habitualmente, o ) es un conjunto de ecuaciones del tipo a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, donde los coeficientes a ij, b i K. Abreviadamente, se puede poner a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i, con i variando de 1 a m, o bien con i variando de 1 a m. k= n k = 1 a x = b ik k i Un sistema lineal se puede escribir matricialmente mediante a11 a12 L a1n x 1 b1 a21 a22 L a 2 n x 2 b2 A X b M M O M M = M =, a a L a x b m1 m2 mn n m expresión en la que A representa la matriz de los coeficientes, X la de las incógnitas y b la de los términos independientes. La matriz obtenida ampliando A con el vector columna correspondiente a los términos independientes, se denomina orlada o ampliada, y se representará por A b. Cuando b 1 = b 2 =... = b m = 0, es decir, b = 0 K m, se obtiene el sistema AAX=0, que se denomina sistema homogéneo o incompleto. 2. Solución de un sistema lineal. Sistemas equivalentes. Se dice que la n-tupla ( x 1, x 2,..., x n ) de elementos de K es una solución de un sistema lineal cuando al sustituirla en todas las ecuaciones del mismo (en lugar de las incógnitas), las convierte en identidades. Por ejemplo, todo sistema homogéneo posee al menos una solución, llamada solución trivial, que es x 1 = x 2 =... = x n = 0. Dos sistemas lineales (ambos del mismo número de ecuaciones e incógnitas) A 1 AX = b 1 y A 2 AX = b 2 son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones, es decir, cuando se verifican las dos condiciones siguientes: 1) Si X es solución de A 1 AX = b 1 => X es solución de A 2 AX = b 2. 2) Si X es solución de A 2 AX=b 2 => X es solución de A 1 AX = b 1. 2

3 3. Clasificación de un sistema lineal atendiendo a su solución. Resolver un sistema lineal es hallar todas sus soluciones. Para ello, se puede proceder transformando el sistema original en otros equivalentes a él, cada uno más sencillo de resolver que el anterior. Los sistemas lineales pueden ser clasificados atendiendo al número de sus soluciones en compatibles, cuando tienen al menos una solución, e incompatibles cuando no tiene ninguna. A su vez, los compatibles se clasifican en compatibles determinados, cuando tienen una única solución, y compatibles indeterminados, cuando tienen más de una solución. En éste último caso, si un sistema lineal tiene más de una solución, entonces tiene infinitas soluciones. Para probar esto, supongamos que X 1 y X 2, ambos elementos de K n, son soluciones del sistema lineal AAX = b. Entonces, es fácil ver por sustitución directa, que α K, es también solución del mismo. X = α ( X 1 X 2 ) + X 1, 4. Sistema lineal homogéneo asociado a un sistema lineal. Propiedades. Como vimos en el apartado 1, el sistema lineal AAX = b tiene asociado el sistema lineal homogéneo AAX = 0 que, al menos, posee la solución trivial. Algunas propiedades de este sistema homogéneo, son: 4.1. La combinación lineal de dos o más soluciones del sistema homogéneo, es también solución de dicho sistema. En efecto, si X 1, X 2,..., X p son soluciones del sistema AAX = 0, basta sustituir la expresión X h = α 1 X 1 + α 2 X α p X p en dicho sistema homogéneo para comprobar que X h es solución del mismo. Esta propiedad no se verifica, en general, para el sistema completo: combinaciones lineales de soluciones del sistema completo no producen, en general, soluciones del sistema completo La diferencia de dos soluciones del sistema completo, es solución de su sistema homogéneo asociado. En efecto, si X 1 y X 2 son soluciones del sistema AAX = b, entonces basta sustituir la expresión X c = X 1 X 2 en el sistema homogéneo AAX = 0 para comprobar que X c es solución del mismo Si X h es solución del sistema homogéneo AAX = 0 y X c es solución del sistema completo AAX = b, entonces, λ K, X = λax h + X c es también solución de dicho sistema completo. 5. Operaciones elementales en los sistemas lineales. Teorema de equivalencia Introducción. Se trata de efectuar una serie de manipulaciones sobre las ecuaciones que componen el sistema lineal visto en el apartado 1, encaminadas a obtener otro sistema 3

4 lineal, equivalente al dado, y del que resulta mas sencillo realizar la discusión y, en su caso, obtener la solución Operaciones elementales sobre un sistema lineal. Llamaremos operación elemental sobre el sistema lineal a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, a cualquiera de las siguientes manipulaciones : 1) Permutar entre sí dos ecuaciones. 2) Multiplicar una ecuación por un elemento no nulo λ K. 3) Sumar a una de las ecuaciones otra ecuación multiplicada por un escalar λ K. Por extensión del anterior concepto, llamaremos operaciones elementales de fila sobre la matriz orlada A b del anterior sistema a cualquiera de las siguientes manipulaciones: 1) Permutar entre sí dos filas de la matriz. 2) Multiplicar una fila de la matriz por un elemento no nulo λ K. 3) Sumar a una de las filas de A b otra fila de ella multiplicada por un escalar λ K. Es fácil ver que la reiteración de operaciones elementales sobre un sistema lineal, es una operación elemental sobre el mismo (id. para matrices). Los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan para resolver sistemas lineales, están basados en el siguiente teorema Teorema de equivalencia entre un sistema lineal y su transformado por operaciones elementales. Si sobre un sistema lineal se efectúa cualquier tipo de operación elemental, se obtiene un sistema lineal que es equivalente al dado. Prueba. La demostración es trivial para los dos primeros tipos de operaciones elementales. En el tercer tipo, se trata de probar que son equivalentes los sistemas 4

5 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i a j1 x 1 + a j2 x a jn x n = b j a j1 x a jn x n +λ(a i1 x a in x n ) = b j +λ b i a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, y ello es evidente, ya que: (a) Si es x = ( x 1, x 2,..., x n ) solución del primero, entonces es sencillo comprobar por sustitución directa que x es también solución del segundo. (b) Si es x = ( x 1, x 2,..., x n ) solución del segundo, entonces se comprueba análogamente que x es también solución del primero. 6. Resolución de un sistema lineal por los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan. Se trata de partir del sistema lineal inicial y efectuar sobre él operaciones elementales que lo transformen en otro más sencillo de resolver. Para ello, es práctica usual representar el sistema por su matriz ampliada A b y efectuar sobre ella operaciones elementales de fila de acuerdo con el protocolo siguiente: 1) Entre los elementos de la primera columna de A b, se selecciona el primero ( empezando a contar por arriba ) que es no nulo. A continuación, se permuta la primera fila de A b con la fila correspondiente a dicho elemento, obteniéndose una matriz cuyos elementos designaremos por c ij (si la fila correspondiente a dicho elemento es la primera, esta permuta no se efectúa). Finalmente, a cada fila i de la matriz obtenida, con i = 2, 3,..., m, se le suma la primera multiplicada por ( c i1 / c 11 ), obteniéndose una matriz, que llamaremos D, en la que todos los elementos de la primera columna, salvo d 11, son ceros (para no complicar los cálculos, es conveniente, mientras sea posible, que el elemento d 11 seleccionado, que se denomina pivote, sea la unidad). 2) Entre los elementos de la segunda columna de D, se selecciona el primero ( empezando a contar por arriba, y a partir de d 22 ) que es no nulo. A continuación, se permuta la segunda fila de D con la fila correspondiente a dicho elemento, obteniéndose una matriz cuyos elementos designaremos por e ij. Finalmente, a cada fila i de la matriz obtenida, con i = 3,..., m, se le suma la primera multiplicada por ( e i2 / e 22 ), obteniéndose una matriz, que llamaremos E en la que todos los elementos de la segunda columna, salvo e 22 (que ha sido el pivote de esta segunda tanda de operaciones elementales), son ceros. Si todos los elementos de la segunda columna ( empezando a contar por arriba, y a partir de d 22 ) son nulos, se efectúan los pasos anteriormente descritos en base a la primera columna de la matriz que tenga algún elemento no nulo ( empezando a contar por arriba, y a partir del segundo elemento de la columna ). Reiterando el proceso, se llega finalmente a un sistema lineal, equivalente al original. Si se alcanzó tal situación en la tanda k-ésima de operaciones elementales, la configuración de dicho sistema es similar a la siguiente (puede diferir de él si existen columnas nulas como las que hemos señalado anteriormente): 5

6 α 11 x 1 + α 12 x 2 + α 13 x α 1n x n = β 1 α 22 x 2 + α 23 x α 2n x n = β 2 α 33 x α 3n x n = β 3... α kk x k α kn x n = β k 0 = β k+1 0 = β k = β m. Los elementos α 11, α 22,..., α kk, primeros eventualmente no nulos de la correspondiente fila de la matriz orlada del anterior sistema, se denominan cabeceras de fila o cabezas de fila. La discusión de este sistema, es inmediata: 1) Si alguno de los coeficientes β k+1, β k+2,..., β m es distinto de cero, el sistema es incompatible. 2) Si β k+1 = β k+2 =...= β m = 0, el sistema es compatible: compatible determinado si k = n, y compatible indeterminado si k < n. En este último caso, la solución se expresa en función de n k incógnitas. En los casos de compatibilidad, la resolución del sistema es inmediata, procediendo en cascada, y de abajo hacia arriba : de la última ecuación, se halla x k (en función de x k+1,..., x n ), se sustituye en la anterior ecuación para hallar x k 1, y así sucesivamente. La matriz A de los coeficientes (no la orlada) del sistema anteriormente obtenido se dice que es escalonada, porque verifica la condición de que cada fila, a partir de la segunda, comienza con una sucesión de ceros, conteniendo al menos un cero más que la fila anterior. Nótese que, por la definición dada, si una matriz es escalonada, de existir filas de ceros, necesariamente se encuentran al final de la matriz. Si el sistema es compatible, existe una variante del método anterior, llamada de Gauss-Jordan, que consiste en continuar la simplificación del último sistema obtenido aplicando el método de Gauss, procediendo ahora de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda, pivotando en primer lugar sobre α kk y haciendo ceros en su columna, a continuación se pivota sobre el cabecera de fila de la ecuación anterior, y así sucesivamente, para obtener al final un sistema del que resulta inmediato extraer la solución. La matriz de los coeficientes (no la orlada) del sistema que se obtiene al proceder a esta última reducción de Gauss-Jordan se dice que es escalonada reducida, porque verifica la condición de que es escalonada y, además, en todas las columnas asociadas a elementos cabeceras de fila, todos los restantes elementos de dicha columna son nulos. En general, dada una matriz A (por ejemplo, la matriz de los coeficientes de un sistema lineal), si se efectúa sobre A la reducción por operaciones elementales de fila hasta transformarla en escalonada reducida (método de Gauss-Jordan ), se puede lograr que todos los cabeceras de fila sean la unidad dividiendo al final del proceso cada fila por su cabecera de fila. En tal caso, se dice que la matriz obtenida a partir de la original 6

7 es su forma escalonada reducida por filas. Veremos en el tema de matrices que, para cada matriz, su forma escalonada reducida por filas es única. En los ejemplos siguientes se muestra como se procede en la práctica al efectuar la reducción de Gauss. En cualquiera de ellos, el procedimiento se inicia planteando la matriz ampliada del sistema, a11 K a 1n M O M a K a b b m1 mn m 1 M, o, simplificando, a11 K a 1 M O M a K a m1 mn m n b 1 M, b sobre la que se aplica dicho algoritmo hasta que la matriz de los coeficientes quede en forma escalonada Ejemplo. Aplicando el método de Gauss al sistema x + y + z + t = 7 2x y + 3z t = 20 x y + 3z 5t = 1 3x + 7y z + 3t = 1, se llega a P Por tanto, el sistema es compatible determinado, y su solución se obtiene sustituyendo en cascada de abajo arriba: t = 1, z = 3, y = 2, x = Ejemplo Aplicando el método de Gauss al sistema x + y + z = 1 2x y + 3z = 5 x + 2y 3z = 2 3x 3y + 4z = a 2x + y z = b, se llega a 7

8 a a b b a a b b+ 17 Los casos que se pueden presentar, a efectos de discutir el sistema según los valores de los parámetros reales a y b, son: 1) a 15 ó b 17 : el sistema es incompatible. 2) a = 15 y b = 17 : El sistema es compatible determinado, y su solución se obtiene fácilmente mediante el procedimiento de sustitución en cascada: z = 6, y = 3, x = 10. 8

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