ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros

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1 Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto de dos número enteros es también un número entero. Además: + es asociativa, es conmutativa, el elemento neutro 0 Z, y dado x Z su opuesto x Z.. es asociativa, es conmutativa, el elemento neutro 1 Z. Sean a, b Z, b 0. Se dice que b divide a a, o que b es divisor de a, o que a es divisible por b, o que a es múltiplo de b, si existe k Z tal que a = k.b. En general b divide a a se denota b a y b no divide a a se indica b a. Todo número entero no nulo es divisor de 0. Sean a, b Z. b a b a b a b a. Sean a, b, c Z. a b b c a c. a b a c a b + c a b c. Si a y b son enteros no nulos y b a entonces b a. Demostración: Como b a, entonces existe k Z tal que a = k.b. Entonces a = k.b = k. b. Como k 0, entonces k 1. Resulta de lo anterior a 1. b = b. Sean a, b Z. a b b a a = b. Sea a Z, a divide a 1 si y solo si a = 1. Todo número entero a distinto de 1 y 1 admite al menos cuatro divisores: 1, 1, a y a. Un número entero se dice primo, si tiene exactamente cuatro divisores. p es primo p es primo. Todo número entero distinto de 1 o 1 es divisible por algún número primo. Demostración: Si a = 0, la proposición es verdadera pues, por ejemplo, 2 es primo y 2 divide a 0. Si a 2 probaremos por inducción en a que a es divisible por algún número primo. Para a = 2, la proposición es verdadera pues 2 es primo y 2 divide a 2. Hipótesis inductiva (fuerte): Sea k 2, cualquiera. Supongamos que para cada entero s con 2 s k, existe algún primo p s que divide a s. Veamos que la proposición vale para a = k + 1. Si k + 1 es primo, la proposición vale pues k + 1 divide a k + 1. Si k + 1 no es primo, entonces existe un entero s distinto de ±1 y ±(k + 1) tal que s divide a k + 1; podemos suponer que s es positivo; además como s divide a k + 1 debe ser s k + 1, resulta 2 s k. Por la HI, existe un primo p s que divide a s y por lo tanto divide a k + 1, como queríamos probar. Finalmente, si a 2, entonces a 2. Por lo demostrado anteriormente existe un primo que divide a a; el mismo primo divide a a. 1

2 Si n N, n 1 y n no es primo, entonces existe p primo que divide a n tal que p 2 n. Demostración: Sea p 0 el menor primo positivo que divide a n, es decir p 0 es el primer elemento del conjunto {p N : p primo y p divide a n}. Observar que tal elemento existe pues este es un subconjunto no vacío de N (es no vacío por la proposición anterior y porque n ±1) y N es un conjunto bien ordenado. Ahora, como p 0 divide a n, entonces existe k N tal que n = k.p 0 ; es claro que k ±1 pues n no es primo. Por la proposición anterior existe p 1 primo, podemos considerarlo positivo, tal que p 1 divide a k. Resulta que p 1 divide a n. Por la elección de p 0 debe ser p 0 p 1, como además p 1 k tenemos que p 0 k. Finalmente concluimos n = k.p 0 p 0.p 0 = (p 0 ) 2, como queríamos probar. Ejercicio: ver que 97 es primo, ver que 101 es primo. El conjunto de los número primos es infinito. Considere los números primos positivos ordenados en forma creciente, p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,..., p k,... Para cualquier k 2, vale que p k+1 p 1.p 2...p k 1. Números primos hasta 200: 2,3,5,7, 11,13,17,19, 23,29, 31,37, 41,43,47, 53,59, 61,67, 71,73,79, 83,89, 97, 101,103,107,109, 113, 127, 131,137,139, 149, 151,157, 163,167, 173, 179, 181, 191,193,197, 199 Criba de Eratóstenes. Teorema (algoritmo de la división en Z). Sean a, d Z, d 0. Existe un único par de números q,r Z, tales que: 1. a = q.d + r, y 2. 0 r < d. q se dice el cociente de la división de a por d y r se dice el resto de la división de a por d; también suele indicarse r d (a). Propiedades del resto. 1. d a r d (a) = r d (a + b) = r d (r d (a) + r d (b)) 3. r d (a b) = r d (r d (a) r d (b)) 4. r d (a n ) = r d ([r d (a)] n ) Ejercicios: Determinar el cociente y el resto al dividir 25 por 7, 25 por -7, -25 por 7 y -5 por -7. Determinar el resto de dividir 2 93 por 3 y el resto de dividir 9 45 por 7. n es par si y solo si n 2 es par. Determinar los posibles restos al dividir n 2 por 3. Probar que la suma de los cuadrados de 3 números no divisibles por 3, es un múltiplo de 3. Sean a, b Z, no ambos nulos. Existe un único número d N, tal que: 1. d a y d b, 2. Si h a y h b entonces h d. Observar que como consecuencia de 2 cualquier divisor común de a y de b es menor o igual que d, por eso d se llama máximo común divisor entre a y b, en general se denota (a, b). 2

3 Sean a, b Z, no ambos nulos. Se llama combinación lineal entera de a y b, a todo número entero x de la forma x = m.a + n.b, con m y n enteros cualesquiera. Si además x > 0 se dice una combinación lineal entera positiva. De la demostración del resultado anterior resulta que (a, b) es la menor combinación lineal entera positiva de a y b y esto implica que m, n Z tales que (a, b) = m.a + n.b. Sean a, b Z no nulos, (a, b) = (a, b) = ( a, b) = ( a, b). Sean a, b N y sea r el resto de la división de a por b. Vale que (a, b) = (b, r). Este resultado es la base del algoritmo de Euclides para el cálculo práctico de (a, b). Si p es primo y p a.b entonces p a o p b. Sean a, b Z. a y b se dicen coprimos si (a, b) = 1. Son coprimos: 1. p y q, para p y q primos distintos cualesquiera. 2. p y (p 1)!, para p primo cualquiera mayor que a (a,b) y b (a,b), para a y b enteros cualesquiera no nulos. OBSERVACION: Si a y b son enteros tales que b divide a a, indicaremos con a b multiplicado por b da a. al número entero tal que Sean a y b coprimos. Vale que: a n y b n a.b n. a b.n a n. Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica con coeficientes enteros y que requiere soluciones enteras. El siguiente teorema enseñan como resolver las lineales en dos variables x e y. Teorema: Sean a, b y c enteros. La ecuación a.x + b.y = c tiene solución en el conjunto de los número enteros sí y solo sí (a, b) c. Más aún, cuando (a, b) c, si (a, b) = n.a + s.b entonces el conjunto solución de la ecuación dada es con m Z. { x = n. c (a,b) m. b c y = s. (a,b) + m. a (a,b) (a,b) Sean a, b Z, ambos no nulos. Existe un único número m N, tal que: 1. a m y b m, y 2. Si a h y b h entonces m h. Observar que como consecuencia de 2 cualquier múltiplo común de a y de b es mayor o igual que m, por eso m se llama mínimo común múltiplo de a y b, en general se denota [a, b]. Sean a, b Z positivos, [a, b] = [a, b] = [ a, b] = [ a, b]. a.b = (a, b).[a, b]. [a, b] = b b a. GENERALIZACIÓN: Sean a 1, a 2,..., a n Z, no nulos. Existe un único número d N, tal que: 1. d a 1, d a 2,... y d a n 3

4 2. Si h a 1, h a 2,... y h a n entonces h d. d se llama máximo común divisor entre a 1, a 2,... y a n, en general se denota (a 1, a 2,..., a n ) y vale que (a 1, a 2,..., a n ) = ((a 1, a 2,..., a n 1 ), a n )). Existe un único número m N, tal que: 1. a 1 m, a 2 m... y a n m 2. Si a 1 h, a 2 h... y a n h entonces m h. m se llama mínimo común múltiplo entre a 1, a 2,... y a n, en general se denota [a 1, a 2,..., a n ] y vale que [a 1, a 2,..., a n ] = [[a 1, a 2,..., a n 1 ], a n ]]. Teorema Fundamental de la Aritmética. Sea m Z, m 0, ±1. Existen número primos positivos p 1, p 2,..., p k tales que: p 1 p 2... p k y m = ξ.p 1.p 2...p k, donde ξ = 1 o ξ = 1 Además esta escritura (que suele llamarse descomposición de m en factores primos o factorización de m en primos) es única, es decir: si p 1, p 2,..., p s son primos positivos tales que: p 1 p 2... p s y m = δ.p 1.p 2...p s, donde δ = 1 o δ = 1 entonces k = s, ξ = δ, y p i = p i para todo i = 1,..., k. Demostración: Sea S = {n Z, n > 1, n no se factoriza en primos}. Observar que todo primo p se factoriza en primos; por lo tanto S no contiene ningún primo (*). Supongamos S. Como S y S N, existe n 0 S primer elemento de S. Como n 0 S, entonces n 0 1, entonces existe p primo positivo tal que p divide a n 0. Considero p 0 el menor primo positivo que divide a n 0 ; y m N tal que n 0 = p 0.m. Observar que: Por (*), n 0 p 0, entonces m > 1; y además m S pues m < n 0 ; Ahora, si m > 1 y m S, entonces m se factoriza en primos, es decir existen primos positivos p 1, p 2,..., p k tales que: p 1 p 2... p k y m = p 1.p 2...p k. Pero entonces n 0 = p 0.m = p 0.p 1.p 2...p k (y p 0 p 1 pues p 0 es el menor primo positivo que divide a n 0 ), es decir n 0 se factoriza en primos. Esto contradice el hecho que n 0 S. La contradicción proviene de suponer S. Resulta S =, con lo cual todo entero m > 1 se factoriza en primos. Ahora, cualquier entero m, menor que -1, también se factoriza en primos considerando la factorización de m, y ξ = 1. Unicidad: Sea m Z, m > 1, y supongamos que m se factoriza en primos de dos formas distintas, es decir: m = p 1.p 2...p k = p 1.p 2...p h con primos positivos p 1 p 2... p k y p 1 p 2... p h. Observar que como p 1 es primo y p 1 divide a p 1.p 2...p h, entonces existe i tal que p 1 = p i, sea r = menor{i/p 1 = p i }. Resutla p 1 = p r Análogamente, sea s = menor{i/p 1 = p i }. Resulta p 1 = p s. 4

5 Ahora, p 1 = p r p 1 = p s p 1, con lo cual son todos iguales, es decir p 1 = p 1. Simplificando resulta p 2...p k = p 2...p h y repitiendo el razonamiento anterior p 2 = p 2 y así sucesivamente obtenemos que k debe ser igual a h y p 1 = p 1,..., p k = p k. Dado m Z, m 0, para cada primo positivo p llamamos v p (m) = mayor{i N 0 / p i m} en otras palabras v p (m) es la cantidad de veces que el primo p aparece en la factorización de m. Resulta entonces que todo entero no nulo se escribe en la forma: m = ξ. p P p v p(m) donde P es el conjunto de primos positivos, y ξ = ±1. Observar que en la productoria anterior solo un número finito de factores es distinto de 1. Sean m y n enteros y p primo positivo. Vale que: i) v p (m.n) = v p (m) + v p (n). ii) Si n divide a m, entonces v p (n) v p (m). Además, v p ( m n ) = v p(m) v p (n). iii) Si n > 0, v p (m n ) = n.v p (m). La descomposición en factores primos de m también suele escribirse, en forma más sensilla, m = p α 1 1.pα 2 2 pα pαs s donde los p i son primos distintos entre sí. Observar que puede deducirse facilmente (ejercicio de combinatoria) que la cantidad de divisores positivos de m es igual (α 1 + 1).(α 2 + 1).(α 3 + 1)...(α s + 1) Dados número enteros no nulos m y n con sus despomposiciones en factores primos: m = ξ. p P p vp(m) n = ξ. p P p vp(n) vale que: (m, n) = p p P menor {vp(m),vp(n)} [m, n] = p P p mayor {v p(m),v p (n)} 5

6 Algebra 1 - Ciencias Ejercicios resueltos Los siguientes ejercicios se pueden resolver en base a los resultado del Teorema Fundamental de la Aritmética. Para formalizar la escritura de los ejercicios usaremos tres ideas sencillas: 1) Si m, n Z son no nulos, entonces para todo primo positivo p vale que v p (m.n) = v p (m) + v p (n). Se prueba facilmente a partir de la unicidad de la factorización. 2)Si m Z es no nulo y n N, entonces para todo primo positivo p vale que v p (m n ) = n.v p (n). Se prueba facilmente por inducción sobre n a partir de la proposición anterior. 3) Si n N, vale que n es un cuadrado perfecto si y solo si v p (n) es par para todo primo positivo p. Se prueba facilmente a partir de la proposición anterior. 1. Hallar el menor número natural n tal que 6552.n sea un cuadrado perfecto. La factorización en primos de 6552 es = Por 3), 6552.n es un cuadrado perfecto si y solo si para todo primo p, v p (6552.n) es par, es decir si y solo si en la factorización en primos de 6552.n todos los primos aparecen elevados a una potencia par. Por 1), para todo primo positivo p, v p (6552.n) = v p (6552) + v p (n), entonces v 2 (6552.n) = v 2 (6552) + v 2 (n) = 3 + v 2 (n) debe ser par v 3 (6552.n) = v 3 (6552) + v 3 (n) = 2 + v 3 (n) debe ser par v 5 (6552.n) = v 5 (6552) + v 5 (n) = 0 + v 5 (n) debe ser par v 7 (6552.n) = v 7 (6552) + v 7 (n) = 1 + v 7 (n) debe ser par v 11 (6552.n) = v 11 (6552) + v 11 (n) = 0 + v 11 (n) debe ser par v 13 (6552.n) = v 13 (6552) + v 13 (n) = 1 + v 13 (n) debe ser par y así para todos los primos. Eligiendo cualquier n que responda a estas restricciones tendré que 6552.n es un cuadrado perfecto, por ejemplo: si tomo v 2 (n) = 3, v 3 (n) = 0, v 5 (n) = 2, v 7 (n) = 1, v 11 (n) = 0 y v 13 (n) = 1, y todos los restantes v p (n) = 0, es decir n = = 18200, entonces 6552.n = = = (10920) 2. Como el ejercicio me pide el menor n, elegiré los menores exponentes que satisfagan las restricciones, esto es v 2 (n) = 1, v 3 (n) = 0, v 5 (n) = 0, v 7 (n) = 1, v 11 (n) = 0 y v 13 (n) = 1 y por lo tanto el menor n que satisface lo pedido es n = = 182. Efectivamente = = (1092) 2 OBSERVACIONES: Si el ejercicio hubiere preguntado si existe n impar tal que 6652.n sea un un cadrado perfecto, la respuesta sería NO pues del mismo análisis anterior surge que para que 6552.n sea un cuadrado perfecto v 2 (n) debe ser mayor que cero, por lo tanto n será par. Si el ejercicio hubiere pedido el menor n tal que 6552.n sea un cubo perfecto, la resolución es análoga a lo anterior pero pidiendo v p (6552.n) múltiplo de 3 que para todo primo positivo p. Entonces debe ser v 2 (n) = 0, v 3 (n) = 1, v 5 (n) = 0, v 7 (n) = 2, v 11 (n) = 0 y v 13 (n) = 2; por lo tanto la solució es n = (13) 2 = Efectivamednte, = ( ) 3 = (546) 3 = Si la pregunta fuera cual es el mayor cuadrado perfecto que divide a 6552, la respuesta sería: = Probar que no existen enteros no nulos n, m tales que n 2 = 180.m 4. Sí así fuera, para todo primo positivo p debería valer que v p (n 2 ) = v p (180.m 4 ) 1

7 entonces 2.v p (n) = v p (180) + v p (m 4 ) entonces 2.v p (n) = v p ( ) + 4.v p (m) En particular para p = 5, debe ser 2.v 5 (n) = v 5 ( ) + 4.v 5 (m) Como v 5 ( ) = 1, resulta 2.v 5 (n) = v 5 (m) entonces entonces 2 divide a 1 lo cual es una contradicción. 2.(v 5 (n) 2.v 5 (m)) = 1 3. Sea p un primo positivo cualquiera. Probar que 6 p 4 no es un número racional. Un número racional o fraccionario puede escribirse de la forma m n con m, n Z, n no nulo. Entonces, si 6 p4 es racional, deben existir enteros no nulos m y n tales que 6 p 4 = m n, de donde p4.n 6 = m 6. Por las propiedades enunciadas al principio, como p es un primo positivo, debe valer que v p (p 4.n 6 ) = v p (m 6 ); entonces v p (p 4 ) + v p (n 6 ) = 6.v p (m), entonces v p (n) = 6.v p (m). Resulta que 2 = 3(v p (m) v p (n)), lo cual es una contradicción pues 3 no divide a Probar que 7 no divide a Observar que = ( ) = (2 3.5) 380.(1601) Como 7 es primo y 7 no divide a (2 3.5) 380, resulta que 7 divide a si y solo si 1601 lo cual no ocurre, se puede verificar haciendo la cuenta. OBSERVACIÓN: 1601 es primo? Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11,13,17, 19, 23, 29, 31, 37,41... Como 41 2 = 1681 > 1601 para saber si 1601 es primo basta ver si alguno de los primos enumerados divide a Haciendo las cuentas se ve que ninguno de ellos divide a 1601, por lo tanto este número es primo. Sabiendo esto, en el ejercicio anterior se podría haber argumentado así: la factorización en primos del número dado es = ( ) = (2 3.5) 380.(1601) = resulta que 7 no lo divide. 5. Hallar êl menor múltiplo de 10 con exactamente 10 divisores positivos, si existe. Debe ser un número de la forma n = 2 a.5 b.p c.. con a, b 1 para que sea múltiplo de 10. Además para que tenga exactamente 10 divisores (a + 1).(b + 1).(c + 1)... = 10 donde a, b, c,.. son los exponentes en la factorización prima de n. Como 10 = 2.5, debe ser a = 1 y b = 4 o a = 4 y b = 1 y no hay mas primos que dividan a n. En el primer caso es n = = 1250 y en el segundo n = = 80, éste es el menor. 2