Capítulo 3: El anillo de los números enteros

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1 Capítulo 3: El anillo de los números enteros Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Noviembre de 2014 Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

2 Contenido 1 Introducción 2 Divisibilidad 3 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout 4 Congruencias 5 El anillo Z/Zm 6 Los teoremas de Fermat y de Euler Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

3 Introducción El conjunto de los enteros Qué entendemos por números enteros? Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Qué podemos hacer con dos números enteros? Sumarlos a + b Multiplicarlos a b Ordenarlos a b Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

4 Introducción La suma de números enteros Propiedades de la suma de enteros: Es una operación interna, la suma de dos enteros es un número entero. Existe un elemento neutro, el 0, tal que a + 0 = 0 + a = a. Cada entero a tiene un opuesto a tal que a + ( a) = 0. Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c. Propiedad conmutativa: a + b = b + a. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

5 Introducción El producto de números enteros Propiedades del producto de enteros: Es una operación interna, el producto de dos enteros es un número entero. Existe un elemento neutro, el 1, tal que a 1 = 1 a = a. Propiedad asociativa: a (b c) = (a b) c = a b c. Propiedad conmutativa: a b = b a. Propiedad distributiva: a (b + c) = a b + a c. Si a b = 0 entonces a = 0 o b = 0. Propiedad cancelativa: Si a es un entero no nulo y a b = a c entonces b = c. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

6 Introducción Anillos y cuerpos Anillos Definición (Anillos) Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A y dos operaciones internas y binarias, + y, verificándose: 1 El par (A, +) es un grupo abeliano. 2 Para todo x, y, z A se verifica 1 (xy)z = x(yz) (Propiedad asociativa). 2 x(y + z) = xy + xz (Propiedad distributiva a izquierda). 3 (x + y)z = xz + yz (Propiedad distributiva a derecha). En general se usará la expresión sea A un anillo sobreentendiendo las dos operaciones. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

7 Introducción Anillos y cuerpos Anillos Definición (Anillo conmutativo) Si se verifica la propiedad conmutativa para el producto, Para todo x, y A, es xy = yx, se dice que el anillo es conmutativo o abeliano. Definición (Anillo unitario) Si existe un elemento neutro para el producto, Existe un elemento 1 A tal que 1x = x1 = x, x A, se dice que el anillo es unitario o que tiene elemento unidad. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

8 Introducción Anillos y cuerpos Ejemplos 1 Los conjuntos de números Z, Q, R y C son anillos conmutativos y unitarios. La estructura de anillo de Z viene determinada por su estructura de grupo, puesto que el producto de dos enteros xy es la suma del número y x veces. Esto no ocurre para Q, R y C, obviamente. 2 El conjunto M(n) de las matrices n n sobre Q, R o C es un anillo con respecto a la suma y al producto de matrices. Este anillo no es conmutativo pero sí es unitario. 3 Si A es un anillo conmutativo y unitario, el conjunto A[x 1,..., x n ] de los polinomios en n indeterminadas con coeficientes en A es también un anillo conmutativo y unitario. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

9 Introducción Anillos y cuerpos Unidad y Cuerpo Definición (Unidad) Sea A un anillo unitario, un elemento de A se dice que es una unidad si posee un inverso multiplicativo. Es decir, x A es una unidad si y A tal que xy = yx = 1. En este caso se escribe y = x 1. Teorema (El grupo de las unidades) Sea A un anillo unitario y sea A el conjunto de las unidades de A. Entonces A, ) es un grupo. Definición (Cuerpo) Un cuerpo es un anillo conmutativo y unitario en el que todo elemento no nulo es una unidad. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

10 Introducción Anillos y cuerpos Divisor de cero y Dominio de integridad Definición (Divisor de cero) Sea A un anillo conmutativo, un elemento x A distinto de cero se dice divisor de cero si existe y A no nulo tal que xy = 0. Definición (Dominio de integridad) Un anillo conmutativo y unitario sin divisores de cero se dice dominio de integridad. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

11 Introducción Anillos y cuerpos Propiedad cancelativa Teorema (Dominio de integridad y propiedad cancelativa) Sea A un anillo conmutativo y unitario, son equivalentes: 1 A es dominio de integridad. 2 El anillo A satisface la propiedad cancelativa. Es decir, xy = xz y = z para cualesquiera x, y, z A con x 0. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

12 Introducción El orden de los números enteros Propiedades del orden de enteros: Propiedad reflexiva: a a. Propiedad transitiva: si a b y b c entonces a c. Propiedad antisimétrica: si a b y b a entonces a = b. Orden total: dados dos enteros a y b entonces a b o b a. Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee un mínimo. Si a 0 entonces a + a a. Si a b entonces a + c b + c. Si a b y c 0 entonces a c b c. Si a b y c 0 entonces a c b c. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

13 Divisibilidad Divisibilidad Si a y b son enteros, Qué significa a divide a b? Definición (Divisibilidad) Sean a y b dos enteros. Se dirá que a divide a b si existe un entero c tal que a c = b. En este caso se escribe a b. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

14 Divisibilidad Unidades Hay números enteros que dividan a todos los demás? Sí, el 1 y el 1. Las unidades de Z! Hay alguno más? No, sabes demostrarlo? Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

15 Divisibilidad Propiedades de la divisibilidad 1 Propiedad reflexiva: a a 2 Propiedad transitiva: Si a b y b c entonces a c. 3 Si a b y b a entonces a = ±b. Observación Si a y b son positivos entonces la propiedad 3 es la antisimétrica, es decir, si a b y b a entonces a = b. Luego la relación de divisibilidad es una relación de orden en el conjunto de los números positivos. 4 Si a b y a c entonces a b + c. 5 Si a b entonces a b c. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

16 Divisibilidad División eucĺıdea Cómo se dividen dos números enteros, por ejemplo entre 1532? Entonces = Teorema (División eucĺıdea) Sean a y b enteros, b 0. Existen unos únicos enteros q y r tales que: 1. a = q b + r r < b. Al entero q se le llama cociente y a r resto de la división. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

17 Divisibilidad Número primo Qué es un número primo? Definición (Número primo) Un entero p distinto de 0, 1 y 1 se llama primo si y sólo si es divisible únicamente por p, p, 1 y 1. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

18 Divisibilidad Máximo común divisor Qué es el máximo común divisor de dos enteros? Definición (Máximo común divisor) Dados dos enteros a y b, diremos que d es un máximo común divisor de a y b, y lo denotaremos por d = mcd(a, b), si se verifican las siguientes propiedades: 1. d a y d b. 2. Si d es un entero tal que d a y d b entonces d d Si 1 es un máximo común divisor de a y b, se dice que a y b son primos entre sí. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

19 Divisibilidad Máximo común divisor. Propiedades Observación (Nota 3.2.5) El máximo común divisor de dos enteros, si existe, es único salvo el signo. Proposición (3.2.6) Se verifican las siguientes propiedades: 1. mcd(a, b) = b b a. 2. mcd(a, b) = mcd( a, b) = mcd(a, b) = mcd( a, b). 3. mcd(a, b) = mcd(b, a). Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

20 Divisibilidad Mínimo común múltiplo Qué es el mínimo común múltiplo de dos enteros? Definición (Mínimo común múltiplo) Dados dos enteros a y b, diremos que un entero m es un mínimo común múltiplo de a y b, y lo denotaremos por m = mcm(a, b), si se verifican las siguientes propiedades: 1. a m y b m. 2. Si m es un entero tal que a m y b m entonces m m Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

21 Divisibilidad Mínimo común múltiplo. Propiedades Observación (Nota 3.2.7) El mínimo común múltiplo de dos enteros, si existe, es único salvo el signo. Proposición (3.2.8) Se verifican las siguientes propiedades: 1. mcm(a, b) = a b a. 2. mcm(a, b) = mcm( a, b) = mcm(a, b) = mcm( a, b). 3. mcm(a, b) = mcm(b, a). Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

22 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Máximo común divisor y división eucĺıdea Proposición (3.3.1) Sean a, b Z no nulos, pongamos a b, y efectuemos la división eucĺıdea a = qb + r. Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b y si r 0 mcd(a, b) = mcd(b, r). Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

23 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Algoritmo de Euclides Algoritmo (Algoritmo de Euclides) Sean a y b dos enteros no nulos, a b, y efectuemos la división eucĺıdea a = q b + r. Como r < b, podemos dividir b entre r, y así sucesivamente, obteniendo: a = q b + r 0 r < b b = q 0 r + r 1 0 r 1 < r r = q 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1 r 1 = q 2 r 2 + r 3 0 r 3 < r 2. r n 1 = q n r n + r n+1 0 r n+1 < r n r n = q n+1 r n r n+2 = 0 Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

24 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Algoritmo de Euclides y existencia del máximo común divisor Proposición (3.3.2) En la situación anterior se tiene que mcd(a, b) = r n+1. Es decir, el máximo común divisor de a y b es el último resto no nulo al aplicar sucesivamente la división eucĺıdea. Teorema (Existencia del máximo común divisor) Dados dos enteros a, b, existe el máximo común divisor de a y b, mcd(a, b), que es único salvo el signo. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

25 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Algoritmo de Euclides Ejemplo (Ejercicio 6: Calcular mcd(23532, 1520)) Luego mcd(23532, 1520) = = = = = Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

26 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Identidad de Bézout Observación (Nota 3.3.3) Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Obsérvese que para cualesquiera enteros γ y δ se verifica que γa + δb es un múltiplo de d. Teorema (Identidad de Bézout) Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Existen enteros α y β tales que α a + β b = d. A cualquier igualdad de este tipo se le llama identidad de Bézout. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

27 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Identidad de Bézout Observación (Familia infinita de identidades de Bézout) Los enteros α y β que aparecen en la identidad de Bézout no son únicos. En efecto, si α a + β b = d entonces (α kb)a + (β + ka)b = d, k Z. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

28 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Identidad de Bézout Ejemplo (Ejercicio 6) Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bézout usando el algoritmo de Euclides = = = = = = = De donde 4 = = ( ) = ( ) 13 ( ( )) = (1+13 2) ( ) 1520 = ( 418) ( 418) 1520 = 4. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

29 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Teorema de Euclides Teorema (de Euclides) Sean a, b y c tres enteros no nulos tales que c ab y mcd(a, c) = 1, entonces c b. En particular, si p es un número primo y p ab entonces p a o p b. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

30 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Proposición (3.3.5) Sean a y b dos enteros no nulos, sea d = mcd(a, b) y consideremos a = a d y b = b d. Entonces a y b son primos entre sí. Proposición (3.3.6.) Sean a y b dos enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Entonces mcm(a, b) = ab d. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

31 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Existencia del mínimo común múltiplo Teorema (Existencia del mínimo común múltiplo) Dados dos enterosa y b, existe el mínimo común múltiplo de a y b, mcm(a, b), que es único salvo el signo. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

32 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Teorema fundamental de la divisibilidad Teorema (fundamental de la divisibilidad) Todo entero distinto de 0, 1 y 1 se descompone como producto de un número finito de primos. Esta descomposición es única salvo el orden y el signo de los factores primos. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

33 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout El conjunto de los números primos es infinito Teorema (de Euclides sobre la infinitud de los números primos) El conjunto de los números primos es infinito. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

34 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout Cálculo de mcd y mcm Proposición (3.3.8) Sean a = ± p νa(p), b = ± p>0 primo p>0 primo p ν b(p) las descomposiciones de dos enteros a y b en producto de primos. Consideremos d = p mín(νa(p),νb(p)) y m = p máx(νa(p),νb(p)). p>0 primo p>0 primo Entonces d = mcd(a, b) y m = mcm(a, b). Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

35 Congruencias Congruencias Qué hora marcará el reloj después de pasar 4, 15, 211, 1203 o horas? Después de 15 horas el reloj marca lo mismo que si hubieran pasado 1203 horas. Cómo podemos saber si tras a horas el reloj marcará lo mismo que tras b horas? Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

36 Congruencias Congruencias Definición (Congruencia) Sean a, b y m enteros, m 0, se dirá que a es congruente con b módulo m si a b es divisible por m. Se escribirá a b(mod m). Observación (Nota 3.3.9) a y b son congruentes módulo m si y sólo si son congruentes módulo m. Luego podemos suponer siempre, sin pérdida de generalidad, que m > 0 Proposición (3.3.10) a b(mod m) si y sólo si a y b tienen el mismo resto en la división eucĺıdea por m. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

37 Congruencias Congruencias. Propiedades Algunas propiedades de la relación ser congruentes módulo m : 1. Propiedad reflexiva: a a(mod m). 2. Propiedad transitiva: si a b(mod m) y b c(mod m) entonces a c(mod m). 3. Propiedad simétrica: si a b(mod m) entonces b a(mod m). Luego es una relación de equivalencia. 4. Si a b(mod m) y c d(mod m) entonces a + c b + d(mod m). 5. Si a b(mod m) y c d(mod m) entonces ac bd(mod m). En general no se verifica la propiedad cancelativa, es decir, ax bx(mod m) a b(mod m). De hecho, se satisface la propiedad cancelativa si y sólo si mcd(x, m) = 1. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

38 Congruencias Ecuaciones en congruencias Proposición (3.3.15) La ecuación en congruencias ax b(mod m) tiene solución si y sólo si d = mcd(a, m) divide a b. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

39 Congruencias Ecuaciones en congruencias Teorema (chino del resto) Sean m 1, m 2,..., m n enteros mayores que 1 primos entre sí dos a dos, sean a 1, a 2,..., a n enteros. El sistema de ecuaciones en congruencias x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ). x a n (mod m n ) tiene solución. Además si x y x son dos soluciones entonces x x (mod M), donde M = m 1 m 2 m n. Recíprocamente si x es una solución y x x(mod M) entonces x también es solución. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

40 El anillo Z/Zm El conjunto Z/Zm Observación (Conjunto cociente Z/Zm) Notaremos por Z/Zm al conjunto cociente de Z por la relación de equivalencia ser congruente módulo m. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

41 El anillo Z/Zm El conjunto Z/Zm Observación (Conjunto cociente Z/Zm) Llamaremos clase de congruencia módulo m a las clases de equivalencia. Es decir, a {b Z a b(mod m)}. Sabemos que b Z está en la clase de a si y sólo si b es congruente con a módulo m, es decir, m (b a), luego b = a + km. Por tanto, la clase de congruencia módulo m de a es el conjunto a + Zm = {a + km k Z}. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

42 El anillo Z/Zm El conjunto Z/Zm Proposición (3.4.2) Todo número entero es congruente módulo m a uno (y sólo uno) de los enteros del conjunto {0, 1,..., m 1}. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

43 El anillo Z/Zm El conjunto Z/Zm Corolario (3.4.3) El conjunto de las clases de congruencias módulo m es Z/Zm = {0 + Zm, 1 + Zm,..., (m 1) + Zm}. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

44 El anillo Z/Zm Suma y producto en Z/Zm Definición (Suma y producto de clases de congruencias) Sean a + Zm, b + Zm Z/Zm dos clases de congruencias. (a + Zm) + (b + Zm) := (a + b) + Zm (a + Zm) (b + Zm) := (ab) + Zm. Proposición (3.4.5) La suma y el producto de clases de congruencias módulo m están bien definidas. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

45 El anillo Z/Zm Propiedades de la suma en Z/Zm Es una operación interna, la suma de dos elementos de Z/Zm es un elemento de Z/Zm. Existe un elemento neutro, el 0 + Z/Zm, tal que (a + Z/Zm) + (0 + Z/Zm) = (0 + Z/Zm) + (a + Z/Zm) = az/zm. Cada elemento a + Z/Zm tiene un opuesto a + Z/Zm tal que (a + Z/Zm) + ( a + Z/Zm) = 0 + Z/Zm. Propiedad asociativa: (a + Z/Zm) + [(b + Z/Zm) + (c + Z/Zm)] = [(a + Z/Zm) + (b + Z/Zm)] + (c + Z/Zm) = (a + b + c) + Z/Zm. Propiedad conmutativa: (a + Z/Zm) + (b + Z/Zm) = (b + Z/Zm) + (a + Z/Zm). Luego (Z/Zm, +) es un grupo abeliano. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

46 El anillo Z/Zm Propiedades del producto en Z/Zm Es una operación interna, el producto de dos elementos de Z/Zm es un elemento de Z/Zm. Existe un elemento neutro, el 1 + Z/Zm. Propiedad asociativa. Propiedad conmutativa. Propiedad distributiva: (a + Z/Zm) [(b + Z/Zm) + (c + Z/Zm)] = (a+z/zm) (b+z/zm)+(a+z/zm) (c +Z/Zm) = (a b+a c)+z/zm. La propiedad cancelativa se verifica si y sólo si a es primo con m. En este caso (a + Zm) (b + Zm) = (a + Zm) (c + Zm) b + Zm = c + Zm. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

47 El anillo Z/Zm El anillo Z/Zm Proposición (3.4.7) El conjunto Z/Zm con la suma y producto definidas anteriormente es un anillo conmutativo y unitario. Ejemplo (3.4.8) El anillo Z/Zm no es necesariamente un dominio de integridad. En Z/Z6 el producto (2 + Z6)(3 + Z6) = 0 + Z6, luego ambos elementos, 2 + Z6 y 3 + Z6, son divisores de cero. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

48 Los teoremas de Fermat y de Euler Unidades de Z/Zm Teorema (Unidades de Z/Zm) El grupo de las unidades del anillo Z/Zm es U m = {a + Zm mcd(a, m) = 1, 0 a < m}. Observación (3.5.1) El conjunto Z/Zp es un cuerpo si y sólo si p es primo. De hecho U p = {1 + Zp,... (p 1) + Zp} y U p = p 1. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

49 Los teoremas de Fermat y de Euler El teorema de Fermat Teorema ((Pequeño) teorema de Fermat (1640)) Si p es un número primo y no divide a un entero a entonces a p 1 1(mod p). Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

50 Los teoremas de Fermat y de Euler La función de Euler Definición (Función φ o indicatriz de Euler) A la cantidad de números enteros a, 1 a m, que son primos con m se le denota por φ(m), la función φ o indicatriz de Euler. Es decir, φ(m) = U m. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

51 Los teoremas de Fermat y de Euler Propiedades de la función de Euler Observación (3.5.2) Sea p N, p es primo si y sólo si φ(p) = p 1. Proposición (3.5.3) Sea p N primo, entonces φ(p r ) = (p 1)p r 1. Teorema (3.5.4) Sean m y n dos enteros primos entre si, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n). Corolario (3.5.5) Sea n un entero y n = p n 1 1 pn 2 2 pnr r su descomposición en factores primos, entonces φ(n) = (p 1 1) (p r 1)p n 1 1 nr 1 1 pr. Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

52 Los teoremas de Fermat y de Euler Teorema de Euler Teorema (Teorema de Euler (1736)) Sea a + Zm una unidad en Z/Zm. Entonces a φ(m) 1(mod m). Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los números enteros Noviembre de / 52

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