Tema 4: Múltiplos y Divisores

Transcripción

1 Tema 4: Múltiplos y Divisores Índice 1. Introducción. 2. Múltiplos de un número. 3. Divisores de un número. 4. Criterios de divisibilidad. 5. Números primos y números compuestos. 6. Descomposición de un número. 7. Cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor. 8. Actividades del tema. 9. Operaciones. 10. Problemas. Criterios de evaluación Obtener múltiplos y divisores de un número dado. Clasificar una muestra de números en primos y compuestos. Descomponer un número en factores primos. Reconocer números divisibles entre 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10. Determinar el mínimo común múltiplo de varios números. Determinar el máximo común divisor de varios números. Aplicar los múltiplos y divisores para alcanzar la solución de situaciones cotidianas dadas. Explicar el proceso seguido en la resolución de ejercicios y problemas. Resolver problemas de lógica y relacionados con el tema. Elaborar el cuaderno con orden y limpieza. Respetar las normas. Ser constante en sus tareas. 1

2 1. Múltiplos de un número. Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por todos los números naturales. Un número tiene infinitos múltiplos. Por ejemplo, los múltiplos de 2 serán: 2x0 2x1 2x2 2x3 2x4 2x5 2x6 2x7 2x8 2x9 Es decir: M (2) = {0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 } Podemos comprobar que un número es múltiplo de otro si al dividir el primero por el segundo la división es exacta. Ejemplos: Es 42 múltiplo de 2? Si porque 42 : 2 = 21 y el R=0 Es 105 múltiplo de 6? No porque 105 : 6 = 17 y el R=3 Los múltiplos de un número son los números que lo contienen un número exacto de veces. Todo número es múltiplo de sí mismo, porque si multiplicamos un número por 1 nos da él mismo. Todo número es múltiplo de 1, porque si multiplicamos el uno por ese número nos da el mismo número. El 0 es múltiplo de cualquier número, porque si multiplicamos un número pro 0 nos da Divisores de un número. Los divisores de un número se obtienen dividiendo ese número entre todos los números naturales menores o iguales a él, excepto el 0. Si la división es exacta, el divisor y el cociente, son divisores del dividendo. Por ejemplo hallemos los divisores de 20 (empezamos dividiendo entre 1): 20 : 1 = 20 y R=0 son divisores el 1 y el : 2 = 10 y R=0 son divisores el 2 y el : 4 = 5 y R=0 son divisores el 4 y el 5. Podemos decir que el 20 es divisible por 1, 2, 4, 5, 10 y 20. Todo número es divisor de sí mismo, porque si dividimos un número por sí mismo, la división es exacta. El 1 es divisor de cualquier número, porque si dividimos un número entre 1, siempre da exacto. 3. Criterios de divisibilidad. Un número es divisible por otro si la división es exacta. Por ejemplo: 240 es divisible entre 2 porque 240:2=120 y R=0. Los criterios de divisibilidad nos permiten saber si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. 2

3 3.1.Divisibilidad por 2 Observa el conjunto de múltiplos de 2: M (2) = {0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 } Todos los múltiplos de 2 son pares. Por tanto un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par. 3.2.Divisibilidad por 5 Observa el conjunto de los múltiplos de 5: M (5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60 } Un número es divisible por 5 si termina en cero o en Divisibilidad por 10 Observa el conjunto de los múltiplos de 10: M (10) ={0,10,20,30,40,50,60,70,80,100,110,120 } Un número es divisible por 10 si termina en cero. 3.4.Divisibilidad por 3 Observa el conjunto de los múltiplos de 3: M (3) = {0, 3,6,9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 } Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3 (6,9, ) 3.5.Divisibilidad por 9 Observa el conjunto de los múltiplos de 9: M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 } Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de Divisibilidad por 4 Observa: 1732 = = 17 x x 8 Como 100 es múltiplo de 4, todo múltiplo de 100 es múltiplo de 4. Por tanto sólo es necesario mirar las dos últimas cifras. En este caso 32. Para saber si 32 es múltiplo de 4 hago la mitad y si ésta es par 3

4 es que si lo es. 32 : 2 = es par, luego 32 es divisible entre 4. Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4; es decir si sus dos últimas cifras tienen su mitad par. 3.7.Divisibilidad por 6 Observa: 6 = 3 x 2 Un número es divisible por 6 si lo es a la vez por 3 y por 2. Esto supone que es un número par y que al sumar sus cifras nos da múltiplo de tres. Ejemplo: 346 no es divisible por 6 porque aunque es par, = 13 y 13 no es múltiplo de si es divisible por 6 porque es par y = 15 y 15 es múltiplo de Divisibilidad por 7 Para saber si un número es divisible por siete hacemos la división. 4. Números primos y números compuestos. Hay números que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad. Éstos son números primos. El 2, 3, 17, 23, 47 sólo tienen dos divisores. Ellos mismos y la unidad. El 4, 8, 39, 100 tienen más de dos divisores, por tanto son números compuestos. Div 4 = {1,2 y 4} Div 39 = {1,3,13 y 39} Div 100 = {1,2,4,5,10,20,50 y 100} Un número primo no tiene más divisores que el 1 y él mismo. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores. 5. Descomposición de un número en producto de factores primos Recuerda que los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Vamos a expresar el número 240 en producto de factores primos: Una vez que hemos hecho la descomposición factorial expresamos el resultado 30 2 como un producto de factores primos, usando las potencias de esta forma: = 2 4 x 3 x 5 1 4

5 6. Cálculo del mínimo común múltiplo. El mínimo común múltiplo de varios números es aquel múltiplo más pequeño común a todos ellos. Ejemplo: Una liebre tarda 12 minutos en dar la vuelta a un circuito y un zorro tarda 16 minutos en hacer el mismo recorrido. Cada cuanto tiempo se encuentran? La liebre y el zorro se encuentran cada 48 minutos. 48 es el mínimo común múltiplo de 12 y 16. El mínimo común múltiplo se puede hallar a través de la descomposición de los números en producto de factores primos: Ejemplo de la liebre y el zorro: = 2 2 x = m.c.m. (12, 16) = 2 4 x 3 = 48 1 El mínimo común múltiplo se calcula multiplicando los factores primos comunes y los no comunes elevados al mayor exponente. 7. Cálculo del máximo común múltiplo El máximo común divisor de varios números es el divisor mayor común a todos ellos. Ejemplo: Queremos cortar estas dos cintas en trozos iguales del mayor tamaño posible 84 cm 56 cm Nº trozos posibles Medida en cm Nº trozos posibles Medida en cm

6 Los divisores comunes de 84 y 56 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Podemos cortar las cintas en trozos máximos de 28 centímetros cada uno. Por lo tanto, el máximo común divisor (m.c.d.) de 84 y 56 es 28. Pero existe un camino más rápido para averiguar el m.c.d. de varios números sin necesidad de calcular todos los divisores de cada uno. A través de la descomposición de factores primos se puede hallar de modo sencillo el máximo común divisor de varios números. Primero descomponemos cada número en sus factores primos como se indica: = 2 2 x 3 x = 2 3 x m.c.d. (84, 56) = 2 2 x 7 = 28 El máximo común divisor de varios números se halla calculando el producto de sus factores primos elevados al menor exponente. 6