TEMA 2: DIVISIBILIDAD. Estudiaremos conceptos relacionados con la división: múltiplos y divisores, números primos. 28 es divisible entre 4

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1 Alonso Fernández Galián TEMA : DIVISIBILIDAD Estudiaremos conceptos relacionados con la división: múltiplos y divisores, números primos. LA RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES La divisibilidad es la relación entre los términos de una división exacta es divisible entre 4 4 es un divisor de 8. 8 es un múltiplo de 4. Propiedades: Las propiedades más importantes de la relación de divisibilidad son las siguientes: () Cualquier número es divisible entre. 0 es divisible entre. () Cualquier número es divisible entre sí mismo es divisible entre 8. () Si un número es divisible entre otro, y éste entre un tercero, entonces el primero es divisible entre el tercero. 48 es divisible entre 6. 6 es divisible entre. 48 es divisible entre. Ejemplos de divisores. Los divisores de un número son aquellos números entre los que se puede dividir de forma exacta. Divisores de 8.,, 4 y 8. Divisores de 0,, 4,, 0 y 0. Ejemplos de múltiplos. Los múltiplos de un número son los números que se obtienen al multiplicarlo por algún otro. Múltiplos de 6. 6,, 8, 4, 0, 6, 4, (hay infinitos) Múltiplos de., 6, 9,, 6, 8, 9, (hay infinitos) Ejemplo: Encuentra todos los múltiplos de comprendidos entre 800 y 900. Veamos en primer lugar cuál es el primer múltiplo de mayor que (aún es menor que 800) Se deduce que el primer múltiplo es Por tanto, los múltiplos pedidos son:

2 . CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un criterio de divisibilidad es una regla para saber cuando un número es divisible entre otro sin necesidad de hacer la división. Los criterios de divisibilidad más importantes son: Entre : Un número es divisible entre si acaba en 0,, 4, 6 ó 8. Entre : Un número es divisible entre si la suma de sus cifras es múltiplo de. Entre : Un número es divisible entre si acaba en 0 ó. Entre : No hay criterio de divisibilidad. Debemos realizar la división. Entre 0: Un número es divisible entre 0 si acaba en 0. Ejemplo: Tenemos los siguientes números: Escribe cuáles de ellos son: Divisibles entre. 8,, 90, 466, 40, 94, 600. Divisibles entre. 4,, 90, 46, 40, 94, 600. Divisibles entre. 0, 90, 46, 40, 9, 600. Divisibles entre. 8, 4, 9. Divisibles entre 0. 90, 40, 600. Nota: Existen otros criterios de divisibilidad (por ejemplo, entre ) pero en estos casos es preferible realizar directamente la división.. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Los números distintos de pueden ser primos o compuestos: -Un número primo es aquél que solamente tiene dos divisores: el y el propio número. -Un número compuesto es el que tiene más de dos divisores. El es un número especial porque sólo tiene un divisor. No es ni primo ni compuesto. Tabla de todos los números primos hasta el 00:

3 4. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO COMPUESTO Los números compuestos pueden descomponerse en un producto de factores primos. Descomposición de 6: 6 Descomposición de : Descomposición de : Descomposición de 0: 0 Regla para descomponer en factores primos un número grande: Para descomponer un número grande en un producto de factores primos, dividimos tantas veces como sea posible entre ; después, dividimos tantas veces como sea posible entre ; después, dividimos tantas veces como sea posible entre hasta que obtengamos cociente. Ejemplo: Encuentra la descomposición en factores primos de los números 40, 40 y 69. a) 40 b) 40 c) Cálculo de todos los divisores de un número utilizando la descomposición: Los divisores mayores que de un número están formados por algunos de los factores primos del número. Ejemplo: Escribe todos los divisores de 4. Primero descomponemos el número: 4 4 Buscamos los divisores de 4 a partir de sus factores primos: -De un factor:, y. -De dos factores: 6, 4,. -De tres factores: 4. Solución: Los divisores de 4 son:,,, 6,, 4, y 4. Ejemplo: Escribe los divisores de Buscamos los divisores de 00. -De un factor: y. -De dos factores: 4, 0,. -De tres factores: 0 y 0. -De cuatro factores: 00. Solución: Los divisores de 4 son:,,, 6,, 4, y

4 . EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números es el mayor de los divisores comunes a todos ellos. Ejemplo: Calcula mentalmente: a) m.c.d. (,8) 4 c) m.c.d. (, 9) e) m.c.d. ( 4,0) 4 b) m.c.d. (,0) 6 d) m.c.d. ( 0,0) 0 f) m.c.d. (, 40) Los divisores de un número tienen por factores primos sólo algunos de los factores del número. Por lo tanto: Para calcular el máximo común divisor de números grandes se factorizan los números y se toma el producto de los factores comunes elevados al menor exponente. Ejemplo: Calcula en cada apartado el máximo común divisor: a) 0 y Tomamos los factores comunes elevados al menor exponente: m.c.d.(0,) 4 9 b) 0, y Tomamos los factores comunes elevados al menor exponente: 0 0 m.c.d.(0,,0) - 4 -

5 6. EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor de los múltiplos comunes a todos ellos. Ejemplo: Calcula mentalmente: a) m.c.m. ( 6, 9) 8 c) m.c.m. ( 0,6) 0 e) m.c.m. ( 4,) b) m.c.m. (, ) d) m.c.m. ( 4, ) 0 f) m.c.m. ( 0,0) 60 Los múltiplos de un número contienen entre sus factores primos a todos los factores de dicho número. Por lo tanto: Para calcular el mínimo común múltiplo de números grandes se descomponen los números y se toma el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Ejemplo: Calcula en cada apartado el mínimo común múltiplo: a) 6 y Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente: 6 m.c.m.(6,80) b) 4, 0 y Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente: m.c.m.(4,0,0)

6 . PROBLEMAS Vamos a resolver a continuación dos problemas: uno en el que hay que utilizar el máximo común divisor y otro en el que hay que utilizar el mínimo común múltiplo. Ejemplo: Queremos cubrir una pared de 4,0 m de largo con,40 m de alto con baldosas cuadradas del mayor tamaño posible. a) Cuántos centímetros de lado deben medir las baldosas? Trabajamos en centímetros: 4,0m 40cm.,40m 40cm. El lado de la baldosa debe ser un divisor de 40 y 40. Como buscamos que las baldosas sean lo más grandes posibles, debemos calcular el máximo común divisor m.c.d.(40,40) 0 Solución: Las baldosas deben medir 0 cm de lado. b) Cuántas baldosas son necesarias? -En cada fila del largo hay 40:0baldosas -En cada fila del alto hay 40:0 8 baldosas Por tato, en total son necesarias 8 0 baldosas. Solución: Se necesitan 0 baldosas. Ejemplo: A un instituto llega un pedido de papelería cada 9 días, y un pedido de productos de limpieza cada días. Si hoy ha llegado un envío de cada tipo, dentro de cuánto tiempo volverán a coincidir los dos pedidos?, cuántos pedidos de cada tipo se habrán recibido hasta entonces? a) Dentro de cuánto tiempo coincidirán los dos pedidos por primera vez? Ambos pedidos volverán a coincidir dentro de una cantidad de días que sea múltiplo de 9 y de. Por tanto, coincidirán por primera vez una cantidad de días igual al mínimo común múltiplo de ambos números. 9 m.c.m.(9,) 6 Solución: Volverán a coincidir por primera vez dentro de 6 días. b) Cuántos pedidos de cada tipo se habrán recibido hasta entonces? -En 6 días se han recibido 6:9 4 pedidos de papelería (incluyendo el último). -En 6 días se han recibido 6: pedidos de limpieza (incluyendo el último). Solución: Se han recibido 4 pedidos de papelería y pedidos de limpieza