Cuando p(a) = 0 decimos que el valor a, que hemos sustituido, es una raíz del polinomio.

Transcripción

1 Regla de Ruffini Teorema del resto Polinomios y fracciones algebraicas Dividir un polinomio por -a Regla de Ruffini Factorización de polinomios Divisibilidad de polinomios Fracciones algebraicas Operaciones Simplificación Antes de mostrarte algunos ejercicios relacionados con este tema queremos recordarte algunos conceptos que debes tener en cuenta Se define como valor numérico de p) para a al valor que resulta de sustituir por el valor a y realizar las operaciones indicadas Se representa por pa) Cuando pa) 0 decimos que el valor a, que hemos sustituido, es una raíz del polinomio Teorema del resto cuando se divide un polinomio p) por a), el resto que se obtiene en dicha división coincide con pa), valor numérico del polinomio para a Conclusión si a, es una raíz del polinomio p), entonces -a) será uno de sus divisores y el citado polinomio admitirá una factorización de la forma p) -a) c), donde c) es el cociente de dividir p) por -a) I- REGLA DE RUFFINI-TEOREMA DEL RESTO - Dado el polinomio p) 4 se pide a) Calcular su valor numérico para - b) Hallar el cociente y el resto de dividir p) por a) Valor numérico p b) Cociente y resto de dividirle por Cociente Cociente c) 4 6 Resto - Notemos que este valor coincide con el hallado en a) resto - -

2 Regla de Ruffini Teorema del resto - Aplica la regla de Ruffini para calcular p5) siendo p) Deberemos completar y ordenar, de mayor a menor, al polinomio p) para que podamos aplicarle la regla de Ruffini El polinomio p) adoptará la forma p) P5) resto de la división de p) por -5) 5 - Calcula el valor de m para que la división 4 m ) ) sea eacta a) Primer procedimiento Aplicaremos el teorema del resto Si la división debe ser eacta necesariamente el resto valor numérico para -) debe valer cero Valor numérico resto -) 4 -) m-) 8 8 m 0 m - b) Segundo procedimiento Regla de Ruffini 0 m m 0 0 m --m0 El resto m m - 4- Calcula el valor de m para que el resto de la división m 4 ) -) sea igual a 8 a) Primer procedimiento Aplicaremos el teorema del resto Si el resto valor numérico para ) debe ser 8 entonces Valor numérico resto ) m) ) 4 8 9m m80 8 m

3 Factorización de Polinomios b) Segundo procedimiento Regla de Ruffini El resto 9m 80 8 m - 8 m m7 9m84 m9 m8 9m808 II- FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar un polinomio deberás tener en cuenta, no sólo la Regla de Ruffini, sino también otros procedimientos, muy útiles, ya estudiados en cursos anteriores como pueden ser Sacar factor común Reconocimiento de productos notables, a saber Cuadrado de una suma a ab b a b ) Cuadrado de una diferencia a - ab b a - b ) Diferencia de cuadrados a - b a - b ) a b) Fórmula que nos permite hallar las raíces de una ecuación de º grado a b c 0 b ± b 4ac a En los ejercicios que siguen aplicaremos, en cada caso, el procedimiento más conveniente Además deberás tener en cuenta el siguiente teorema si en un polinomio sus coeficientes son números enteros, sus posibles raíces enteras deberán ser también números enteros que dividan al término independiente de dicho polinomio - Descomponer en factores los siguientes polinomios a) p) Necesitamos encontrar, al menos una de sus raíces, para poder aplicar alguno de los procedimientos señalados anteriormente Sus posibles raíces enteras han de ser, -,, -, 9 y 9 Probamos con p es una raíz de p) - -

4 Factorización de Polinomios Aplicando la regla de Ruffini a este resultado cociente resto Resultando que p) - 9 ) A su vez, el factor 9 ) es irreducible por no tener raíces reales b) p) 4 8 Se trata de una diferencia de cuadrados luego p) 4 8 9) 9) A su vez, el factor 9 ) es una diferencia de cuadrados por lo que 9 ) )-) El factor 9) es irreducible porque carece de raíces reales Resulta finalmente que p) 4 8 )-) 9) c) p) 4 0 La ecuación 4 0 0, es una ecuación bi-cuadrada, por lo que podemos encontrar sus raíces por la epresión b ± b 4ac a ± 4 0) ±9-5 y 4 Una primera factorización será p) 5) 4) El factor 5) es irreducible porque carece de raíces reales El factor 4 ) es una diferencia de cuadrados por lo que 4 ) )-) Resulta finalmente que p) 4 0 5) )-) d) p) 8 8 Una primera factorización la obtendremos sacando factor común p) ) A su vez 4 4 es el cuadrado de una diferencia ) resultando finalmente p) ) - ) - 4 -

5 Divisibilidad de polinomios III- DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS Un polinomio D) diremos que es divisible por otro d), si la división D) d) es eacta o también si eiste otro polinomio c) de manera que D) d)c) En este caso se dice también que d) y c) son divisores del polinomio D) Si no es posible encontrar dos polinomios d) y c) que verifiquen la relación anterior, diremos que D) es irreducible º- Averigua si el polinomio D) 6 8 es divisible por d) 4 4 Realicemos la división Como vemos, ha resultado que el resto de dividir D) entre d) es cero Tenemos pues que )-) luego D8) es divisible por d) 4 4 y también por c) º- Averigua si el polinomio D) 4 5 es divisible por d) En este caso, como d) es un polinomio de la forma a, es preferible utilizar la Regla de Ruffini para realizar la división Como vemos el resto de la división es Diremos pues que D) 4 5 no es divisible por d) d) resto º- Encuentra el MCD y el mcm de los polinomios siguientes p) 4 4 ; q) 4 4 Al igual que con la divisibilidad de números enteros, debemos factorizar p) y q) p) 4 4 4) -)) q) ) ) MCD p), q) ) -) Hemos tomado los factores comunes con su menor eponente mcm p), q) ) ) ) Hemos tomado los factores comunes y no comunes con su mayor eponente - 5 -

6 Fracciones algebraicas 4- Si en una división de polinomios el dividendo es D) 4, el cociente c) -- y el resto 8 cuál es el divisor? Teniendo en cuenta que en una división entera D) d)c) r, si despejamos el valor del divisor d) resulta D ) r d) c ) 4) 8) 4 Este resultado se obtiene realizando la división del numerador 4 entre el denominador IV- FRACCIONES ALGEBRAICAS Realiza las operaciones que se indican - Denominador común - ) Resultado simplificado porque es irreducible Denominador común -) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 5 0 ) ) ) ) ) ) 5 0) ) ) El resultado sólo podrá simplificarse si el numerador obtenido tiene como raíces ó - Para, el numerador toma el valor 0 Luego no puede simplificarse por -) Para -, el numerador toma el valor -) -) 0 Tampoco se puede simplificar por ) La fracción ) ) está totalmente simplificada - 6 -

7 Fracciones algebraicas - Factorizamos los denominadores; denominador común ) ) 4- ) ) ) ) 5- ) ) ) 6- ) ) ) ) ) ) ) ) )