REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES

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1 REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES Cuadro resumen de las INDETERMINACIONES. Tipo I. k f () a Método: calcular los límites laterales. Ejemplo: Tipo II. f () a Caso. f() es un cociente de polinomios. Método: simplificar mediante la descomposición en factores primos. 0 Ejemplo: + Observación: en la descomposición del numerador y el denominador YA SE CONOCE UNA RAÍZ. Caso. f() contiene sumas y raíces cuadradas. Método: multiplicar y dividir por el conjugado de la parte de la fracción que contenga la raíz cuadrada. 0 Ejemplo: 0 Tipo III. P() Q() Método: se divide numerador y denominador por la mayor potencia del denominador. Ejemplo: Tipo IV. f () ( ) Caso. Las epresiones contienen raíces cuadradas. Método: multiplicar y dividir la epresión por el conjugado de la epresión que contenga las raíces. Ejemplo: + ( ) Caso. Diferencia de fracciones algebraicas. Método: efectuar la diferencia para reducirla a una fracción algebraica. Ejemplo: ( )

2 Tipo. Límites de los polinomios P() y P() Método: considera que a efectos del límite sólo interviene el término de mayor grado. Estudiemos los límites de los monomios y sus inversos. n n + si a > 0 a a a si a < 0 0 n a ± Esto permite generalizar el límite en el infinito de cualquier polinomio. Lo razonaré para el caso de grado a b c d ( a + b + c + d) a a a a a b c d a ( a ) a a a 0 P() ± Conclusión: en los límites en el infinito de los polinomios el término que marca el límite es el de MAYOR GRADO Nota: Si estudiáramos P() tendríamos situaciones parecidas, habría que tener cuidado con los signos + si a > 0 y n es par n n si a > 0 y n es impar a a a si a < 0 y n es par + si a < 0 y n es impar 0 n a ± Como ejercicio sencillo observa y comprende la siguiente tabla:

3 k Tipo I. Indeterminación f () a Método: se estudian los límites laterales. Caso. 6 0 NO TIENE > Como los límites son distintos se dice que la función NO TIENE LÍMITE Caso. > + 4 ( + ) ( + ) ( + ) Como los límites coinciden se dice que el límite es 0 Tipo II. f () a Caso. f() es un cociente de polinomios. < < ( + ) ( ) Método: se descompone en factores primos el numerador y el denominador, se simplifica y se toman límites 0 + ( + ) ( ), en este caso se ve que se trata de una diferencia de cuadrados. En otro caso se emplea el procedimiento general soluciones ( + ) Descompongamos en factores el numerador y el denominador.

4 , resolviendo 4+ 4 ( + ) Y se resolvería según el Caso I. Puedes comprobar que los límites laterales no coinciden siendo y > < Caso. f() contiene sumas y raíces cuadradas. Método: se multiplica y divide por el conjugado de la parte de la fracción que contenga la raíz cuadrada. Debes recordar una identidad notable y sus derivadas: a+ b a b a b ( + ) ( ) ( + ) ( ) a b a b a b a b a b a b a b a b a + b a b a b ab 0 0 ( ) + + ( + ) ( + ) + ( + ) 4

5 0 0 + ( + + ) P() Tipo III. Q() Método: se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia del denominador. Se pueden distinguir casos según sean los valores relativos de los grados del numerador y denominador. Caso. grado de P() grado Q() Regla práctica: Se calcula el cociente de los coeficientes de mayor grado Caso. grado de P() < grado Q() Regla práctica: El límite es SIEMPRE 0. Caso. grado de P() > grado Q() 5

6 Regla práctica: El límite es SIEMPRE ±, el signo depende de los signos relativos de los coeficientes de mayor grado.. A modo de resumen ± si n > m n n a + b c a si n m m m d + e f d 0 si n< m Hay un caso que conviene estudiar a parte: En las epresiones del numerador o denominador aparecen raíces. + 4 Cuál es la mayor potencia del denominador?, que corresponde a Observa atentamente el denominador: Observa el numerador Recolocando numerador y denominador Regla práctica: en los polinomios o epresiones algebraicas que tienden a infinito el término que cuenta, el que marca el límite, es el de mayor grado: 6

7 f () Tipo IV. Caso. Las epresiones contienen raíces cuadradas. Método: multiplicar y dividir la epresión por el conjugado de la epresión que contenga las raíces Caso. Diferencia de fracciones algebraicas. Método: efectuar la diferencia para reducirla a una fracción algebraica. ( ) el mcm ( ), ( ) ( + ) 0 Queda reducida a una indeterminación del tipo k. Se calculan los límites laterales. y > < Como son distintos concluimos: NO TIENE LÍMITE. 7