Apuntes de Límites de funciones

Transcripción

1 Apuntes de Límites de funciones En el tema anterior estudiamos el concepto de función real de variable real y sus principales características. En este tema, introducimos la idea intuitiva de límite de una función y las propiedades más relevantes. Además, se trabaja el concepto de límite como una herramienta útil para el estudio de la continuidad de una función y la aplicación en el cálculo de las asíntotas. 1. Límite de una función. Introducción El concepto de límite tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Es decir, el valor al que se aproima la función f() cuando la variable independiente se aproima a valores determinados. 1.1 Límite de una función en el infinito Consideremos la siguiente gráfica de una cierta función f(). Observamos que a medida que el valor de la variable se va haciendo más grande ( +) las imágenes y = f() también se hacen, cada vez, más grandes (f() +). Este hecho lo escribiremos de la siguiente forma: f() = + y diremos que el límite de la función f() cuando tiende a + es +. Formalmente se epresa como sigue: f() = + M R, R > f() > M 1

2 De forma análoga se definirían f() = ; f() = + ; f() = que se corresponderían con situaciones gráficas como las siguientes: f() = f() = + f() = Aunque los resultados de los límites anteriores, en los cuatro casos, son ± hay que decir que la función no tiene límite o que el límite es infinito. Sólo diremos que una función f() tiene límite en el infinito cuando éste sea un número real b (límite finito) y lo escribiremos de una de las dos formas siguientes: Formalmente: f() = L o bien f() = L f() = L ε > k R > k f() L < ε En cualquiera de estos dos casos, diremos que y = L es una asíntota horizontal de la función.

3 Ejemplo 1: la siguiente gráfica muestra la situación en que f() = A medida que los valores de la variable se hacen más grandes, sus imágenes f() se aproiman a cada vez más. Ejemplo : la siguiente gráfica muestra la situación en que f() = A medida que los valores de la variable se hacen más negativos, sus imágenes f() se aproiman a cada vez más.. Operaciones con límites de funciones Consideremos dos funciones f() y g() y a partir de los posibles de sus correspondientes límites, calculamos:.1 Límite de la suma/diferencia de funciones El límite de la suma/diferencia de dos funciones se define como la suma/diferencia de los límites de dichas funciones, es decir: (f() ± g()) = f() ± g() Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de sean finitos o infinitos. a R f() = { + f() y b R ; g() = { + g() según que estos Entonces, la siguiente tabla con los valores de (f() ± g()) se completa como sigue: b + a a ± b +/ / / IND IND */ + IND */ / IND 3

4 (*) IND hace referencia a una indeterminación: Por ejemplo: es una indeterminación, pues el resultado puede ser cualquier valor; en efecto, si sumamos cantidades de distinto signo todo lo grandes que podamos imaginar, el resultado es imprevisible (las estudiaremos más adelante). Límite del producto de funciones El límite del producto de dos funciones se define como el producto de los límites de cada una de ellas, es decir: [f() g()] = f() g() Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de f() y g() según que estos sean finitos (nulos o no) o infinitos. f() = { a R a + ; g() = { b R b + Entonces, la siguiente tabla con los valores de [f() g()] se completa como sigue: b + a a b + si a > si a > si a < + si a < IND* IND* + + si b > si b < IND* + si b > + si b < IND* + (*) El tipo de indeterminación que aparece es porque al multiplicar cantidades que se aproiman a tanto como queramos por cantidades (positivas o negativas) todo lo grandes que queramos, el resultado puede ser cualquier valor. Se necesitan técnicas de resolución..3 Límite del cociente de funciones El límite del cociente de dos funciones se define como el cociente de los límites de cada una de ellas, siempre y cuando el límite del denominador sea no nulo: f() [f() g() ] = g() donde g() Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de f() y g() según que estos sean finitos (nulos o no) o infinitos. f() = { a R a + Entonces, la siguiente tabla con los valores de [f() g() b R b ; g() = { + ] se completa como sigue: 4

5 f() g() b + a a b ± IND* + + si b > si b < ± IND* IND* si b > + si b < ± IND* IND* (*) Aparecen dos nuevas indeterminaciones, y, que resolveremos con las técnicas adecuadas. a Los límites k = se llaman infinitésimos y aparecerán muy frecuentemente..4 Límite de una potencia (una función elevada a otra función) El límite de una función elevada a otra función, se define como el límite de la base (siempre que sea positivo o nulo), elevado al límite del eponente, es decir: f()g() = [ f()] g() donde f() Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de f() y g() según que estos sean finitos (nulos o no) o infinitos. a R a > f() = { + ; g() = { b R b + Entonces, la siguiente tabla con los valores de f()g() se completa como sigue: f()g() b + a > a b 1 + si a > 1 si < a < 1 IND si a = 1 si a > 1 + si < a < 1 IND si a = 1 IND* IND* IND* + + si b > si b < IND* + (*) Aparecen dos nuevas indeterminaciones,, (+) y 1. Sólo estudiaremos esta última..5 Límite de funciones con radicales El límite de función con radicales se define: n f() n = f() n A la hora de calcularlo, debemos tener en cuenta que: + + ; n impar.6 Límite de la función logarítmica El límite de función logarítmica se define como el logaritmo del límite de la función, siempre y cuando este límite sea positivo: [ log a f() ] = log a [ f() ] donde >, a >, a 1 5

6 3. Límite de una función en un punto 3.1 Definición. Idea intuitiva La siguiente gráfica muestra parte de la representación de la función f() = + Qué ocurre si damos valores a la función en un entorno cercano al? Construimos la siguiente tabla de valores: Podemos observar que si nos acercamos al valor =, las imágenes de la función se aproiman a 1 que es el valor de la función en dicha abscisa; f() = 1. Se formaliza escribiendo f() = 1 y diremos que el límite de f() cuando tiende a es 1. En las funciones que vamos a utilizar (salvo las funciones definidas a trozos), cuando queramos calcular el límite en un determinado punto, lo que haremos, será sustituir dicho valor en la epresión de la función; y si el resultado es un número real, ese será su límite. Así, en el ejemplo anterior, para calcular sustituimos = en la epresión : + + f() = + = 1 + = 1 En general: Diremos que a f() = L cuando para valores de muy próimos a a, los valores de la función, en ellos, se aproiman a L. En la definición, obviamos el punto = a, siempre nos acercamos a él, pero no lo alcanzamos. Es por ello que se definen los límites laterales que vemos a continuación. 6

7 3. Límites laterales En ciertas ocasiones, dependiendo de la función, es necesario distinguir entre acercarse al punto por su izquierda o acercarse por su derecha; pues puede ocurrir que el valor del límite varíe. Lo mostramos con los siguientes ejemplos de funciones definidas a trozos: si 1 Ejemplo 3: Consideremos la función f() = { si 1 < < 1 cuya gráfica es la siguiente: L si 1 Antes de calcular f(), debemos observar que en = 1 hay un cambio en la definición de la 1 función. La epresión cambia dependiendo de si nos acercamos a = 1 por su izquierda o por su derecha, por tanto, necesitamos introducir la noción de límites laterales (por la izquierda y por la derecha) de una función en un punto. En nuestro caso sería: 1 f() = 1 ( ) = 1 +f() = 1 +( 3 + 3) = Como los límites laterales no coinciden, concluimos que la función no tiene límite en = 1 Ejemplo 4: Calcular f() para f() = { si < 1 1 L si > 1 En este caso: 1 f() = 1 ( 3 + 3) = 1 +f() = 1 +(L) = Como los límites laterales eisten y coinciden, podemos concluir que eiste f() y f() = 1 1 Importante: 1. El límite de una función en un punto, si eiste, es único.. Diremos que una función tiene límite en un punto si eisten los límites laterales y coinciden Eiste f() Eisten a a f() y a +f() y a f() = a +f() 3. Para hallar los límites laterales de una función en un punto, no es necesario que la función esté definida en dicho punto. 7

8 3.3 Límites infinitos Puede ocurrir que, en ocasiones, al acercarnos a un determinado valor de, la función tome valores cada vez más grandes o cada vez más pequeños. Entonces diremos que el límite de la función en dicho punto es + ó. Lo mostramos en el siguiente ejemplo: Ejemplo 5: Calcular 1 ( 1) En primer lugar, representamos la función y observamos que, efectivamente, al acercarnos a la abscisa = 1, los valores de la función se hacen cada vez más grandes. Esto quiere decir que = + 1 ( 1) En efecto, si calculamos el valor del límite: 1 + ( 1) = + Dependiendo de la definición de la función, puede que sea necesario calcular los límites laterales. Ejemplo 6: Calcular 1 1 Si representamos la función, observamos que el comportamiento de la misma es diferente según que nos acerquemos a 1 por la derecha o por la izquierda, por tanto, calculamos los límites laterales. 1 1 = 1 1 = { 1 = En cualquiera de estos dos casos, diremos que = 1 es una asíntota vertical de la función. Son rectas paralelas al eje Y, hacia las cuales se dirige la función, aproimándose cada vez más, pero sin llegar a cortarlas. 8

9 4. Cálculo de límites sencillos. Indeterminaciones Para calcular límites de funciones tenemos que tener en cuenta todo lo que hemos estudiado en los puntos anteriores y lo que vemos a continuación: 1. A la hora de calcular un límite aparecen epresiones como las siguientes, que conviene recordar: k = con k R ± ± = ± con k R {} k = con k R {} k k + + si k > 1 = { si < k < 1. Para calcular el límite de una función en un punto, basta sustituir el valor de dicho punto en la función y, si el resultado es un número, ese es el valor del límite. Ejemplo 6: Calcular = = Límite de un polinomio: El límite de un polinomio cuando ± es siempre + o. El signo lo determina el signo del coeficiente del término de mayor grado, los demás términos no influyen, son insignificantes. a n (a n n + a n 1 n a 1 + a ) = { + si a n > si a n < Ejemplo 7: ( ) = porque < 4. A veces, al aplicar el paso. podemos obtener determinados resultados que, a priori, no tienen sentido. Se llaman indeterminaciones y estudiamos las siguientes:,,,, 1 o Indeterminación Aparece al calcular límites de cocientes de polinomios. Sean P() y Q() dos polinomios de grados n y m respectivamente. Al calcular el límite P() Q() se produce la indeterminación. Se puede resolver de tres formas distintas, lo mostramos para Forma 1. Como los términos distintos del monomio de mayor grado son insignificantes, en cuanto al límite en el infinito, podemos suprimirlos tanto en el numerador como en el denominador: = 3 3 = Forma. Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de la variable y se aplican las propiedades vistas en el punto 1. 9

10 = = == = Forma 3. Se aplica la llamada regla de los grados P() Q() = = 1 si n = m a n n + a n 1 n a 1 + a b m b m m + b m 1 m 1 = si n < m + + b 1 + b ± si n > m y a n { > { b m < = porque son del mismo grado. Esta indeterminación también puede aparecer al calcular límites de cocientes con radicales. Se resuelve dividiendo, numerador y denominador, por la mayor potencia de la variable, compensada por el radical, como vemos en el ejemplo siguiente = = 4+3 = = a n = = o Indeterminación Tipo 1 Esta indeterminación aparece en el cálculo de límites de cociente de funciones polinómicas P() a Q() denominador. Ejemplo 8: dónde a es raíz de P y Q. En este caso, se resuelve factorizando numerador y + 3 ( 1) ( + 3) = = ( + 3) = Observamos que f(1) no está definida pero en cambio, sí eiste f() = 4. 1 Tipo Esta indeterminación también aparece en el cálculo de límites con radicales. En este caso, se multiplicado numerador y denominador por la epresión conjugada que tiene raíz. Ejemplo 9: = (+1) ( 3) (1 ) (1+ ) = 1 ( 1) (1+ ) (+1) ( 1)(1+ ) = ( 3) = 4 1 ( 1)(1+ ) ++3 = 1 ( 1) (1+ ) = 1 1

11 o Indeterminación Se resuelve transformándola en una indeterminación del tipo de las dos anteriores (, ) Ejemplo 1: = = = = 1 o Indeterminación Aparece al calcular el límite de una suma/diferencia de funciones racionales, como el siguiente: [P() Q() R() S() ] Se resuelven efectuando la operación, como mostramos en el siguiente ejemplo: Ejemplo 11: 1 (3 ) = +4 ( 3 1) ( ) ( +4) ( +4) = = + Esta indeterminación también puede aparecer al calcular límites en los que intervienen epresiones con radicales. En estos casos, se resuelve multiplicando y dividiendo numerador y denominador por la epresión conjugada. Ejemplo 1: ( ) = 5 1 = ( ) ( ) = = 5 4 = o Indeterminación 1 Las resolvemos aplicando la siguiente igualdad: 1 [f()]g() = e A donde A = Ejemplo 13: ( ) = e A A = [( 3) ( g() [f() 1] 1)] = [( 3) ( )] = = Por tanto: ( 3 1+ ) 3 = e = Es importante conocer que (1 + 1 ) = e 11

12 5. Cálculo de límites en - Hasta ahora, hemos calculado límites en los que +, en los casos en los que utilizaremos la siguiente propiedad: f() = f( ) Ejemplo 14: 1 ( 3 + ) = 1 +4 (3 ) = ( 3 1) ( ) ( +4) =+ +4 ( +4) 6. Asíntotas de una función Una asíntota es una recta hacia la que se dirige la gráfica de una función, aproimándose todo lo que queramos, sin llegar a cortarla. Eisten tres tipos de asíntotas: Asíntota horizontal (visto en página ) Son rectas paralelas al eje X. Diremos que y = L es una asíntota horizontal (A.H) de f() si: f() = L o bien f() = L Ejemplo 15: Determina las asíntotas horizontales de la función f() = +1 Observamos que f() = + 1 = 1 ; f() = + 1 = 1 Por tanto, la función tiene dos asíntotas horizontales: y = 1, y = 1 Asíntota vertical Son rectas paralelas al eje Y. Diremos que = L es una asíntota vertical (A.V) de f() si: f() = ± o bien L + f() = ± L Las asíntotas verticales se localizan entre los puntos que no pertenecen al dominio de la función, es decir, los valores para los cuales la función no está definida. 1

13 Ejemplo 15: Determina las asíntotas verticales de la función f() = En primer lugar, determinamos el dominio Dom(f) = R {, 3} f() = + { f() = = + = + = es una A. V 6 = + = f() = 3 + { f() = 3 6 = 3+ + = + 6 = 3 = = 3 es una A. V Asíntota oblicua Es una recta de la forma y = m + n donde: f() m = ± n = [f() m] ± Ejemplo 16: Determina las asíntotas oblicuas de la función f() = m = n = 3 f() ( 1) = m = ± ± = ± [f() m] = n = [ 3 ± ± ( 1) ] = y = + es una asíntota oblicua (A. O) 3 3 ( 1) 3 ( 1) = ± 3 + = 1 ± ( 1) = 13