Taller de Matemáticas IV

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1 Taller de Matemáticas IV Universidad CNCI de Méico

2 Temario. Funciones polinomiales factorizables.. Teorema del residuo.. Teorema del factor... Raíces (ceros) racionales de funciones polinomiales.. Teorema fundamental del álgebra.. Teorema de la factorización lineal. Funciones Racionales.. Definición de una función racional.. Dominio y Rango de una función racional.. Gráfica de las funciones racionales.. Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función racional. Funciones Eponenciales y Logarítmicas.. Función Eponencial... Gráfica de una función eponencial... Dominio y Rango de una función eponencial... Función eponencial natural.. Función Logarítmica... La función logarítmica como inversa de la función eponencial... Logaritmos comunes y naturales... Operaciones con logaritmos... Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Universidad CNCI de Méico

3 Sesión 9 Los temas a revisar el día de hoy son:. Funciones polinomiales factorizables.. Teorema del residuo.. Teorema del factor... Raíces (ceros) racionales de funciones polinomiales. Funciones polinomiales factorizables Ya aprendiste a obtener las raíces reales o racionales de una función polinomial de grado y, qué ocurre con las funciones de grado mayor a cuatro? Cómo podrías obtener sus raíces de forma práctica? Es importante que sepas que no todas las funciones polinomiales de grado mayor a cuatro pueden ser factorizables, tampoco, las funciones de grado menor igual a cuatro. Algunos métodos que ya trabajaste antes te ayudarán para la solución de funciones polinomiales de grado mayor a cuatro... Teorema del residuo Si un polinomio se divide entre el binomio, donde es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es. Ejemplo: Divide f() + + entre el binomio + Solución: Cociente Divisor Dividendo + Residuo El resultado lo puedes escribir de la siguiente forma: Dividendo Cociente Residuo Universidad CNCI de Méico

4 Divisor El teorema del residuo se cumple en la división anterior, en este ejemplo a, por lo que al evaluarla en la función obtienes lo siguiente: f( ) ( ) + ( ) + + Eiste una forma más abreviada y práctica para realizar la división, es la famosa división sintética, la cual consiste en lo siguiente: Ejemplo: Divide f() entre el binomio + Solución: Antes de resolver el ejercicio a través de la división sintética, ordenas en forma decreciente la función, según los eponentes de la variable independiente. Obtienes así lo siguiente: f() + + 5, y ahora, sí aplicas la división sintética como sigue:. Acomoda los coeficientes 5 raíz. Baja el coeficiente principal Nota: como no hay término independiente se coloca un cero en su lugar.. Multiplica el coeficiente principal () por la raíz ( ) y colócala bajo el segundo coeficiente: ()( ) 5. Suma o resta la segunda columna: 5 5. Multiplica tu resultado por la raíz y ponla bajo el tercer coeficiente: 5 Universidad CNCI de Méico

5 6. Continúa así con el resto de los coeficientes: 5 6 Residuo Los resultados de la división sintética corresponden a los coeficientes del cociente que resultó de la división. 5 6 Residuo Grado de las variables: Término constante El resultado que obtuviste lo epresas de la siguiente manera: 5 Comprueba tú mismo que el teorema del residuo se cumple en esta función polinomial. Práctica 7 I.- Usando la división normal o división sintética realiza las siguientes divisiones entre polinomios y al final verifica que se cumpla lo establecido por el teorema del residuo. Dividendo Divisor ) f() 5 + 5/ 5 ) f() ) f() + ) f() 5 + 5) f() + + 6) f() Universidad CNCI de Méico

6 7) f() ) f() ) f() ) f() Teorema del factor Cuando un polinomio se divide entre un binomio y su residuo es cero, entonces podemos afirmar que es raíz del polinomio, es decir, el residuo r f(c). Ejemplo: Demuestra que los binomios ( ) y ( + ) son factores del polinomio f() Solución: Las raíces a probar son: y, utiliza la división sintética para demostrar lo anterior. Con Residuo Con Residuo Como en ambos casos el residuo es cero, ambas son raíces de la función f(). De los dos teoremas anteriores puedes concluir lo siguiente: a) El residuo r es el valor de f en el punto a. Es decir, r f(a). b) Si r, entonces a es un factor. c) Si r, a es un cero de la función f(), es decir, (a, ) es una intersección de la gráfica de f().... Raíces (ceros) racionales de funciones polinomiales No todas las funciones polinomiales tienen raíces reales, eisten varios métodos que pueden mostrarte el tipo de raíces que posee una función polinomial. 6 Universidad CNCI de Méico

7 Uno de ellos es la llamada prueba del cero racional, la cual relaciona todas las raíces racionales posibles de un polinomio involucrando el coeficiente principal y el término independiente. Dada una función polinomial de la forma: f() a n n + a n n +.+ a + a + a, con los coeficientes enteros de la función, entonces, todos los ceros racionales de la función tienen la siguiente forma: Raíces racionales p q factores del término independiente factores del coeficiente principal p y q no tienen factores comunes distintos de y p Ejemplo: Encuentra las raíces de la función f() Para aplicar esta prueba, primero haces una lista con todos los factores del término independiente: Luego, haces una lista con los factores del coeficiente principal: p {,, } q {, } Ahora, las posibles raíces racionales son: p ±,,,,, q Ya que obtuviste las posibles raíces de la función polinomial, tienes que averiguar cuáles de ellas sí lo son. Lo anterior, lo puedes resolver de distintas formas. Una forma es evaluando cada posible raíz en la función inicial y la que satisfaga la igualdad esa es raíz. Si usas esta opción te resulta lo siguiente: Sustituye () () + 7() + Desarrolla Simplifica Por lo tanto, es una raíz de la función. Lo mismo tendrías que hacer para cada una de las posibles raíces y conocer las que hacen cero la función. Esto te tomaría muchísimo tiempo. En cambio, la división sintética es de gran utilidad y practicidad. 7 Universidad CNCI de Méico

8 8 Universidad CNCI de Méico Taller de Matemáticas IV Semana y De la función polinomial f() acomodas los coeficientes y tomas una de las posibles raíces p ±,,,,, q Como el residuo es cero, el se considera raíz de la función f(), por lo que se puede epresar de la forma siguiente: f() ( ) ( ) Es posible obtener el resto de las raíces factorizando la función cuadrática, resultándote lo siguiente: f() ( ) ( + )( ) 7 Igualas a cero cada factor y despejas : raíces:, / y Seguramente has advertido en la serie de ejercicios que has resuelto hasta el momento que el número de raíces de una función es siempre igual a su grado. De tal observación surge el teorema siguiente. Práctica 8 Encuentra los factores de las siguientes funciones polinomiales: ) f() ) f() , entre + ) f(p) p 6p p entre p 6 ) f(n) n 8n + 9n + 5 entre n 5) f(b) b b + b entre b 6) f() entre 9 7) f() entre + 6 8) f() 8 entre + 7 9) f() entre ) f() +

9 Sesión Los temas a revisar el día de hoy son:.. Teorema fundamental del álgebra.. Teorema de la factorización lineal.. Teorema fundamental del álgebra Si te pidiera que obtengas las raíces de la ecuación +, qué te resulta? No es posible factorizarla entonces, recurres a la fórmula general y obtienes:,,, Y ahora? Qué hacer con una raíz negativa? Eiste acaso algún número que multiplicado por sí mismo te resulte? Cómo obtener las mencionadas raíces de la ecuación? Una raíz negativa forma parte del conjunto de los números complejos, aquellos que no son reales. La unidad de los números complejos es un número imaginario, el cual se epresa con la letra i, cuyo valor número corresponde a i y por consecuencia, i Según esta información puedes ahora encontrar las raíces del ejercicio anterior, por lo que lo resuelves de la siguiente manera:, ± ± ( ) ± ± i + i + i i i 9 Universidad CNCI de Méico

10 En este ejemplo puedes observar que un número complejo es una combinación de un número real y una parte con la unidad imaginaria. Entonces, ya advertiste que cuando un polinomio no posee raíces reales, las tiene complejas. A través de este trabajo surge el gran teorema fundamental del algebra que enuncia lo siguiente: El teorema fundamental del álgebra establece que si f() es un polinomio de grado n, con n>, entonces la función f() tiene al menos un cero (raíz) en el sistema de números complejos. De este teorema se deriva que un sistema de números complejos, una función polinomial de grado n, tiene eactamente n ceros. Ejemplo: a) La función polinomial de primer grado f() + 5 tiene eactamente una raíz en 5 b) La función polinomial cuadrática f() tiene eactamente dos raíces en y, y puede escribirse de la forma: f() ( )( ). c) La función polinomial cúbica f() + tiene eactamente raíces en, i, i y puede escribirse de la forma: f() ( )( i)( + i). d) La función polinomial de grado cuatro f() 6, tiene eactamente cuatro raíces en,, i, i, y puede escribirse de la forma: f() ( )( + )( i)( + i) Una vez realizado el análisis anterior adviertes que conociendo las raíces o ceros de una función polinomial encuentras sus factores y descubres que puedes epresarla como una multiplicación de dichos factores, por lo que se deriva el siguiente teorema: Práctica 9 I. Encuentra todas las raíces complejas de cada función polinomial. ) f() + 8 ) f() + + ) f() ) f() 5) f() + Universidad CNCI de Méico

11 6) f() 6 7) f() ) f() ) f() ) f() Teorema de la factorización lineal Si f() es un polinomio de grado n, con n >, entonces f() tiene precisamente n factores lineales, es decir: f() a( c )( c ).( c n ), en donde c, c,..c n son números complejos y a es el coeficiente principal de f(). Ejemplo: Epresa la siguiente función en su forma factorizada f() Solución: Para, Te resulta: f() ( ) ( 5 + ), por lo que continuas buscando más raíces para factorizar: Para, Te resulta: f() ( )( + )( + + ), factorizas ahora el polinomio de grado cuatro: Para, Universidad CNCI de Méico

12 Te resulta: f() ( )( + )( )( + ), factorizas ahora el polinomio de grado tres: Para Te resulta: f() ( )( + )( )( )( + ), factorizas ahora el polinomio de grado dos: Igualas a cero el factor: + Despejas la variable Aplicas la raíz cuadrada: ± i Por lo que, la función polinomial de grado seis se puede epresar en función de la multiplicación de sus factores como sigue: f() ( )( + )( )( )( + i) ( i) Además, aplicas la ley de eponentes a los factores repetidos y obtienes lo siguiente: f() ( ) ( + )( + i) ( i) Práctica I. Encuentra las raíces de cada función polinomial y eprésala en forma factorizada. ) f() ) f() + 8 ) f() + ) f() + 5) f() 6) f() 5 + 7) f() Universidad CNCI de Méico

13 8) f() ) f() ) f() 8 + Universidad CNCI de Méico

14 Sesión Los temas a revisar el día de hoy son:. Funciones Racionales.5. Definición de una función racional.6. Dominio y Rango de una función racional. Funciones Racionales Después de haber trabajado ampliamente con el tipo de funciones polinomiales, y que adquiriste un dominio sobre la obtención de raíces y gráficas de las mismas, te pregunto, qué ocurrirá con las raíces y gráficas de una función definida como la razón de dos funciones polinomiales?.. Definición de una función racional Una función racional es aquella que se obtiene al dividir un polinomio entre otro polinomio de mayor o menor grado que el primero siempre y cuando ambos polinomios tengan la misma variable. Algebraicamente se epresa de la siguiente manera: Ejemplo: P( ) f ( ) ; Q() Q( ) f ( ), dicha función epresada en forma racional se puede simplificar y + epresarse en forma polinomial, esto es posible cuando factorizas el polinomio cuadrático. ( )( + ) f ( ) f ( ) + + ( + ) Una función racional no eiste cuando su denominador se hace cero. Así por ejemplo, la función: 8 + f ( ), cuando 5 la función no eiste, es decir, cuando /5. 5 Universidad CNCI de Méico

15 Práctica I. Simplifica las siguientes funciones racionales y encuentra los valores para los cuales la función no eiste. Función original a) f ( ) + y b) f ( y) y + s c) f ( s) s d) f ( ) 6 n + 5n + 6 e) f ( n) n 9 Función simplificada Valores para los cuales la función no eiste.. Dominio y Rango de una función racional El dominio de una función racional está formado por todo el conjunto de los números reales, ecepto aquellos valores de que hacen cero el denominador de la función racional. El rango de una función racional es un subconjunto de los números reales. Una forma rápida y práctica para obtener el rango de una función racional P( ) y f ( ) se trata de despejar en términos de y encontrando los valores Q( ) de y para los cuales no es un número real. Ejemplo: Determina el dominio y rango de la función racional f ( ) 9 Solución: Para determinar el dominio de la función racional f(), es necesario que encuentres los valores para los cuales el denominador de la función es cero. Es decir, cuando 9, factorizas y obtienes que esto ocurre cuando ± Por lo que el dominio de la función racional f() es D { ε / }, este conjunto se puede representar también mediante intervalos de la siguiente manera: D (-, ) U (, ) U (, ) 5 Universidad CNCI de Méico

16 Para determinar el rango de la función racional f(), es necesario que despejes la variable y en términos de, por lo que obtienes lo siguiente: De la ecuación inicial: y 9 Multiplica todo por ( 9): ( 9) y Transpones y : 9 y Suma 9 unidades: + 9 y Y listo! + 9 y Ya que obtuviste la ecuación en términos de y, ahora encuentra los valores de y para los cuales es real. Primero, dentro del radical se encuentra una epresión racional, por lo que adviertes que debe ser distinta de cero, es decir, y. También, una raíz es real cuando su radiando es positivo, es decir, mayor o igual a cero, entonces, determina ahora los valores que puede tomar y. Caso y > Caso y < Multiplica todo por y : Resta unidades: Divide todo entre 9 unidades: + 9 > y + 9 < y + 9y < 9y < Y listo! y < 9 De los resultados que obtuviste y, y > y y < /9 concluyes que el rango de la función racional es: R {y ε / y > y < - /9} R (-, -/9) U (, ) 6 Universidad CNCI de Méico

17 Práctica I. Obtén el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones racionales. ) f ( ) ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9) ) f ( ) 5 f ( ) f ( ) 7 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + 5 f ( ) 9 f ( ) 7 Universidad CNCI de Méico

18 Sesión Los temas a revisar el día de hoy son:.. Gráfica de las funciones racionales.. Gráfica de las funciones racionales La gráfica de las funciones racionales siempre presenta discontinuidad debido a los valores para los cuales el denominador de la función racional es cero. Observa detenidamente el comportamiento que presentan dichas funciones en el plano cartesiano, y advierte las características que en su conjunto presentan. Ejemplo: Grafica la función racional f ( ). + Solución: Para trazar la gráfica de la función racional f(), primero determinas los valores que la variable no puede tomar, + ½ A partir de este valor que no puede tomar la variable, elaboras una tabla con los valores próimos a la derecha y a la izquierda del mismo. f() indeterminado Universidad CNCI de Méico

19 . El dominio está determinado por el conjunto D { ε / - ½} Comportamiento en la función racional en la gráfica: a) Cuando tiende ( ) al infinito ( ), la función f() tiende ( ) a ½ b) Cuando a, f() ½ c) Cuando ½ por la derecha, f() d) Cuando ½ por la izquierda, f() Estos valores que no pueden tomar la variable indeterminan a la función y es justamente hacia esa recta en el plano que tiende la función, además que éstas causan la discontinuidad de la gráfica; dichas rectas se conocen como asíntotas y se presentan como líneas punteadas. Práctica I. Traza la gráfica de cada una de las siguientes funciones racionales. ) ) ) ) f ( ) + 8 f ( ) f ( ) 5 + f ( ) 5) f ( ) ) 7) 8) 9 f ( ) f ( ) + 7 f ( ) 9 9 Universidad CNCI de Méico

20 9) ) 5 f ( ) + f ( ) Universidad CNCI de Méico

21 Sesión Los temas a revisar el día de hoy son:.. Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función racional.8. Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función racional Las asíntotas se clasifican en tres tipos: horizontales, verticales y oblicuas. Asíntotas verticales La línea a se denomina asíntota vertical de la gráfica de la función f(), si f() o f() a medida que a, ya sea por la derecha o por la izquierda. Si f() es una función racional del tipo: P( ) f ( ) con P() y Q() sin factores comunes y Q() Q( ) Entonces, la gráfica de f() tiene asíntotas verticales en los ceros de Q(), es decir, en los valores de que solucionan la ecuación Q(). Ejemplo: Traza la gráfica de la función racional f ( ) y marca su asíntota. 5 Solución: Para trazar la gráfica, primero encuentra el valor de que indetermina la función, esto es, cuando el denominador es cero. Por lo que igualas a cero el denominador: 5, entonces cuando 5. De tal manera que la asíntota vertical de la función corresponde a la recta 5. Ya que conoces la asíntota, elabora la tabla con valores próimos a dicha asíntota para advertir su comportamiento gráfico en el plano cartesiano. Universidad CNCI de Méico

22 f() indeterminado Asíntotas horizontales La línea y b se denomina asíntota horizontal de la gráfica de la función f(), si f() b, a medida que o. Si f() es una función racional del tipo: f ( ) P( ) a + a n n n n m m Q( ) bm + bm a b + a + a + b + b con P() y Q() sin factores comunes y Q() Entonces, la gráfica de f() tiene asíntotas horizontales (o ninguna) y puedes determinarla como sigue: a) Si n < m, la gráfica de f() tiende al eje (y ) como una asíntota horizontal. an b) Si n m, entonces la gráfica de f() tiene la línea y como una asíntota bm horizontal. c) Si n> m, entonces la gráfica de f() no tiene asíntotas horizontales. Universidad CNCI de Méico

23 Ejemplo: Traza la gráfica de la función racional f y marca sus asíntotas. ( ) Solución: Para trazar la gráfica, primero determina el valor de que indetermina la función, esto es, cuando el denominador es cero,, entonces cuando. Entonces, la asíntota vertical de la función corresponde a la recta. Para determinar la asíntota horizontal, verifica los eponentes de la variable en el numerador y en el denominador de la función, en este caso, como son iguales, corresponde lo indicado en el inciso b), lo cual indica que la asíntota corresponde a: y a n bm f() indeterminado Universidad CNCI de Méico

24 Asíntotas oblicuas Para el caso particular en que el grado de P() es eactamente uno más que el grado de Q(), es decir, n m +, se dice que la función racional f() tiene una asíntota oblicua. Este tipo de asíntotas son líneas rectas definidas por una ecuación lineal del tipo y m + b; para obtener dicha ecuación sólo tienes que realizar la operación de división normal y el resultado obtenido es una ecuación del tipo mencionado: y m + b. Ejemplo: asíntotas. Traza la gráfica de la función racional: + f ( ) y obtén sus Solución: Como podrás advertir el polinomio del numerador es de mayor grado que el del denominador, por lo que esta función posee al menos una asíntota oblicua y procedes a resolverlo como anteriormente se te indicó. Realizas la división normal: Por lo que el resultado obtenido, es decir, el cociente es una recta asíntota oblicua de la función racional. La otra asíntota es una asíntota vertical, es decir, cuando, o sea,. Su tabla y gráfica correspondientes son las siguientes: Universidad CNCI de Méico

25 f() indeterminado Universidad CNCI de Méico

26 6 Universidad CNCI de Méico Práctica I. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de cada una de las siguientes funciones racionales. ) ) ( f ) f 5 ) ( ) 7 ) ( + f ) f 6 8 ) ( + + 5) 7 ) ( f II. Encuentra las asíntotas oblicuas de cada una de las siguientes funciones racionales. 6) 5 8 ) ( + f 7) ) ( + + f 8) 5 ) ( + + f 9) ) ( + + f ) ) ( f

27 Sesión Los temas a revisar el día de hoy son: 5. Funciones Eponenciales y Logarítmicas.. Función Eponencial... Gráfica de una función eponencial... Dominio y Rango de una función eponencial. Funciones Eponenciales y Logarítmicas Hasta el momento has trabajado una clase de funciones, las llamadas funciones algebraicas, en el tema actual analizarás las funciones eponenciales y logarítmicas, las cuales son consideradas dentro del tipo de funciones trascendentes... Función Eponencial Una función eponencial es una función de la forma f() a, donde a >, a, y es cualquier número real. De tal manera que la función f() a es una función eponencial con base a. Las leyes de los eponentes son aplicables en esta clase de funciones: Producto de la misma base a n a m a n + m y y y + y 7 Potencia de una potencia (a n ) m a n m (y ) y y Potencia de un producto (ab) n a n b n (5y) 5 y Potencia de un cociente Cociente de la misma base Potencias con eponentes negativos a b a a a n m n n a b a n n n m n a y y Potencia con eponente cero a y 5 y y Potencia de una raíz n m n m a a 7 Universidad CNCI de Méico

28 Taller de Matemáticas IV V Semana y.. Gráfica de una función eponencial La función eponencial más simple es de la forma: f() b, cuya base es un constante elemento del conjunto de los números reales y la variable de la función. Ejemplo : Trazaa la gráfica de la función eponencial: f() y encuentra suss características. Solución: Para trazar la gráfica de la función es indispensable que realices una tabulación con los valores de la función, y puedas observar su comportamiento en ambas partes, de tal manera que obtienes lo siguiente: f() "" f() 6, 5,,6,,5, Tanto en la tabla de valores como en la gráfica es posible que logres observar cómo la función es creciente, puesto que conforme aumentan los valores de la variable independiente, la función toma también valores en aumento. Qué ocurrirá si la base de la función eponencial comportamiento tendrá su gráfica? es muy pequeña? Qué 8 Universidad CNCI de Méico

29 Taller de Matemáticas IV V Semana y Ejemplo : Trazaa la gráfica de la función eponencial: f() el plano cartesiano. y observa su comportamiento en Solución: Como en el ejemplo anterior, es importante que elabores observar el comportamiento de la función en el plano. una tabla de valores para f() (/) "" f() (/) f() 6 6 8,5,5,,6,, Solo fue un pequeño cambio en el orden de la función, sustituiste por ½ y esto bastó para que la función tuviera un comportamiento completam ente diferente del anterior. Esta función decrece porque entree más sean los valores que toma la variable independiente, menor es el valor de la función. Otras características que pudiste haber observado en la gráfica de las funciones eponenciales son las siguientes: ) La función es positiva, puesto que para todos los valores de la gráfica está sobre el eje. ) Para todos los valores de b, y cuando ) Si b >, la función es creciente. Si crecee la funciónn crece y al decrecer la, la función se aproimaa aunque nunca llega alcanzar el cero. ) Si b <, la función es decreciente, si crece, la función decrecee y se aproima, aunque nunca llega a alcanzar el valor. 5) Si b > ó b<, la función no corta el eje. 9 Universidad CNCI de Méico

30 ... Dominio y Rango de una función eponencial Taller de Matemáticas IV Semana y El dominio de una función eponencial está formado por todo el conjunto de los números reales ( ), debido a que en todos los casos está definida, D (, ). En el rango de una función eponencial, como la función nunca toca al eje de las, el rango de esta función está definido por todos los valores positivos de y (, es decir, R (, ). Otra propiedad de una función eponencial es que no tiene raíces y que posee una intersección solamente con el eje de las y, es decir, en y. Práctica 5 I. Traza la gráfica de cada una de las siguientes funciones eponenciales. ) ) ) f ( ) f ( ) + f ( ) ) f ( ) 5) 6) 7) 8) 9) ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 + Universidad CNCI de Méico

31 Sesión 5 Los temas a revisar el día de hoy son:... Función eponencial natural.. Función Logarítmica..5. La función logarítmica como inversa de la función eponencial... Función eponencial natural La función eponencial natural es una función que utiliza el número e como base, dicho valor se obtiene al calcular la epresión utilizando valores de n localizados entre y el. Observa los valores que toma la epresión cuando n aumenta: n Con base en esta tabla puedes apreciar que mientras más crece el valor de n, la epresión se acerca al número irracional. 7888, el cual se denota con la letra e. Este número es un número irracional, por lo que, al igual que el valor de π, sus decimales no siguen un patrón determinado. Universidad CNCI de Méico

32 Taller de Matemáticas IV V Semana y La gráfica de la función eponencial natural es la siguiente: f() e """ f( () 66,5 55,67,8,98,5, Crecimiento y decrecimiento eponencial La epresión de crecimiento eponencial se utiliza mucho, por ejemplo, para hablar del crecimiento de una población, de la reproducción de las bacterias, etc. Dicho fenómeno lo puedes epresar mediante una función eponencial creciente. Por ejemplo, en el caso del crecimiento eponencial de una población: P o cantidad de población presentee en el tiempo t. Factor de crecimiento o decrecimiento. k es la tasa de crecimiento (si su valor es positivo) o decrecimiento (si su valor es negativo). P población actual t tiempo, ya que el crecimiento de la población depende del tiempo. La epresión anterior representa el crecimiento eponencial l. Ejemplo: Si sabes que cierto tipo de bacteria aumenta según el modelo: P(t) e. 97t Universidad CNCI de Méico

33 Donde t es el tiempo en horas. Encuentra: a) P() b) P(5) Solución: a) El tiempo en P() es t por lo que sustituyes dicho valor en el modelo que representa el incremento de las bacterias. P() e.97() P() () P() b) El tiempo en P(5) es t 5 por lo que sustituyes dicho valor en el modelo que representa el incremento de las bacterias. P(5) e.97(5) P(5) e.985 P(5) () P(5) Práctica 6 I. Traza la gráfica de las siguientes funciones eponenciales naturales. ) f() e ) f() + e ) f() e ) f() e. 5) f() e II. Resuelve los siguientes ejercicios de crecimiento o decrecimiento eponencial. 6) La demanda de un producto está dada por la ecuación P 5.5e.. Encuentra el precio P para una demanda de: a) unidades b) 5 unidades Universidad CNCI de Méico

34 7) La población de una ciudad aumenta según el modelo: P 5e.9t, t tiempo en años, t corresponde a 99. Aproima la población que hay o habrá en los años: a) b) 5 c) 8) La bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos bacterias nuevas. Cuántas bacterias habrá en cuatro horas si inicialmente se tiene una colonia de, bacterias, considerando la relación B(t) ()( t )? Y en días? 9) Para calcular la presión atmosférica P. en lb/pulg, se utiliza la relación P.7e.. Si consideras a como la altura en millas sobre el nivel del mar, qué presión atmosférica habrá en la ciudad de a) Dallas, si su altura es de m sobre el nivel del mar. b) Méico, si su altura es de 5m sobre el nivel del mar... Función Logarítmica El logaritmo base b de un número real, mayor que cero, es la inversa de la función eponencial de base b. Algebraicamente el logaritmo base b se denota como log b (), y dado que esta función y la función eponencial con base a son inversas se puede afirmar que: y log b () sí y sólo sí b y La función se lee como logaritmo de en base b. Forma logarítmica Forma eponencial Cada ecuación logarítmica tiene asociada una ecuación o forma eponencial. Ejemplo: Dada la siguiente forma eponencial, escribe su forma logarítmica correspondiente: 5 Solución: Eponente log 8 8 Base Universidad CNCI de Méico

35 Taller de Matemáticas IV V Semana y Según la forma presentada anteriormente entre una epresión eponencial y una logarítmica, obtienes lo siguiente: log 5 Práctica 7 I. Representa en su forma eponencial o logarítmica, según sea el caso, cada una de las siguientes epresiones: ) 8 5 ) log ) y 8 ) log... La función logarítmica como inversa de la función eponencial Al realizar la prueba de la horizontal en la gráfica de la función eponencial comoo ésta la intercepta sólo una vez adviertes que posee una función inversa. La función logarítmica con base b f () log eponencial f() b b es la función inversa de la función, comoo puedes apreciarlo en el siguientee plano cartesiano: f() b - () log b f - A través de esta representación gráfica de la función logaritmo inversa de la función eponencial puedes apreciar sus característicass propias y su comportamiento en el 5 Universidad CNCI de Méico

36 plano cartesiano. A continuación, compara ambas gráficas y verifica tus conclusiones con las que se enlistan a continuación. Propiedades de la función logarítmica a) Si b<, la función es positiva para toda > y negativa para toda <. La función no está definida para valores negativos de. b) Si b>, la función es siempre creciente. Si crece, la y crece. c) Si b<, la función es negativa para toda >, y positiva para toda <. La función está definida para valores negativos de. d) Si b<, la función es siempre decreciente. Si crece, y decrece. e) Si b> ó b <, la gráfica intercepta al eje en (, ). El dominio de la función logarítmica Se refiere a los números reales positivos, es decir, D (, ). El rango de la función logarítmica Es el conjunto de todos los números reales, es decir, R (, ). Ejemplo : Traza la inversa de la función f() y de la función f() logaritmo. usando la definición de Solución: Para obtener la función inversa de f(), aplicas la función logaritmo y obtienes lo siguiente: De la función inicial y, y Despejas y obtienes: log y log / Lo epresas como la inversa de la función f () log f () log / 6 Universidad CNCI de Méico

37 Una vez que obtuviste la función inversa de f(), traza su gráfica. f() f - () log f() (/) f - () log / f() "" f() A través de estos dos ejemplos puedes observar claramente cómo se cumplen las propiedades enunciadas anteriormente sobre la función eponencial y logarítmica. Práctica 8 I. Traza la gráfica de cada una de las siguientes funciones. a. y + log b. y log c. y log ( ) d. y log ( ) II. Encuentra el valor de sin hacer uso de la calculadora. e. log 8 / f. log 8 / g. log 8 f() log "" f() f() (/) "" f() f() log / "" f() Universidad CNCI de Méico

38 Sesión 6 Los temas a revisar el día de hoy son:... Logaritmos comunes y naturales... Operaciones con logaritmos... Ecuaciones eponenciales y logarítmicas..6. Logaritmos comunes y naturales Las bases que son de mayor utilidad en la práctica son la base común, cuando b y la base natural, cuando b e (número e). La función logarítmica con base se escribe de la forma: f(x) log ; se denomina logaritmo común y usualmente se escribe como f() log, sin necesidad de epresar la base. Asimismo, la función logarítmica con base e se escribe de la forma f() log e ; se denomina logaritmo natural y usualmente se escribe como f() ln. Propiedades de los logaritmos naturales. ) ln, puesto que cero es la potencia a la cual debe elevarse el número e para obtener. ) ln e, puesto que es la potencia a la cual debe elevarse el número e para obtener e. ) ln e, puesto que es la potencia a la cual debe elevarse el número e para obtener e. Ejemplo: Solución: Traza la gráfica de la siguiente función f() ln( ) Según las propiedades de logaritmos, >, por lo que adviertes que el dominio de la función está determinado por <, y concluyes que la recta es una asíntota de la misma. 8 Universidad CNCI de Méico

39 f() ln ( ) "" f() indeterminado 6 5 f() ln( - ) Operaciones con logaritmos Antes de realizar cualquier operación entre funciones logarítmicas es importante que conozcas algunas de sus propiedades con respecto a algunas operaciones fundamentales. Propiedades de la función Logarítmica Propiedad Epresión simbólica ) El logaritmo de la base es siempre igual a. log a a ) El logaritmo de en cualquier base es. log a ) El logaritmo de un producto es igual a la suma de logaritmos. log a ( y) log a + log a y ) El logaritmo de un cociente es igual a la resta de logaritmos. log a (/y) log a log a y 5) El logaritmo de una potencia es igual al producto del eponente por el logaritmo de la base (este enunciado engloba al logaritmo de una raíz, entendida como una potencia de eponente fraccionario). Ejemplo: log a () p p log a n m log m n log Escribe la epresión dada como logaritmo de una sola cantidad. ln ln( + )] Solución: [ Aplicas las propiedades de los logaritmos para las operaciones fundamentales. 9 Universidad CNCI de Méico

40 Aplica la propiedad 5) en ambos logaritmos: Aplica la propiedad ): Aplica la propiedad 5): Según una de las leyes de eponentes: Simplifica: Listo! ln ln( + )] [ [ln ln( + ) ln ( + ) ln ( + ) ln ( + ) / / 6 / / ] ln ln ( + ) Ecuaciones eponenciales y logarítmicas Para resolver cualquier tipo de ecuaciones eponenciales o logarítmicas es importante que consideres las siguientes propiedades: Si f() b y g() log b, son funciones con base b>, entonces: Propiedades inversas: ) log b b hay que aplicar composición (g f) () ln e, si se cambia base b por base e. ) b log b hay que aplicar (f g) () e ln, si se cambia a por e. Propiedades uno a uno: ) y, sólo sí log b log b y, se dice que g es uno a uno ) y, sólo sí b b y, se dice que f es uno a uno Universidad CNCI de Méico

41 Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones: a) e b) ln 5 8 Solución: a) Para resolver la ecuación eponencial aplicas lo siguiente: Divide entre ambos miembros: Aplica el logaritmo natural: Aplica la propiedad inversa ): Divide entre ambos miembros: Aplica la función ln: Listo! e e / ln (e ) ln (/) ln (/) ½ ln(/). b) Para resolver la ecuación logarítmica aplicas lo siguiente: ln 5 8 Divide entre ambos miembros: Aplica la función eponencial: Simplifica: Divide entre 5: Realiza la operación: ln 5 e ln 5 e 5 e e /5,9 Listo! Universidad CNCI de Méico

42 Práctica 9 I. Resuelve las ecuaciones eponenciales que se dan a continuación. ) e ) ( + e ) 5 ) e ) e 5 5) 5 e 6) ( e /) 5 7) e 79 II. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. 8) ln 9) ln + ) log log ( + ) log ( + ) ) log log ( ) ) ln + ln ( + ) ) log log ( ) ½ ) log 6 5) ln Universidad CNCI de Méico