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Transcripción

1 Secretaría de Etensión Universitaria CONSIDERACION DE LAS FUNCIONES MÁS UTILIZADAS (Sus propiedades gráficos) FUNCION POLINOMICA O ENTERA (GENERAL) f = {(; )/ = a 0 + a 1 + a a a n 1 n 1 + a n n } con a 0, a 1,, a n R n Z 0 + Grado de una función polinómica: el grado de una función polinómica viene determinado por el maor eponente que se puede encontrar en ella. Función lineal f = {(; ) / = a 1 + a 0 } Es mu común el uso de la letra m para denotar la pendiente la letra b para el término independiente por lo que es usual encontrar la epresión = m + b forma conocida como pendiente ordenada al origen. Como su gráfico es una recta, bastará con conocer dos puntos pertenecientes a ella para poder trazar la curva puesto que dos puntos cualesquiera determinan una única recta a la cual pertenecen. Por lo tanto, conociendo dos puntos pertenecientes a la recta podemos conocer inequívocamente su ecuación: Sean P = ( 0 ; 0 ) Q = ( 1 ; 1 ) dos puntos pertenecientes a una misma recta, entonces la ecuación de la recta viene dada por: = A partir de la epresión anterior, se deduce que: 0 = ( 0 ) (1) El cociente del segundo miembro define la pendiente de la recta: la pendiente m de una recta no vertical que pasa por los puntos ( 0 ; 0 ) ( 1 ; 1 ) es: m = = , 0 1 (2) Se deduce entonces que también puede determinarse la ecuación de una recta conociendo únicamente un punto perteneciente a la misma si además se conoce la pendiente. En efecto, si la recta L pasa por el punto ( 0 ; 0 ) con pendiente m, entre (1) (2) podemos escribir la ecuación de la recta L como: 0 = m( 0 ) Forma conocida como punto-pendiente Ejemplo: Sea = Trace el gráfico de la función. Si = 2, = 3 si = 2, = 5. Por lo tanto los puntos ( 2; 3) (2; 5) pertenecen a la recta. 1

2 Secretaría de Etensión Universitaria Luego: (2;5) = 2 = 1 (-2;-3) La pendiente de la recta, indica la variación (incremento o disminución) de la variable dependiente por cada unidad que varía la variable independiente. La epresión (2) anterior, por ser un cociente de incrementos se denomina cociente incremental. Los pares ordenados ( 0 ; 0 ) ( 1 ; 1 ) pertenecen a la recta. Es decir que 1 = f( 1 ) e 0 = f( 0 ) Mediante una simple aplicación de la trigonometría de un triángulo rectángulo podemos advertir que m = tg(α), donde α es el ángulo que forma la recta con el eje. 7 B = 4 1 A α = 2 C Figura 1 Figura 2 Está claro que, dada la semejanza de triángulos que se advierte en la figura 2, no importa donde se tomen los respectivos incrementos de las variables e, el resultado del cociente incremental será siempre el mismo. Observemos que la figura muestra un incremento de 4 unidades para un incremento de 2, por lo cual la pendiente es m = = 2 4. Por otra parte los incrementos se = 4 2 corresponden con los catetos del triángulo rectángulo ABC. Luego: tan(α) = Cateto Opuesto Cateto Adacente = = m Entonces, para el ejemplo que hemos elegido, = 2 + 1, el ángulo de inclinación de la recta será: tan(α) = 2 α = Arctan(2)

3 Secretaría de Etensión Universitaria Resumen de las ecuaciones de la recta: Forma general o implícita: a + b + c = 0 Forma pendiente ordenada al origen (eplícita): = m + b Forma punto pendiente: 0 = m( 0 ) Forma dos puntos: = Función constante Un caso particular de la función lineal se presenta cuando m = 0. Es decir cuando la pendiente de la recta es igual a cero. Cómo se interpreta geométricamente m = 0? Significa que la recta no tiene inclinación alguna, por lo que se puede deducir que su gráfico es una recta horizontal, paralela al eje. Algebraicamente podemos llegar a la misma conclusión haciendo: m = tan(α) = 0 α = Arc tan (0) = 0, lo que naturalmente significa una recta horizontal. Si m = 0, la ecuación de la recta queda = b, ( = b para todo valor de ; es el resultado de hacer siempre = 0. + b). El gráfico será por lo tanto una recta horizontal, paralela al eje, en el valor b sobre el eje : b Función cuadrática (polinómica de grado 2) f = {(; ) / = f() = a 0 + a 1 + a 2 2 }, o bien = f() = a 2 + b + c Dónde: a: coeficiente principal (acompaña a la cuo grado determina la función, término cuadrático) b: coeficiente del término lineal (pues a compaña a la que se encuentra elevada a la uno, término lineal) c: término independiente (pues no tiene variable) El gráfico de una función cuadrática es una parábola geométricamente definida como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un recta llamada directriz un punto denominado foco 3

4 Secretaría de Etensión Universitaria El foco, la directriz el eje de simetría son elementos de la parábola, es decir conceptos que hacen a su definición esencia, pero no pertenecen a la curva. Desde el punto de vista funcional, los puntos (; f()) que componen el gráfico de la función son los que constituen la parábola en si (la curva formada por las ramas el vértice) El aspecto la ubicación de la parábola con respecto a los ejes, depende del valor de los coeficientes a, b c de la función. Cada uno de los coeficientes impacta de cierto modo en el gráfico de la función: Coeficiente principal, a : determina la concavidad (hacia arriba o hacia abajo) la amplitud en la apertura de las ramas de la parábola. Si a > 0: concavidad positiva o hacia arriba Si a < 0: concavidad negativa o hacia abajo A medida que a decrece la parábola es más abierta (las ramas se acercan al eje ) A medida que a aumenta la parábola se cierra (las ramas se acercan al eje ) Término independiente, c : determina el punto de corte de la parábola con el eje (cuando = 0, la función toma el valor c). Sobre la gráfica es el punto (0; c). El valor de c determina, por lo tanto, el desplazamiento vertical de la parábola. El efecto de c sobre la gráfica puede estudiarse considerando a = 1 b = 0 para aislar el valor de c de las influencias de los otros coeficientes. O sea, consideramos el caso: = 2 + c. Cuando = 0 es = c allí estará el vértice; por lo tanto el vértice se desplaza hacia arriba si c > 0 hacia abajo si c < 0. El desplazamiento del vértice fuere del eje queda reservado para los casos de b 0 Coeficiente del término lineal, b : determina el desplazamiento horizontal de la parábola. Intersecciones con los ejes Intersección con el eje : la parábola cortará al eje cuando = 0. Es decir que el punto de corte con el eje es el (0; f(0)). Reemplazando para obtener la imagen de 0: f(0) = a b. 0 + c = c Luego, el punto es (0; c). Intersección con el eje : los puntos de corte con el eje estarán en la raíces del polinomio. Algebraicamente se obtienen haciendo = 0, obteniendo los respectivos valores de. Luego los puntos de intersección con el eje tendrán la forma (; 0). 0 = a 2 + b + c Sabemos, por el Teorema Fundamental del Algebra, que la ecuación anterior tiene dos raíces (pudiendo, llegado el caso, ser iguales) disponemos de una fórmula para obtenerlas. Llamando 1 2 a las raíces del polinomio, tenemos que: 1, 2 = b ± b2 4ac 2a La epresión dentro del radicando se denomina discriminante se simboliza con al letra delta maúscula = b 2 4ac Inspeccionando un poco el discriminante observamos que: Si = 0 Raíces reales iguales Si > 0 Raíces reales distintas Si < 0 Raíces complejas conjugadas 4

5 Secretaría de Etensión Universitaria Coordenadas del vértice: V = ( v ; v ) Eiste una fórmula para calcular el valor de la abscisa del vértice (coordenada en ): v = b 2a Luego, para el valor de la ordenada (coordenada en ) simplemente se reemplaza el valor obtenido en la función: v = f ( v ) Formas factorizada canónica de la función cuadrática: En muchas ocasiones es importante factorizar la epresión de la función cuadrática pues la forma factorizada ofrece ricas alternativas en la interpretación de ciertas situaciones facilita el manejo algebraico de la función. Conociendo las raíces del polinomio (o ceros de la función) se puede factorizar la epresión de la función de la siguiente manera: Sea = a 2 + b + c con raíces 1, 2 entonces la Forma Factorizada de la función es: = a( 1 )( 2 ) Sea = a 2 + b + c con el vérticev = ( v ; v ) entonces la Forma Canónica de la función es: = a( v ) 2 + v Relación entre los coeficientes las raíces de la ecuación de segundo grado Eiste una relación entre los coeficientes a, b, c de la ecuación las raíces de la ecuación, descubierta por el matemático francés Francois Viète (o Vieta). Vieta probó que dada la ecuación a 2 + b + c = 0 con raíces 1, 2 se cumple que el producto de las raíces es igual al cociente c su suma igual al a cociente b.es decir: a = b a 1. 2 = c a Función cúbica (polinómica de grado 3) f = {(; ) / = a 0 + a 1 + a a 3 3 } Sin embargo, igual que en la función cuadrática, es común escribirla = a 3 + b 2 + c + d No vamos a considerar el efecto de todas las constantes, pero para los casos en que b = c = 0 ( = a 3 + d) concluimos que a d actúan de la misma forma que a c en la función cuadrática. Como toda función sin término independiente, cuando d = 0, la gráfica pasa por el origen aunque el vértice se haa desplazado. Por el T.F.A. el polinomio de tercer grado que define a esta función tiene tres raíces ( la función cúbica tendrá entonces tres ceros), por lo que la gráfica de una función cúbica puede cortar al eje en un máimo de tres puntos. No decimos eactamente en tres puntos, porque al igual que en la función cuadrática las raíces podrían coincidir, como en el caso de la función cúbica = 3 cuo gráfico se ve a continuación: 5

6 Secretaría de Etensión Universitaria = 3 Tres ceros, pero un solo punto de contacto con el eje a=1 a>1 a<0 a<1 Efecto del valor de a sobre la gráfica de la función. Funciones con tres raíces iguales (en = 0) Aclaración: técnicamente los valores que anulan un polinomio P() se denominan raíces los que anulan una función f() se llaman ceros, pero en ocasiones, no siendo tan importante la distinción, se suelen usar indistintamente ambos términos para uno otra. FUNCION RACIONAL (GENERAL) f = {(; ) / = P(), Q() 0}, donde P() Q() representan polinomios en. Q() De cualquier forma que venga dada, la función racional podrá epresarse como cociente de funciones enteras. Si el grado de P() es maor que el de Q() se suele descomponer la función en la suma de una función entera otra racional en la cual el grado del numerador sea menor que el del denominador. En efecto, si gr P() > gr Q() dividiendo los polinomios: Entonces: P() = Q(). C() + R(), reemplazando en la epresión de la función: Q().C()+R() = = C() + R(), donde C() es entera R() de grado menor que Q() Q() Q() 6

7 Secretaría de Etensión Universitaria Se debe tener cuidado al buscar los ceros de una función racional. Como el denominador no puede ser cero, las raíces de la función provendrán de igualar a cero el numerador despejar los valores de (P() = 0 =? ). Pero una vez obtenidos dichos valores deberemos verificar que no anulen el denominador, pues los valores que así lo hacen no pertenecen al dominio de la función. Por lo tanto, los ceros de una función racional serán los valores que anulen el numerador no el denominador. Por otro lado, los valores que anulan el denominador no el numerador se denominan polos de la función e indican la presencia de asíntotas verticales. Función Homográfica Es un caso especial de función racional donde tanto el numerador como el denominador son polinomios de primer grado (ecuaciones lineales): = a + b, con a, b, c, d R; c 0 cb ad c + d Si c = 0, estaríamos en presencia de una función lineal = a d + b d Si cb = ad, tampoco tendríamos una función homográfica; se verá mejor con un ejemplo: = = (2 + 3) = 1 3 El gráfico general de una función homográfica se denomina una hipérbola es como sigue: FUNCIONES TRASCENDENTES En este apartado estudiaremos únicamente las funciones eponencial logarítmica dejando para otro momento las circulares (trigonométricas) sus inversas. Función Eponencial f = {(; )/ = a } con a > 0 a 1 En la le de correspondencia, a es una constante positiva distinta de 1. La función está definida para todos los reales es siempre positiva (una potencia de base positiva arroja siempre un resultado positivo independientemente del eponente).cualquiera sea el valor de a, la curva pasa por el punto (0; 1). 7

8 Secretaría de Etensión Universitaria > 1 para > 0 Para a > 1, f() < 1 para < 0 > 1 para < 0 Para a < 1, f() < 1 para > 0 a<1 a>1 Independientemente del valor de a, cuando =0 la función toma el valor 1, por lo que una función eponencial siempre pasa por el punto (0; 1) A medida que a crece las ramas de la gráfica se acercan más rápidamente a los ejes: a creciente a creciente a<1 a>1 Además, siempre, uno de los semiejes de es asíntota horizontal de la función pues una potencia de base positiva puede acercarse infinitamente a cero pero nunca llegará a él: Si a > 1 el semieje ( ) de las es A.H de la función (cuando tiende a infinito negativo) Si a < 1 el semieje (+) de las es A.H de la función (cuando tiende a infinito positivo) Podemos obtener rápidamente el dominio la imagen de la función eponencial: Dom = R Im = R + Algunas funciones eponenciales de aparición frecuente son: = e e = e Función Logarítmica f = (; )/ = log a } con a > 0 a 1 La función presentada es la inversa de la función eponencial, por lo cual es lógico que coincidan las restricciones para a en la definición. Recordemos la definición del logaritmo en base a del número : log a b = c a c = b Si a > 1 la imagen crece al crecer, mientras que si a < 1 la imagen decrece al crecer 8

9 Secretaría de Etensión Universitaria a > 1 Dom = Im = R + R a < 1 Véase que, como la función logarítmica es la inversa de la eponencial (definiendo esta última de R : R + ), el dominio de una es la imagen de la otra viceversa, como vimos al estudiar la función inversa. Funciones logarítmicas habituales son: = ln (logaritmo natural o neperiano, de base e) e = log (logaritmo decimal o de base 10). A continuación se muestran, en un mismo gráfico, las curvas de la función eponencial logarítmica (con a > 1) para que el lector pueda apreciar la simetría que eiste entre ellas respecto de la recta = por ser una inversa de la otra: a con a>1 Las funciones inversas son simétricas con respecto a la recta = (función identidad) log a Función Valor absoluto o Módulo f = (; )/ = } De acuerdo con la definición de valor absoluto para los números reales es: si 0 = { si < 0 9

10 Secretaría de Etensión Universitaria Su gráfico es: Función definida por intervalos o por partes Corresponde a una función que posee una le de correspondencia distinta para distintos intervalos de definición: f() Función definida en tres partes. Para cada uno de los intervalos correspondencia es diferente. la le de h() a b c d Por supuesto no ha restricciones para la cantidad de intervalos en los que se define la función, los tres que incluimos en la definición son sólo a modo de ejemplo. Al considerar el dominio de un función definida por partes se deberá prestar atención a los etremos de los intervalos de definición además de a las distintas lees de correspondencia, a que ningún etremo podría ser cerrado en dos intervalos distintos salvo que las respectivas imágenes coincidiesen. Es decir, sea por ejemplo: Entonces, si f(b) g(b), no sería función pues = b tendría dos imágenes. 10

11 Secretaría de Etensión Universitaria Función signo Corresponde a una función definida por partes: el intervalo ( ; 0), 0 el intervalo (0; + ). Su gráfica es como se muestra a continuación: