Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA

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1 Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una recta que tiene pendiente a y ordenada al origen b. Vamos a presentar ahora las funciones cuadráticas. Se trata de las funciones cuya ecuación es un polinomio de segundo grado, es decir, f ( ) a + b + c, donde a 0, y su dominio es el conjunto de los números reales. La función cuadrática más sencilla es y, cuando a, b0 y c0. La representación gráfica de esta función es la siguiente: y Observemos en el gráfico, que el menor valor que toma y es 0 cuando 0, y que y no puede tomar valores negativos puesto que es de la forma y. En consecuencia, la imagen de esta función es [ ) Im( ) 0, f +. El gráfico que representa a las funciones cuadráticas se llama parábola, en la que distinguimos vértice y eje de simetría.el vértice es el punto donde la función alcanza su máimo o su mínimo valor. En el ejemplo dado, el vértice es el punto (0, 0) y es el mínimo valor que alcanza la función.el eje de simetría es una recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola. Éste divide a la parábola en dos ramas simétricas. En el ejemplo anterior el eje de simetría es la recta vertical 0 o el eje y. Las ramas de la parábola están orientadas hacia las y positivas (hacia arriba). Podemos ver gráficamente que la función y es decreciente en (-, 0) y creciente en (0, + ).

2 Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FORMAS POLINÓMICA Y CANÓNICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Cuando la epresión algebraica de la función cuadrática es f ( ) a + b + c recibe el nombre de forma polinómica de la función.otra manera de epresar la función cuadrática es la que se conoce como forma canónica de la función cuadrática, y es ( ) ( ) f a h + k. A partir de la forma polinómica de la función cuadrática se puede llegar a la forma canónica de varias maneras, veamos una de ellas a partir de un ejemplo: Ejemplo: Sea f ( ) la forma polinómica de una función cuadrática. Se quiere epresarla como ( ) ( ) f a h + k, donde el valor de a es el mismo que el a de la forma polinómica, en este caso a, entonces se debe buscar el valor de h y de k. Partiendo de ( ) ( ) f h + k, desarrollando el cuadrado del binomio se tiene:. Luego aplicando propiedad distributiva: (), donde. En la epresión polinómica dada,, luego: Con los valores de a, h y k, podemos escribir la función cuadrática en su forma canónica: [ ] f ( ) ( ) ( + ). Si queremos pasar de una epresión canónica a una polinómica, procedemos de la siguiente manera: Ejemplo: Sea la función cuadrática g ( ) ( ) 5, escribirla en su forma polinómica. Para ello, desarrollamos el binomio y luego aplicamos propiedad distributiva: ( ) g ( ) g ( ) + 7 GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Analicemos el gráfico de una función cuadrática a partir de su epresión canónica ( ) f ( ) a h + k y veamos qué sucede al variar los parámetros a, h y k. Dijimos anteriormente, que la función cuadrática más sencilla es y, o sea donde a y hk0. Vimos también que en este caso el vértice es el (0, 0) y que la recta 0 es el eje de simetría. Consideremos ahora funciones cuadráticas de la forma f ( ) a, donde a toma distintos valores, no solamente el, como lo vemos en el siguiente gráfico donde están

3 Matemática - º Cuatrimestre Año 0 representadas, además de y, las funciones: y (a); y(/) (a/); y- (a-); y- (a-); y-(/) (a-(/) Observemos en el gráfico que: Vértice: (0, 0) Eje de simetría: la recta 0, es decir el eje y. Si a >0: las ramas de la parábola se orientan hacia las y positivas (hacia arriba). la función decrece en el intervalo (-.0) y crece en (0, + ). Si a <0: las ramas de la parábola se orientan hacia las y negativas (hacia abajo). la función crece en el intervalo (-.0) y decrece en (0, + ). Si ahora suponemos a y k 0, entonces la función cuadrática resulta de la forma f ( ) h. ( ) En el siguiente gráfico se pueden observar la parábolas que resultan de hacer h0, h y h- Observemos en el gráfico que: Si h > 0 la parábola se desplaza sobre el eje, hacia las positivas (a la derecha). Si h < 0 la parábola se desplaza sobre el eje, hacia las negativas (a la izquierda). Veamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función : Crece en (-, + ) y decrece en (-,-). Para la función, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: Crece en (, + ) y decrece en (-, ). Supongamos ahora que a y h 0, entonces la función tiene la forma f ( ) + k.

4 Matemática - º Cuatrimestre Año 0 4 En el siguiente gráfico se pueden observar la parábolas que resultan de hacer k0, k, k5, k y k -5. Observemos en el gráfico que: Si k > 0 la parábola se desplaza sobre el eje y, hacia las y positivas (hacia arriba). Si k < 0 la parábola se desplaza sobre el eje y, hacia las y negativas (hacia abajo). Observando los gráficos de estas funciones vemos que en todos los casos los intervalos de crecimiento son (0, + ) y de decrecimiento (-, 0). Tomando como referencia a la parábola y podemos obtener el gráfico de cualquier función cuadrática teniendo en cuenta la siguiente conclusión: Dada la forma canónica de una función cuadrática f ) a( h) + k (, se tiene que: El valor de a indica la amplitud y el sentido de las ramas de la parábola. El valor de h indica el desplazamiento horizontal (izquierda-derecha) de la parábola. El valor de k indica el desplazamiento vertical (arriba-abajo) de la parábola. Vimos que el vértice de la parábola y es el punto (0, 0). Ahora, teniendo en cuenta los desplazamientos analizados podemos inferir que el vértice de una función cuadrática de la forma f ( ) a( h) + k es el punto (h, k), ya que todos los puntos de su gráfica están desplazados h unidades en la dirección del eje de las y k unidades en la dirección del eje de las y. El eje de simetría es la recta vertical de ecuación: h. Por lo visto, es claro que para graficar una función cuadrática es útil que su epresión analítica esté en la forma canónica, así ubicamos el vértice, el eje de simetría, y según a sea positivo o negativo, las ramas están orientadas hacia arriba o hacia abajo. Como lo muestra el siguiente gráfico que representa a la función f() ( - ) -, donde a, h y k -:

5 Matemática - º Cuatrimestre Año 0 5 y Eje de simetría y ( ) RAÍCES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Al igual que las raíces (o ceros) de una función lineal, las raíces de una función cuadrática son los valores de que anulan la función, es decir verifican la ecuación f ( ) a + b + c 0. Gráficamente los puntos (, 0), con raíz de la función, son los puntos de intersección entre la gráfica de la función y el eje. Para encontrar los valores de que hacen cero a la función (los puntos de intersección con el eje ), debemos resolver una ecuación polinómica de grado, es decir una ecuación de la forma: a + b + c 0, y para resolverla se utiliza la fórmula conocida como fórmula de Bascara : b ± b 4ac a Esta fórmula resuelve la ecuación completa de do grado, donde las dos raíces se obtienen considerando respectivamente, el signo + o el signo - que afecta al radical, es decir: b + b a 4ac b b a 4ac En general se tiene que: Si el radicando b - 4ac, llamado también discriminante, es positivo las dos raíces son reales y distintas. Si b - 4ac es igual a cero, las raíces son iguales. Si b - 4ac es negativo, no tiene raíces reales. Ejemplo: Consideremos la función g ( ) + y busquemos cuáles son sus raíces. Para ello debemos resolver la ecuación + 0 y para ello resolvamos aplicando la fórmula de Bascara:

6 Matemática - º Cuatrimestre Año 0 6, ± 4 ( ) ± 4 Luego, las raíces son: y Por lo tanto, como se puede observar en el siguiente gráfico, los puntos de intersección de la función g () con el eje están dados por (, 0) y (, 0). y y + (, 0) (, 0) Hemos visto que una ecuación de segundo grado puede tener raíces reales distintas, sola raíz real o no poseer raíces reales, es decir puede intersecar al eje en dos puntos, en uno sólo o en ningún punto. De acuerdo a esta conclusión resuelva los siguientes ítems: ) Escriba la ecuación de una función cuadrática con una sola raíz real y realice su gráfico. ) Escriba la ecuación de una función cuadrática con dos raíces y realice su gráfico. ) Escriba la ecuación de una función cuadrática que no posea raíces reales y realice su gráfico.

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