Función cuadrática. Ecuación de segundo grado completa

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1 Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así, ax 2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta. Ecuación de segundo grado completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero. Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es ax 2 + bx + c = 0 Ecuación de segundo grado incompleta Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero. (Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0 que no es una ecuación de segundo grado.) La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es: ax 2 = 0 ; si b = 0 y c = 0. ax 2 + bx = 0 ; si c = 0. ax 2 + c = 0 ; si b = 0.

2 ax2 = 0 Por lo tanto, las ecuaciones de la forma ax 2 = 0 tienen como solución única x = 0 ax 2 + bx = 0. Sacando factor común x en el primer miembro, resulta: x (ax + b) = 0. Para que un producto de dos factores x y (ax + b), dé como resultado cero, uno de ellos debe ser cero: En consecuencia, las ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0 tienen dos soluciones: ax 2 + c = 0. raiz cuadrada de un numero negativo. La raiz es imaginaria. Representación gráfica de una función cuadrática Una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

3 Estas características o elementos son: -Orientación o concavidad (ramas o brazos) -Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces) -Punto de corte con el eje de ordenadas -Eje de simetría -Vértice Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ): Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 3x 5 Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = 3x 2 + 2x + 3 Además, cuanto mayor sea a (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

4 Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X) Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse. Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0. Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos ax² + bx +c = 0 Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula: Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos: -Que corte al eje X en dos puntos distintos -Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) -Que no corte al eje X Esta característica se puede determinar analizando el discriminante. En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b 2 4ac) sea positivo o cero. El radicando b 2 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

5 Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee: Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones. Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución. Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución. En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones. Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a b la raíz y lo dividimos por 2a. Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). Veamos: Representar la función f(x) = x² 4x + 3 ( El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3 ) Representar la función f(x) = x² 4x 3 ( El eje de las ordenadas (Y) está cortado en 3 ) Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

6 Eje de simetría o simetría Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría. El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola. Su ecuación está dada por: Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola. De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola: Vértice Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas: La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)

7 EJEMPLOS: 6x x 2 = 9 Hacemos los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: x 2 + 6x 9 = 0. Ahora se identifican las letras: a = 1 ; b = 6 ; c = 9 ; y se aplica la fórmula: El discriminante (Δ) es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x 1 = x 2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: = 18 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta. Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadráticas hay que entender la lógica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuación. Hay que destacar que sólo la experiencia mejora los resultados. Problema 1 La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo: x = Primer número y = Segundo número Como la suma de ambos es 10 x + y = 10 y la suma de sus cuadrados es 58 x 2 + y 2 = 58

8 Para entenderlo mejor: Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene x. entonces: x + y = 10 y = 10 x y la suma de sus cuadrados es 58 x 2 + y 2 = 58 x 2 + (10 x ) 2 = 58 Esta es la ecuación a resolver Para hacerlo, aplicamos algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la fórmula conocida. Vemos que la operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común que los estudiantes escriban: (a b) 2 = a 2 b 2 lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a b) 2 = a 2 2 a b + b 2 Desarrollando la ecuación se tiene: x x + x 2 = 58 x x + x 2 = 58 Ordenando y agrupando: 2x 2 20 x+ 42 = 0 (ahora como todos los terminos son multiplos de 2, se puede simplificar) Dividiendo entre 2 toda la ecuación: x 2 10x + 21 = 0 Ahora podemos aplicar la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y llegaremos a x 1 = 7 y x 2 = 3

9 Los números buscados son 7 y 3 (en vez de aplicar la formaula general, tambien se puede factorar) Ecuacion x 2 10x + 21 = 0 Factores ( x 7 ) ( x 3 ) = x 2 10x + 21 = 0 - el primer termino en ambos factores es x - el signo que separa los terminos que estan dentro del primer factor es el signo del 2 termino de la ecuacion - el signo que separa los terminos que estan dentro del segundo factor es el producto de los signos del primer y segundo termino de la ecuacion. Signos distintos da signos iguales da + por + = + por = + por + = + por = + - el 2 termino de los factores son numeros que multiplicados entre si den el tercer termino de la ecuacion y sumados entre si den el 2 termino de la ecuacion. (el de mayor valor absoluto es el segundo termino del primer factor)

10 teniendo los factores ( x 7 ) ( x 3 ) y sabiendo que la ecuacion se puede igualar a cero x 2 10x + 21 = 0 entonces: ( x 7 ) ( x 3 ) = 0 como los factores estan multiplicando, si uno de los 2 es cero el resultado sera cero... ( cualquier numero multiplicado por cero da como resultado cero ) x 7 = 0 x = 7 x 3 = 0 x = 3 y encontramos las raices de esta ecuacion... x 1 = 7 x 2 = 3 ahora para hallar el valor de y solo hay que reemplazar el valor de x resumen: Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c tambien conocida como ecuacion cuadratica ecuacion de la forma: ax 2 + bx + c = 0 formula ecuacion de la forma: x 2 + bx + c = 0 formula ecuacion de la forma: ax 2 + bx = 0 formula ecuacion de la forma: ax 2 + c = 0 formula ecuacion de la forma: ax 2 = 0 formula

11 Creado por Alberto Pizarro 08/09/ webcindario.com 4370.mforos.com descarga: fuentes: Algebra, Aurelio Baldor.

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