ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA

Transcripción

1 ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA La pendiente es un número que indica lo inclinado (o plano) de una recta, al igual que su dirección (hacia arriba o hacia abajo) de izquierda a derecha. Queda determinada por la entre dos puntos cualesquiera de una recta. razón cambio vertical cambio horizontal En el caso de rectas con pendiente ascendiente de izquierda a derecha, el signo de la pendiente es positivo. En el caso de rectas con pendiente descendiente de izquierda a derecha, el signo de la pendiente es negativo. Cualquier ecuación lineal epresada como = m + b, donde m b son números reales, se considera en Forma pendiente-ordenada al origen. m es la pendiente de la recta. b es el punto de corte con el eje, es decir, el punto (0, b) es donde la recta corta (cruza) el eje. Cuando dos rectas tienen la misma pendiente, se dice que son paralelas. De igual modo, si dos rectas son paralelas, tienen la misma pendiente. En otras palabras, las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es. Las pendientes de las rectas perpendiculares son el recíproco negativo de la otra, es decir, m. m Nótese que m ( ) m =. Ejemplos:,, Dos rectas sobre una superficie plana que no son paralelas se cruzan en un único punto. Ejemplo 7 Grafica la ecuación lineal = +. 7 Utilizando =m + b, la pendiente de = + es 7 7 el punto de corte con el eje es el punto (0, ). Para graficar la recta, comienza con el punto de corte con el eje, (0, ). Recuerda que la pendiente es cambio vertical de modo que cambio horizontal debes subir unidades (a que es positivo) desde (0, ) luego moverte 7 unidades a la derecha. Esto te da un segundo punto del gráfico, (7, 6). Para crear un gráfico, dibuja una recta que atraviese ambos puntos CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

2 Ejemplo Una recta tiene una pendiente de atraviesa el punto (, ). Cuál es la ecuación de la recta? Utilizando =m + b, escribe = + b. Ya que (, ) representa un punto (, ) en la recta, reemplaza por e por, luego calcula el valor de b. Esto se muestra en los cálculos de la derecha. Dado que b =, la ecuación es =. Ejemplo 9 () = () + b = + b 9 = b b = Decide si las dos rectas de la derecha son paralelas, perpendiculares, o de otro tipo (es decir, si se cruzan o no). = 6 + = Primero calcula la pendiente de cada ecuación luego compara ambas pendientes. = 6 + = = 6 = + 6 = = + + = = + La pendiente de esta recta es. La pendiente de esta recta es. Estas dos pendientes no son iguales, de modo que las rectas no son paralelas. Se cruzan. El producto de estas dos pendientes es, no, de modo que no son perpendiculares. Ejemplo Escribe la ecuación de las rectas que atraviesan el punto (, ) que son una paralela una perpendicular a la recta = +. Para la recta paralela, utiliza = m + b con la misma pendiente para escribir = + b. Reemplaza la por el punto (, ) calcula el valor de b. = ( ) + b = 0 + b b = Por consiguiente, la ecuación de la recta paralela que atraviesa (, ) es =. Para la recta perpendicular, utiliza = m + b donde m es el recíproco negativo de la pendiente de la ecuación original para escribir = + b. Reemplaza el punto (, ) calcula el valor de b. Por consiguiente, la ecuación de la recta perpendicular que atraviesa (, ) es = +. Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 6 8 = ( ) + b = + b b =

3 Problemas Identifica el punto de corte con el eje de cada ecuación.. =. =. + =. =. = 6. = Escribe la ecuación de la recta con: 7. Una pendiente = que atraviese el punto (, ). 8. Una pendiente = que atraviese el punto (, ). 9. Una pendiente = que atraviese el punto (, ). 0. Una pendiente = que atraviese el punto (, ). Determina la pendiente de cada recta utilizando los puntos resaltados.... Determina la ecuación de cada recta utilizando el punto de corte con el eje Grafica las siguientes ecuaciones lineales en una hoja cuadriculada. 8. = + 9. = 0. =. = = 6 0 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

4 Decide si las rectas en cada par a continuación son paralelas, perpendiculares o de otro tipo.. = e = +. = + e =. = + = 6. = e + = 7. + = 6 e = 8. + = 6 + = 6 9. = = + 0. = = + 7 Escribe la ecuación de una recta que atraviese el punto dado sea paralela a la recta dada.. = (, ). = + (, ). = (, ). = (, ). + = 6 (, ) 6. + = 6 (, ) 7. = (, ) 8. = (, ) Escribe la ecuación de una recta que atraviese el punto dado sea perpendicular a la recta dada. 9. = (, ) 0. = + (, ). = (, ). = (, ). + = 6 (, ). + = 6 (, ). = (, ) 6. = (, ) Escribe la ecuación de una recta paralela a la recta dada que atraviesa el punto incluido (,8) (-,) - (-8,6) (7,) (-,) - - (-,-7) - 9. Escribe la ecuación de la recta que atraviesa el punto (7, 8) es paralela a la recta que atraviesa los puntos (, ) (8, ). 0. Escribe la ecuación de la recta que atraviesa el punto (, ) es paralela a la recta que atraviesa los puntos (, 7) (, ). Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 6

5 Respuestas. (0, ). (0, ). (0, 6). (0, ). (0, ) 6. (0, 6) 7. = + 8. = 9. = + 0. = =. = + 6. = + 7. = + 8. pendiente =, 9. pendiente =, punto de corte punto de corte con el eje (0, ) con el eje (0, ) 0. pendiente =,. pendiente = 6, punto de corte punto de corte con el eje (0, 0) con el eje (0, ). pendiente, punto de corte con el eje (0, 6). paralela. perpendicular. perpendicular 6. perpendicular 7. paralela 8. intersecta 9. intersecta 0. paralela. = +. = +. = +. = +. = + 6. = + 7. = 9 8. = 9. = = 6. = +. =. = +. = 7 7. = + 8. = +. = + 9. = + 6. = = CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

6 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Puedes hallar el punto en el que dos líneas se intersectan (se cruzan) usando métodos algebraicos. Los dos métodos más comunes son el Método de sustitución el Método de eliminación (también conocido como método de la suma). Ejemplo Resuelve el sistema de ecuaciones de la derecha usando el Método de sustitución. Verifica tu solución. Para resolver un sistema de ecuaciones debes hallar los valores de e que generan enunciados verdaderos al sustituirlos en ambas ecuaciones. Ya que ambas ecuaciones se encuentran en forma (es decir que a ha sido despejada), sabemos que =, podemos reemplazar el lado derecho de ambas ecuaciones por para crear la simple ecuación = escribir + =. Luego, hallamos como se ve a la derecha. Recuerda que debes hallar los valores de e. Para hallar, usa cualquiera de las dos ecuaciones originales. Sustitue el valor de en la ecuación calcula el valor de. = + = + = 8 + = 8 = 6 = = + = ( ) + = 9 La solución parece ser (, 9). Para que esta sea la solución, debe hacer ambas ecuaciones verdaderas al sustituir por e por 9. Sustitue los valores en ambas ecuaciones para verificarlos. Por lo tanto, (, 9) es la solución. = + 9 =? ( ) + 9 =? = 9 Verificado! = 9 =? ( ) 9 =? 6 9 = 9 Verificado! Ejemplo El Método de sustitución también puede ser usado cuando las ecuaciones no se hallan en forma. Resuelve el sistema de ecuaciones de la derecha usando el Método de sustitución. Verifica tu solución. = + = Reescribe ambas ecuaciones como ( + ) = reemplazando con ( + ), luego halla como se muestra abajo a la derecha. Substitue = en = +. Halla, escribe los valores de e como un par ordenado, (, ). Substitue = en = para verificar que cualquiera de las ecuaciones originales puede ser usada para hallar la segunda coordenada. Verifica tu respuesta de la misma forma en que lo hicimos en el Ejemplo. = + ( ) = ( +) = = Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 6

7 Ejemplo Cuando tienes un par de ecuaciones con dos variables, a veces es más fácil eliminar una de las variables para obtener una ecuación de una sola variable. Puedes hacer esto sumando las dos ecuaciones como se muestra en el ejemplo a continuación. Resuelve el sistema de la derecha. + = = Para eliminar los términos con, suma las dos ecuaciones halla. Una vez que conocemos el valor de podemos sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el valor correspondiente de. A la derecha se muestra la primera ecuación. Verifica la solución sustituendo e con los valores hallados en la otra ecuación original. = = = Verificado! + = + = = = + = () + = 0 + = = Ejemplo Puedes resolver el sistema de ecuaciones de la derecha usando el Método de eliminación, pero antes de eliminar una de las variables debes ajustar los coeficientes de una de las variables de forma que estas se conviertan en opuestos aditivos. Para eliminar, multiplica la primera ecuación por la segunda ecuación por para obtener las ecuaciones de la derecha. Luego elimina los términos con sumando las dos ecuaciones nuevas. Ya que =, substitue por en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar que =. La solución al sistema de ecuaciones es (, ). + = + = = 8 6 = = = 8 = También podrías resolver el sistema multiplicando la primera ecuación por la segunda ecuación por para eliminar, luego continuar en la forma indicada anteriormente para hallar el valor de CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

8 Problemas Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones para hallar el punto de intersección (, ) de cada par de rectas.. = 6. =. = 7 + = = + = +. = + 0. = = 7 = 6 = = 8 7. = 8. = + 9. = + 0 = = 6 + = 0 0. =. = +. = 0 = + = = 0. + =. = 6. + = 7 = = = 6. = = 0 8. = 6 + = 0 = = = 0. + =. + = 0 = = =. = 7. =. = 6 + = 8 = = Respuestas. (9, ). (, 7). (, ). (, ). (, ) 6. (, ) 7. (, ) 8. ( 7,) 9. (0, ) 0. (6,.6). (, ). ( 0., ). (8, ). (, 0). (,.) 6. (, ) 7. (, ) 8. (, 6) 9. (, 7) 0. (7, ). ( 0.,.). ( 7, ). (8, ). (, 0) 9 9 Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 67

9 DESIGUALDADES LINEALES Para graficar una desigualdad lineal, primero grafica la recta que representa la igualdad correspondiente. Esta recta es conocida como la recta de frontera, a que todos los puntos que hacen que la desigualdad sea verdadera se encuentran de uno u otro lado de la recta. Antes de graficar la recta de frontera, decide si es parte de la solución o no, es decir, si la recta debe ser sólida o punteada. Si el símbolo de desigualdad es o, la recta de frontera es parte de la desigualdad debe ser sólida. Si el símbolo es < o >, la recta de frontera no es parte de la desigualdad debe ser punteada. Luego, decide qué lado de la recta de frontera debe ser sombreado para mostrar las coordenadas (puntos) del gráfico que hacen que la desigualdad sea verdadera. Para ello, elige un punto que no sea parte de la recta. Substitue las coordenadas del punto en la desigualdad original. Si la desigualdad es verdadera para este punto, sombrea el gráfico de ese lado de la recta. Si la desigualdad es falsa para este punto, sombrea el gráfico del lado opuesto de la recta. Nota: si la desigualdad no se halla en forma pendiente-ordenada al origen debes hallar, usa siempre la desigualdad original para probar un punto, no la ecuación en forma. Ejemplo Grafica la desigualdad >. Primero, grafica la recta =, pero grafícala como una recta punteada, a que el signo > significa que la recta de frontera no es parte de la solución. Luego, prueba el punto (, ) a la izquierda de la recta de frontera. (, ) > ( ), así que > 8 Ya que la desigualdad es verdadera para este punto, sombrea el gráfico del lado izquierdo de la recta de frontera CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

10 Ejemplo Grafica el sistema de desigualdades + e >. (, ) Grafica las rectas = + e =. La primera recta es sólida, la segunda es punteada. Prueba el punto (, ) en la primera desigualdad. Este punto hace que la desigualdad sea falsa, así que sombrea el lado de la recta opuesto al que contiene el punto (, ). Prueba el mismo punto en la segunda desigualdad. Este punto hace que la desigualdad sea verdadera, así que sombrea el lado de la recta que contiene el punto (, ). La solución es la sección en la que las dos regiones sombreadas se superponen, que ha sido sombreada con un color más oscuro en el segundo gráfico de arriba. Problemas Grafica cada una de las siguientes desigualdades en distintos grupos de ejes > + 6. < + 7. < 8. > >. 8. > < 0. > Grafica cada uno de los siguientes pares de desigualdades en el mismo grupo de ejes.. > e +. 6 e >. + e +. < 7 e > +. < e + 6. e < Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 69

11 Escribe una desigualdad para cada uno de los gráficos dados a continuación Respuestas CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

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14 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Podemos usar rectángulos genéricos como modelos de área para hallar los productos de dos o más polinomios. Un rectángulo genérico nos auda a organizar el problema. No es necesario que lo dibujemos con precisión o a escala. Ejemplo Multiplica ( + )( + ) ( + )( + ) = + + área como producto área como suma Ejemplo + 9 Multiplica ( + 9)( + ) Por lo tanto ( + 9)( + ) = = Ejemplo La Propiedad distributiva puede ser utilizada para multiplicar binomios sin necesidad de recurrir a un modelo de área. Esta estrategia consiste en multiplicar cada uno de los términos del primer binomio por cada uno de los términos del segundo binomio luego hallar la suma. Para recordar los cuatro pasos, algunos usan el acrónimo P.E.I.U., que significa Primero, Eterno, Interno, Último, en referencia a las posiciones de los términos de los dos binomios. Multiplica ( )( + ) utilizando el método P.E.I.U. P. multiplica los PRIMEROS términos de cada binomio ()() = E. multiplica los términos EXTERNOS ()() = I. multiplica los términos INTERNOS ( )() = 8 U. multiplica los ÚLTIMOS términos de cada binomio ( )() = 0 Finalmente, agrupamos los términos semejantes: = Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 7

15 Problemas Calcula cada uno de los siguientes productos.. ( + )( + 7). ( + )( + ). ( )( + ). (a )(a + 7). (m )(m + ) 6. ( )( + ) 7. ( )( + ) 8. (a )(a ) 9. ( )( + ) 0. (t )(t + ). ( ). ( ). ( + ). (n + ). ( )( + + ) 6. ( + 7)( + ) 7. ( + 7)( + ) 8. ( )( 7 + ) 9. ( + )( 7 + ) 0. ( + )( + ) Respuestas a + 0a 7. m a a t n + 0n CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

16 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Es mu común que debamos multiplicar o factorizar un polinomio P(). Este proceso implica hallar una constante /u otro polinomio que divida el polinomio dado en partes iguales. En términos matemáticos formales, esto significa que P() = q() r(), donde q r también son polinomios. En álgebra elemental, ha tres tipos generales de factorización.. Término común (hallar el máimo factor común): = 6( + ) done 6 es un factor común de ambos términos. 8 0 = ( ) donde es el factor común. ( ) + 7( ) = ( )( + 7) donde es el factor común.. Productos especiales a b = (a + b)(a b) = ( + )( ) 9 = ( + )( ) + + = ( + ) = ( + ) + = ( ) = ( ) a. Trinomios de forma + b + c donde el coeficiente de es. Considera + (d + e) + d e = ( + d)( + e), donde el coeficiente de es la suma de dos números, d e, el término constante es el producto de los mismos dos números, d e. Una forma de determinar rápidamente todos los pares de enteros que podrían ser los valores de d e es factorizar la constante del trinomio original. Por ejemplo, es, 6,. Los signos de los números se determinan por la combinación necesaria para obtener la suma. El método de factorización de trinomios de suma producto es igual al método por el cual se resuelve un Problema de diamante (eplicado más adelante) = ( + )( + ); + = 8, = = ( )( + ); + =, = 7 + = ( )( ); + ( ) = 7, ( )( ) = El método de suma producto puede ser visualizado usando rectángulos para crear un modelo de área. La figura de abajo a la izquierda muestra el formato de Problema de diamante usado para hallar la suma el producto. A continuación se indica cómo usar este método para factorizar ( + )( + ) La eplicación los ejemplos continúan en la página siguiente Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 7

17 Continuación de la eplicación los ejemplos de la página anterior. b. Trinomios de forma a + b + c donde a. Observa que el valor superior en el diamante a no es la constante sino el producto de a c, es decir, el coeficiente de la constante multiplicar 6?? 7 A continuación se muestra el proceso de factorización de ?? 6 6 7?? 6?? ( )( ) Los polinomios con cuatro términos o más suelen ser factorizados agrupando los términos usando uno o más de los tres procedimientos eplicados anteriormente. Observa que los polinomios suelen ser factorizados completamente. En el segundo ejemplo del punto (), el trinomio también debe ser factorizado. Entonces, la forma completamente factorizada de 8 0 = ( ) = ( )( + ) ( + )( + ) Problemas Factoriza completamente cada uno de los siguientes polinomios: CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

18 Factoriza completamente Factoriza completamente los siguientes polinomios usando el método de diamante modificado Respuestas. ( + 6)( 7). ( 9). ( + )( + ). ( + )( + ). ( + )( ) 6. ( )( + ) 7. ( ) 8. 7( )( + ) 9. ( + 9) 0. ( + 7)( ). ( + 7). ( 8)( + ). ( )( + ). ( + ). ( )( ) 6. ( + )( ) 7. ( + 9) 8. ( 6) 9. ( 9)( + 6) 0. ( 7). ( + )( + 6). ( + )( ). ( 7). ( + )( + ). ( ) 6. ( + 8) 7. ( + 8) 8. ( )( + ) 9. ( 6)( + ) 0. ( 7)( ). ( + )( ). ( )( + ). ( + )( ). ( )( + ). ( )( + ) 6. ( )( + ) ( + ) 7. ( + 7)( ) 8. ( )( ) 9. ( + )( + ) 0. ( )( ). ( + )( + ). (6 + )( + ). (8 + ). (7 + )( ). ( )( + ) Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 77

19 GRAFICACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS Y LA PROPIEDAD DE PRODUCTO CERO Si a b = 0, entonces a = 0 o b = 0. Observa que esta propiedad establece que al menos uno de los factores debe ser cero. Este simple enunciado nos da un poderoso resultado que se usa frecuentemente con ecuaciones que incluen productos de binomios. Por ejemplo, resuelve ( + )( ) = 0. Dada la Propiedad de producto cero, a que ( + )( ) = 0, o bien + = 0 o bien = 0. Así, = o =. La Propiedad de producto cero puede usarse para hallar los puntos en los que una función cuadrática atraviesa el eje. Estos puntos son los puntos de corte con el eje. En el ejemplo anterior, si = ( + )( ), los puntos de corte con el eje serían (, 0) (, 0). Ejemplo Dónde cruza = ( + )( 7) el eje? Ya que = 0 en el eje, ( + )( 7) = 0 la Propiedad de producto cero nos dice que = o = 7, así que = ( + )( 7) cruza el eje en (, 0) (7, 0). Ejemplo Grafica = 6. Ya que hallaste los puntos de corte con el eje en el Ejemplo, a conoces dos puntos del gráfico. Crea una tabla de valores para hallar puntos adicionales Ejemplo Dónde cruza = 6 el eje? Primero factoriza 6 a ( + )( ) para obtener = ( + )( ). Dada la Propiedad de producto cero, los puntos de corte con el eje son (, 0) (, 0). Ejemplo Grafica > 6. Primero grafica = 6. Usa una curva punteada. Luego elige un punto que no sea parte de la parábola substitúelo en la desigualdad. Por ejemplo, usar el punto (0, 0) en > 6 da por resultado 0 > 6, que es un enunciado verdadero. Esto significa que (0, 0) es una solución a la desigualdad al igual que todos los puntos dentro de la curva. Sombrea el interior de la parábola CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

20 Problemas Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la Propiedad de producto cero.. ( )( + ) = 0. ( + )( + 6) = 0. ( 8)( ) = 0. 6 = 0. ( )( + ) = 0 6. ( )( + ) = = 0 8. = Usa la factorización la Propiedad de producto cero para hallar los puntos de corte con el eje de las parábolas a continuación. Epresa tu respuesta como uno o más pares ordenados. 9. = + 0. = 0 +. =. =. = + 8. = = = 9 Grafica las desigualdades dadas a continuación. Asegúrate de utilizar un punto de prueba para determinar qué región debes sombrear. Las soluciones a los problemas anteriores pueden serte de auda. 7. < + 8. > > < Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 79

21 Respuestas. =,. = 0,, 6. = 8,. = 0.7,. = 0., 6. = 0,, 7. =, = 8. =., = 9. (, 0), (, 0) 0. (, 0). (, 0), (, 0). (, 0), (, 0). (, 0), (, 0). (, 0). (, 0) 6. (, 0), (, 0) CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría

22 LA FÓRMULA CUADRÁTICA En ejemplos anteriores usamos la factorización la Propiedad de producto cero para resolver ecuaciones cuadráticas. Puedes resolver cualquier ecuación cuadrática usando la Fórmula cuadrática. Si a + b + c = 0, entonces b± b ac a =. Por ejemplo, supón que = 0. Aquí, a =, b = 7, c = 6. Substituir estos valores en la fórmula nos da por resultado: (7) ± 7 ()( 6) (7) ± ± 7 () 6 6 = = = Recuerda que la raíz cuadrada de puede ser un número positivo un número negativo. El signo ± representa este hecho respecto de la raíz cuadrada de la fórmula nos permite escribir la ecuación una vez (que representa dos soluciones posibles) para usarla más adelante en el proceso de resolución. Divide el numerador en los dos valores: = + 7o = Entonces, la solución de la ecuación cuadrática es: = o Ejemplo Resuelve + = 0 usando la Fórmula cuadrática. Primero identifica los valores de a, b, c. En este caso son,,, respectivamente. Luego, sustitue estos valores en la Fórmula cuadrática. () ± ()( ) ± 7 = = () Luego divide el numerador en los dos valores: = + 7 o = 7 Luego, podemos usar una calculadora para hallar la solución de la ecuación cuadrática, que es: 0.6 o.6 Guía para padres con práctica adicional 0 CPM Educational Program. All rights reserved. 8

23 Ejemplo Resuelve + = usando la Fórmula cuadrática. Para resolver una ecuación cuadrática, esta debe ser primero igual a cero. Reescribe la ecuación como + = 0. Identifica los valores de a, b, c:,,, respectivamente. Substitue estos valores en la Fórmula cuadrática: ± ()( ) ± 6 ± 8 () 8 8 = = = Divide el numerador en los dos valores: = + 8o.., así que = o. 8 Problemas Usa la Fórmula cuadrática para resolver las siguientes ecuaciones:. 6 = = = = = = 0 7. = 0 8. = = = = 0. = = 0. + = = 6. 6 = = 0 8. = = 0 0. = Respuestas. =,. =,. = 7, 6. =, 8. =, 6. =, 6 7. =, 8. =, 9. =, 0. =,. =, 7. = 6. = 9± 7 8. =, 0± 80 ± 0. = 0, = 0. = ± 6± 6 8± 9 6, = 7. =, 0 8. =, 0 9. =, 0. = ± 8 0 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Geometría