SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES

Transcripción

1 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES.. Para simplificar epresiones racionales, halla factores iguales en el numerador y el denominador, y escríbelas como fracciones iguales a. Por ejemplo: 6 6 = = = 3 3 = Las epresiones racionales a continuación no pueden ser simplificadas para hacerlas iguales a (ni a ningún otro valor): y 3 3 Como puedes ver en los ejemplos a continuación, la mayoría de los problemas que incluyen la simplificación de epresiones racionales requieren que factorices el numerador y el denominador. Observa que en todos los casos asumimos que el denominador no es igual a cero, así que en el ejemplo 4 la simplificación solo es válida si 6 o. Para más información, observa los ejemplos y del recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección..3. Los siguientes ejemplos muestran otra situación especial: = = ( ) Nuevamente, parte de la base de que el denominador no es igual a cero. Ejemplo ya que = 3 3 = Ejemplo 6 3 y 5 y 4 3 y 5 3 y y 5y Ejemplo 3 3 ( ) ( ) 4 3( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) 3 4( ) () ya que 3 3, ( ) ( ), y = Ejemplo ( ) ( ) ya que ( ) ( ) = 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

2 Capítulo Problemas Simplifica completamente cada una de las epresiones a continuación. Parte de la base de que el denominador no es igual a cero ( 5) ( ) ( y 6) ( 6 y) y 4 6 y ( 5 ) ( ) ( + 5) 4 ( ) ( +) ( +) Respuestas. 4. ( + 3) ( y + 6) y ( 5 ) ( + 5) ( 4 ) 6. ( 4) ( y 6) ( 6 y) y y + 6 ( 5 ) 4 ( 3 ) ( 5) 4 ( 3 ) ( ) ( 3) 3 5( + 3) 8( y + 6) y ( ) ( ) ( 7 ) ( 7) ( + 3) 4 ( + 3) 4 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( +) ( + 3) 3 5( + ) ( ) ( + 3) ( 3 ). ( 3 ) ( +) ( + 5) ( +) Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.. DE EXPRESIONES RACIONALES La multiplicación o división de epresiones racionales sigue los mismos procedimientos utilizados con las fracciones numéricas. Sin embargo, suele ser necesario factorizar los polinomios para simplificarlos. Al igual que en la sección anterior, recuerda que la simplificación supone que el denominador no es igual a cero. Para más información, consulta los ejemplos 3 y 4 del recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección..3. Ejemplo Multiplica + 6 ( + 6) y simplifica el resultado. Después de factorizar, la epresión se convierte en: Después de multiplicar, reordena los factores: Ya que ( + 6) + 6 = y ( + ) =, simplifica: ( + ) ( + 6) + 6 ( + 6) ( + 6) + 6 ( + 6)( + ) ( + )( ) ( + 6) ( + 6) ( ) ( + ) + Ejemplo Divide y simplifica el resultado. Primero convierte la epresión en una multiplicación invirtiendo la segunda fracción: Después de factorizar, la epresión se convierte en: Reordena los factores (de ser necesario): Ya que ( 5) ( 5) = y ( ) ( ) =, simplifica: ( 5) ( + ) ( ) ( ) ( + 6) ( ) ( 5) ( + 3) ( 5) ( 5) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + 6) ( + 3) ( + ) ( ) ( + 6) ( + 3) o ( +) ( + 6) ( ) ( + 3) 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

4 Capítulo Problemas Multiplica o divide cada par de epresiones racionales a continuación. Simplifica el resultado. Parte de la base de que el denominador no es igual a cero ( 4) y + y y 3. y y w y y y + y 4. y y y + y 4 y 4y Respuestas ( + 3) y w y 4. (y + 3)(y 6) Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

5 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES..3 La suma o resta de epresiones racionales sigue los mismos procesos que las fracciones numéricas simples. Primero, determina un denominador común (de ser necesario). Luego, reescribe las fracciones originales como fracciones equivalentes con el denominador común. En tercer lugar, suma (o resta) los nuevos numeradores, y deja el denominador común. Finalmente, factoriza el numerador y el denominador y reduce la epresión (de ser posible). Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección..4. Observa que estos pasos solo son válidos si el denominador no es igual a cero. Ejemplo El mínimo común múltiplo de (n + ) y n(n + ) es n(n + ). 3 (n + ) + 3 n(n + ) Para obtener un denominador común, en la primera 3 fracción, multiplica la fracción por n =. Multiplica la n segunda fracción por. (n + ) n n + 3 n(n + ) Reescribe ambos términos con el denominador común. Suma, factoriza, y simplifica el resultado. = 3n n(n + ) + 6 n(n + ) = 3n + 6 3(n + ) n(n + ) n(n + ) 3 n Ejemplo ( ) + (3 + 6) ( + 4) + 4 Ejemplo ( ) ( ) ( ) ( ) (3 6) ( ) ( )( ) 4 ( )( ) 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

6 Capítulo Problemas Suma o resta cada epresión a continuación y simplifica el resultado. En cada caso, parte de la base de que el denominador no es igual a cero ( ) ( + 3) + ( ) ( + 3) b + b b + b a 5a + a a 5a + a b 6 ( + 3) + ( + 3) a a + 6a 3 3a a a + a + + a + a + a + b a + b + a + b a + b ( 7) Respuestas a () 5 +0 = ( 4) ( +) 3 4 4(5 + 6) ( 4) b 3 b 3 9 a ( 7) ( + 7) = ( 3) ( ) = a ( 7) = ( 4) = Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

7 SISTEMAS DE TRES ECUACIONES....4 Esta sección comienza con los alumnos utilizando la tecnología para eplorar la graficación en tres dimensiones. Al utilizar las mismas estrategias que utilizaron para graficar en dos dimensiones, los alumnos amplían sus conocimientos para trazar puntos en tres dimensiones y graficar planos representados por ecuaciones de tres variables. Esto genera una intersección entre planos, y que se utilice el álgebra para hallar el punto de intersección del sistema de tres ecuaciones con tres variables. Para mayor información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas en las Lecciones..3 y..4. Ejemplo Grafica el punto en 3D y la ecuación a continuación. (3, 4, 5) + 3y + 4z = 4 Si bien vivimos en un mundo tridimensional, visualizar objetos tridimensionales en una hoja de papel bidimensional no es tarea fácil. En clase, los alumnos utilizaron la computadora para ayudarles a visualizar los gráficos. (Pueden acceder al software en casa ingresando a Los alumnos comienzan trazando puntos sobre los ejes como se muestra a la derecha. Como ocurre al trazar puntos en dos dimensiones, cada número de la coordenada nos indica cuánto desplazarnos en cada dirección. El diagrama de la derecha solo muestra la dirección positiva de cada eje; estos ejes se etienden también en dirección negativa. z y Para marcar el punto (3, 4, 5), hay que moverse 3 unidades por eje, 4 unidades por la dirección del eje y, y luego 5 unidades en la dirección del eje z. Puede ser útil pensar en el punto como la esquina de una caja más alejada al origen. Esta caja imaginaria está levemente sombreada en el gráfico de arriba. Para graficar la ecuación con tres variables en el gráfico tridimensional, podría ser de gran ayuda determinar los pountos de corte con cada eje. Esto se hace dejando que las diferentes variables sean iguales a cero, lo cual nos permite determinar los puntos de corte con los ejes, y, y z. + 3y + 4z = = 0, y = z, z = 3 = 0, z = y + 0 =, y = 4 y = 0, z = =, = 6 z Al marcar estos puntos de corte, se puede ver cómo el plano corta este cuadrante del espacio. El plano sombreado continúa; no se detiene en el borde del triángulo. y 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

8 Capítulo Ejemplo Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas. Eplica qué dice la solución sobre los gráficos de cada ecuación. + y 3z = 3 3y + z = + y + 4z = 7 Antes de comenzar, es útil recordar cómo resolver dos ecuaciones con dos incógnitas. Si una ecuación se escribió en forma y =, es posible sustituir la y por la epresión en la otra ecuación. En otros casos, las ecuaciones pueden ser sumadas o restadas para eliminar una variable. A veces, es necesario multiplicar una ecuación por un número antes de sumar o restar. En cualquiera de los procedimientos, el objetivo siempre es el mismo; eliminar la variable. + y 3z = 3 + y + 4z = 7 y + z = 6 Al sumar la primera y la tercera ecuación del sistema, se elimina la. El problema es que sigue habiendo dos variables. Ahora usa otro par de ecuaciones para eliminar. Hay distintas formas de hacerlo. Una forma es multiplicando la segunda ecuación por y sumando el resultado a la tercera ecuación. ( 3y + z = ) 6y + z = 4 + y + 4z = 7 5y + 6z = 49 Ahora hay dos ecuaciones de dos variables. Usa el sistema más simple para calcular y y z. 6 (y + z = 6) y 6z = 36 5y + 6z = 49 7y y = 5 = 85 Sustituye los valores de y y z en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular el valor de. y = 5 y + z = 6 (5) + z = z = 6 z = 4 y = 5, z = 4 3y + z = 3(5) + ( 4) = 5 4 = = La solución a este sistema es (, 5, 4), lo que indica que los tres planos se intersecan en un punto. Esta solución se puede verificar sustituyendo los valores de, y, y z en las ecuaciones originales. Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

9 Ejemplo 3 Pizza Planet vende tres tamaños de pizzas combinadas. Pequeña (diámetro de 8") $8.50 Mediana (diámetro de 0") $.50 Grande (diámetro de 3") $7.50 Supón que el precio de la pizza puede modelarse o representarse con una función cuadrática, donde el precio depende del diámetro de la pizza. Si Pizza Planet está considerando vender una pizza combinada Etra Grande, con un diámetro de 8", cuánto costaría esa pizza? Si quisieran vender una pizza combinada a $50.00, cuál debería ser su diámetro? Si representa el diámetro de la pizza en pulgadas, e y representa el costo de la pizza en dólares, los tres puntos de datos son (8, 8.50), (0,.50), y (3, 7.50). Utiliza esos tres puntos de la ecuación en forma estándar de las funciones cuadráticas, y = a + b + c. Sustituye las variables por los puntos de datos en la ecuación. (8, 8.50) 8.50 = a(8) + b(8) + c 8.50 = 64a + 8b + c (0,.50).50 = a(0) + b(0) + c.50 = 00a + 0b + c Esto nos da las tres ecuaciones que se muestran a la derecha. (Para mejor referencia, hemos numerado las ecuaciones). Ahora, esto es similar al último ejemplo, debemos resolver tres ecuaciones con tres incógnitas. Las incógnitas aquí son a, b, y c (en lugar de, y, y z). (3, 7.50) 7.50 = a(3) + b(3) + c 7.50 = 69a + 3b + c 8.50 = 64a + 8b + c ().50 = 00a + 0b + c () 7.50 = 69a + 3b + c (3) Comenzamos multiplicando la ecuación () por para eliminar c al sumar pares de ecuaciones. Combinar la nueva ecuación () con la ecuación () arroja 3 = 36a + b. Combinar la ecuación (3) con la nueva ecuación () arroja 6 = 69a + 3b. Para resolver el nuevo sistema y calcular a y b, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por, y sumamos los resultados. Una vez que calculamos a, debemos sustituir esta variable por su valor en una de las ecuaciones para hallar el valor de b. El ejemplo continúa en la página siguiente 3 = 36a + b ( 3) 9 = 08a 6b 6 = 69a + 3b = 38a + 6b 3 = 30a a = 3 30 = 0 a = 0 3 = 36a + b + b 3 = = b 0.6 = b b = 0.3 = CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

10 Capítulo Continuación del ejemplo de la página anterior. Por último, utilizamos los valores de a y b para determinar el valor de c. Usa cualquiera de las ecuaciones originales. Si usamos la ecuación (): a = 0, b = = 64a + 8b + c + 8 ( 3 ) + c 8.50 = = c 8.50 = 4 + c c = 4.50 Ahora que conocemos los valores de a, b, y c, la ecuación que modela este dato es: y = Utilizamos esta ecuación para determinar el costo de una pizza combinada de 8 pulgadas de diámetro. = 8 y = y = 0 (8) 3 (8) y = y = $3.50 Por lo tanto, una pizza combinada de 8 pulgadas debería costar $3.50. Cuál debería ser el tamaño de una pizza que cuesta $50.00 para ajustarse a estos datos? Para responder, debemos suponer que y = 50, y calcular. Para llegar a la solución habrá que resolver una ecuación cuadrática. Si bien hay distintas formas de resolver ecuaciones cuadráticas, en este caso el mejor enfoque es usar la Fórmula cuadrática. Para comenzar, multiplicamos todo por 0 para eliminar las fracciones y decimales. 50 = = = 0 = 3± ( 3) 4()( 455) () 3± 9+80 = 3± Por lo tanto, para vender una pizza a $50.00, Pizza Planet debe hacer una pizza con un diámetro aproimado de.89 pulgadas. Un diámetro de 3 pulgadas sería suficiente! Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

11 Problemas Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones para, y, y z. Eplica qué te dice la respuesta sobre los gráficos de las ecuaciones.. 3 y + z = y + 5z = 5 + y + z = y z = 5 3 y + 3z = 7 5y + 3z = z = y z = 4 3y + z = 8 3y 4z = 4 5y = 7 + y + z = y 4 + z = 4 + y 3 + z 4 = y + z 3 = y + 4z = y + 0z = y z = 0 7. Halla la ecuación de la parábola que pasa por los tres puntos (, 3), (0, 0), y (, ). 8. Halla la ecuación de la parábola que pasa por los tres puntos (, 8), (7, 6), y (0, 33). 9. Un estudio reciente contó el número de veces dentro de un período de 4 horas que la gente malinterpretó o comprendió mal un enunciado, comentario o pregunta. El estudio ofrece los números que se muestran a continuación. Edad (años) Malinterpretaciones o errores de comprensión Halla la ecuación que mejor se ajuste a estos datos. Utiliza tu ecuación para predecir cuántas veces una persona de 80 años malinterpretará o entenderá mal un enunciado, comentario, o pregunta en un periodo de 4 horas. Qué hay de una persona de un año? Qué edad tienen las personas que mejor entienden las consignas? 0. En el tiro con arco, la flecha parece viajar en línea recta cuando se lanza. Sin embargo, la flecha en realidad tiene un recorrido levemente ascendente antes de volver a curvarse hacia abajo en dirección al suelo. Para un arquero en particular, la flecha comienza a 5.4 pies sobre el nivel del sueldo. Después de 0.3 segundos, la flecha está a una altura de 5.5 pies sobre el nivel del suelo. La flecha llega al blanco después de un total de.0 segundos a una altura de 5.0 pies sobre el suelo. Halla la ecuación particular que modela estos datos. 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

12 Capítulo Respuestas. (3,, 4), estos tres planos se intersecan en un punto.. (, 5, ), estos tres planos se intersecan en un punto. 3. (3,,.5), estos tres planos se intersecan en un punto. 4. Sin solución (dos de estos planos son paralelos). 5. (36, 4, ), estos tres planos se intersecan en un punto. 6. Infinitas soluciones. Las tres ecuaciones representan el mismo plano. 7. y = y = La ecuación que se ajusta a estos datos es y = Según este modelo, una persona de 80 años tendría 68 errores de comprensión en un período de 4 horas. Una persona de un año tendría aproimadamente 96 errores. La edad que mejor entiende las consignas sería la edad ubicada en el vértice de la función. El vértice se ubica en (45, 9), por lo tanto, a los 45 años se encuentra el número más bajo con solo 9 errores. 0. y Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

13 PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT. Si b + 4 =, entonces (b ) = a. 6 b. 5 c. 36 d. 49 e. 64. Supongamos que P y Q representan dígitos en el problema de adición de la derecha. Cuál debería ser el dígito Q? 5P +P4 3Q a. 0 b. c. d. 3 e Si 3 4 = 9, entonces = a. b. 3 c. 5 d. 8 e Cuando un número positivo n se divide por 7, el resto es 6. Cuáles de las epresiones a continuación arrojarán un resto de al dividirse por 7? a. n + b. n + c. n + 3 d. n + 4 e. n Cuántos números de 4 dígitos tienen el dígito de los miles igual a y el dígito de las unidades igual a 7? a. 00 b. 99 c. 00 d. 500 e En la figura de la derecha, donde < 6, cuál es el valor de + 36? a. 0 b. 50 c. 00 d. 600 e CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

14 Capítulo 7. La medida de los ángulos de un triángulo en grados puede epresarse mediante la razón de 5:6:7. Cuál es la suma de las medidas de los dos ángulos más grandes? a. 0 b. 0 c. 30 d. 60 e Si r 3 = 7, cuál es el valor de r? 0 9. Si p y q son dos números primos diferentes mayores de, y n = pq, cuántos factores positivos, incluidos y n, tiene n? 0. Si ( ) = a 3 + b + c + d para todos los valores de, cuál es el valor de a + b + c + d? Respuestas. B. A 3. A 4. B 5. A 6. B 7. C 8. r = Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.