TRANSFORMACIONES DE f (x) = x Ejemplo 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TRANSFORMACIONES DE f (x) = x 2 9.1.1 9.1.2. Ejemplo 1"

Transcripción

1 Capítulo 9 TRANSFORMACIONES DE f () = A fin de lograr un buen dominio de la modelación de datos relaciones en situaciones cotidianas, los alumnos deben ser capaces de reconocer transformar los gráficos de distintas funciones. Los alumnos comenzarán modelando datos obtenidos al pesar discos con distintos radios. Luego investigarán cómo transformar funciones cuadráticas descubrirán formas de desplazar estirar verticalmente parábolas modificando sus ecuaciones. También aprenderán a graficar una función cuadrática en forma de graficación sin crear una tabla. En cursos futuros, los alumnos transformarán otros tipos de funciones. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 A la derecha, puedes ver el gráfico de f () = 2. Eplica en qué se diferenciarán los gráficos de las funciones dadas a continuación de este gráfico original. g() = 2 2 h() = ( + 3) 2 j() = 2 6 k() = l() = 3( 2) Todas las funciones anteriores tienen algo en común: todas son funciones cuadráticas, todas formarán una parábola al graficarlas. La única diferencia estará en la dirección de apertura (arriba o abajo), la forma (comprimida o estirada verticalmente), /o la ubicación del vértice. El 2 en g() = 2 2 le hace dos cosas a la parábola. El signo negativo cambia la dirección de la parábola, que se abrirá hacia abajo. El 2 estira el gráfico lo hace parecer más delgado. El gráfico de h() = ( + 3) 2 tendrá la misma forma que el de f () = 2, abierto hacia arriba, pero se encontrará 3 unidades a la izquierda. El gráfico de j() = 2 6 también tendrá la misma forma que f () = 2, abierta hacia arriba, pero se desplazará 6 unidades hacia abajo. La función k() = no se desplaza, también se abre hacia arriba, pero el 1 4 comprimirá la parábola verticalmente, la hará parecer más ancha. La última función, l() = 3( 2) 2 + 7, combina todas estas transformaciones. El 3 estira el gráfico verticalmente (lo hace más delgado) hace que se abra hacia arriba, el 2 lo desplaza a la derecha 2 unidades, el + 7 lo desplaza hacia arriba 7 unidades. Puedes ver todos estos gráficos a la derecha. Une cada función con la parábola correcta. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

2 Ejemplo 2 Cuál es el vértice de la parábola de cada una de las funciones cuadráticas dadas a continuación? f () = 2( + 4) g() = 5( 8) 2 h() = En una función cuadrática, el vértice es el punto de ubicación. Nos da un punto de partida para graficar la parábola rápidamente. El vértice de la función cuadrática en forma de graficación, f () = a( h) 2 + k, es el punto (h, k). En la función f() = 2( + 4) 2 + 7, h = 4 k = 7, así que el vértice es ( 4, 7). Ya que g() = 5( 8) 2 también puede escribirse como g() = 5( 8) 2 + 0, el vértice es (8, 0). Reescribe h() = como h() = 3 5 ( 0)2 2 5 podrás ver que su vértice es (0, 2 5 ). Problemas Describe la transformación, grafica halla el vértice de las siguientes funciones cuadráticas: 1. = 2( 1) = ( + 5) = ( + 2) = 2( + 6) 2 1 Respuestas 1. Vértice: (1, 3) Parábola abierta hacia abajo, estirada verticalmente, con su vértice desplazado 1 unidad a la derecha 3 unidades hacia arriba. 2. Vértice: ( 5, 6) Parábola con su vértice desplazado 5 unidades a la izquierda 6 unidades hacia abajo. 3. Vértice: ( 2, 25) 4. Vértice: ( 6, 1) Parábola con su vértice desplazado 2 unidades a la izquierda 25 unidades hacia abajo. Parábola estirada verticalmente, con su vértice desplazado 6 unidades a la izquierda 1 unidad hacia abajo CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

3 Capítulo 9 FORMA DE GRAFICACIÓN Y COMPLETAR CUADRADOS En la Lección 9.1.3, los alumnos aprenderán que, cuando la ecuación de una parábola está escrita en forma de graficación, f () = ( h) 2 + k, su vértice puede ser identificado como (h, k). Por ejemplo, en el gráfico de f () = ( + 3) 2 1, el vértice de la parábola se encuentra en ( 3, 1). Cuando la ecuación de la parábola se encuentra en forma estándar, f () = a 2 + b + c, podemos usar el proceso de completar cuadrados para reescribir la ecuación en forma de graficación. Podemos usar azulejos algebraicos para visualizar el proceso. Para revisar este proceso, consulta la sección Resolver completando el cuadrado del Capítulo 5 de esta Guía para padres con práctica adicional. Ejemplo 1 Completa cuadrados para reescribir f () = en forma de graficación. Identifica el vértice el punto de corte con el eje, grafica la parábola. Mueve el término constante al otro lado de la ecuación: f () 2 = Identifica el valor que debes sumar a ambos lados de la ecuación para convertir en un cuadrado perfecto, elevando al cuadrado la mitad del coeficiente término : 5 2 Suma 25 4 a ambos lados de la ecuación: f () = ( ) 2 = 25 4 ( ) 2 Simplifica el lado izquierdo factoriza el trinomio del lado derecho: f () = Esto puede reescribirse como: f () = ( ) Ahora la función se encuentra en forma de graficación. El vértice es ( 5 2, 17 4 ) o ( 2.5, 4.25). El punto de corte con el eje es el punto donde = 0. Substitue por 0 en la ecuación original: f (0) = (0) + 2 = 2; el punto de corte con el eje es (0, 2). Usa el vértice el punto de corte con el eje para graficar la función. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

4 Ejemplo 2 Completa cuadrados para reescribir f () = en forma de graficación e identifica el vértice de la parábola. f () = f () 15 = Mueve el término constante al otro lado. f () = Suma el cuadrado de la mitad del término a ambos lados. ( ) 2 f () + 1 = Simplifica el lado izquierdo de la ecuación. f () + 1 = ( + 4) 2 Factoriza el lado derecho de la ecuación. f () = ( + 4) 2 1 Mueve el término constante de vuelta al lado derecho. Por lo tanto, la ecuación en forma de graficación es f () = ( + 4) 2 1. El vértice se encuentra en (h, k) = ( 4, 1). Problemas Completa cuadrados para reescribir la ecuación de cada función en forma de graficación. Luego menciona el vértice de cada parábola. 1. f () = f () = f () = f () = f () = f () = f () = f () = f () = f () = Respuestas 1. f () = ( + 3) 2 2; ( 3, 2) 2. f () = ( + 2) 2 + 7; ( 2, 7) 3. f () = ( + 5) 2 25; ( 5, 25) 4. f () = ( + 3.5) ; ( 3.5, 10.25) 5. f () = ( 3) 2 ; (3, 0) 6. f () = 2 + 3; (0, 3) 7. f () = ( 2) 2 4; (2, 4) 8. f () = ( + 1) 2 4; ( 1, 4) 9. f () = ( ) ; ( 5 2, 21 4 ) 10. f () = ( 1 6 ) ; ( 1 6, 1 36 ) 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

5 Capítulo 9 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Eisten varios métodos para resolver desigualdades cuadráticas con una variable, pero un método que funciona con muchos tipos de desigualdades consiste en transformar la desigualdad en una ecuación, resolverla, graficar las soluciones en una recta numérica. Las soluciones a la ecuación, llamadas puntos frontera, dividen la recta numérica en regiones. Al probar un número de cada región en la desigualdad original, podemos determinar si los números en esa región son soluciones. Los puntos frontera pueden ser parte de la solución ( o ) o no (> o <), dependiendo del signo de desigualdad. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Resuelve: < 0 Conviértela en una ecuación resuelve = 0 ( 6)( + 3) = 0 = 6 o = 3 (los puntos frontera) Si probamos = 4, 0, 7 en la desigualdad original, = 4 es falso, = 0 es verdadero, = 7 es falso. Ejemplo 2 Resuelve: m Conviértela en una ecuación resuelve. m 2 3 = 1 m 2 = 4 m = ±2 (el punto frontera) Si probamos m = 3, 0, 3 en la desigualdad original, m = 3 es verdadero, m = 0 es falso, m = 3 es verdadero. falso verdadero falso La solución son todos los números maores a 3 menores a 6, lo que se escribe como 3 < < 6. verdadero falso verdadero La solución son todos los números menores o iguales a 2 o todos los números maores o iguales a 2, lo que se escribe como m 2 o m 2. Problemas Resuelve las siguientes desigualdades: < > < < < < > (7 26) 8 Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

6 Respuestas 1. 4 < < 2 2. < 0 o > < < < < 4 5. < 7 o > o < < 2 9. todos los números ecepto RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES En esta lección los alumnos se concentrarán en qué significa una solución a un sistema de ecuaciones, tanto algebraicamente como gráficamente. También aplicarán lo que saben sobre la resolución de sistemas lineales para resolver sistemas con funciones cuadráticas. Ejemplo 1 Usa los gráficos de la parábola = la recta = a la derecha. La parábola la recta se cruzan dos veces, generando dos puntos de intersección: ( 3, 8) (4, 6). También puedes hallar los puntos de corte resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicamente. Para resolver el sistema de ecuaciones, usa el Método de igualación de sistema de ecuaciones (de Core Connections en español, Matemática Integrada I) o el de sustitución = Suma /o resta términos semejantes en ambos lados de la ecuación para igualar uno de los lados a cero, luego factoriza usando la Propiedad de producto cero para calcular (también puedes usar la Fórmula cuadrática) = 0 ( 4)( + 3) = 0 = 4 o = 3 Substituir = 4 en cualquier ecuación arroja = 6, así que (4, 6) es una solución al sistema. Substituir = 3 en cualquier ecuación arroja = 8, así que ( 3, 8) es una solución al sistema CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

7 Capítulo 9 Ejemplo 2 Resuelve el sistema de ecuaciones de la derecha sin graficarlo. Eplica qué te dice la solución sobre el gráfico del sistema. = 2( 2) = Ambas ecuaciones están escritas en forma =, así que puedes resolverlas usando el método de sustitución. 2( 2) = ( 2) 2 = ( ) = = = = 0 ( 6)( + 1) = 0 = 6 o = 1 Sustitue cada valor de en cualquiera de las ecuaciones para hallar el valor correspondiente de. Puedes usar cualquiera de las ecuaciones. Aquí usaremos la más simple. = 6, = = 2(6) + 15 = = 3 Solución: (6, 3) = 1, = = 2( 1) + 15 = = 17 Solución: ( 1, 17) Finalmente, debemos probar cada punto en ambas ecuaciones para verificar nuestro trabajo. (6, 3): = 2( 2) = 2(6 2) = 2(16) + 35 (6, 3): = = 2(6) + 15 ( 1, 17): = 2( 2) = 2( 1 2) = 2(9) + 35 ( 1, 17): = = 2( 2) + 15 Al resolver estas dos ecuaciones con dos incógnitas hallamos dos soluciones, ambas funcionan en las ecuaciones originales. Esto significa que los gráficos de las ecuaciones, una parábola una recta, se intersecan en eactamente dos puntos distintos. Esta solución puede ser confirmada graficando los gráficos correspondientes. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

8 Problemas Resuelve los sistemas de ecuaciones a continuación algebraicamente. Qué te dicen las soluciones sobre el gráfico del sistema? 1. = = = ( + 1) = = 3( 4) 2 2 = = 0 = ( 4) = = = = = = = = = = = = Respuestas 1. Todos los números reales. Al graficarlas, estas ecuaciones producen la misma recta. 3. No tiene solución. La parábola la recta no se intersecan. 5. ( 1 3, ); las parábolas se intersecan una sola vez. 7. (2, 5) (3, 5); las parábolas se intersecan dos veces. 9. (1.5, 4); las parábolas se intersecan una sola vez. 2. (0, 4); la parábola la recta se intersecan una sola vez. 4. (2, 2) and (5, 5); la recta la parábola se intersecan dos veces. 6. (3, 0); las parábolas se intersecan una sola vez. 8. No tiene solución. Las parábolas no se intersecan. 10. ( 4, 0) (0, 4); las parábolas se intersecan dos veces CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

9 Capítulo 9 TASA DE CAMBIO PROMEDIO En cursos de matemáticas anteriores, los alumnos aprendieron que las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante igual que se corresponde con la pendiente de una recta. En la Lección 9.3.1, aprenderán a calcular la tasa de cambio promedio de una función no lineal en un intervalo dado. La tasa de cambio promedio se calcula hallando la pendiente entre dos puntos del gráfico de la función. Si la pendiente representa una distancia por tiempo, la tasa de cambio promedio describe la velocidad promedio. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Usa los datos en la tabla de la derecha que indican la posición de un objeto en momentos dados, para calcular la tasa de cambio promedio durante los siguientes periodos: a. 0.0 a 1.0 segundos b. 1.0 a 2.0 segundos c. 2.0 a 2.5 segundos d. 2.5 a 3.0 segundos e. 3.0 a 4.0 segundos f. En qué periodo se mueve más rápido el objeto? En qué periodo se mueve más lento? En qué momento cambia de dirección? Calcula la pendiente entre los puntos correspondientes a cada intervalo dado. Por ejemplo, los puntos para el periodo 0.0 a 1.0 segundos son (0.0, 0.0) (1.0, 120.6). Recuerda incluir las unidades adecuadas en las respuestas. a = = m s b = = 56.2 m s c d e = 8.4 m s = 23.6 m s = 71.6 m s Tiempo (s) Altura (m) f. El objeto se mueve más rápido entre 0 1 segundo. Se mueve más lento (al viajar hacia arriba) entre segundos. Cambia de dirección entre segundos. Observa que, cuando la altura del objeto disminue (cuando desciende), la tasa de cambio promedio (velocidad) es negativa. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

10 Ejemplo 2 Usa el gráfico de la derecha para estimar la tasa de cambio promedio del intervalo: a. = 1 a = 1 b. = 2 a = 3 c. = 4 a = 5 d. = 6 a = 7 e. = 8 a = 9 Determina los puntos correspondientes a cada intervalo calcula la pendiente correspondiente. a. ( 1, 5) (1, 4) 4 ( 5) 1 ( 1) = 4.5 b. (2, 7) (3, 9) = 2 c. (4, 10) (5, 10) = 0 d. (6, 9) (7, 7) = 2 e. (8, 4) (9, 0) = 4 Problemas Calcula la tasa de cambio promedio para los periodos dados usando los datos en la tabla de la derecha a 5 minutos a 15 minutos a 20 minutos a 30 minutos Distancia desde Tiempo la línea inicial (min) (metros) Usa el gráfico de la derecha para estimar la tasa de cambio promedio de los periodos dados. 5. t = 0 a t = 1 s 6. t = 3 a t = 4 s 7. t = 4 a t = 5 s 8. t = 8 a t = 9 s Altura (pies) 9. t = 10 a t = 11 s Tiempo (segundos) 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

11 Capítulo 9 Respuestas m/min m/min m/min m/min 5. 5 pies/s 6. 2 pies/s pies/s 8. 2 pies/s pies/s FUNCIONES INVERSAS Los alumnos eplorarán funciones inversas, es decir, ecuaciones que deshacen las acciones de otras funciones. Por ejemplo, la función f () = realiza las siguientes operaciones sobre : multiplica por 3 suma 1. La función inversa, llamada f 1 (), revierte las operaciones: resta 1 divide por 3. Por lo tanto, f 1 () = 1 3. Ejemplo 1 Halla la inversa de cada función. a. h() = 6 3 b. g() = 2( + 4) La función del punto (a) resta 6 al valor de entrada () divide el resultado por 3. La función inversa revierte el proceso. Por lo tanto, la función inversa debería multiplicar por 3 luego sumar 6. La función inversa es h 1 () = Prueba un valor de entrada en la función original: Para = 6, h(6) = = 0. Usa el valor de salida como valor de entrada de la inversa: Para = 0, h 1 (0) = 3(0) + 6 = 6. La función inversa deshace la función original, lo que arroja el valor de entrada original: 6. En el punto (b), la función g() suma 4 al valor de entrada multiplica el resultado por 2. La función inversa debe dividir primero por 2 luego restar 4. Por lo tanto, g 1 () = 2 4. Para verificar este resultado, prueba un valor de entrada en la función original: g(1) = 2(1 + 4) = 10. Usa el valor de salida como valor de entrada de la función inversa: g 1 (10) = = 5 4 = 1. La función inversa deshace la función original, lo que arroja el valor de entrada original: 1. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

12 Problemas Escribe la inversa de cada una de las siguientes funciones: 1. f () = 8( 13) 2. f () = f () = 5(+2) 3 4. f () = f () = g() = 5 7. g() = 4( + 1) 3 8. j() = 2( + 2) 9. h() = g() = Respuestas 1. f 1 () = f 1 () = f 1 () = f 1 () = f 1 () = = g 1 () = 5 7. g 1 () = j 1 () = h 1 () = g 1 () = CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

. Explica en qué se diferenciarán los gráficos de las funciones dadas a continuación de este gráfico original.

. Explica en qué se diferenciarán los gráficos de las funciones dadas a continuación de este gráfico original. Capítulo TRANSFORMACIONES DE f().... A fin de lograr un buen dominio de la modelación de datos o las relaciones contetuales, los alumnos deben reconocer fácilmente manipular los gráficos de distintas funciones.

Más detalles

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4 PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4 Los alumnos utilizaron la ecuación = m + b para graficar rectas describir patrones en los cursos anteriores. La Lección 2.1.1 es un repaso. Cuando la ecuación

Más detalles

( ) es aceptable. El grado del

( ) es aceptable. El grado del POLINOMIOS 8.1.1 8.1.3 El capítulo eplora funciones polinómicas en maor profundidad. Los alumnos aprenderán cómo bosquejar funciones polinómicas sin su herramienta de graficación, utilizando la forma factorizada

Más detalles

TRANSFORMACIONES Y SIMETRÍA 3.1.1, 3.1.2, y 3.1.4

TRANSFORMACIONES Y SIMETRÍA 3.1.1, 3.1.2, y 3.1.4 Capítulo TRANSFORMACIONES Y SIMETRÍA.1.1,.1.,.1.4 El estudio de las transformaciones de las figuras geométricas es el fundamento de una idea clave de la geometría: la congruencia. Los alumnos eploran tres

Más detalles

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES Y 6.1.1 y 6.1.2 TERNAS PITAGÓRICAS

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES Y 6.1.1 y 6.1.2 TERNAS PITAGÓRICAS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES Y 6.1.1 6.1.2 TERNAS PITAGÓRICAS Eisten dos triángulos rectángulos especiales que suelen aparecer en matemáticas: el triángulo --90 el triángulo --90. Todos los triángulos

Más detalles

LA ECUACIÓN DE UN CÍRCULO 10.1.1 10.1.2

LA ECUACIÓN DE UN CÍRCULO 10.1.1 10.1.2 Capítulo 10 L ECUCIÓN DE UN CÍRCUL 10.1.1 10.1.2 Los alumnos han calculado las circunferencias áreas de círculos, de partes de los círculos, han usado las propiedades de los círculos en problemas de aplicación

Más detalles

Funciones lineales y no lineales (páginas 560 563)

Funciones lineales y no lineales (páginas 560 563) A NOMRE FECHA PERÍODO Funciones lineales y no lineales (páginas 560 563) Las funciones lineales tienen gráficas que son líneas rectas. Estas gráficas representan tasas de cambio constantes. Las funciones

Más detalles

VOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS

VOCABULARIO HABILIDADES Y CONCEPTOS REPASO_RECUPERACION_III_PERIODO_MATEMATICAS_9.doc 1 DE 7 Nombre: Fecha: VOCABULARIO A. Valor absoluto de un número complejo B. Eje de simetría C. Completar el cuadrado D. Número complejo E. Plano de números

Más detalles

POLINOMIOS 8.1.1 8.1.3

POLINOMIOS 8.1.1 8.1.3 Capítulo 8 POLINOMIOS 8.. 8..3 El capítulo eplora funciones polinómicas en maor profundidad. Los alumnos aprenderán cómo bosquejar funciones polinómicas sin su herramienta de graficación utilizando la

Más detalles

USO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA y 9.1.3

USO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA y 9.1.3 Capítulo 9 USO DE LA FÓRMULA CUADRÁTICA 9.1.2 y 9.1.3 Cuando una ecuación cuadrática no es factorizable, necesitas otro método para hallar x. La Fórmula cuadrática puede usarse para calcular las raíces

Más detalles

Polinomios. 1.- Funciones cuadráticas

Polinomios. 1.- Funciones cuadráticas Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial

Más detalles

ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA

ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA ESCRITURA Y GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES EN UNA SUPERFICIE PLANA La pendiente es un número que indica lo inclinado (o plano) de una recta, al igual que su dirección (hacia arriba o hacia abajo) de

Más detalles

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2016 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama

Más detalles

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,

Más detalles

ES.N.3.2, (+)ES.N.4.2, (+)ES.G.38.2 Enfoque de contenido Operaciones con números complejos. Destreza Sumar, restar y multiplicar números complejos

ES.N.3.2, (+)ES.N.4.2, (+)ES.G.38.2 Enfoque de contenido Operaciones con números complejos. Destreza Sumar, restar y multiplicar números complejos Semana 1 Actividades para el logro de las tareas de desempeño Día:1 Día:2 Día:3 Día:4 Día:5 ES.N.3.1, ES.N.3.2, (+)ES.G.38.1 Números complejos Que existe un número complejo i tal que i 2 =-1. Cada número

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS

FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS Representemos, en función de la longitud de la base (x), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro 1 metros. De ellos, cuáles son las medidas

Más detalles

Funciones. Resumen del contenido

Funciones. Resumen del contenido C APÍTULO 7 Funciones Resumen del contenido En el Capítulo 7, los estudiantes aumentan su entendimiento del crecimiento lineal y de las ecuaciones observando en detalle una clase especial de relación llamada

Más detalles

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que

Más detalles

MATE 3031. Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77

MATE 3031. Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77 MATE 3031 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 77 Qué es una función? MATE 3171 En esta parte se recordará la idea de función y su definición formal.

Más detalles

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE y 9.1.2

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE y 9.1.2 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE 9.1.1 9.1.2 Para resolver una desigualdad con una variable, debes convertirla primero en una ecuación (un enunciado matemático con un signo = ) resolverla.

Más detalles

Inecuaciones en dos variables

Inecuaciones en dos variables Inecuaciones en dos variables Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,,,. Inecuaciones de primer grado

Más detalles

3.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada

3.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada SECCIÓN. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada 79. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada Determinar los intervalos sobre los cuales una función

Más detalles

Ecuaciones. 3º de ESO

Ecuaciones. 3º de ESO Ecuaciones 3º de ESO El signo igual El signo igual se utiliza en: Igualdades numéricas: 2 + 3 = 5 Identidades algebraicas: (x + 4) x = x 2 + 4 4x Fórmulas: El área, A,, de un círculo de radio r es: A =

Más detalles

Materia: Matemática de 5to Tema: La Hipérbola. Marco Teórico

Materia: Matemática de 5to Tema: La Hipérbola. Marco Teórico Materia: Matemática de 5to Tema: La Hipérbola Marco Teórico Las Hipérbolas son las relaciones que tienen dos asíntotas. Al graficar funciones racionales que a menudo producen una hipérbola. En este concepto,

Más detalles

SÓLIDOS Y RAZONES DE SEMEJANZA 11.1.1 11.1.3

SÓLIDOS Y RAZONES DE SEMEJANZA 11.1.1 11.1.3 Capítulo 11 SÓLIDOS Y RAZONES DE SEMEJANZA 11.1.1 11.1. En este capítulo, los alumnos analizarán las figuras tridimensionales, que se conocen como sólidos. Revisarán cómo calcular el área de superficie

Más detalles

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a)

Ejercicio 1: Realiza las siguientes divisiones por el método tradicional y por Ruffini: a) Tema 2: Ecuaciones, Sistemas e Inecuaciones. 2.1 División de polinomios. Regla de Ruffini. Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma y/o resta de varios monomios. Terminología: o Grado del polinomio:

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En

Más detalles

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Resolución de ecuaciones cuadráticas LECCIÓN CONDENSADA 10.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas En esta lección verás las funciones cuadráticas que modelan el movimiento de proyectiles usarás tablas y gráficas para aproimar soluciones a

Más detalles

3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI

3.2 DIVIDIR UN POLINOMIO POR x a. REGLA DE RUFFINI TEMA 3 ÁLGEBRA MATEMÁTICAS CCSSI 1º BACH 1 TEMA 3 ÁLGEBRA 3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomio por otro monomio de grado inferior es un nuevo monomio cuyo grado es

Más detalles

DESCRIPCIÓN DE FUNCIONES 1.1.2 y 1.1.3

DESCRIPCIÓN DE FUNCIONES 1.1.2 y 1.1.3 Capítulo DESCRIPCIÓN DE FUNCIONES..2..3 El objetivo principal de estas lecciones consiste en que los alumnos puedan describir totalmente los elementos esenciales del gráfico de una función. Para describir

Más detalles

Lección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones

Lección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 1: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones En la lección anterior hemos visto cómo resolver gráficamente un sistema de ecuaciones. Si bien ese método es relativamente

Más detalles

O -2-1 1 2 X -1- -2- de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje, eligiendo en ambos ejes la misma unidad, como muestra la figura.

O -2-1 1 2 X -1- -2- de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje, eligiendo en ambos ejes la misma unidad, como muestra la figura. MATEMÁTICA I Capítulo 1 GEOMETRÍA Plano coordenado Para identificar cada punto del plano con un par ordenado de números, trazamos dos rectas perpendiculares que llamaremos eje y eje y, que se cortan en

Más detalles

La función cuadrática

La función cuadrática La función cuadrática En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola

Más detalles

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se

Más detalles

VIII. CIRCUNFERENCIA

VIII. CIRCUNFERENCIA VIII. IRUNFERENI 8.. L IRUNFERENI OMO LUGR GEOMÉTRIO Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto ( ) P, cualquiera, que se mueve sobre el plano, de tal manera que su distancia a un

Más detalles

Colegio Beato Carlos Manuel Rodríguez Departamento de Matemáticas. Mapa curricular Algebra I 8 vo grado

Colegio Beato Carlos Manuel Rodríguez Departamento de Matemáticas. Mapa curricular Algebra I 8 vo grado Colegio Beato Carlos Manuel Rodríguez Departamento de Matemáticas Mapa curricular Algebra I 8 vo grado Colegio Beato Carlos Manuel Rodríguez Mapa curricular Algebra I 8 vo grado periodo 11 al 22 de agosto

Más detalles

TEMA 1: Funciones elementales

TEMA 1: Funciones elementales MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace

Más detalles

UNIDAD 4.- INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro)

UNIDAD 4.- INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro) UNIDAD 4. INECUACIONES Y SISTEMAS (tema 4 del libro) 1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Definición: Se llama desigualdad a toda relación entre epresiones numéricas o algebraicas unidas por

Más detalles

POLÍGONOS 8.2.1 8.2.2

POLÍGONOS 8.2.1 8.2.2 POLÍGONOS 8.2.1 8.2.2 Después de estudiar los triángulos y los cuadriláteros, los alumnos ahora amplían su estudio a todos los polígonos, con particular atención a los polígonos regulares, que son equiláteros

Más detalles

10 Funciones polinómicas y racionales

10 Funciones polinómicas y racionales 8966 _ 009-06.qd 7/6/08 : Página 9 0 Funciones polinómicas racionales INTRDUCCIÓN Uno de los objetivos de esta unidad es que los alumnos aprendan a hallar la ecuación de una recta dados dos puntos por

Más detalles

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN Capítulo 2 PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4 Los alumnos utilizaron la ecuación = m + b para graficar rectas describir patrones en los cursos anteriores. La Lección 2.1.1 es un repaso. Cuando

Más detalles

Enteros y valor absoluto (páginas 106 108)

Enteros y valor absoluto (páginas 106 108) A NOMRE FECHA PERÍODO Enteros y valor absoluto (páginas 106 108) Un entero es cualquier número del conjunto {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }. Los enteros mayores de 0 son enteros positivos. Los enteros menores

Más detalles

CAPÍTULO 3: PORCIONES Y NÚMEROS ENTEROS

CAPÍTULO 3: PORCIONES Y NÚMEROS ENTEROS CAPÍTULO 3: PORCIONES Y NÚMEROS ENTEROS Fecha: Caja de herramientas 2014 CPM Educational Program. All rights reserved. 22 Capítulo 3: Porciones y números enteros Fecha: 23 2014 CPM Educational Program.

Más detalles

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones UNIDAD Inecuaciones y sistemas de inecuaciones a vista de los edificios de la foto invita a la comparación de sus alturas entre las que L existen grandes diferencias. En matemáticas las desigualdades juegan

Más detalles

La lección de hoy es sobre cómo encontrar el Punto Medio de un Segmento. Es cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1.

La lección de hoy es sobre cómo encontrar el Punto Medio de un Segmento. Es cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1. CGT.5.G.1-Jennifer Goff-Midpoint of a Segment. La lección de hoy es sobre cómo encontrar el Punto Medio de un Segmento. Es cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante CGT.5.G.1. Qué es el

Más detalles

Sucesiones (páginas 511 515)

Sucesiones (páginas 511 515) A NMRE FECHA PERÍD Sucesiones (páginas 5 55) Una sucesión es una lista de números en un cierto orden. Cada número se llama término de la sucesión. En una sucesión aritmética, la diferencia entre cualquier

Más detalles

Notas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos

Notas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma, ax + bx + c = 0 en la que el coeficiente a debe ser diferente de cero. Sabemos que una ecuación es una

Más detalles

C U R S O : MATEMÁTICA

C U R S O : MATEMÁTICA C U R S O : MATEMÁTICA UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituen un sistema de ecuaciones lineales. La forma

Más detalles

TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II

TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas

Más detalles

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización

Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Polinomios de grado 2 Una ecuación cuadrática es una ecuación

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 5 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales

Clase 9 Sistemas de ecuaciones no lineales Clase 9 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2013 Problemas resueltos Problema 4: Considere el sistema de ecuaciones x y = 3 (x 2) 2 +y = 1 Problemas resueltos

Más detalles

Explorando la ecuación de la recta pendiente intercepto

Explorando la ecuación de la recta pendiente intercepto Explorando la ecuación de la recta pendiente intercepto Realiza las siguientes actividades, mientras trabajas con el tutorial. 1. Los puntos que están en la misma recta se dice que son. 2. Describe el

Más detalles

FUNCIONES LINEALES Y AFINES

FUNCIONES LINEALES Y AFINES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES LINEALES Y AFINES. LA FUNCIÓN LINEAL = m El tren AVE lleva una velocidad media de 40 km/h. La siguiente tabla nos da el espacio que recorre en función

Más detalles

REESCRIBIR ECUACIONES CON MÚLTIPLES VARIABLES Ejemplo 2. Ejemplo 4

REESCRIBIR ECUACIONES CON MÚLTIPLES VARIABLES Ejemplo 2. Ejemplo 4 REESCRIBIR ECUACIONES CON MÚLTIPLES VARIABLES 6.1.1 Para reescribir una ecuación con más de una variable debes usar el mismo proceso que para resolver una ecuación de una variable. El resultado final suele

Más detalles

Nuestro primer ejemplo nos dice: Escribe la ecuación de una línea que es perpendicular a la grafica de Y= ½x + 4 y pasa por los puntos (0,-1).

Nuestro primer ejemplo nos dice: Escribe la ecuación de una línea que es perpendicular a la grafica de Y= ½x + 4 y pasa por los puntos (0,-1). CGT.5.G.3-Pam Beach-Write the equation of a line perpendicular to a line through a point. La lección de hoy es sobre escribir una ecuación de una línea perpendicular a una línea dado un punto. El cuál

Más detalles

Enteros (páginas 294 298)

Enteros (páginas 294 298) A NOMRE FECHA PERÍODO Enteros (páginas 294 298) Un entero es cualquier número del siguiente conjunto de números enteros y sus opuestos: { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }. Los enteros mayores que cero son enteros

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones CUADERNO Nº 6 NOMBRE: FECHA: / / Sistemas de ecuaciones Contenidos 1. Sistemas de ecuaciones lineales Ecuación lineal con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación de sistemas 2. Métodos

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO ECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 1.- IGUALDADES Y ECUACIONES Las expresiones compuestas de dos miembros enlazados por el signo = se llaman igualdades, y ponen de manifiesto

Más detalles

Clase 8 Sistemas de ecuaciones no lineales

Clase 8 Sistemas de ecuaciones no lineales Clase 8 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo, 2013 con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones en el que al menos una ecuación es no lineal, se llama

Más detalles

La lección de hoy es sobre como encontrar la pendiente. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.6

La lección de hoy es sobre como encontrar la pendiente. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.6 LF.3 A1.6 Fining Slope-Student Learner Expectation. La lección de hoy es sobre como encontrar la pendiente. El cuál es la expectativa para el aprendizaje del estudiante LF.3.A1.6 Primero hablaremos de

Más detalles

Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: 1 x

Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones. 1 Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: 1 x Tipos de Funciones. 40 Ejercicios para practicar con soluciones Representa en los mismos ejes las siguientes funciones: a) y = ; b) y = ; c) y = y= y= y= Representa las siguientes funciones: a) y = b)

Más detalles

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Introducción

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Introducción 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Introducción El presente curso trata sobre álgebra lineal. Al buscarla palabra lineal en un diccionario se encuentra, entre otras definiciones la siguiente: lineal, perteneciente

Más detalles

21. Círculo y recta Matemáticas II, 2012-II. Por qué el círculo y la recta son tan importantes?

21. Círculo y recta Matemáticas II, 2012-II. Por qué el círculo y la recta son tan importantes? . Círculo recta Matemáticas II, -II. Círculo recta Por qué el círculo la recta son tan importantes? Los dos objetos geométricos más importantes aparte del punto son sin duda la recta el círculo. La recta

Más detalles

TIPOS DE FUNCIONES. Ing. Caribay Godoy Rangel

TIPOS DE FUNCIONES. Ing. Caribay Godoy Rangel TIPOS DE FUNCIONES Repasar los conceptos de dominio, rango, gráfica, elementos esenciales y transformaciones de las funciones: lineal, cuadrática, racional, trigonométrica, exponencial y logarítmica. FUNCIONES

Más detalles

INVESTIGACIONES Y FUNCIONES 1.1.1 1.1.3

INVESTIGACIONES Y FUNCIONES 1.1.1 1.1.3 INVESTIGACIONES Y FUNCIONES 1.1.1 1.1.3 Esta sección inicial presenta a los alumnos muchas de las grandes ideas del curso Core Connections en español, Matemática Integrada III, así como distintas formas

Más detalles

ESCRIBIR ECUACIONES 4.1.1

ESCRIBIR ECUACIONES 4.1.1 ESCRIBIR ECUACIONES 4.1.1 En esta lección, los alumnos tradujeron información escrita que generalmente representaba situaciones cotidianas con símbolos algebraicos y ecuaciones lineales. Los alumnos usaron

Más detalles

Ejemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano.

Ejemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano. Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta

Más detalles

Método de fórmula general

Método de fórmula general Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática. Fórmula General La fórmula

Más detalles

9. Ecuaciones, parte III

9. Ecuaciones, parte III Matemáticas I, 202-I El concepto de información Ya hemos visto ejemplos de ecuaciones con una única solución y otras que admiten dos soluciones. Ahora veremos unos ejemplos más extraños. Ejemplo. Resuelve

Más detalles

1º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2. 3º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5 -2-2 -2 (-5) 1-5 0+[-2 (-5)] 4º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2-2 10-20 1-5 10-15. 2º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5

1º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2. 3º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5 -2-2 -2 (-5) 1-5 0+[-2 (-5)] 4º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5-2-2 10-20 1-5 10-15. 2º) x³ x² x x⁰ 1-3 0 5 1. OPERACIONES BÁSICAS Monomio: Producto de números y letras. Ej: 3x²y a) Suma: Se pueden sumar los que tengan las mismas letras elevadas a los mismos exponentes. Ej: 3x²y xy + 4x²y = 7x² xy b) Producto:

Más detalles

7 Sistemas de ecuaciones

7 Sistemas de ecuaciones 89485 _ 0309-0368.qxd 1/9/0 15:3 Página 31 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN Aunque no es el objetivo de este curso, los alumnos deben ser capaces de reconocer ecuaciones con dos incógnitas y obtener

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Método Gráfico

Profr. Efraín Soto Apolinar. Método Gráfico Método Gráfico El último método que estudiaremos es el más sencillo. Se trata de considerar a la ecuación como una máquina que transforma los números. Para eso, crearemos una función. Función (Definición

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto

Más detalles

Colegio Universitario Boston. Funciones

Colegio Universitario Boston. Funciones 70 Concepto de Función Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, tal que relaciona, a cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto Para indicar que se ha establecido una

Más detalles

V. 2 DISCUSIÓN DE UNA CURVA

V. 2 DISCUSIÓN DE UNA CURVA DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS UNIDAD V Eisten dos problemas fundamentales en la Geometría Analítica:. Dada una ecuación hallar el lugar geométrico que representa.. Dado un lugar geométrico definido

Más detalles

1. Aplique el método de inducción matemática para probar las siguientes proposiciones. e) f) es divisible por 6. a) b) c) d) e) f)

1. Aplique el método de inducción matemática para probar las siguientes proposiciones. e) f) es divisible por 6. a) b) c) d) e) f) 1. Aplique el método de inducción matemática para probar las siguientes proposiciones. a) b) c) d) e) f) es divisible por 6. g) 2. Halle la solución de las siguientes desigualdades de primer orden. g)

Más detalles

TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA....4 Los alumnos comenzaron a estudiar funciones trigonométricas en el Capítulo 7, cuando aprendieron sobre radianes la transformación de funciones trigonométricas. Aquí aprenderán

Más detalles

EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Se recomienda: a) Antes de hacer algo, lee todo el examen. b) Resuelve antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del examen

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema ( ecuaciones y incógnitas) es un sistema de la forma: a11xa1 y b1 a1xa y b donde a11, a1,

Más detalles

Curso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición

Curso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición Curso de Matemática Unidad 2 Profesora: Sofía Fuhrman Operaciones Elementales II: Potenciación Definición a n = a. a.a a multiplicado por sí mismo n veces. a) Regla de los signos Exponente Par Exponente

Más detalles

Cuaderno de Actividades 4º ESO

Cuaderno de Actividades 4º ESO Cuaderno de Actividades 4º ESO Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,

Más detalles

Capítulo 2. Desigualdades y valor absoluto

Capítulo 2. Desigualdades y valor absoluto Capítulo Desigualdades valor absoluto 1 Desigualdades valor absoluto Valor absoluto El valor absoluto de un número real es su distancia al cero Puesto que un número real puede ser positivo, negativo o

Más detalles

PROBLEMAS DE DIAMANTE 2.1.1

PROBLEMAS DE DIAMANTE 2.1.1 PROBLEMAS DE DIAMANTE 2.1.1 En cada Problema de diamante, el producto de los dos números a los lados (izquierda y derecha) es el número arriba y la suma es el número de abajo. producto ab Los Problemas

Más detalles

Tema II: Programación Lineal

Tema II: Programación Lineal Tema II: Programación Lineal Contenido: Solución a problemas de P.L. por el método gráfico. Objetivo: Al finalizar la clase los alumnos deben estar en capacidad de: Representar gráficamente la solución

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado www.math.com.mx

Ecuaciones de segundo grado www.math.com.mx Ecuaciones de segundo grado www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-008 Contenido. La ecuación cuadrática. La ecuación x d.. Resúmen de la ecuación x d.......................

Más detalles

UNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp.

UNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp. República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II FUNCIONES Ing. Ronny Altuve Esp. Ciudad Ojeda, Septiembre de 2015 Función Universidad

Más detalles

2.- Sistemas de ecuaciones Lineales

2.- Sistemas de ecuaciones Lineales .- Sistemas de ecuaciones Lineales..- Definición, Clasificación de los sistemas lineales y tipos de solución. Definición Una ecuación lineal con las variables escribirse en la forma,..., n es una ecuación

Más detalles

Grado polinomial y diferencias finitas

Grado polinomial y diferencias finitas LECCIÓN CONDENSADA 7.1 Grado polinomial y diferencias finitas En esta lección aprenderás la terminología asociada con los polinomios usarás el método de diferencias finitas para determinar el grado de

Más detalles

Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto

Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto Solución de ecuaciones de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto Cuando no es posible factorizar la ecuación, se completa el trinomio cuadrado perfecto con la única finalidad de poder

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Introducción

PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Introducción PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas

Más detalles

Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones

Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones 1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias

Más detalles

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Ecuaciones de primer y segundo grado Las ecuaciones de primer y segundo grado es una ecuación porque es una igualdad entre expresiones algebraicas. Ecuaciones de primer grado con una incógnita Ejemplo

Más detalles

CÍRCULOS CIRCUNFERENCIA Y ÁREA 9.1.1 y 9.1.2. Ejemplo 2

CÍRCULOS CIRCUNFERENCIA Y ÁREA 9.1.1 y 9.1.2. Ejemplo 2 CÍRCULOS CIRCUNFERENCIA Y ÁREA 9.1.1 y 9.1.2 ÁREA DE UN CÍRCULO En clase, los estudiantes han hecho exploraciones con círculos y objetos circulares para descubrir la relación entre la circunferencia, diámetro

Más detalles

Repaso para el dominio de la materia

Repaso para el dominio de la materia LECCIÓN. Repaso para el dominio de la materia sar con las páginas 66 a 7 OJETIVO Representar gráficamente y comparar números positivos y negativos. EJEMPLO Los números enteros positivos son los números

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables

Más detalles

Cada función polinomial genera distintas gráficas en el plano cartesiano. Hay casos especiales de la función polinomial general.

Cada función polinomial genera distintas gráficas en el plano cartesiano. Hay casos especiales de la función polinomial general. UNIDAD I. FUNCIONES Y RELACIONES.5. Funciones algebraicas: Polinomiales. Las expresiones algebraicas pueden clasificarse en monomios, binomios, trinomios y polinomios. Monomios. Expresiones de un término.

Más detalles

SISTEMAS DE TRES ECUACIONES 6.1.1 6.1.5

SISTEMAS DE TRES ECUACIONES 6.1.1 6.1.5 SISTEMAS DE TRES ECUACIONES 6.1.1 6.1.5 Este capítulo comienza con los alumnos utilizando la tecnología para explorar la graficación en tres dimensiones. Al utilizar las mismas estrategias que utilizaron

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 6 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles