TRANSFORMACIONES DE f (x) = x Ejemplo 1

Transcripción

1 Capítulo 9 TRANSFORMACIONES DE f () = A fin de lograr un buen dominio de la modelación de datos relaciones en situaciones cotidianas, los alumnos deben ser capaces de reconocer transformar los gráficos de distintas funciones. Los alumnos comenzarán modelando datos obtenidos al pesar discos con distintos radios. Luego investigarán cómo transformar funciones cuadráticas descubrirán formas de desplazar estirar verticalmente parábolas modificando sus ecuaciones. También aprenderán a graficar una función cuadrática en forma de graficación sin crear una tabla. En cursos futuros, los alumnos transformarán otros tipos de funciones. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 A la derecha, puedes ver el gráfico de f () = 2. Eplica en qué se diferenciarán los gráficos de las funciones dadas a continuación de este gráfico original. g() = 2 2 h() = ( + 3) 2 j() = 2 6 k() = l() = 3( 2) Todas las funciones anteriores tienen algo en común: todas son funciones cuadráticas, todas formarán una parábola al graficarlas. La única diferencia estará en la dirección de apertura (arriba o abajo), la forma (comprimida o estirada verticalmente), /o la ubicación del vértice. El 2 en g() = 2 2 le hace dos cosas a la parábola. El signo negativo cambia la dirección de la parábola, que se abrirá hacia abajo. El 2 estira el gráfico lo hace parecer más delgado. El gráfico de h() = ( + 3) 2 tendrá la misma forma que el de f () = 2, abierto hacia arriba, pero se encontrará 3 unidades a la izquierda. El gráfico de j() = 2 6 también tendrá la misma forma que f () = 2, abierta hacia arriba, pero se desplazará 6 unidades hacia abajo. La función k() = no se desplaza, también se abre hacia arriba, pero el 1 4 comprimirá la parábola verticalmente, la hará parecer más ancha. La última función, l() = 3( 2) 2 + 7, combina todas estas transformaciones. El 3 estira el gráfico verticalmente (lo hace más delgado) hace que se abra hacia arriba, el 2 lo desplaza a la derecha 2 unidades, el + 7 lo desplaza hacia arriba 7 unidades. Puedes ver todos estos gráficos a la derecha. Une cada función con la parábola correcta. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

2 Ejemplo 2 Cuál es el vértice de la parábola de cada una de las funciones cuadráticas dadas a continuación? f () = 2( + 4) g() = 5( 8) 2 h() = En una función cuadrática, el vértice es el punto de ubicación. Nos da un punto de partida para graficar la parábola rápidamente. El vértice de la función cuadrática en forma de graficación, f () = a( h) 2 + k, es el punto (h, k). En la función f() = 2( + 4) 2 + 7, h = 4 k = 7, así que el vértice es ( 4, 7). Ya que g() = 5( 8) 2 también puede escribirse como g() = 5( 8) 2 + 0, el vértice es (8, 0). Reescribe h() = como h() = 3 5 ( 0)2 2 5 podrás ver que su vértice es (0, 2 5 ). Problemas Describe la transformación, grafica halla el vértice de las siguientes funciones cuadráticas: 1. = 2( 1) = ( + 5) = ( + 2) = 2( + 6) 2 1 Respuestas 1. Vértice: (1, 3) Parábola abierta hacia abajo, estirada verticalmente, con su vértice desplazado 1 unidad a la derecha 3 unidades hacia arriba. 2. Vértice: ( 5, 6) Parábola con su vértice desplazado 5 unidades a la izquierda 6 unidades hacia abajo. 3. Vértice: ( 2, 25) 4. Vértice: ( 6, 1) Parábola con su vértice desplazado 2 unidades a la izquierda 25 unidades hacia abajo. Parábola estirada verticalmente, con su vértice desplazado 6 unidades a la izquierda 1 unidad hacia abajo CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

3 Capítulo 9 FORMA DE GRAFICACIÓN Y COMPLETAR CUADRADOS En la Lección 9.1.3, los alumnos aprenderán que, cuando la ecuación de una parábola está escrita en forma de graficación, f () = ( h) 2 + k, su vértice puede ser identificado como (h, k). Por ejemplo, en el gráfico de f () = ( + 3) 2 1, el vértice de la parábola se encuentra en ( 3, 1). Cuando la ecuación de la parábola se encuentra en forma estándar, f () = a 2 + b + c, podemos usar el proceso de completar cuadrados para reescribir la ecuación en forma de graficación. Podemos usar azulejos algebraicos para visualizar el proceso. Para revisar este proceso, consulta la sección Resolver completando el cuadrado del Capítulo 5 de esta Guía para padres con práctica adicional. Ejemplo 1 Completa cuadrados para reescribir f () = en forma de graficación. Identifica el vértice el punto de corte con el eje, grafica la parábola. Mueve el término constante al otro lado de la ecuación: f () 2 = Identifica el valor que debes sumar a ambos lados de la ecuación para convertir en un cuadrado perfecto, elevando al cuadrado la mitad del coeficiente término : 5 2 Suma 25 4 a ambos lados de la ecuación: f () = ( ) 2 = 25 4 ( ) 2 Simplifica el lado izquierdo factoriza el trinomio del lado derecho: f () = Esto puede reescribirse como: f () = ( ) Ahora la función se encuentra en forma de graficación. El vértice es ( 5 2, 17 4 ) o ( 2.5, 4.25). El punto de corte con el eje es el punto donde = 0. Substitue por 0 en la ecuación original: f (0) = (0) + 2 = 2; el punto de corte con el eje es (0, 2). Usa el vértice el punto de corte con el eje para graficar la función. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

4 Ejemplo 2 Completa cuadrados para reescribir f () = en forma de graficación e identifica el vértice de la parábola. f () = f () 15 = Mueve el término constante al otro lado. f () = Suma el cuadrado de la mitad del término a ambos lados. ( ) 2 f () + 1 = Simplifica el lado izquierdo de la ecuación. f () + 1 = ( + 4) 2 Factoriza el lado derecho de la ecuación. f () = ( + 4) 2 1 Mueve el término constante de vuelta al lado derecho. Por lo tanto, la ecuación en forma de graficación es f () = ( + 4) 2 1. El vértice se encuentra en (h, k) = ( 4, 1). Problemas Completa cuadrados para reescribir la ecuación de cada función en forma de graficación. Luego menciona el vértice de cada parábola. 1. f () = f () = f () = f () = f () = f () = f () = f () = f () = f () = Respuestas 1. f () = ( + 3) 2 2; ( 3, 2) 2. f () = ( + 2) 2 + 7; ( 2, 7) 3. f () = ( + 5) 2 25; ( 5, 25) 4. f () = ( + 3.5) ; ( 3.5, 10.25) 5. f () = ( 3) 2 ; (3, 0) 6. f () = 2 + 3; (0, 3) 7. f () = ( 2) 2 4; (2, 4) 8. f () = ( + 1) 2 4; ( 1, 4) 9. f () = ( ) ; ( 5 2, 21 4 ) 10. f () = ( 1 6 ) ; ( 1 6, 1 36 ) 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

5 Capítulo 9 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Eisten varios métodos para resolver desigualdades cuadráticas con una variable, pero un método que funciona con muchos tipos de desigualdades consiste en transformar la desigualdad en una ecuación, resolverla, graficar las soluciones en una recta numérica. Las soluciones a la ecuación, llamadas puntos frontera, dividen la recta numérica en regiones. Al probar un número de cada región en la desigualdad original, podemos determinar si los números en esa región son soluciones. Los puntos frontera pueden ser parte de la solución ( o ) o no (> o <), dependiendo del signo de desigualdad. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Resuelve: < 0 Conviértela en una ecuación resuelve = 0 ( 6)( + 3) = 0 = 6 o = 3 (los puntos frontera) Si probamos = 4, 0, 7 en la desigualdad original, = 4 es falso, = 0 es verdadero, = 7 es falso. Ejemplo 2 Resuelve: m Conviértela en una ecuación resuelve. m 2 3 = 1 m 2 = 4 m = ±2 (el punto frontera) Si probamos m = 3, 0, 3 en la desigualdad original, m = 3 es verdadero, m = 0 es falso, m = 3 es verdadero. falso verdadero falso La solución son todos los números maores a 3 menores a 6, lo que se escribe como 3 < < 6. verdadero falso verdadero La solución son todos los números menores o iguales a 2 o todos los números maores o iguales a 2, lo que se escribe como m 2 o m 2. Problemas Resuelve las siguientes desigualdades: < > < < < < > (7 26) 8 Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

6 Respuestas 1. 4 < < 2 2. < 0 o > < < < < 4 5. < 7 o > o < < 2 9. todos los números ecepto RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES En esta lección los alumnos se concentrarán en qué significa una solución a un sistema de ecuaciones, tanto algebraicamente como gráficamente. También aplicarán lo que saben sobre la resolución de sistemas lineales para resolver sistemas con funciones cuadráticas. Ejemplo 1 Usa los gráficos de la parábola = la recta = a la derecha. La parábola la recta se cruzan dos veces, generando dos puntos de intersección: ( 3, 8) (4, 6). También puedes hallar los puntos de corte resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicamente. Para resolver el sistema de ecuaciones, usa el Método de igualación de sistema de ecuaciones (de Core Connections en español, Matemática Integrada I) o el de sustitución = Suma /o resta términos semejantes en ambos lados de la ecuación para igualar uno de los lados a cero, luego factoriza usando la Propiedad de producto cero para calcular (también puedes usar la Fórmula cuadrática) = 0 ( 4)( + 3) = 0 = 4 o = 3 Substituir = 4 en cualquier ecuación arroja = 6, así que (4, 6) es una solución al sistema. Substituir = 3 en cualquier ecuación arroja = 8, así que ( 3, 8) es una solución al sistema CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

7 Capítulo 9 Ejemplo 2 Resuelve el sistema de ecuaciones de la derecha sin graficarlo. Eplica qué te dice la solución sobre el gráfico del sistema. = 2( 2) = Ambas ecuaciones están escritas en forma =, así que puedes resolverlas usando el método de sustitución. 2( 2) = ( 2) 2 = ( ) = = = = 0 ( 6)( + 1) = 0 = 6 o = 1 Sustitue cada valor de en cualquiera de las ecuaciones para hallar el valor correspondiente de. Puedes usar cualquiera de las ecuaciones. Aquí usaremos la más simple. = 6, = = 2(6) + 15 = = 3 Solución: (6, 3) = 1, = = 2( 1) + 15 = = 17 Solución: ( 1, 17) Finalmente, debemos probar cada punto en ambas ecuaciones para verificar nuestro trabajo. (6, 3): = 2( 2) = 2(6 2) = 2(16) + 35 (6, 3): = = 2(6) + 15 ( 1, 17): = 2( 2) = 2( 1 2) = 2(9) + 35 ( 1, 17): = = 2( 2) + 15 Al resolver estas dos ecuaciones con dos incógnitas hallamos dos soluciones, ambas funcionan en las ecuaciones originales. Esto significa que los gráficos de las ecuaciones, una parábola una recta, se intersecan en eactamente dos puntos distintos. Esta solución puede ser confirmada graficando los gráficos correspondientes. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

8 Problemas Resuelve los sistemas de ecuaciones a continuación algebraicamente. Qué te dicen las soluciones sobre el gráfico del sistema? 1. = = = ( + 1) = = 3( 4) 2 2 = = 0 = ( 4) = = = = = = = = = = = = Respuestas 1. Todos los números reales. Al graficarlas, estas ecuaciones producen la misma recta. 3. No tiene solución. La parábola la recta no se intersecan. 5. ( 1 3, ); las parábolas se intersecan una sola vez. 7. (2, 5) (3, 5); las parábolas se intersecan dos veces. 9. (1.5, 4); las parábolas se intersecan una sola vez. 2. (0, 4); la parábola la recta se intersecan una sola vez. 4. (2, 2) and (5, 5); la recta la parábola se intersecan dos veces. 6. (3, 0); las parábolas se intersecan una sola vez. 8. No tiene solución. Las parábolas no se intersecan. 10. ( 4, 0) (0, 4); las parábolas se intersecan dos veces CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

9 Capítulo 9 TASA DE CAMBIO PROMEDIO En cursos de matemáticas anteriores, los alumnos aprendieron que las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante igual que se corresponde con la pendiente de una recta. En la Lección 9.3.1, aprenderán a calcular la tasa de cambio promedio de una función no lineal en un intervalo dado. La tasa de cambio promedio se calcula hallando la pendiente entre dos puntos del gráfico de la función. Si la pendiente representa una distancia por tiempo, la tasa de cambio promedio describe la velocidad promedio. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Usa los datos en la tabla de la derecha que indican la posición de un objeto en momentos dados, para calcular la tasa de cambio promedio durante los siguientes periodos: a. 0.0 a 1.0 segundos b. 1.0 a 2.0 segundos c. 2.0 a 2.5 segundos d. 2.5 a 3.0 segundos e. 3.0 a 4.0 segundos f. En qué periodo se mueve más rápido el objeto? En qué periodo se mueve más lento? En qué momento cambia de dirección? Calcula la pendiente entre los puntos correspondientes a cada intervalo dado. Por ejemplo, los puntos para el periodo 0.0 a 1.0 segundos son (0.0, 0.0) (1.0, 120.6). Recuerda incluir las unidades adecuadas en las respuestas. a = = m s b = = 56.2 m s c d e = 8.4 m s = 23.6 m s = 71.6 m s Tiempo (s) Altura (m) f. El objeto se mueve más rápido entre 0 1 segundo. Se mueve más lento (al viajar hacia arriba) entre segundos. Cambia de dirección entre segundos. Observa que, cuando la altura del objeto disminue (cuando desciende), la tasa de cambio promedio (velocidad) es negativa. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

10 Ejemplo 2 Usa el gráfico de la derecha para estimar la tasa de cambio promedio del intervalo: a. = 1 a = 1 b. = 2 a = 3 c. = 4 a = 5 d. = 6 a = 7 e. = 8 a = 9 Determina los puntos correspondientes a cada intervalo calcula la pendiente correspondiente. a. ( 1, 5) (1, 4) 4 ( 5) 1 ( 1) = 4.5 b. (2, 7) (3, 9) = 2 c. (4, 10) (5, 10) = 0 d. (6, 9) (7, 7) = 2 e. (8, 4) (9, 0) = 4 Problemas Calcula la tasa de cambio promedio para los periodos dados usando los datos en la tabla de la derecha a 5 minutos a 15 minutos a 20 minutos a 30 minutos Distancia desde Tiempo la línea inicial (min) (metros) Usa el gráfico de la derecha para estimar la tasa de cambio promedio de los periodos dados. 5. t = 0 a t = 1 s 6. t = 3 a t = 4 s 7. t = 4 a t = 5 s 8. t = 8 a t = 9 s Altura (pies) 9. t = 10 a t = 11 s Tiempo (segundos) 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II

11 Capítulo 9 Respuestas m/min m/min m/min m/min 5. 5 pies/s 6. 2 pies/s pies/s 8. 2 pies/s pies/s FUNCIONES INVERSAS Los alumnos eplorarán funciones inversas, es decir, ecuaciones que deshacen las acciones de otras funciones. Por ejemplo, la función f () = realiza las siguientes operaciones sobre : multiplica por 3 suma 1. La función inversa, llamada f 1 (), revierte las operaciones: resta 1 divide por 3. Por lo tanto, f 1 () = 1 3. Ejemplo 1 Halla la inversa de cada función. a. h() = 6 3 b. g() = 2( + 4) La función del punto (a) resta 6 al valor de entrada () divide el resultado por 3. La función inversa revierte el proceso. Por lo tanto, la función inversa debería multiplicar por 3 luego sumar 6. La función inversa es h 1 () = Prueba un valor de entrada en la función original: Para = 6, h(6) = = 0. Usa el valor de salida como valor de entrada de la inversa: Para = 0, h 1 (0) = 3(0) + 6 = 6. La función inversa deshace la función original, lo que arroja el valor de entrada original: 6. En el punto (b), la función g() suma 4 al valor de entrada multiplica el resultado por 2. La función inversa debe dividir primero por 2 luego restar 4. Por lo tanto, g 1 () = 2 4. Para verificar este resultado, prueba un valor de entrada en la función original: g(1) = 2(1 + 4) = 10. Usa el valor de salida como valor de entrada de la función inversa: g 1 (10) = = 5 4 = 1. La función inversa deshace la función original, lo que arroja el valor de entrada original: 1. Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

12 Problemas Escribe la inversa de cada una de las siguientes funciones: 1. f () = 8( 13) 2. f () = f () = 5(+2) 3 4. f () = f () = g() = 5 7. g() = 4( + 1) 3 8. j() = 2( + 2) 9. h() = g() = Respuestas 1. f 1 () = f 1 () = f 1 () = f 1 () = f 1 () = = g 1 () = 5 7. g 1 () = j 1 () = h 1 () = g 1 () = CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada II