Conversión de la forma general a la forma ordinaria

Transcripción

1 Conversión de la forma general a la forma ordinaria Ahora que ya conocemos las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia y que ya hemos hecho conversiones de la forma ordinaria a la forma general, vamos a estudiar el proceso inverso: convertir la ecuación de una circunferencia de su forma general a la forma ordinaria. Para la conversión de la forma ordinaria a la forma general necesitamos desarrollar los binomios que quedaron indicados en la ecuación. En la conversión de la forma general a la forma ordinaria vamos a requerir factorizar completando cuadrados para expresar un trinomio en la forma de un binomio al cuadrado. Convierte la ecuación de la circunferencia x 2 + y 2 8 x 10 y + 25 = 0 Ejemplo 1 a la forma ordinaria. Empezamos ordenando los términos. Escribiremos primero los que contienen a la literal x y al final los términos que contienen la literal y: x 2 8 x + y 2 10 y = 25 Ahora vamos a completar cuadrados. Para esto, observa que: x 2 8 x + 16 = (x 4) 2. Para darte cuenta de esto fijate en el coeficiente del término que tiene la literal con exponente 1. En este caso, 8 es tal coeficiente. Sacamos la mitad de este número y obtenemos 4. Entonces, (x 4) 2 servirá para completar el cuadrado. Para completar el cuadrado vamos a sumar en ambos lados de la igualdad 16: x 2 8 x y 2 10 y = Ahora vamos a factorizar la parte de y. (x 4) 2 + y 2 10 y = 9 La mitad de 10 es 5, así que probamos con (y 5) 2 = y 2 10 y + 25 (x 4) 2 + y 2 10 y + 25 = (x 4) 2 + (y 5) 2 = 16 Esta es la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria. Para verificar que el cálculo es correcto, puedes hacer la conversión a la forma general. Debes obtener la ecuación con la que iniciamos. 1/6

2 Fácilmente podemos encontrar el centro y el radio de una circunferencia cuando está en su forma ordinaria. Debido a esto, cuando encontremos ecuaciones de circunferencias en su forma general nos conviene convertirlas a la forma ordinaria para graficarlas. Ejemplo 2 Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: x 2 + y x 6 y + 9 = 0 Vamos a empezar convirtiendo la ecuación a su forma ordinaria. Completamos cuadrados usando los términos que contienen a x. Así que vamos a sumar 4 en ambos lados de la igualdad: x x + y 2 6 y = 9 x x y 2 6 y = (x + 2) 2 + y 2 6 y = 5 Ahora vamos a completar cuadrados con los términos que contienen a y. Para esto, sumamos 9 en ambos lados de la igualdad: (x + 2) 2 + y 2 6 y + 9 = (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 4 Ahora podemos ver que 2 = h, que implica h = 2. También, 3 = k, por lo que k = 3. Además, r 2 = 4, es decir, r = 2. Entonces, el centro está en C( 2, 3) y el radio de la circunferencia es r = 2. Se te queda como ejercicio graficar la circunferencia en tu cuaderno. Ejemplo 3 Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: x 2 + y x + 4 y 11 = 0 Empezamos ordenando los términos: x 2 + y x + 4 y 11 = 0 x x + y y = /6

3 Ahora sumamos en ambos lados 1 y 4 para poder completar los cuadrados: x x y y + 4 = (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 16 De la ecuación vemos que h = 1 h = 1, y que k = 2 k = 2. Entonces, el centro de la circunferencia es el punto C(h, k) = C( 1, 2). Por otra parte, de la ecuación vemos también que r 2 = 16. Esto implica que el radio de la circunferencia es: r = 4. Enseguida está la gráfica de esta circunferencia: 2 y x 1 C( 1, 2) 2 x 2 + y x + 4 y 11 = Encuentra el máximo valor que puede tener la variable y para satisfacer la ecuación: x 2 + y 2 8 x 6 y = 0 Ejemplo 4 Para encontrar el máximo valor que puede tener la variable y vamos a expresar la ecuación en la forma ordinaria. Para eso,completamos cuadrados: x 2 + y 2 8 x 6 y = 0 x 2 8 x y 2 6 y + 9 = (x 4) 2 + (y 3) 2 = /6

4 De la ecuación fácilmente podemos saber el centro y el radio de la circunferencia: Centro: C(h, k) = C(4, 3). Radio: r = 25 = 5 Ahora podemos graficar y de la gráfica ver el máximo valor que puede tener y para satisfacer la ecuación: 8 y C(4, 3) 2 1 x 2 + y 2 8 x 6 y = x 2 El máximo valor que puede tomar la variable y está sobre la circunferencia, exactamente encima del centro, es decir, y = 8. Una vez que sabíamos que se trataba de una circunferencia podíamos conocer el máximo valor que puede tomar la variable y. Para esto, bastaba reconocer que el máximo valor para y está exactamente a 5 unidades (que es lo que mide el radio) arriba del centro de la circunferencia. Para el centro de la circunferencia y = k = 3. Al sumar 5 a este valor obtenemos el resultado. Ejemplo 5 Calcula las coordenadas del centro y el radio de la circuferencia: 9 x y 2 49 = 0 En este caso no se require completar cuadrados, lo que tenemos que hacer es expresar la ecuación en la forma ordinaria: Empezamos sumadno en ambos lados de la igualdad 49 y después dividimos entre 9: 9 x y 2 = ( 7 x 2 + y 2 = 3 Ahora vemos que el centro de la circunferencia es el origen del sistema de coordenadas y el radio es 7/3. ) 2 4/6

5 La gráfica muestra este hecho: y 2 9 x y 2 49 = 0 1 C(0, 0) x 1 2 Además del método de completar cuadrados podemos utilizar las fórmulas: que encontramos a partir de: D = 2 h E = 2 k F = h 2 + k 2 r 2 (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 x 2 2 hx + h 2 + y 2 2 ky + k 2 r 2 = 0 x 2 + y 2 2 hx 2 ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 Para que veas que esto es verdad vamos a resolver un ejemplo más utlizando estas fórmulas. Convierte a la forma ordinaria la ecuación de la circunferencia: x 2 + y 2 10 x 4 y 7 = 0 Ejemplo 6 De acuerdo a la ecuación: x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 tenemos que: D = 10, E = 4 y F = 7. Por las fórmulas D = 2 h E = 2 k F = h 2 + k 2 r 2 podemos encontrar inmediatamente h, k y r sustituyendo los valores conocidos y despejando 5/6

6 la incógnita en cada caso: 10 = 2 h h = 5 4 = 2 k k = 2 7 = h 2 + k 2 r 2 7 = (5) 2 + (2) 2 r 2 r 2 = = 36 r = 6 Entonces, la ecuación de la recta en la forma ordinaria es: (x 5) 2 + (y 2) 2 = 36 Albert Einstein Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 31 de julio de Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.mx 6/6