Profr. Efraín Soto Apolinar. Función logarítmica

Transcripción

1 Función logarítmica Ya hemos definido la función eponencial. Supongamos que sabemos que =, deseamos conocer qué valor debe tener para que la igualdad sea verdadera. En otras palabras, deseamos conocer a qué potencia debemos elevar la base para obtener. Precisamente así es como se motivó el concepto de logaritmo. Concepto de función logarítmica Sin necesidad de calculadora, si multiplicamos al número por sí mismo 9 veces obtendremos. Es decir, si =, entonces = 9. Esta es precisamente la definición de logaritmo. Logaritmo Si = a, entonces, se define: = se lee: «el logaritmo del número en la base a es igual a.» Definición Podemos convertir de una forma eponencial a la forma logarítmica usando la definición anterior. Observa que, de acuerdo a la definición de función inversa, la función eponencial es la función inversa de la función logarimica viceversa. Si intercambiamos las literales, obtendremos la notación de función que hemos estado usando. Función logarimica Una función es logarítmica si es del tipo: donde a > 0 es distinto de. = Definición Observa que = implica que a =. Esto nos indica que la función eponencial es la inversa de la función logarítmica. Es decir, si conocemos los puntos por donde pasa la función eponencial, intercambiando la coordenada de por la de viceversa para cada punto, podremos fácilmente graficar una función eponencial. En otras palabras, la función = sirve como un eje de simetría para las gráficas de ambas funciones. Grafica la función logarítmica: Calcula su dominio su contradominio. Ejemplo Nosotros a habíamos graficado la función eponencial =. Ahora podemos cambiar los valores de las coordenadas de por de por, obtenemos la siguiente tabla: /

2 = = 7 8 Como las funciones = son inversas una de la otra, el dominio de la primera es el contradominio de la primera viceversa. Entonces, el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales positivos. Y el contradominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. Observa que dado que = es la función inversa de = a se cumple: = (a ) = Esto es mu fácil de justificar, porque el resultado de (a ) es el eponente al cual debemos elevar el número a para obtener a. Pero la pregunta tiene la respuesta: para obtener a debemos multiplicar el número a en total veces. Puedes memorizar fácilmente este resultado pensando que, como la función logarimica es inversa de la función eponencial, se cancelan mutuamente: = log a (( a) ) = También recuerda que para todo a = 0 se cumple: a 0 =. De aquí que: = 0 Es decir, si elevamos el número a a la potencia 0, obtenemos como resultado. Esto puedes verlo de la gráfica del ejemplo anterior, anque se va a cumplir para cualquier base a válida que demos a la función logaritmo. Ejemplo Grafica la función logarítmica: Calcula su dominio su contradominio. = log De nuevo nos basaremos en la gráfica de la función eponencial con base. /

3 El ejemplo está resuelto en la página??. = log = = = log Observa que el argumento de la función logaritmo necesariamente debe ser positivo. Entonces, si deseamos graficar la función = log( ), el dominio de esta función será tal que los valores del argumento de la función sean positivos. Es decir, para los valores en los cuales es positivo. Esto ocurre cuando < 0. Grafica la función logarítmica: Calcula su dominio su contradominio. = log Ejemplo Ahora se requiere que sea negativo, para que el valor de sea positivo así, la función logaritmo pueda devolver un valor. = log Ahora el eje de simetría de la figura estará dada por la función =. /

4 = log ( ) = = Con los ejemplos anteriores debe ser sencillo graficar la función. Así que se te queda de ejercicio. Si recuerdas, las propiedades de los logaritmos pueden audarnos a graficar de una manera más sencilla otras funciones logarítmicas. Ejemplo Grafica la siguiente función logarimica: ( ) Usando la propiedad de los logaritmos que dice: n = n podemos transformar la función a la siguiente forma: = log Así, la gráfica de esta función se obtiene dilatando por la gráfica de la función. /

5 ( ) 7 8 Observa que ambas gráficas cortan al eje en el mismo punto, como era de esperarse. Entonces, para graficar una función logarimica «complicada», algunas veces servirá transformarla para bosquejar su gráfica a partir de una función logarítmica que a conozcamos. En el último ejemplo graficamos la función ( ) a través de la dilatación de la gráfica de la función utilizando una propiedad de los logaritmos. La propiedad que hemos utilizado para graficar esta función logarítmica también funciona con eponentes racionales. Grafica la siguiente función logarimica: Ejemplo Podemos transformar esta función a la siguiente forma: = log [() /] = log Así que ahora dilataremos por / la gráfica de la función para obtener la gráfica de la función: /

6 Observa que ambas gráficas cortan al eje en el mismo punto, como era de esperarse. Albert Einstein Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 00 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 07 de agosto de 00. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méico. 00. Espero que estos trucos se distribuan entre profesores de matemáticas de todos los niveles sean divulgados entre otros profesores sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.m /