Desigualdades con una incógnita

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Emilia Poblete Martín
hace 7 años
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1 Desigualdades con una incógnita Nosotros utilizaremos las propiedades de las desigualdades para epresarlas de la manera más simple posible. Resuelve la desigualdad: 5 1 > 24 Ejemplo 1 Empezamos sumando 1 en ambos lados de la desigualdad. Este paso se justifica con la propiedad (i) > > 25 Ahora podemos dividir entre 5 ambos lados de la desigualdad. Dado que 5 > 0 el sentido de la desigualdad no cambia. 5 5 > 25 5 > 5 Entonces la desigualdad: 5 1 > 24 epresada en su forma más simple es equivalente a la desigualdad: > 5. Geométricamente, tenemos: Otra forma equivalente de escribir este resultado es: (5, ). De nuevo, el círculo al inicio de la desigualdad está vacío indicando que 5 no satisface la desigualdad. Esto es así porque 5 5. Sino 5 = 5. Notación de intervalos Los intervalos con límites en a y b, se pueden epresar como: i) (a, b) que incluye a todos los valores entre a y b, ecluyendo a los límites. ii) [a, b) que incluye a todos los valoes entre a y b, incluyendo a a pero ecluyendo a b. iii) (a, b) que incluye a todos los valoes entre a y b, ecluyendo a a pero incluyendo a b. Definición 1 iv) [a, b] que incluye a todos los valoes entre a y b, incluyendo a a al igual que a b. De manera semejante, en notación de desigualdades podemos reescribir los intervalos como sigue: 1/5

2 Equivalencia entre la notación de intervalos y de desigualdades En cada uno de los siguientes intervalos están incluidos además, todos los valores entre a y b. i) (a, b) = { a < < b} ni a ni b están en el conjunto. Comentario ii) [a, b) = { a < b} a sí está en el conjunto, pero b no. iii) (a, b] = { a < b} b sí está en el conjunto, pero a no. iv) [a, b] = { a b} tanto a como b están en el conjunto. Observa que en la desigualdad a, en palabras, a es menor o igual a, por eso = a satisface esa igualdad. Porque a puede ser igual a, y por las propiedades de la igualdad, puede ser igual a a. Ejemplo 2 Interpreta geométricamente la siguiente desigualdad 2 < 7 Observa que esta desigualdad está compuesta de dos desigualdades: 2 y < 7 Podemos interpretar la desigualdad 2 < 7 como el conjunto de todos los números que son menores a 7, pero mayores o iguales a 2. Interpretar gemétricamente esto es muy sencillo: [ ) Observa en la soución geométrica que hemos utilizado un corchete ([) para indicar que = 2 satisface la desigualdad. También se ha utilizado un paréntesis al final del intervalo ()) para indicar que = 7 no satisface la desigualdad. Como debes suponer, esto viene de la notación de intervalos. Observa que la solución es equivalente a la intersección de las soluciones de las dos desigualdades: 2 2 y < 7 como era de esperarse. Resuelve algebraicamente la siguiente desigualdad: Ejemplo muestra la solución en notación de intervalos y da una interpretación geométrica del resultado. Empezamos resolviendo la desigualdad: /5

3 Observa que el 7 sí está incluido en el conjunto solución. En notación de intervalos este resultado se epresa como: (, 7]. Geométricamente tenemos la siguiente situación: ] Itzel desea contratar un medio de transporte para un evento que está organizando. Un taista le cobra $25.00 pesos por contrato, más $1.40 pesos por kilómetro recorrido. Por otra parte, puede alquilar una suburban todo un día por $ pesos. La suburban recorre en promedio 11 kilómetros por litro de gasolina y cada litro cuesta $7.50 pesos. A partir de cuántos kilómetros le sale más barato contratar la suburban? Ejemplo 4 Primero vamos a calcular cuánto le cuesta cada kilómetro recorrido en la suburban. Cada litro de gasolina le permite recorrer 11 kilómetros en promedio y el litro de gasolina le cuesta $7.50. Usando una regla de tres encontramos que un kilómetro recorrido le cuesta $0.68 pesos aproimadamente. Entonces, el costo de recorrer kilómetros en el tai es: C t = 25 contrato km recorridos Por otra parte, el costo de recorrer kilómetros en la suburban es: C s = 750 alquiler gasolina Queremos calcular los kilómetros que debe recorrer para que el costo de recorrer esa distancia en la suburban sea menor que el costo en el tai: C s < C t < < < < < > La última desigualdad nos dice que la solución de: C s < C t es: > En palabras, si recorre más de kilómetros, alquilar la suburban le sale más barato que contratar el tai. Es decir, si recorre menos de kilómetros, le conviene mejor pagar el tai. 3/5

4 Ejemplo 5 Pablo contrató un servicio de buffet para el día de su boda. Cada platillo cuesta $ pesos y le hacen un descuento de $10.00 pesos en todos los platillos después de los 200 platillos servidos. El salón donde se hará la fiesta tiene capacidad para 350 personas. Cuántos platillos debe adquirir si asignó $ pesos para la comida de su boda? Pablo asignó $ pesos para la comida. Algebraicamente el costo cada uno de los platillos es: { 225 si 200 C = 215 si > 200 Por los primeros 200 platillos pagaría: (225)(200) = pesos Pero si solicita un platillo más, cada platillo etra costará $10.00 pesos menos. Entonces, por 201 platillos debería pagar: (225)(200) primeros (1)(215) = = pesos último Suponiendo que le lleguen más de 200 invitados y todos pidan un platillo, por cada platillo, después de los primeros 200 debería pagar 215. Nosotros queremos que el importe sea menor o igual a la cantidad asignada a la comida de la fiesta: 200 (225) platillos de $ ( 200) platillos de $ ( 200) (225) Como el número de platillos debe ser entero, podrá pagar 223 platillos. En total pagará: (200)(225) + (23)(215) = pesos, y le sobran $55.00 pesos de lo presupuestado para la comida. 4/5

5 Albert Einstein Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 2010 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 22 de agosto de Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Méico Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.m 5/5

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