Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión

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1 Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Alberto Rodríguez Casal 25 de septiembre de 2015

2 Definición Una clase (no vacía) A de subconjuntos de Ω se dice que es un álgebra si A es cerrada para la formación de complementarios y uniones finitas Comentario 1. Por las leyes de De Moivre, un álgebra también es cerrada para las intersecciones finitas 2. Un algebra siempre contiene a Ω y Ejemplo Consideremos la siguiente familia de conjuntos en la recta real: C I = {Todos los intervalos (a, b], (a, ), (, b] : < a < b < } C F = {Uniones disjuntas y finitas de intervalos de C I } La clase C F es un álgebra que no es una σ-álgebra. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

3 Definición Una clase (no vacía) A de subconjuntos de Ω se dice que es una clase monótona si 1. Para cualquier sucesión monótona creciente de conjuntos de A, A n, se tiene que n A n A 2. Para cualquier sucesión monótona decreciente de conjuntos de A, A n, se tiene que n A n A Ejemplo Un álgebra que además es una clase monótona es un σ-álgebra. Obviamente, el recíproco también se cierto. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

4 Proposición La intersección arbitraria de álgebras es un álgebras. Este resultado es también cierto si reemplazamos en el enunciado anterior la palabra álgebra por σ-álgebra o clase monótona. Definición Se define la σ-álgebra generada por C como σ(c) = {F : F es una σ-álgebra tal que C F} Una clase muy importante de conjuntos es la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos de R. Esta σ-álgebra se denomina σ-álgebra de Borel y se denota por B. Esta σ-álgebra coincide con la generada por C I. Este resultado se puede probar con ayuda del siguiente ejercicio. Ejercicio: Probar que si C 1 y C 2 son dos familias de subconjuntos de Ω tal que C 1 σ(c 2 ) y C 2 σ(c 1 ) entonces σ(c 1 ) = σ(c 2 ) Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

5 Hemos visto que una σ-álgebra es un álgebra que además es una clase monótona. El siguiente resultado, que usaremos en el Teorema de Extensión, nos garantiza que, si completamos un álgebra para que sea también una clase monótona, obtenemos una σ-álgebra. Teorema Sea C un álgebra y m(c) la clase monótona generada por C. Entonces m(c) = σ(c) Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

6 El resultado fundamental de este capítulo es el siguiente. Proposición Cualquier medida de probabilidad definida en un álgebra C puede ser extendida, de forma única, a la σ-álgebra generada por C. Comentario El resultado anterior es también cierto si en vez de extender una probabilidad queremos extender una medida. Una medida, µ, se define igual que una probabilidad salvo que no se pide que µ(ω) = 1. De hecho, µ(ω) puede ser infinito. Por tanto, µ es una aplicación de F en [0, ]. La unicidad de la extensión sólo se puede garantizar si µ es σ-finita, es decir, Ω = n Ω n (Ω n Ω m =, n m) tal que Ω n F y µ(ω n ) <. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

7 Demostraremos el resultado para una medida µ general. La idea clave de la demostración es construir la extensión de µ a partir de la medida exterior, que está definida para cualquier subconjunto de Ω. Dado A Ω se define su medida exterior como µ (A) = ínf{ n µ(a n ) : A n A n, A n C}. Veremos que µ extiende a µ y que además tiene propiedades de medida en una familia de conjuntos que contiene a σ(c). La prueba estará dividida en varios pasos. Paso 1: µ ( ) = 0 (ejercicio), µ es monótona (ejercicio) y numerable subaditiva, esto es, µ ( n A n ) µ (A n ). n Sólo demostraremos esta última propiedad. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

8 Sean A 1, A 2,... Ω. Por definición de µ se tiene que, para cualquier ɛ > 0, podemos encontrar una familia de conjuntos, {A nk } contenida en C tal que, para cada n se tiene que A n k=1 A nk, y k µ(a nk ) µ (A n ) + ɛ 2 n. Así, como {A nk } n,k contiene a n A n, se tiene que ( ) µ A n µ(a nk ) µ (A n ) + ɛ. n=1 n,k n Como esto es válido para cualquier ɛ se concluye la prueba del Paso 1. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

9 Paso 2: µ extiende a µ en C (ejercicio) Hemos visto que la medida exterior µ comparte ciertas propiedades con una medida. Sin embargo sabemos que (al menos en general) no puede ser aditiva numerable en todos los subconjuntos de Ω. Sí lo será en una familia de conjuntos razonables. Una primera idea sería tomar aquellos conjuntos para los cuales µ (A) + µ (A c ) = µ (Ω). Sin embargo esto no es suficiente. Por ello se define la clase de conjuntos M = {A Ω : µ (A E) + µ (A c E) = µ (E), E Ω}. Puede parecer una condición muy restrictiva pero no lo es ya que veremos que M define una σ-álgebra que contiene a C. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

10 Paso 3: C M Como µ es subaditiva para probar que C C está en M basta probar que, para todo E Ω µ (E) µ (E C) + µ (E C c ). Dado E Ω sea ɛ > 0 arbitrario. Existe un cubrimiento {A n } C de E tal que µ (E) + ɛ µ(a n ). n Ahora bien µ(a n ) = µ(a n C) + µ(a n C c ). Por tanto µ (E) + ɛ n µ(a n C) + n µ(a n C c ) µ (E C) + µ (E C c ). Pero ɛ es arbitrario lo cual prueba el Paso 3. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

11 Nos queda probar que M es una σ-álgebra y que µ es aditiva numerable en M. Antes de abordar el caso numerable, analizaremos las operaciones finitas. Paso 4: M es un álgebra. Algunas propiedades de álgebra son triviales. Es evidente que Ω M y que M es cerrada para la formación de complementarios. Sólo nos quedaría probar que M es cerrada para las intersecciones finitas. Sean A, B M y E Ω un subconjunto de Ω. Por la subaditividad de µ µ ((A B) E) + µ ((A B) c E) = µ (A B E) + µ ((A c B c ) E) = µ (A B E) + µ ((A c B E) (A B c E) (A c B c E)) µ (A B E) + µ (A c B E) + µ (A B c E) + µ (A c B c E) = µ (B E) + µ (B c E) (ya que A M) = µ (E) (ya que B M) Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

12 Paso 5: µ es aditiva finita en M. Esto es, para A 1,..., A n M, A i A j = ((i j), se tiene que µ ( n i=1 A i) = n i=1 µ (A i ) Sea A, B M disjuntos. µ (A B) = µ ((A B) A) + µ ((A B) A c ) = µ (A) + µ (B) Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

13 Paso 6: M es una σ-álgebra Sean A 1, A 2,... M. Queremos demostrar que A = A n M. Sabemos que, por ser M un álgebra, para todo n dado, n k=1 A k M. Dado E Ω, arbitrario, como A c ( n 1 A k) c, por la monotonía de µ µ (E) = µ (E ( n k=1 A k)) + µ (E ( n k=1 A k) c ) µ (E ( n k=1 A k)) + µ (E A c ) n µ (E A k ) + µ (E A c ). k=1 Si n tiende a infinito, por la subaditividad numerable de µ, µ (E) µ (E A k ) + µ (E A c ) µ (E A) + µ (E A c ). k=1 Es decir, A M. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

14 Paso 7: µ es aditiva numerable en M. Si en el Paso 6 reemplazamos E por A = n=1 A n, donde A n M son disjuntos dos a dos, tendríamos que µ (A) µ (A n ). La subaditividad numerable de µ probaría la desigualdad en el otro sentido. n=1 Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

15 Queda demostrar la unicidad. Sean µ 1 y µ 2 tal que µ 1 (A) = µ 2 (A) para todo A σ(c). Sea I = {A σ(c) : µ 1 (A) = µ 2 (A)}. Por hipótesis, C I. Es muy fácil ver que, si la medida a extender es finita en C, I es una clase monótona. Como C es un álgebra, σ(c) I. La prueba de la unicidad para medidas σ-finitas se deja como ejercicio (ver página 14, Shorack, 2000). Shorack (2000) Probability for Statisticians, Springer. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

16 Aunque veremos la definición de función de distribución con más calma cuando definamos una variable aleatoria, a continuación utilizaremos ese concepto para definir medidas de probabilidad (o más en general, medidas) en la recta real. A las medidas que vamos a definir a continuación se les conoce con el nombre de medidas de Lebesgue-Stieltjes porque asignan medida finita a intervalos finitos. Definición Sea F : R R una función continua por la derecha y monótona creciente (a estas funciones se les conoce con el nombre de funciones de distribución generalizadas). Sea F ( ) = ĺım y F (y) la versión continua por la izquierda de F. La masa de F se define como F ( ) = F ( ) F ( ), mientras F (a, b] = F (b) F (a), a < b, se denomina la función de incremento de F. Identificaremos dos funciones de distribución generalizadas con la misma función de incremento. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

17 Ejemplos Como ejemplos de medidas de Lebesgue-Stieltjes podemos considerar: 1. La medida de Lebesgue, λ, se construye a partir de F (x) = x. 2. La medida de contar viene dada por la función de distribución generalizada F (x) = x 3. La masa puntual en el punto x 0 se construye a partir de F (x) = I [x0, ) Teorema La relación µ((a, b]) = F (b) F (a) establece una relación 1 a 1 entre las medidas de Lebesgue-Stieltjes sobre la recta real (con la σ-álgebra de Borel) y las funciones de distribución generalizadas (supuesto que identificamos aquellas con la misma función de incremento) Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

18 Es fácil ver que toda medida de Lebesgue-Stieltjes define una función de distribución generalizada a través de la relación µ((a, b]) = F (b) F (a). Veamos ahora la prueba del recíproco. Dada una función de distribución generalizada, F, definamos µ en la clase I de los intervalos de la forma (a, b]. A continuación probaremos que µ cumple la propiedad de aditividad numerable en I. Posteriormente extenderemos µ al álgebra de sucesos donde C F = {Uniones disjuntas y finitas de intervalos de C I }, C I = {Todos los intervalos (a, b], (a, ), (, b] : < a < b < }. Aquí sólo probaremos el primero de los pasos, la aditividad numerable en I. Ver Shorack (2000), página 19 para la demostración completa. Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

19 Paso 1: Aditividad numerable en I. Utilizaremos un resultado muy conocido de análisis: el valor de una serie de números positivos no depende del orden en que se sume la serie. Ordenemos los intervalos I n de forma decreciente. Es claro que b 1 = b y además, como son disjuntos y la unión es (a, b] se tiene que a 1 = b 2, a 2 = b 3,.... La suma parcial n-ésima viene dada por n µ(i k ) = F (b 1 ) F (a 1 )+F (b 2 ) F (a 2 )+ F (b n ) F (a n ) = F (b) F (a n ). k=1 Como a n a y F es continua por la derecha se tiene que µ(i k ) = F (b) F (a) = µ((a, b]). k=1 Alberto Rodríguez Casal () Teorema de Extensión 25 de septiembre de / 19

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