Variables Aleatorias

Transcripción

1 Variables Aleatorias Memo Garro Resumen En este artículo introduciremos un tipo específico de funciones definidas sobre la dupla (Ω F. Estas funciones son llamadas variables aleatorias y son de gran importancia en la modelación estocástica de problemas empíricos pues su uso permite un estudio cuantitativo más preciso. También es significativa su aplicación en los problemas teóricos como principio fundamental de los conceptos de función de distribución de densidad y esperanza matemática. En esta ocasión también demostraremos un teorema básico de aproximación. Según el cual aún sin conocer la naturaleza de una variable aleatoria podremos encontrar una sucesión de un tipo de variables aleatorias súmamente simples que nos aproximan a ella. Conviene guardar en mente este teorema pues gracias a él podremos ingresar de forma más intuitiva pero muy segura al concepto de esperanza en momentos posteriores del curso. 1 Introducción Antes de comenzar decifraremos de forma muy intuitiv el sentido probabilístico que corresponde a la σ-álgebra en la modelación estocástica de los fenómenos aleatorios. En la modelación cuantitativa de un fenómeno aleatorio asociado con un experiemento no sólo es de nuestro interés reconocer los resultados únicos a realizarse (los posibles resultados registrados en el espacio Ω sino también determinar los fenómenos aleatorios cuya naturaleza corresponde al tipo de experimento que investigamos llamados eventos probables. Por ejemplo el espacio Ω = { } corresponde al experimento de lanzar un dado de 6 caras y el subconjunto E = {1 3 5} representa el evento en que la cara con que cae el dado es impar. La definición (ocurrencia de un evento estará siempre asociada a la realización de determinados resultados posibles. En realidad la distinción entre espacio muestral y espacio de eventos deriva de la distinción técnica entre los términos posible y probable. Hablar de un evento probable es decir que identificamos que tal evento posee una medida cuantitativa que llamamos probabilidad. La frase posible resultado en cambio sólo refiere un tipo de suceso que puede verificarse en el transcurso del experimento independientemente de que tenga asignada una probabilidad. Por ejempo si en una urna tenemos nueve bolas numeradas del 1 al 9 y un experimento consiste en extraer (sin reemplazo dos bolas de la urna y observar los números con los que están marcadas entonces nuestro espacio Ω de posibles resultados es establecido al responder la pregunta qué puede suceder? siendo pues igual a {(i j : i j = ; i j}. Ahora bien si dentro de este experimento nos interesa estudiar el fenómeno aleatorio de que sean 1

2 extraídas dos bolas marcadas con números pares entonces nuestro espacio F de eventos probables relacionados con este fenómeno debe responder ciertos principios fundamentales: Primer principio. Obviamente debemos considerar como probable el evento salen números pares representado por el subconjunto E := {(2 4 ( (8 6}. Es decir E debe pertenecer a F. Segundo principio. En general en el transcurso de un experimento la realización de cualquier evento puede verificarse o no por lo que el evento complementario debe ser también reconocido como evento probable. En nuestro caso el evento complementario no salen bolas pares está representado por Ω\E que debe también ser un evento probable es decir debe pertenecer a F. Tercer principio. Aparentemente nuestro espacio F está completo sin embargo notamos que en un sentido estrictamente lógico debemos también considerar como probable el evento algo sucede o más específicamente las bolas extraídas están marcadas con algún número entre 1 y 9. Es decir el espacio total Ω debe ser incluido en F. Y si es así el evento las bolas no están marcadas debe estar también allí dentro es decir F. Luego nuestro espacio de eventos probables es la familia F = {Ω E Ω\E}. la cual es un σ-álgebra en Ω. Por otra parte si consideramos un modelo de probabilidad frecuentista entonces en nuestro ejemplo la asignación de probabilidades P : F [0 1] queda razonablemente determinada por la siguiente regla 1 si F = Ω 1/6 si F = E P[F ] = 5/6 si F = Ω\E 0 si F =. Para este modelo en particular el evento sale 1 en la primer extracción y sale 2 en la segunda (es decir el subconjunto {(1 2} es posible (i.e. (1 2 Ω Â pero improbable! es decir no tiene asignada una probabilidad o en términos simbólicos {(1 2} / F. Como sabemos para fines prácticos (aunque no en todos los casos cuando se trata de modelos experimentales finitos (i.e. cuando Ω es un espacio muestral finito en realidad se toma en cuenta que todo suceso asociado a cualquier número de resultados posibles es también probable siendo el evento (evento nada sucede el único evento imposible y probable (con probabilidad cero. Estos modelos son conocidos como modelos frecuentistas de probabilidad. En general en sentido probabilístico una σ-álgebra F denota siempre el espacio de eventos probables según la naturaleza del modelo del que se trate (es decir tanto del fenómeno aleatorio en investigación y de la terna (Ω F P. Y como hemos visto la exigencia de que F sea igual a P(Ω (es decir todo evento posible es probable siendo el único evento imposible pero probable no es necesaria. Finalmente según lo que sabemos de los anteriores artículos toda σ-álgebra F en Ω está contenida en P(Ω entonces observamos que en general todo evento probable es necesariamente un evento posible; a no ser que se trate del evento el cual es imposible pero probable. 2

3 2 Variables aleatorias Consideremos el experimento de lanzar un par de dados honestos y observar el número en el que caen. Nuestro espacio muestral es Ω = {(1 1 (1 2 ( (6 5 (6 6}. Para completar nuestro espacio consideremos el conjunto potencia de Ω como nuestro espacio de eventos F. Supongamos ahora que necesitamos modelar el fenómeno de que la diferencia absoluta entre los dos dados después de lanzarlos sea exactamente 2. Denotemos por E este fenómeno. En notación de conjuntos E = {(1 3 (3 1 ( (4 6 (6 4}. Claramente E F. Ahora bien definimos la función X : Ω R tal que para ω = (i j Ω X(ω = i j (la diferencia absoluta entre los valores de los dados. Luego notamos que E = { ω Ω : X(ω = 2} = X 1 ({2} entonces X 1 ({2} F. Ahora bien podríamos estar interesados en la probabilidad del evento en que la diferencia absoluta esté en un rango acotado por los números a b. Si E 1 es tal evento entonces E 1 = { ω : X(ω [a b]} = X 1 ([a b] y no es difícil mostrar que E 1 F (pues F es el potencia es decir X 1 ([a b] F. En general si B B(R y consideramos el evento E B en que la diferencia absoluta está en B entonces E B = { ω : X(ω B} = X 1 (B y no es difícil probar que X 1 (B F. La imagen inversa de todo B en B(R bajo X es un evento probable es decir pertenece a F. Decimos entonces que X es un buen modelo para investigar el comportamiento de la diferencia absoluta de los valores de los dados al ser lanzados y recibe el nombre de variable aleatoria. Definición 2.1 (Variable Aleatoria. Sea (Ω F un espacio de medida. Una función X : Ω R es variable aleatoria sobre el espacio (Ω F si para todo B B(R se verifica que X 1 (B F o de otra forma X 1 [B(R] F. Observación 2.1. Particularmente si consideramos como espacio de medida la dupla (R B(R y una función G : R R tal que G 1 [B(R] B(R entonces decimos que la función G es una función borel medible como sinónimo de variable aleatoria. 3

4 La interpretación probabilística es que una variable aleatoria modela cuantitativamente eventos probables relacionados con fenómenos aleatorios dentro de un experimento. Es decir una variable aleatoria es un buen modelo cuantitativo para ciertos fenómenos aleatorios. Ejemplo 2.1. Si consideramos el experimento de lanzar una moneda tres veces entonces podemos decir que un fenómeno aleatorio es cae sol y un evento probable relacionado con este fenómeno es por ejemplo caen 2 soles o también caen 3 soles etc. En términos más precisos si la letra a representa el resultado la moneda cae en águila y s el resultado cae sol entonces Ω = {(a a a (a a s (a s a (a s s (s s s (s s a (s a s (s a a} y si definimos X como la variable aleatoria que denota el número de soles que caen en los tres lanzamientos entonces el rango de X es Ejemplo 2.2. Consideremos el experimento del ejemplo anterior. Nosotros llamaremos corrida a una sucesión de 1 2 ó 3 resultados iguales (sin interrupción en el experimento de lanzar una moneda tres veces. Por ejemplo si en este experiemento se obtuvo (a a a decimos que hay una corrida. En cambio si se obtuvo decimos que hay 2 corridas. Y en la terna (a s s (a s a hay tres corridas. Entonces una corrida es un fenómeno aleatorio y los eventos probables asociados a este fenómeno son hay una corrida hay dos corridas y hay tres corridas. De modo que nuestro modelo queda completo si introducimos la variable aleatoria Y que denota el número de corridas obtenidas después de lanzar la moneda tres veces. El rango de Y es entonces 1 2 y 3. A continuación estudiamos ejemplos más generales. Ejemplo 2.3. Si X : Ω R tal que X(ω = α con α R entonces X es una variable aleatoria. Efectivamente sea B B(R entonces { X 1 Ω si α B (B = si α / B en cualquier caso X 1 (B F. 4

5 Ejemplo 2.4. Sea A F entonces la función indicadora de A I A : Ω R es una variable aleatoria. En efecto sea B B(R entonces Ω si 1 B y 0 B I 1 A (B = A si 1 B y 0 / B A c si 1 / B y 0 B si 1 / B y 0 / B en cualquier caso I 1 A (B F. Ejemplo 2.5. Sea Ω = { }. Consideremos la σ-álgebra F = { Ω {1} {2} {1 2} {3 4} {1 3 4} {2 3 4}}. Definimos la función X : Ω R dada por 1 si ω {3} X(ω = 0 si ω {2} 1 si ω {1 4}. Entonces X no es variable aleatoria. En efecto sabemos que {1} B(R pero X 1 ({1} = { ω Ω X(ω = 1} = {3} y claramente {3} / F. Sin embargo si consideramos la σ-álgebra entonces para todo B B(R G = { Ω {2} {3} {1 4} {2 3} {1 2 4} {1 3 4}} Ω si { 1 0 1} B {1 2 4} si { 1 0} B y {1} B {1 3 4} si { 1 1} B y {0} B X 1 {2 3} si {0 1} B y { 1} B (B = {1 4} si { 1} B y {0 1} B {2} si {0} B y { 1 1} B {3} si {1} B y { 1 0} B si { 1 0 1} B. En todo caso X 1 (B G. Luego X es variable aleatoria respecto de la σ-álgebra G. Si tenemos un espacio de medida (Ω F este último ejemplo muestra que la determinación de una variable aleatoria sobre este espacio está estrechamente ligada a la naturaleza de la σ-álgebra F. En términos probabilísticos esto significa que la modelación estocástica de un experimento mediante una variable aleatoria no solo depende de la naturaleza del espacio muestral Ω sino del espacio de eventos relacionados con el fenómeno que deseamos estudiar en nuestro experimento. Parece natural ahora preguntarnos si es posible saber las características que poseen combinaciones lineales y productos de variables aleatorias. Para concretar una respuesta enunciamos un par de resultados básicos de la teoría de estructuras de subconjuntos. 5

6 Teorema 2.1. Sean Ω 1 y Ω 2 un par de espacios no vacíos y F una σ-álgebra sobre Ω 2. Si X : Ω 1 Ω 2 es una función entonces la familia es una σ-álgebra de subconjuntos de Ω 1. X 1 (F = {X 1 (F F F} La demostración se sigue de las propiedades de imagen inversa y de la definición de σ-álgebra y se deja a su ingenio. Teorema 2.2. Sean Ω 1 y Ω 2 un par de espacios no vacíos y sea C una familia de subconjuntos del espacio Ω 2. Si X : Ω 1 Ω 2 es una función entonces X 1 (σ Ω2 (C = σ Ω1 (X 1 (C. Demostración. Sabemos que C σ Ω2 (C se deduce entonces que X 1 (C X 1 (σ Ω2 (C según las propiedades de imagen inversa. Luego como X 1 (σ Ω2 (C es σ-álgebra entonces σ Ω1 (X 1 (C X 1 (σ Ω2 (C. Ahora debemos probar que para todo E X 1 (σ Ω2 (C entonces E σ Ω1 (X 1 (C. Para ello observamos primero que E X 1 (σ Ω2 (C F σ Ω2 (C t.q. E = X 1 (F entonces de forma equivalente debemos probar que para todo F σ Ω2 (C se tiene que X 1 (F X 1 (σ Ω2 (C. Si consideramos entonces la familia (en Ω 2 B = {B σ Ω2 (C X 1 (B X 1 (σ Ω2 (C} debemos demostrar que B = σ Ω2 (C. Así pues es claro que B σ Ω2 (C según la definición de B. Por otra parte no es difícil probar que B es σ-álgebra sobre Ω 2 ( acaso ustedes pueden hacerlo?. Además observamos que C B. En efecto si C C entonces en primer término C σ Ω2 (C (pues C σ Ω2 (C y en segundo lugar X 1 (C X 1 (C por tanto C B. Luego σ Ω2 (C B. Entonces B = σ Ω2 (C. Teorema 2.3. Sea (Ω F un espacio de medida. Una función X : Ω R es variable aleatoria si y solo si para todo x R se verifica que i X 1 ( x F o también ii X 1 (x F. Demostración. ] Si x R entonces ( x B(R. Luego como X es variable aleatoria X 1 ( x F. Análogamente dado que (x B(R entonces X 1 (x F. 6

7 ] Si consideramos la familia I 1 = {( x x R} ó la familia I 2 = {(x x R} las cuales generan a B(R tenemos que según las hipótesis X 1 (I 1 F o bien X 1 (I 2 F. Por tanto σ(x 1 (I 1 F o bien σ(x 1 (I 2 F. Por otro lado según el teorema anterior tenemos que σ(x 1 (I 1 = X 1 (σ(i 1 ó σ(x 1 (I 2 = X 1 (σ(i 2 = X 1 (B(R = X 1 (B(R en cualquier caso se tiene que X 1 (B(R F es decir X es variable aleatoria. Corolario 2.1. X es variable aleatoria si y solo si para todo x R se verifica que i X 1 ( x] F o también ii X 1 [x F. Demostración. Basta notar que X 1 ( x] = X 1 {(x } c y X 1 [x = X 1 {( x} c = {X 1 (x } c = {X 1 ( x} c para toda x R y aplicar el teorema anterior. Corolario 2.2. Si X y Y son variables aleatorias sobre (Ω F entonces para todo par x y R se tiene que los conjuntos i {ω Ω : X(ω > x Y (ω > y} y {ω Ω : X(ω < x Y (ω > y} ii {ω Ω : X(ω > x Y (ω y} y {ω Ω : X(ω < x Y (ω y} iii {ω Ω : X(ω > x Y (ω < y} y {ω Ω : X(ω < x Y (ω < y} iv {ω Ω : X(ω > x Y (ω y} y {ω Ω : X(ω < x Y (ω y} v {ω Ω : X(ω x Y (ω y} y {ω Ω : X(ω x Y (ω y} vi {ω Ω : X(ω x Y (ω y} y {ω Ω : X(ω x Y (ω y} son elementos de F. Demostración. Es suficiente ver que todos estos conjuntos son en realidad intersecciones de conjuntos pertenecientes a F. Por ejemplo para los conjuntos de iii se tiene que {ω Ω : X(ω > x Y (ω < y} = X 1 (x Y 1 ( y y {ω Ω : X(ω < x Y (ω < y} = X 1 ( x Y 1 ( y. 7

8 Es evidente que todas estas expresiones pueden generalizarse para cualquier número de variables aleatorias. Teorema 2.4. Si X y Y son variables aleatorias sobre el mismo espacio (Ω F y α es una constante real entonces Z = Y + αx y W = XY son también variables aleatorias. Demostración. Solo probaremos la aseveración para Z. En primer lugar es claro que si α = 0 entonces Z = Y es variable aleatoria. Supongamos entonces que α 0. Debemos probar que para todo número x R el conjunto es un elemento de F. Afirmamos que (Y + αx 1 (x = {ω Ω : Y (ω + αx(ω > x} {ω Ω : Y (ω + αx(ω > x} = r Q{ω Ω : αx(ω > r Y (ω > x r}. Demostramos nuestra afirmación. ( Sea ω Ω tal que Y (ω + αx(ω > x. Entonces αx(ω > x Y (ω. Como los números racionales son un conjunto denso en R tenemos que existe un racional r tal que αx(ω > r > x Y (ω. Por lo tanto αx(ω > r y Y (ω > x r. De aqui se desprende que ω r Q {ω Ω : αx(ω > r Y (ω > x r}. ( Sea ahora ω r Q {ω Ω : αx(ω > r Y (ω > x r}. Entonces existe un racional r 0 tal que αx(ω > r 0 y Y (ω > x r 0. Por lo tanto Y (ω + αx(ω > x. Tenemos ahora dos casos. (i Si α > 0 entonces {ω Ω : Y (ω + αx(ω > x} = r Q{ω Ω : X(ω > r/α Y (ω > x r} es un elemento de F pues es una unión numerable de elementos de F. (ii Si α < 0 entonces {ω Ω : Y (ω + αx(ω > x} = r Q{ω Ω : X(ω < r/α Y (ω > x r} es un elemento de F pues es la unióin numearable de elementos de F. 8

9 Por inducción matemática se sigue de forma inmediata el siguiente corolario. Corolario 2.3. Si X 1 X 2... X n son variables aleatorias y α 1 α 2... α n son números reales entonces Z n = n k=1 α kx k y W n = n k=1 X k son variables aleatorias. Es decir combinaciones lineales y productos finitos de variables aleatorias son variables aleatorias. Ejemplo 2.6. Si A k F y α k R para toda k = 1... n entonces la función Y = n k=1 α ki An es variable aleatoria. Esto se sigue de que según el Ejemplo 2.4 las funciones I Ak k = 1... n son variables aleatorias y por tanto el Corlario 2.3 dice que Y es efectivamente variable aleatoria. No solo las formas algebraicas de variables aleatorias pueden ser variables aleatorias como lo muestra los siguientes dos teoremas. Teorema 2.5. Sea {X n } n N una sucesión de variables aleatorias. Si existe X : Ω R tal que para todo ω Ω lim n X n(ω = X(ω entonces X es variable aleatoria. Demostración. Sea x R y consideremos los conjuntos X 1 ( x y X n ( x n N. Entonces ω X 1 ( x X(ω < x luego n 0 N t.q. X n (ω < x n n 0 n 0 N t.q. ω Xn 1 ( x n n 0 ω Xn 1 ( x para alguna n 0 N n=n 0 X 1 ( x = n=n 0 X 1 n ( x para alguna n 0 N. (por convergencia Y por otra parte es claro que Xn 1 ( x F para toda n (cada X n es variable aleatoria entonces X 1 ( x F. X es variable aleatoria. Ejemplo 2.7. Sea Ω = [0 1 y F = P(Ω. Definimos las variables aleatorias X n = (1/nI [01 1/n] para toda n N. Entonces lim X n(ω = 0 n para todo ω Ω. Y es claro que X = 0 es variable aleatoria. Corolario 2.4. Si {X n } n N es una sucesión de variables aleatorias y {α n } n N es una sucesión de números reales y si Z = n=0 α nx n es tal que Z(ω < entonces Z es variable aleatoria. Demostración. Por definición Z = α n X n = lim n n=0 n k=1 α k X k = lim n Z n y Z n es variable aleatoria para toda n N luego Z es variable aleatoria. 9

10 Cierto tipo de composición de funciones nos devuelve una variable aleatoria. Teorema 2.6. Sea G : R R una función borel medible y sea X : Ω R una variable aleatoria. Entonces la función compuesta Y = G X es una variable aleatoria. Demostración. Sea B B(R. Como G es borel medible entonces G 1 (B B(R. Ahora bien X es variable aleatoria entonces X 1 (G 1 (B B(R es decir (G X 1 (B B(R. Luego Y = G X es variable aleatoria. Ejemplo 2.8. Si A k B(R y α k R para toda k = 1... n y si X es una variable aleatoria sobre (Ω F entonces la función compuesta Z = n k=1 α ki Ak (X es una variable aleatoria. En efecto según el Ejemplo 2.4 la función G = n k=1 α ki Ak es una función borel medible (variable aleatoria respecto la dupla (R B(R entonces el teorema anterior nos dice que Z = G X = n k=1 α ki Ak (X es variable aleatoria. 3 Un teorema básico de aproximación En esta sección mostraremos que toda variable aleatoria sobre (Ω F puede ser aproximada por una sucesión de variables aleatorias escalonadas de suma simpleza. Aunque se reproduce una demostración bastante detallada bien puede ser omitida o bien puede ser revisada de forma superficial para no dejar de comprender los enunciados propuestos por el teorema. En realidad lo importante es mantener presente el sentido de dicha aproximación. El plan de la prueba es constructivo y está dividido en dos partes. En primer lugar se trata de construir a partir de una variable aleatoria no negativa dada una sucesión de variables aleatorias escalonadas y crecientes que la aproximen. Para ello requeriremos de los resultados revisados en las secciones precedentes de este artículo. Finalmente en el segundo y último momento de la prueba mediante un pequeño arreglo podremos extender el enunciado de la primera parte a variables aleatorias en general. De este modo hemos decidido expresar estos dos momentos como demostraciones a dos teoremas diferentes pues suponemos que así se facilitará su comprensión. Teorema 3.1. Si X : Ω R es una variable aleatoria sobre (Ω F no negativa (i.e. X(ω 0 para todo ω Ω entonces existe una sucesión {X n } n N de variables aleatorias en (Ω F tal que i Para todo ω Ω y para todo n N se tiene que 0 X n (ω X n+1 (ω X(ω. Es decir {X n } n N es una sucesión de variables aleatorias no negativas no decreciente y acotada por la variable aleatoria X. ii Para todo ω Ω Es decir {X n } n N converge a X. lim X n(ω = X(ω. n 10

11 Demostración. Si X es una variable aleatoria no negativa y n N entonces el rango (o codominio de X puede particionarse mediante los intervalos [0 1 [ 1 2 n 2 2 [ k2 n 1 [... k2n k2 n n 2 n 2 n 2 n 2 k2n + 1 [ n2 n 2... n2n 1 n 2 n 2 n 2 n [ n2 n 1 [ n2n n. 2 n 2 n Esto es de [ 0 n cada intervalo de la forma [ k k + 1 con 0 k n 1 es dividido en [ j 2 n intervalos de la forma 2 j + 1 j {k2 n k2 n... k2 n + 2 n 1} todos de longitud n 2 n 1/2 n. Existen n intervalos de la forma [ k k + 1 por ello tenemos n2 n intervalos de la forma [ j 2 j + 1 con j { k2 n k2 n k2 n + 2 n 1... n2 n 1}. n 2 n Y finalmente el intervalo [ n es considerado tal cual. Definimos entonces X n : Ω R por X n (ω = n2 n 1 j=0 j 2 n I [ j 2 n j+1 2 n (X(ω + ni [n (X(ω para toda ω Ω. Por tanto según el Ejemplo 2.8 X n es variable aleatoria para toda n N. Por otro lado para toda n N y para toda ω Ω se verifica que X n (ω = k 2 n k { n} k 2 n X(ω < k + 1 y X n = n n X(ω luego 0 X n (ω X(ω. Ahora bien para probar la monotonía consideramos tres posibles situaciones. Caso 1. Si X(ω [ n + 1 entonces X n+1 (ω = n+1. Pero como [ n + 1 [ n se tiene que X(ω [ n de donde X n (ω = n. De modo que X n (ω < X n+1 (ω. Caso 2. Si X(ω [ n n + 1 entonces X n = n. Por otra parte [n n + 1 = = n2 n+1 +2 n+1 1 j=n2 n+1 2 n+1 1 j=0 [ j 2 j + 1 n+1 2 n+1 [ n2 n+1 + j n2n+1 + j n+1 2 n+1 [ n2 n+1 por lo tanto existe k { n+1 + k 1} tal que X(ω n2n+1 + k + 1. De 2 n+1 2 suerte que n+1 X n+1 (ω = n2n+1 + k = n + k 2 n+1 2 > n = X n(ω. n+1 Caso 3. Ahora supongamos que X(ω [ 0 n. Entonces existe k { n2 n 1} tal [ k que X(ω 2 k + 1 y en este caso X n 2 n n (ω = k 2. n 11 2 n

12 Pero por otra parte [ 2k luego X(ω [ k 2 k + 1 [ 2k = n 2 n 2 [ 2k 2k + 1 2n+1 2 n+1 2k + 2 n+1 2 n+1 2k + 1 [ 2k + 1 2k + 2 = 2n+1 2 n+1 2n+1 2 n+1 [ 2k + 1 ó (este ó es excluyente X(ω 2k + 2 2n+1 2 n+1 de donde X n+1 (ω = 2k 2 = k n+1 2 o quizás X n+1(ω = 2k + 1 = k n 2 n En cualquier circunstancia n 2n+1 X n (ω X n+1 (ω. Estos tres casos prueban la monotonía y de este modo queda demostrado i. Probaremos ahora la convergencia. Sea ω Ω y ɛ > 0 N (ɛ ω = N N t.q. X(ω < N y 1 < ɛ (propiedad arquimidiana 2N k { N2 N k 1} t.q. 2 X(ω < k + 1 N 2. N Por tanto X N (ω = k 2 N luego 0 X(ω X N (ω < 1 2 N < ɛ. Ahora dado que X N (ω X n (ω X(ω para toda n N entonces para toda n N. Es decir 0 X(ω X n (ω X(ω X N (ω < ɛ 0 X(ω X n (ω < ɛ para toda n N para alguna N que depende de ω y de ɛ. Esto prueba ii y termina la demostración del teorema. El teorema siguiente se deduce como corolario del largo pero útil y valioso teorema anterior pero dada su importancia lo enunciamos como un teorema. Teorema Básico de Aproximación. Si X es una variable aleatoria entonces existe una sucesión {X n } n N de variables aleatorias tal que para toda ω Ω. lim X n(ω = X(ω n Demostración. Definimos X + = max{0 X} y X = min{0 X}. No es difícil probar que estas nuevas funciones son variables aleatorias no negativas y que X = X + X. Por el teorema anterior existe un par de sucesiones {Y n } n N y {Z n } n N tales que para toda ω Ω lim Y n(ω = X + (ω y lim Z n (ω = X (ω. n n 12

13 Definimos entonces X n = Y n Z n para todo n N. De modo que para toda ω Ω. lim X n(ω = lim Y n (ω lim Z n (ω n n n = X + (ω X (ω = X(ω Observación 3.1. Este último teorema no especifica si la sucesión que aproxima cumple alguna relación de monotonía. 13