Espacios topológicos. 3.1 Espacio topológico

Transcripción

1 Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes condiciones (1) X τ y τ. (2) Dada una familia {A i τ, i I} de elementos de τ, su unión i I A i τ también está en τ. (3) Si A 1, A 2 τ, entonces A 1 A 2 τ (la intersección de dos elementos de la familia τ también es un elemento de la familia) Diremos entonces, que la familia τ es una topología sobre X, y a sus elementos les llamaremos conjuntos abiertos de (X, τ). De la condición (2) se deduce, por inducción, que la intersección de una familia finita de conjuntos abiertos sigue siendo un conjunto abierto en (X, τ). (Ejercicio) Ejemplo (1) Topología asociada a una métrica. Todo espacio métrico (X, d) tiene asociado un espacio topológico (X, τ d ), donde τ d es la familia de los conjuntos abiertos de X para la distancia d tal y como los hemos definido en [2.3.3]. El teorema [2.3.6] prueba que, efectivamente, estos abiertos constituyen una topología que llamamos topología τ d asociada a la métrica d. (2) Topología discreta. Sea X un conjunto; consideremos la familia τ = P(X), formada por todos los subconjuntos de X. Esta familia es una topología en la que cualquier subconjunto de X 23

2 24 CAPÍTULO 3. ESPACIOS TOPOLÓGICOS es un abierto y se llama topología discreta, en este caso decimos que (X, P(X)) es un espacio topológico discreto. (3) Topología indiscreta. Si consideramos ahora la familia {, X} cuyos únicos conjuntos son el vacío y el propio X, también constituye una topología sobre X que llamaremos topología gruesa, indiscreta o trivial. (4) Sea el conjunto X = {a, b, c, d, e}. Entre otras, podemos construir las siguientes familias de subconjuntos de X: τ 1 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} τ 2 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}} τ 3 = {X,, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, d, e}} τ 1 es una topología sobre X y sin embargo, τ 2 falla en la unión y τ 3 falla en la intersección, por lo tanto no lo son. (5) Topología cofinita. Sea X un conjunto cualquiera y definamos τ como el conjunto vacío junto con aquellos subconjuntos A X tales que A c = X A es finito. τ es una topología sobre X que se conoce como la topología cofinita y se representa por τ cf. Cuando el conjunto X es finito, entonces la topología cofinita coincide con la topología discreta. Como este caso no introduce nada nuevo, siempre que se estudie la topología cofinita será sobre conjuntos infinitos. Como hemos visto, sobre un conjunto se puede definir más de una topología. Podemos establecer una cierta comparación: Definición (Topologías más finas). Dado un conjunto X, sean τ 1 y τ 2 dos topologías definidas sobre X. Si todo abierto de τ 1 es un abierto de τ 2, es decir, τ 1 τ 2, diremos que τ 2 es más fina que τ 1 o que τ 1 es menos fina que τ 2, o bien que τ 2 es más débil que τ 1. Dos topologías son equivalentes si tienen los mismos abiertos y dos topologías no son comparables si ninguna es más fina que la otra. Ejemplo (1) La topología indiscreta es menos fina que cualquier otra y la topología discreta es la más fina posible. (2) La topología cofinita sobre R 2 es menos fina que la topología usual, puesto que si A es abierto de la topología cofinita, A es complementario de un subconjunto finito de R 2 y, como los conjuntos finitos son cerrados para la topología usual, A también es abierto en R 2 para la topología usual. Definición (Base de una topología). Sea (X, τ) un espacio topológico. Diremos que una subfamilia B τ, es una base de la topología τ si cada abierto A se puede expresar como unión de conjuntos de B, es decir, existe {B i } i I B tal que A = i I B i.

3 3.1. ESPACIO TOPOLÓGICO 25 Proposición Sea X un conjunto y B P(X) una familia de subconjuntos de X. Entonces B es base de una topología τ sobre X si, y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes: (a) X = B B B. (b) Si B 1, B 2 B, para cada x B 1 B 2, existe B B tal que x B B 1 B 2. Demostración. = Si suponemos que B es base de una topología τ en X, como X τ, está claro que X = B B B y se cumple (a). Veamos que se cumple (b); si B 1, B 2 B, es evidente que B 1, B 2 τ, por tanto B 1 B 2 τ, luego esta intersección será unión de conjuntos de B, B 1 B 2 = i I B i con B i B para todo i I. Si x B 1 B 2, entonces x B j para algún j I. Por tanto x B j B 1 B 2. = Supongamos ahora que B es una familia de subconjuntos de X que cumple (a) y (b) y veamos que existe una topología determinada por B. Definimos la familia τ = {A X : A = j J B j, con B j B, para todo j J}. Hay que comprobar que se trata de una topología. X τ por (a); τ pues B. Si {A i } i I es una familia de conjuntos de τ, tendremos que cada A i será unión de conjuntos de B, es decir, A i = j Ji B ij para cada i I con B ij B para todo j J i ; como la unión es asociativa, tendremos que A i = ( B ij ) = B ij i I i I j J i i I,j J i lo que implica que la unión de conjuntos de τ es de τ. Por último veamos que si A 1, A 2 τ entonces A 1 A 2 τ. Tenemos que A 1 = i I B i y A 2 = j J B j con B i, B j B para todo i I, j J. Para cada x A 1 A 2, x i I B i y x j J B j, luego existen i o I y j o J tales que x B io B jo y por (b), existe B x B tal que x B x B io B jo A 1 A 2 y por tanto x A1 A 2 B x = A 1 A 2. Ejemplo (1) Los intervalos abiertos (a, b); a, b R son una base de la topología usual en R. (2) La familia {B(x, r) : x X, r > 0} son base de la topología asociada a la distancia en un espacio métrico (X, d). (3) Los rectángulos abiertos y de lados paralelos a los ejes, son una base de la topología euclídea en R 2. (4) Si consideramos (X, τ D ) espacio topológico con la topología discreta, la familia B = {{x} : x X}, es una base de dicha topología.

4 26 CAPÍTULO 3. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 3.2 Cerrados Definición (Cerrado). Dado un espacio topológico (X, τ), diremos que un subconjunto C X es cerrado si su complementario C c = X C es abierto. Representaremos la familia de todos los cerrados por C Ejemplo (1) En un espacio métrico (X, d), la definición de cerrado para la métrica d coincide con la de cerrado para la topología τ d, asociada a la distancia d. (2) En un espacio topológico con la topología indiscreta, los únicos cerrados son X y. (3) En un espacio topológico con la topología discreta, todos los subconjuntos de X son cerrados. (4) En la topología cofinita, (X, τ cf ), un subconjunto C X es cerrado si y sólo si C = X, o bien C es finito. El hecho de que un conjunto sea cerrado no implica que este conjunto no sea abierto; de hecho, existen conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados, por ejemplo el espacio total X en cualquier espacio topológico (X, τ); o la topología discreta del ejemplo anterior, tiene todos sus conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados. También existen, como hemos visto, conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados como cualquier intervalos [a, b) en R con la topología usual. Los cerrados cumplen una serie de propiedades, que podemos llamar, duales de las propiedades de los abiertos y que, en el caso de espacios métricos ya hemos visto en [2.4.7]. Teorema Dado un espacio topológico (X, τ), la familia de los conjuntos cerrados cumple las siguientes propiedades: (1) X y son cerrados. (2) Si {C i : i I} es una familia de cerrados en X, entonces i I C i es un cerrado. (3) Si {C i : i = 1, 2,..., n} es una familia finita de cerrados, entonces n i=1 C i es un cerrado. Ya hemos visto en el ejemplo [2.4.8(1)] que la unión arbitraria de cerrados no es, en general, un cerrado. 3.3 Entornos Otro concepto que ya apareció en los espacios métricos, pero que en realidad es topológico es el de entorno de un punto.

5 3.3. ENTORNOS 27 Definición (Entorno de un punto). Dado un espacio topológico (X, τ), diremos que un subconjunto U X es un entorno de un punto x X si existe un abierto A tal que x A U. Al conjunto o familia de todos los entornos de un punto x X lo representaremos por U x. Ejemplo (1) Si (X, d) es un espacio métrico, todo entorno para la métrica será obviamente un entorno para la topología asociada a la distancia. El recíproco también es cierto. (2) En un espacio topológico trivial el único entorno posible de un punto es el espacio total. (3) En un espacio topológico discreto U U x si y sólo si x U. (4) En la topología cofinita, U U x si y sólo si x U y U c = X U es finito. Recordemos que, en un espacio métrico los conjuntos abiertos se pueden caracterizar a partir de la noción de entorno. En el caso general de los espacios topológicos también se pueden caracterizar los conjuntos abiertos de una manera análoga. Proposición En un espacio topológico (X, τ), un conjunto A es abierto si, y sólo si A es entorno de todos sus puntos. Demostración. = Si A es abierto, se tiene, obviamente, que x A A, y por tanto A es un entorno de x, para todo x A. = Recíprocamente, si suponemos que A es entorno de todos sus puntos, entonces, para todo x A existe un abierto U x tal que x U x A. De esta manera se puede escribir A = x A U x, que será abierto ya que es unión de abiertos. Proposición Dados un espacio topológico (X, τ) y un punto x X, la familia de entornos U x verifica las siguientes propiedades: (1) Si U U x, entonces x U. (2) Si U U x y U V, entonces también V U x. (3) Si U, V U x, entonces U V U x. (4) Si U U x, existe V U x tal que x V U y V U y para todo y V. Demostración. (1)Es evidente. (2) Como U U x, entonces existe A abierto de modo que x A U, pero entonces x A V ; por tanto V U x. (3) Si U, V U x existen abiertos A, B, tales que x A U y x B V. Eso implica que x A B U V, y como A B es abierto por ser intersección de dos abiertos, tendremos que U V U x. (4)Como U U x, existe un abierto A τ tal que x A U; basta tomar A = V

6 28 CAPÍTULO 3. ESPACIOS TOPOLÓGICOS La familia de todos los entornos habitualmente es muy grande y, con frecuencia, difícil de representar. Incluso en el caso de R con la topología usual, los entornos pueden ser muy complicados. Esto se resuelve trabajando sólo con los intervalos. En el caso de un espacio métrico este papel lo hacen las bolas y en el caso general introduciremos un concepto que facilitará el trabajo de forma semejante: Definición (Base de entornos). Dado un espacio topológico (X, τ), un punto x X, y una subfamilia V x U x de la familia de entornos de x; diremos que V x es una base de entornos de x, o base local de x, en (X, τ) si verifica Ejemplo Si U U x es un entorno de x, entonces existe V V(x) tal que V U (1) En R con la topología usual, una base de entornos para cada x R es la familia formada por los intervalos de centro x y radio r > 0 variando r, es decir {(x r, x + r) : r > 0}. (2)En un espacio métrico (X, d), la familia de bolas V x = {B(x, r) : r > 0} es obviamente, una base de entornos de x, para cada x X. (3)En un espacio métrico (X, d), la familia de bolas V x = {B(x, 1 n ) : n N } es también una base de entornos de x, para cada x X, puesto que para cada r > 0 existe n N tal que 1 n < r. (4) En un espacio topológico trivial o indiscreta, (X, τ I ), la única base de entornos posible es la formada únicamente por el espacio total X. (5) Si el espacio topológico es discreto, (X, τ D ), {x} es un entorno de x, para todo x X, y por tanto se deduce que la familia formada por este entorno, V x = {{x}}, es una base de entornos de x. 3.4 Subespacios topológicos Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico y H X entonces la familia τ H = {H A : a τ} de las intersecciones de los abiertos de (X, τ) con H es una topología sobre H. Demostración. Evidentemente H τ H puesto que H = H X y = H, luego τ H. Si tenemos una familia {H A i : i I, A i τ} de elementos de τ H, entonces la unión será i I (H A i ) = H ( i I A i ) y como i I A i τ por ser abiertos, tendremos que la unión de elementos de τ H también es de τ H. Aplicando la misma propiedad en sentido contrario se prueba que la intersección de dos elementos de τ H también es de τ H.

7 3.4. SUBESPACIOS TOPOLÓGICOS 29 Definición (Subespacio topológico). Si (X, τ) es un espacio topológico y H X, al espacio topológico (H, τ H ) se le llama subespacio topológico de X y a la topología τ H se le llama topología inducida por τ sobre H o topología relativa de H con respecto a (X, τ). A los abiertos de τ H les llamamos abiertos relativos o abiertos para la topología relativa. Ejemplo Los subconjuntos de un espacio métrico con la topología asociada a la distancia inducida son subespacios topológicos. Los cerrados en la topología inducida también son intersecciones de cerrados del espacio total con el subespacio. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico y sea H X. Un subconjunto de F H, es un cerrado relativo si, y sólo si existe un cerrado C en el espacio total, de forma que F = C H. Demostración. = Sea F un cerrado en (H, τ H ). Eso significa que su complementario en H es un abierto relativo, H F τ H. Por tanto, existe A τ tal que H F = A H. Pero entonces C = X A es un cerrado en (X, τ), y F = H (H F ) = H (A H) = H A = H (X A) = H C = Recíprocamente, sea F = C H con C cerrado en el espacio total. Su complementario en H se puede expresar así: H F = H (C H) = H C = H (X C) Como X C τ, es abierto por ser complementario de un cerrado, H F τ H. Tendremos que F es cerrado en (H, τ H ). Ejemplo Es importante darse cuenta de que, en general, los abiertos relativos no tienen por qué ser abiertos en el espacio total. Así, [0, 1) no es abierto en R con la topología usual; sin embargo, sí es abierto en [0, + ) con la topología inducida. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico y (H, τ H ) un subespacio. Entonces: (a) Todo subconjunto A H abierto en (H, τ H ) es abierto en (X, τ) si, y sólo H es abierto en (X, τ). (b) Todo subconjunto C H cerrado en (H, τ H ) es cerrado en (X, τ) si, y sólo H es cerrado en (X, τ).

8 30 CAPÍTULO 3. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Demostración. (a) Si todo abierto en τ H lo es en τ, como H es abierto en τ H también es abierto en τ. Recíprocamente, si H es abierto en τ, como todo abierto A en τ H es de la forma A = H B, con B abierto en el espacio total, A será abierto en el espacio total por ser intersección de abiertos. (b)(ejercicio). Cada una de las dos afirmaciones de la proposición anterior son independientes, es decir la primera (a), habla de abiertos pero no dice nada de cerrados y la segunda (b) habla de cerrados pero no de abiertos. Observemos los dos ejemplos siguientes. Ejemplo (1) Consideremos R con la topología usual y el subespacio formado por los racionales Q. Los abiertos en Q para la topología inducida serán intersecciones de abiertos de R con Q. Entonces el conjunto {x Q : 0 < x < 1} es abierto en Q pero no lo es en R. (2) Sea A = {(x, y) R 2 : xy > 1} que es abierto en (R 2, d 2 ) y, por tanto, todo abierto de (A, d 2 ), lo es en R 2, por ejemplo, B = B((0, 0), 2) A es abierto, sin embargo A B es un cerrado en (A, d 2 ) pero no lo es en (R 2, d 2 ). Veamos, para concluir esta sección, como son los entornos y las bases de entornos en la topología inducida. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea H X. Dado x H, un subconjunto V H es un entorno relativo de x (V U H x ) si, y sólo si existe U entorno de x en el espacio total, (U U x ), de forma que V = U H. Demostración. = Sea V un entorno relativo de x: existe B τ H tal que x B V ; entonces existirá A τ tal que B = A H. Sea U = A V ; evidentemente U U x, pues x B = A H, x A A V. Además: U H = (A V ) H = (A H) (V H) = B V = V. = Recíprocamente sea U U x ; tomamos V = U H; existe A τ tal que x A U. Entonces x A H U H = V. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico y sea x H X. Si B(x) es una base de entornos de x en (X, τ), la familia B H (x) = {B H : B B(x)} es una base de entornos para la topología relativa. Demostración. Evidentemente B H (x) U H x. Sea V U H x ; entonces V = U H, con U U x. Entonces existe B B(x) tal que x B U; entonces B H U H = V y B H B H (x).

9 3.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS METRIZABLES Espacios topológicos metrizables Ya hemos visto en el ejemplo [3.1.2,1)] que cualquier espacio métrico (X, d) tiene asociada una topología que llamamos τ d, a partir de la definición [2.3.3] y el teorema [2.3.6]. Nos podemos preguntar si todo espacio topológico procede de una métrica. Definición (Espacio metrizable). Diremos que un espacio topológico (X, τ) es metrizable si existe una distancia d definida sobre X, tal que τ coincide con τ d. Ejemplo (1) La topología discreta sobre cualquier conjunto X, es metrizable y la distancia asociada es la distancia discreta o trivial (2) No todo espacio topológico es metrizable. Por ejemplo, si X es un conjunto que contiene más de un punto y lo consideramos dotado de la topología indiscreta (X, τ I ), no es un espacio metrizable, puesto que los únicos cerrados para esta topología son y X, pero sabemos que en un espacio métrico, los conjuntos finitos son cerrados, con lo cual deberían existir más cerrados. Sigue teniendo, en el presente curso, un gran interés estudiar los espacios cuya topología es metrizable, es decir, los espacios métricos. Vamos a recordar como se concretan en los espacios métricos, los conceptos estudiados hasta ahora en el presente capítulo. Base de la topología.- Tal y como hemos definido los abiertos [2.3.3] en un espacio métrico (X, d), el conjunto {B(x, r) : x X, r > 0} de las bolas abiertas es una base de la topología τ d asociada a la distancia. Entornos.- Lo mismo ocurre con los entornos, ya los definimos en [2.3.8]. Cerrados.- También hemos definido y caracterizado los cerrados de un espacio métrico en el capítulo anterior [2.4.7]. Base de entornos.- Hemos visto en el ejemplo [ )] que para un punto x X, una base de entornos es el conjunto {B(x, r) : r > 0} de todas las bolas abiertas con centro en dicho punto. También hemos visto que en el ejemplo [ )] que el conjunto {B(x, 1 n ) : n N } es también una base de entornos. También hemos estudiado en el capítulo anterior los subespacios métricos. Veamos que son los subespacios topológicos asociados a la métrica. Proposición Sea un espacio métrico (X, d) y sea un subconjunto H X. Entonces la topología asociada a la métrica inducida sobre H coincide con la topología inducida por la topología métrica en X. Es decir: τ d \ H = τ dh

10 32 CAPÍTULO 3. ESPACIOS TOPOLÓGICOS Demostración. Sea A τ d \ H, entonces existe un A τ d tal que A = A H. Veamos que A τ dh. Para cualquier x A A existe un r > 0 tal que B d (x, r) A, entonces B d (x, r) H A, pero ya hemos visto que B d (x, r) H = B dh (x, r). Por tanto, A τ dh. Sea ahora A τ dh, para cualquier x A existe un r > 0 tal que B dh (x, r) A. Como antes, B dh (x, r) = B d (x, r) H. Si tomamos tendremos A = x A B d (x, r) A A H = ( x A B d (x, r)) H = x A (B d (x, r) H) = x A B dh (x, r) A Entonces, A = A H y por tanto, A τ d \ H. Hemos visto que no todo espacio topológico es metrizable. Cabe entonces hacerse la siguiente pregunta: Existen diferencias topológicas entre un espacio topológico que sea metrizable y otro que no lo sea? La respuesta es que sí, y existe una propiedad fundamental que se verifica en los espacios metrizables, pero que no es cierta, en general, en un espacio topológico arbitrario. Definición (Espacio de Hausdorff o T 2 ). Diremos un espacio topológico (X, τ) es un espacio de Hausdorff o T 2 o separado, si para todo par de puntos x, y X distintos, existen entornos, U x U x, y V y U y, tales que U x V y =. Proposición Un espacio topológico (X, τ) es de Hausdorff si, y sólo si para todo par de puntos distintos x, y X, existen abiertos A, B X, tales que x A, y B y A B =. Demostración. Es consecuencia directa de la definición anterior y la de entorno. Ejemplo (1) Todo espacio métrico es de Hausdorff. (2) No todo espacio topológico es T 2. La recta real, con la topología cofinita no es un espacio de Hausdorff. Vamos a comparar las topologías métricas. En realidad estudiaremos cuando dos métricas sobre un mismo espacio X generan la misma topología, que es lo realmente interesante. Definición (Métricas equivalentes). Diremos que dos métricas d y d sobre un mismo conjunto X son equivalentes si dan lugar a la misma topología, es decir, si τ d = τ d. Proposición Sean d y d dos distancias definidas sobre un conjunto X. Entonces d y d son equivalentes si, y sólo si para todo x X y para todo r > 0 existe δ > 0 tal que B d (x, δ) B d (x, r) y existe δ > 0 tal que B d (x, δ ) B d (x, r)

11 3.5. ESPACIOS TOPOLÓGICOS METRIZABLES 33 Demostración. = Supongamos que d y d son equivalentes. Dados x X y r > 0, B d (x, r) es un abierto de τ d, y por tanto de τ d ; por eso existe δ > 0 tal que B d (x, δ) B d (x, r). Análogamente se demuestra la segunda afirmación. = Recíprocamente, si suponemos que se cumplen las dos afirmaciones veamos que d y d son equivalentes. Sea A un abierto de τ d y sea x A. Entonces existe r > 0 tal que B d (x, r) A. Aplicando la segunda propiedad, existirá δ > 0 tal que B d (x, δ ) B d (x, r), y entonces A es un entorno de x para τ d y es, por tanto, abierto en esta topología. De forma análoga se demuestra que todo abierto de τ d lo es también de τ d. Corolario Dos distancias d y d sobre un conjunto X son equivalentes si existen constantes m, M > 0 tales que para todo x, y X md(x, y) d (x, y) Md(x, y) Demostración. Sean x X y r > 0. Entonces tomando δ = r M, se tiene que d(x, y) δ implica que d (x, y) Md(x, y) Mδ = r, con lo que B d (x; δ) B d (x, r). De forma análoga, tomando δ = mr se tiene que B d (x, δ ) B d (x, r). Ejemplo (1) El hecho de que dos métricas sean equivalentes, significa que tienen los mismos abiertos, pero no necesariamente las mismas bolas; por ejemplo en R n las tres métricas d 1, d 2 y d son equivalentes (Ejercicio) y sin embargo, como ya hemos visto, no tienen las mismas bolas. (2) La métrica euclídea y la métrica discreta sobre R 2 no son equivalentes.