TEMA III (PRIMERA PARTE): CONEXI

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1 TEMA III (PRIMERA PARTE): CONEXIÓN FRANCISCO J. LÓPEZ 1. CONEXIÓN TOPOLÓGICA La conexión es uno de los invariantes topológicos más importantes. A nivel intuitivo, un objeto es conexo si consta de un sólo trozo, y disconexo si está compuesto de varias componentes o trozos independientes. No obstante, esta formulación tan simple requiere de una elaboración formal muy cuidadosa, como vamos a ver a continuación. Definición 1.1. Un espacio topológico (X, τ) se dice conexo si y sólo si (def) A, B X tales que A, B = A B = X A B = se tiene que A B = ó B A = Un subconjunto Y X se dice conexo en (X, τ) si y sólo si (Y, τ Y ) es conexo. Como consecuencia de la Definición 1.1, (X, τ) no es conexo si y solo si A, B = A, B X tales que A B = X A B = B A = El siguiente teorema nos ofrece algunas caracterizaciones útiles de la conexión de un espacio. Teorema 1.2. Sea (X, τ) un espacio topológico. Son equivalentes: (a) (X, τ) es conexo. (b) Si O 1, O 2 τ, O 1 O 2 = y O 1 O 2 = X = {O 1, O 2 } = {, X}. (c) Si A X es abierto y cerrado entonces A {, X}. (d) Si f : (X, τ) ({0, 1}, τ d ) es continua = f es constante. (e) Para todo conjunto Y, si f : (X, τ) (Y, τ d ) es continua = f es constante. Dem: (a) = (b) Sean O 1, O 2 τ tales que O 1 O 2 = y O 1 O 2 = X, y supongamos que {O 1, O 2 } = {, X}, esto es, que O 1, O 2 =. Como (X, τ) es conexo, usando la Definición 1.1 para la elección A = O 1 y B = O 2 deducimos que O 1 O 2 = o O 2 O 1 =. Sin embargo, como O 1 = X O 2 y O 2 = X O 1 ambos conjuntos son cerrados. Por tanto, O j = O j, j = 1, 2, contradiciendo que O 1 O 2 =. (b) = (c) Si A X es abierto y cerrado, O 1 = A y O 2 = X A son dos abiertos en las condiciones de (b), por lo que {O 1, O 2 } = {, X}, esto es, A {, X}. (c) = (d) Dada f : (X, τ) ({0, 1}, τ d ) continua, el conjunto A = f 1 ({0}) es abierto (imagen inversa por f de un abierto en ({0, 1}, τ d )) y cerrado (imagen inversa por f de un cerrado en ({0, 1}, τ d )). De nuestras hipótesis A {, X}, esto es, f es constante. (d) = (e) Sea f : (X, τ) (Y, τ d ) continua. Tomemos x 0 X un punto arbitrario y construyamos la aplicación { 0 si y = f (x0 ) h : (Y, τ d ) ({0, 1}, τ d ), h(y) = 1 si y = f (x 0 )

2 2 F.J. LÓPEZ Claramente h es continua, de donde f h es continua. Por hipótesis h f es constante (y necesariamente h f 1), de donde f (x) = f (x 0 ) para todo x X. Esto prueba que f es constante. (e) = (a) Razonemos por reducción al absurdo, y supongamos que A, B X son subconjuntos no vacíos tales que A B = B A = y A B = X. Obsérvese que bajo nuestras hipótesis A = A = X B y B = B = X A. Elijamos Y = {0, 1} y consideremos la aplicación { 0 si x A f : (X, τ) ({0, 1}, τ d ), f (x) = 1 si x B La aplicación f es continua y no constante, contradiciendo (e) y probando el teorema. Como comentábamos en la introducción del tema, la conexión es un invariante topológico. Este hecho es consecuencia del siguiente: Teorema 1.3. Si (X, τ) es conexo y f : (X, τ) (Y, τ ) es continua entonces ( f (X), τ f (X)) es conexo. Dem: Si h : ( f (X), τ f (X)) ({0, 1}, τ) es continua entonces h f : (X, τ) ({0, 1}, τ) es también continua. Como (X, τ) es conexo, el Teorema 1.2 nos dice que h f es constante, de donde h es constante. Pero de nuevo por el Teorema 1.2 deducimos que ( f (X), τ f (X)) es conexo. Corolario 1.4. Si (X, τ) es conexo y f : (X, τ) (Y, τ ) es un homeomorfismo entonces (Y, τ ) es conexo. Uno de los objetivos de este tema será demostrar la conexión de algunos espacios topológicos relevantes. Para ello el siguiente criterio resultará de gran utilidad. Proposición 1.5. Sea (X, τ) un espacio topológico, y supongamos existe una familia {F λ : λ Λ} de subconjuntos de X satisfaciendo: λ Λ F λ = X y F λ F µ = para cualesquiera λ, µ Λ. F λ es conexo en (X, τ) para todo λ Λ. Entonces (X, τ) es conexo. Dem: Sea A X un subconjunto no vacío abierto y cerrado en (X, τ). Teniendo en cuenta el Teorema 1.2, es suficiente con probar que A = X. En efecto, como λ Λ F λ = X y A =, la familia Λ 0 := {λ Λ : F λ A = } =. Veamos que F λ A para todo λ Λ 0. En efecto, como A F λ es abierto y cerrado en (F λ, τ Fλ ) y A F λ =, el Teorema 1.2 nos dice que A F λ = F λ, esto es, F λ A. Como A es cerrado en (X, τ), deducimos que de hecho F λ A. Para acabar, comprobemos que Λ = Λ 0. En efecto, asumamos por un momento que existe µ Λ Λ 0, esto es, tal que F µ A =. Como Λ 0 =, sabemos existe λ Λ tal que F λ A = y por tanto F λ A. Pero la hipótesis F λ F µ = implicaría A F µ =, una contradicción. Por tanto Λ = Λ 0, de donde por lo visto anteriormente F λ A para todo λ Λ y A = X. Este resultado suele ser utilizado bajo condiciones particulares: Corolario 1.6. Sea (X, τ) un espacio topológico. Bajo cualquiera de las condiciones que se relacionan a continuación, el espacio (X, τ) es conexo: (a) Existe una familia {F λ : λ Λ} de subconjuntos conexos en (X, τ) satisfaciendo λ Λ F λ = X y λ Λ F λ = (o de forma más general, λ Λ F λ = ).

3 CONEXIÓN 3 (b) Para cualesquiera x, y X, existe un subconjunto conexo A x,y en (X, τ) tal que {x, y} A x,y. (c) Existe una familia {A n : n N} de subconjuntos conexos en (X, τ) satisfaciendo A n A n+1 = n N y n N A n = X. Dem: La prueba de (a) es trivial por la Proposición 1.5. La prueba de (b) se sigue de la Proposición 1.5 aplicada a la familia {A x0,x : x X}, donde x 0 X es un punto fijo. Para comprobar (c), demostremos primero por inducción en n que F n = n j=1 A j es conexo en (X, τ), n N. En efecto, si n = 1 el resultado se sigue de nuestras hipótesis: F 1 = A 1 es conexo en (X, τ). Admitamos que F n es conexo en (X, τ) y probemos lo mismo para F n+1. Para ello, observemos que {F n, A n+1 } es una familia de conexos no vacíos en en (X, τ), y por tanto en (F n+1, τ Fn+1 ), satisfaciendo que F n A n+1 = F n+1 y F n A n+1 =. Una aplicación directa de la Proposición 1.5 para el espacio topológico (F n+1, τ Fn+1 ) y la familia de conexos {F n, A n+1 } nos dice que (F n+1, τ Fn+1 ) es conexo y cierra la inducción. La prueba de (c) se sigue de la Proposición 1.5 aplicada a la familia {F n : n N} en el espacio topológico (X, τ). Una de las aplicaciones más interesantes de la Proposición 1.5 nos la proporciona el siguiente teorema. Teorema 1.7. Dados dos espacios topológicos (X j, τ j ), j = 1, 2, (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) es conexo (X j, τ j ) es conexo, j = 1, 2. Dem: = ) Como la proyección p j : (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) (X j, τ j ) es continua y (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) es conexo, p j (X 1 X 2 ) = X j es conexo con la topología τ j, ver el Teorema 1.3. =) Supongamos que (X j, τ j ) es conexo, j = 1, 2. Para cada (x 1, x 2 ) X 1 X 2 definamos A (x1,x 2 ) := ({x 1} X 2 ) (X 1 {x 2 }) X 1 X 2. Comprobemos que A (x1,x 2 ) es conexo en (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )). Como ({x 1 } X 2 ) (X 1 {x 2 }) = ya que contiene al punto (x 1, x 2 ), por el Corolario 1.6 (o directamente por la Proposición 1.5) es suficiente con probar que {x 1 } X 2 y X 1 {x 2 } son conexos. Trataremos el caso de {x 1 } X 2, el de X 1 {x 2 } es análogo. Consideremos la aplicación inyectiva i x1 : (X 2, τ 2 ) (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )), i x1 (x) = (x 1, x). Como las aplicaciones p j i x1 : (X 2, τ 2 ) (X j, τ j ) son continuas, j = 1, 2, la aplicación i x1 es continua, de donde la aplicación restricción al codominio î x1 : (X 2, τ 2 ) î x1 (X 2 ) ({x 1 } X 2, τ ) es continua y biyectiva; aquí τ es la topología inducida por τ(τ 1 τ 2 ) en {x 1 } X 2. Como î 1 x 1 : ({x 1 } X 2, τ ) (X 2, τ 2 ) no es sino la restricción p 2 {x1 } X 2, la aplicación î 1 x 1 es continua también y por tanto î x1 es un homeomorfismo. Al ser (X 2, τ 2 ) conexo, el Corolario 1.4 nos garantiza que {x 1 } X 2 es conexo en (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) como queríamos demostrar. Como consecuencia de los anteriores comentarios, A (x1,x 2 ) es conexo en (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) para todo (x 1, x 2 ) X 1 X 2. Por otra parte, es claro que A (x1,x 2 ) A (y1,y 2 ) = para cualesquiera o (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) X 1 X 2. Para ello téngase en cuenta que (x 1, y 2 ) o (y 1, x 2 ) están en es intersección. La Proposición 1.5 aplicada al espacio topológico (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) y la familia de conexos {A (x1,x 2 ) : (x 1, x 2 ) X 1 X 2 } prueba que (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) es conexo. También es interesante resalta que el espacio cociente de un conexo es conexo:

4 4 F.J. LÓPEZ Teorema 1.8. Sea f : (X 1, τ 1 ) (X 2, τ 2 ) una identificación topológica, donde (X 1, τ 1 ) es un espacio conexo. Entonces (X 2, τ 2 ) es conexo. En particular, si (X, τ) es conexo y R es una relación de equivalencia en X entonces (X/R, τ/r) es conexo. Dem: Como f es continua y sobreyectiva, el resultado se sigue del Teorema 1.3. El siguiente resultado se mostrará útil para probar la conexión de algunos espacios topológicos. Teorema 1.9. Sea (X, τ) un espacio topológico, y supongamos existe un subconjunto D X denso y conexo en (X, τ). Entonces (X, τ) es conexo. Dem: Sea A X un subconjunto abierto, cerrado y no vacío en (X, τ). Por el Teorema 1.2-(c) hemos de probar que A = X. En efecto, A D es no vacío (por ser A τ D denso en (X, τ)), abierto y cerrado en (D, τ D ). Como (D, τ D ) es conexo, A D = D y por tanto D A. En particular, X = D A = A X, lo que prueba que A = X. Corolario Si A es un subconjunto conexo de un espacio topológico (X, τ) y B es otro subconjunto de X satisfaciendo A B A, entonces B es conexo en (X, τ). En particular, si A es conexo en (X, τ) entonces A es conexo en (X, τ). Dem: Como A B A entonces A B = A B = B, esto es, A es denso en (B, τ B ). Como por hipótesis (A, τ A ) es conexo, el Teorema 1.9 nos garantiza que (B, τ B ) es conexo Componentes conexas de un espacio topológico. Intuitivamente, comentábamos que un espacio topológico es conexo si está diseñado de una pieza. En el caso de que no sea conexo, parece natural pensar que su estructura topológica responde a la idea de un objeto compuesto de varios pedazos o componenentes conexas. Vamos a formalizar esta idea a continuación. Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. Un subconjunto C X se dice una componente conexa de (X, τ) si C es un subconjunto conexo de (X, τ). Si C X es un subconjunto conexo de (X, τ) y C C = C = C. En otras palabras, las componentes conexas de (X, τ) son los subconjuntos conexos maximales de (X, τ). La siguiente proposición nos dice que todo subconjunto conexo de (X, τ) está contenido en una componente conexa. Proposición Si (X, τ) un espacio topológico y A X un subconjunto conexo no vacío de (X, τ), existe una única componente conexa C A de (X, τ) tal que A C A. Dem: Llamemos C A = {B X : A B y (B, τ B ) es conexo}. Nótese que A C A =. Definamos C A := B CA B y comprobemos que satisface las condiciones de la proposición. En efecto, como A B 1 B 2 = para todo B 1, B 2 C A, la Proposición 1.5 nos garantiza que C A es conexo. Obviamente A C A, y si C es un conexo tal que A C por definición C C A y C C A. Esto prueba que C A es una componente conexa de (X, τ) conteniendo a A.

5 CONEXIÓN 5 Para probar la unicidad, supongamos que C 0 es otra componente conexa de (X, τ) conteniendo a A. Como C 0 es conexo tenemos que C 0 C A, y por tanto C 0 C A. Como C 0 es una componente conexa y C A es conexo, deducimos que C 0 = C A concluyendo la prueba. Definición Dado un espacio topológico (X, τ) y un subconjunto A X conexo en (X, τ), diremos que C A es la componente conexa de A. Si A = {x}, x X, escribiremos simplemente C x para representar a la componente conexa del punto x. Llamaremos C := {C X : C es componente conexa de (X, τ)} a la familia de las componentes conexas de (X, τ). Las propiedades básicas de las componentes conexas de un espacio está recogidas en el siguiente: Teorema Sea (X, τ) un espacio topológico, y denotemos por C la familia de todas sus componentes conexas. Los siguientes enunciados son ciertos: (a) La familia C de las componentes conexas de (X, τ) determina una partición de X, esto es, X = C C C. si C 1, C 2 C satisfacen C 1 C 2 = = C 1 = C 2. En particular, si A 1, A 2 son conexos en (X, τ) tales que A 1 A 2 =, entonces C A1 = C A2. (b) Toda componente C C es un subconjunto cerrado de (X, τ). (c) Si A X es un subconjunto no vacío, conexo, abierto y cerrado en (X, τ) entonces A C. (d) Si C constan de un número finito de elementos, entonces toda componente C C es abierta y cerrada. (e) Si {O λ : λ Λ} es una partición de X por abiertos conexos no vacíos en (X, τ), entonces C = {O λ : λ Λ}. (f) Si {C λ, : λ Λ} es una familia de componentes conexas de (X, τ) y A := X ( λ C λ ) es conexo, entonces A es componente conexa de (X, τ) y C = {A} {O λ : λ Λ}. Dem: Probemos (a). Como {x} es conexo en (X, τ) y x C x para todo x X, X = C C C. Por otra parte, si C 1, C 2 C y C 1 C 2 =, el conjunto C 1 C 2 es conexo en (X, τ) (unión de dos conexos con intersección no vacía, ver la Proposición 1.5). Además, como C j es una componente conexa de (X, τ) contenida en C 1 C 2, deducimos que C j = C 1 C 2, j = 1, 2, y por tanto que C 1 = C 2. Demostremos ahora (b). Si C C, la conexión de C implica la conexión de C; ver el Corolario Pero al ser C una componente conexa y C C necesariamente C = C, de donde C es cerrado en (X, τ). Para comprobar (c), consideremos A X no vacío, conexo, abierto y cerrado en (X, τ). Sea C A la componente conexa de A, y observemos que A es un subconjunto no vacío, conexo, abierto y cerrado en (C A, τ CA ). Como (C A, τ CA ) es conexo por definición, A = C A y hemos acabado. Para demostrar (d), escribamos C = {C 1,..., C n }, donde C j C i =, j = i. Por la propiedad (c), i =j C i es cerrado en (X, τ), j {1,..., n}. Como C es una partición de X, deducimos que C j = X ( i =j C i ) es abierto para todo j {1,..., n}. Para probar (e) tomemos µ Λ arbitrario y tengamos en cuenta que O µ = X ( ) λ =µ O λ es cerrado por ser el complementario del abierto λ =µ O λ. De aquí deducimos que O µ es un subconjunto no vacío, conexo, abierto y cerrado en (X, τ), luego una componente conexa por (c). Como esto ocurre para todo µ Λ y {O λ : λ Λ} es una partición de X, concluimos que C = {O λ : λ Λ}.

6 6 F.J. LÓPEZ Por último, demostremos (f). Sea C A la componente conexa de A en (X, τ), bien definida porque A es un subconjunto conexo de (X, τ). Claramente C A = C λ para todo λ Λ, porque de lo contrario A λ C λ, una contradicción. Por tanto, C A X ( ) λ C λ = A, esto es, C A = A. Como {A} {O λ : λ Λ} es una partición de X por componentes conexas, trivialmente C = {A} {O λ : λ Λ}. Un espacio topológico (X, τ) se dice totalmente disconexo si sus componentes conexas son conjuntos unitarios, esto es, los únicos subconjuntos conexos de (X, τ) son los puntos. Veamos algunos ejemplos sencillos de cálculo de componentes conexas. La topología discreta (X, τ d ) es totalmente disconexa. Para comprobarlo, observemos que {x} es abierto, cerrado y conexo en (X, τ), luego una componente conexa en (X, τ), para todo x X. Téngase en cuenta el Teorema 1.14-(c). El conjunto H 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 1}, dotado de la topología euclidiana, consta de dos componentes conexas: C + = {(x, y, z) H 2 : z > 0} y C = {(x, y, z) H 2 : z < 0}. En efecto, obsérvese que z 1 para todo (x, y, z) H 2, y en consecuencia H 2 = C + C siendo la unión disjunta. Por otra parte, C + y C son abiertos en H 2 ya que C + = H 2 {z > 0} y C = H 2 {z < 0}, y por último C + y C son conexos en H 2 ya que la proyección (x, y, z) (x, y) los hace homeomorfos a (R 2, τ u ). Teniendo en cuenta por ejemplo Teorema 1.14-(e), hemos acabado. El siguiente teorema es fundamental, porque nos dice que las componentes conexas se preservan por homeomorfismos. En particular, el cardinal del conjunto de componentes conexas es un invariante topológico. Teorema Sea f : (X 1, τ 1 ) (X 2, τ 2 ) una aplicación continua, y sea A X 1 un subconjunto conexo de (X 1, τ 1 ). Entonces f (C A ) C f (A). Si adicionalmente f es un homeomorfismo, f (C A ) = C f (A). En particular, si C j es la partición en componentes conexas de (X j, τ j ), j = 1, 2, la aplicación es biyectiva. C 1 C 2, C f (C), Dem: Como A y C A son conexos en (X 1, τ 1 ) y f es continua, entonces f (A) y f (C A ) son conexos en (X 2, τ 2 ). Al ser A C A deducimos que f (A) f (C A ), y por tanto que f (C A ) C f (A) = C f (CA ). Si f es un homeomorfismo, el mismo resultado se aplica a f 1 respecto del conexo f (A), por lo que deducimos que f (C A ) = C f (A). En otras palabras, f lleva componentes conexas a componentes conexas. De la biyectividad de f se deduce la biyectividad de la aplicación C 1 C 2, C f (C). Las componentes conexas se comportan de forma natural respecto de la topología producto. Proposición Sean (X j, τ j ), j = 1, 2, espacios topológicos, y consideremos (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) el espacio producto. Para todo punto (x 1, x 2 ) X 1 X 2, la componente conexa C (x1,x 2 ) de (x 1, x 2 en (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) obedece a la fórmula C (x1,x 2 ) = C x1 C x2, donde C xj es la componente conexa de x j en (X j, τ j ), j = 1, 2.

7 CONEXIÓN 7 Dem: Como C x1 C x2 es conexo en (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) (producto de conexos, ver el Teorem 1.7) y (x 1, x 2 ) C x1 C x2, deducimos que C x1 C x2 C (x1,x 2 ). Por otra parte, como la proyección p j : (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )) (X j, τ j ) es una aplicación continua, el Teorema 1.15 nos garantiza que p j (C (x1,x 2 )) es un conexo conteniendo a x j, y por tanto que p j (C (x1,x 2 )) C xj, j = 1, 2. De aquí inferimos que C (x1,x 2 ) C x1 C x2, y por tanto C (x1,x 2 ) = C x1 C x2. 2. CONEXOS DE LA RECTA EUCLIDIANA: CONSECUENCIAS Nos proponemos a continuación caracterizar los conexos de la recta real. Como veremos más adelante, este resultado tiene importantes implicaciones, por ejemplo, la descripción de un gran número de espacios conexos de naturaleza euclidiana. Teorema 2.1. Si A R, entonces A es conexo en (R, τ u ) A es un intervalo. Dem: = Supongamos que A no es un intervalo, esto es, existe t 0 A tal que O 1 := A ], t 0 [ = y O 2 := A ]t 0, + [ =. Los conjuntos O 1 y O 2 son abiertos disjuntos en (A, τ u ) (A, (τ u ) A ) y satisfacen A = O 1 O 2, lo que contradice que A es conexo por el Toerema 1.2. = Si A = [a, a] = {a} es un intervalo trivial, la conexión de (A, (τ u ) A ) es trivial. Supongamos pues que A es un intervalo no trivial. Razonemos por reducción al absurdo, y admitamos que A no es conexo. Por tanto existen abiertos O 1, O 2 ((τ u ) A disjuntos, no vacíos y tal que A = O 1 O 2. Fijemos a 1 O 1 y a 2 O 2, y salvo intercambiar índices supongamos sin pérdida de generalidad que a 1 < a 2. A continuación llamemos B = {t O 2 : t > a 1 } y β := inf B. Observese que β R está bien definido ya que B = (a 2 B) y a 1 es cota inferior de B. Además, de la definición de β y del hecho de que A es un intervalo, es fácil deducir que β [a 1, a 2 ] A = O 1 O 2. Se presenta una clara disyuntiva: β O 1 ó β O 2. La contradicción vendrá de que ninguna de esas posibilidades puede ocurrir. En efecto, supongamos primero que β O 1. En este caso claramente β < a 2, y por tanto [β, a 2 ] es un intervalo no trivial contenido en A (ya que A es un intervalo!!). Como O 1 es un abierto en A, existe ɛ > 0 tal que ]β ɛ, β + ɛ[ A O 1, y por tanto, ]β ɛ, β + ɛ[ [β, a 2 ] = [β, β + ɛ[ O 1 (téngase en cuenta que a 2 / O 1 y β < a 2 implican que β + ɛ a 2 ). Pero al ser B O 2, O 1 O 2 = y [β, β + ɛ[ O 1, inferimos que β = inf B β + ɛ > β, una contradicción. Supongamos ahora que β O 2. En este caso claramente a 1 < β, y por tanto [a 1, β] es un intervalo no trivial contenido en A (ya que A es un intervalo!!). Como O 2 es un abierto en A, existe ɛ > 0 tal que ]β ɛ, β + ɛ[ A O 2, y por tanto, ]β ɛ, β + ɛ[ [a 1, β] =]β ɛ, β] O 2 (téngase en cuenta que a 1 / O 2 y a 1 < β implican que a 1 β ɛ). Por la definición de B deducimos que ]β ɛ, β] B, y por tanto β = inf B β ɛ < β, una contradicción. Esto prueba el teorema. Corolario 2.2. (Q, τ u ) y (R Q, τ u ) son totalmente disconexos.

8 8 F.J. LÓPEZ Dem: Un subconjunto conexo en (Q, τ u ) lo es en (R, τ u ), y por tanto ha de ser un intervalo. Por la densidad de los irracionales en (R, τ u ), los únicos intervalos que constan de puntos racionales son los triviales [r, r] = {r}, r Q. De aquí el resultado. Análogamente se razona con R Q. Este resultado tendrá múltiples consecuencias. Comentemos para empezar dos de ellas: Corolario 2.3. Si (X, τ) es un espacio conexo y f : (X, τ) (R, τ u ) una aplicación continua, entonces f (X) es un intervalo de la recta real. Equivalentemente, si x 1, x 2 X y f (x 1 ) c f (x 2 ) entonces existe y X tal que f (y) = c. Dem: Por el Teorema 1.3 el conjunto f (X) es conexo en (R, τ u ), luego un intervalo por el Teorema 2.1. Corolario 2.4. Si f : ([0, 1], τ u ) ([0, 1], τ u ) es continua entonces existe t 0 [0, 1] tal que f (t 0 ) = t 0. Dem: La función h : ([0, 1], τ u ) (R, τ u ), h(t) = t f (t), es continua y satisface h(0) 0 h(1). Por el Corolario 2.3 existe t 0 [0, 1] tal que h(t 0 ) = 0, esto es, f (t 0 ) = t Algunos espacios conexos de naturaleza euclidiana. Probemos a continuación la conexión de algunos espacios topológicos notables Los espacios euclidianos. El espacio (R n, τu n ) es conexo para todo n N. En efecto, probémoslo por inducción. Si n = 1 el resultado se sigue del Teorema 2.1. Admitamos que (R n, τu n ) es conexo para algún n N. Como (R n+1, τu n+1 ) (R n R, τ(τu n τu)), 1 el Teorema 1.7 garantiza que (R n+1, τ n+1 ) es conexo y cierra la inducción La esfera. La esfera (S n, τ u ) es conexa. Como la proyección estereográfica σ : (S n {N}, τ u ) (R n, τ u ) es un homeomorfismo y (R n, τ u ) es conexo, (S n {N}, τ u ) es conexo (ver el Corolario 1.4). Teniendo en cuenta que S n {N} es denso en (S n, τ u ), la conexión de (S n, τ u ) se sigue del Teorema 1.9. Este resultado tiene una consecuencia interesante: Teorema 2.5 (Borsuk-Ulam). Si f : (S n, τ u ) (R, τ u ) es una aplicación continua, entonces existe p 0 S n tal que f (p 0 ) = f ( p 0 ). Dem: La aplicación h : (S n, τ u ) (R, τ u ), h(p) = f (p) f ( p), es continua y satisface h(p) = h( p) para todo p S n. Por la conexión de (S n, τ u ) y el Corolario 2.3, deducimos que 0 h(s n ) (ya que 0 pertenece al intervalo de extremos h(p) y h( p), p S n ). Por tanto existe p 0 S n tal que h(p 0 ) = f (p 0 ) f ( p 0 ) = 0, lo que prueba el teorema El cilindro y el toro. El cilindro (C = S 1 R, τ u ) es conexo por ser el espacio producto de los espacios conexos (S 1, τ u ) y (R, τ u ), ver el Teorema 1.7. Análogamente ocurre con el toro (T n = n j=1 S1, τ u ). La cinta de Möbius y la Botella de Klein, dotados ambos de sus correspondientes topologías euclidianas naturales, son conexos por ser cocientes de espacios conexos (el cilindro (C, τ u )y el toro (T 1, τ u ), respectivamente).

9 CONEXIÓN Espacios arcoconexos. La mayoría de los espacios interesantes para la geometría, como las variedades diferenciables, satisfacen una condición de conexión más exigente, conocida como conexión por arcos. Comentemos los detalles. Definición 2.6. Un arco en un espacio topológico (X, τ) es una aplicación continua α : ([0, 1], τ) (X, τ). Al conjunto α([0, 1]) X le llamaremos traza del arco α. A los puntos α(0) y α(1) les llamaremos punto inicial y final del arco α, respectivamente, y también extremos del arco α. Un arco en (X, τ) se dice que une dos puntos x, y X si éstos son sus extremos. Obviamente, la traza α([0, 1]) de un arco α : [0, 1] X en (X, τ) es un subconjunto conexo de (X, τ). Recordemos que ([0, 1], τ) es conexo y que la imagen por una aplicación continua de un conexo es conexo. En muchas ocasiones identificaremos, abusando del lenguaje, el arco con su traza. Definición 2.7. Un espacio topológico (X, τ) se dice conexo por arcos o arcoconexo si para cualesquiera dos puntos x 1, x 2 X existe un arco α : ([0, 1], τ) (X, τ) con α(0) = x 1 y α(1) = x 2. La conexión por arcos es una condición más fuerte que la conexión topológica. Teorema 2.8. Si (X, τ) es arconconexo entonces (X, τ) es conexo. Dem: Fijemos x 0 X, y para cada x X consideremos un arco α x : [0, 1] X con α(0) = x 0 y α(1) = x. La familia {α x ([0, 1]) : x X} está formada por subconjuntos conexos en (X, τ) satisfaciendo x X α x ([0, 1]) = X. α x1 ([0, 1]) α x2 ([0, 1]) = para todo x 1, x 2 X. La conexión de (X, τ) se sigue directamente de la Proposición 1.5. El recíproco al Teorema 2.8 es falso. La siguiente proposición nos ofrece el contraejemplo. Proposición 2.9. El conjunto X := {(x, sin(1/x)) : x ]0, + [} {(0, 0)} dotado del a topología euclidiana indudida por (R 2, τ u ) es conexo, pero no arcoconexo. Dem: Llamemos Y := {(x, sin(1/x)) : x ]0, + [}. Como (Y, τ u ) es homeomorfo a (]0, + [, τ u ) (la aplicación proyección (x, sin(1/x)) x nos proporciona un homeomorfismo), y ]0, + [ es conexo en R, τ u ) por ser un intervalo, inferimos que (Y, τ u ) es conexo. Por otra parte, el hecho de que Y X Y y el Teorema 1.9 implican que X es conexo en (R 2, τ u ). Resta pues probar que (X, τ u ) no es arcoconexo. Para ello consideremos un arco cualquiera α : [0, 1] X con α(0) = 0, y llamemos A = {t [0, 1] : α(t) = 0}. Nuestro objetivo es probar que A = [0, 1]. Como A = (0 A) y A = α 1 ({(0, 0)}) es cerrado en ([0, 1], τ u ) (imagen inversa por la aplicación continua α del conjunto cerrado {(0, 0)}), es suficiente con probar que A es abierto en ([0, 1], τ u ). Sea t 0 A y consideremos cualquier número real ɛ ]0, 1/2[. Por la geometría de la gráfica Y, el conjunto B 2 ((0, 0), ɛ) X consta de una colección numerable de arcos abiertos {γ n : n N} en Y disjuntos dos a dos, (esto es, trozos de la gráfica Y homeomorfos a intervalos abiertos y disjuntos dos a dos), además del punto (0, 0). Cada uno de los arcos γ n es obviamente un subconjunto abierto y cerrado de (B 2 ((0, 0), ɛ) X, τ u ), y por tanto una componente conexa de (B 2 ((0, 0), ɛ)

10 10 F.J. LÓPEZ X, τ u ). Como (0, 0) / γ n para todo n N y B 2 ((0, 0), ɛ) X = ( n N γ n ) {(0, 0)}, la componente conexa de B 2 ((0, 0), ɛ) X conteniendo a (0, 0) se reduce al punto {(0, 0)}. Por otra parte, como α es continua tenemos que α 1 (B 2 ((0, 0), ɛ)) es un entorno de t 0 en ([0, 1], τ u ), y por tanto existe δ > 0 tal que J :=]t 0 δ, t 0 + δ[ [0, 1] α 1 (B 2 ((0, 0), ɛ)). Como J es un intervalo no trivial, J es conexo, de donde deducimos que α(j) B 2 ((0, 0), ɛ) X ha de ser conexo igualmente, y en consecuencia contenido en una componente conexa γ de B 2 ((0, 0), ɛ) X. Como α(t 0 ) = (0, 0) α(j) γ, γ ha de ser la componente conexa de B 2 ((0, 0), ɛ) X conteniendo a (0, 0), esto es, γ = {(0, 0)} = α(j). Esto prueba que J A, y por tanto que A es abierto en ([0, 1], τ u ). Por la conexión de [0, 1] deducimos que A = [0, 1], y en consecuencia α es el arco constante (0, 0). En particular, en X no pueden existir arcos conectando (0, 0) y puntos de Y, luego no es arcoconexo. Sin embargo, bajo algunas condiciones especiales el recíproco al Teorema 2.8 sí será cierto. Para explicar los detalles, necesitamos introducir la siguiente notación. Dados dos arcos α,β en (X, τ) tales que α(1) = β(0), el producto β α : [0, 1] X obedece a la fórmula { α(2t) si t [0, (β α)(t) = 2 1 ] β(2t 1) si t [ 1 2, 1] La aplicación β α está definida a trozos y de forma continua sobre los cerrados [0, 1 2 ] y [ 2 1, 1] de [0, 1]. Además, el valor de β α en el punto intersección t = 2 1 de ambos cerrados está bien definido (ambas expresiones coinciden por ser α(1) = β(0)), por lo que β α : ([0, 1], τ u ) (X, τ) es continua. Dado un arco α : ([0, 1], τ) (X, τ), se define α : : ([0, 1], τ) (X, τ), α(t) = α(1 t). Es fácil ver que α es continua y por tanto un arco, y además α(0) = α(1), α(1) = α(0). Proposición Todo abierto conexo no vacío de (R n, τ u ) es arcoconexo. Dem: Sea O R n un abierto de la topología euclidiana τ u. Fijemos x O y llamemos A x := {y O : existe un arco en O uniendo x e y}. Nuestra intención es probar que A x = O, para lo que será suficiente con ver que A x = y A x es abierto y cerrado en (O, (τ u ) O ) (ver el Teorema 1.2). El arco α : [0, 1] O, α(t) = x t [0, 1], tiene punto inicial y final x, por lo que x A x =. Veamos que A x es abierto. Sea y 0 A x y consideremos un arco α : [0, 1] O con α(0) = x 0 y α(1) = y 0. Tomemos ɛ > 0 suficientemente pequeño para que B 2 (y 0, ɛ) O, y comprobemos que B 2 (y 0, ɛ) A x. En efecto, si y B 2 (y 0, ɛ) basta con construir un arco β en B 2 (y 0, ɛ) con punto inicial y 0 y final y (por ejemplo un segmento, obsérvese que B 2 (y 0, ɛ) es convexo), y observar que β α es un arco en O conectando x 0 e y. Esto prueba que B 2 (y 0, ɛ) A x, y como y A x es un punto arbitrario, que A x es un abierto en (R n, τ u ). Como A x O, A x es abierto en (O, (τ u ) O ). Veamos ahora que A x es cerrado en (O, (τ u ) O ). Tomemos un punto arbitrario y 0 A x O, y consideremos igual que antes una bola abierta B 2 (y 0, ɛ) O. Como y 0 A x O y B2 (y 0, ɛ) es entorno de y 0 en (O, (τ u ) 0 ), necesariamente B 2 (y 0, ɛ) A x =. Tomemos un punto y B 2 (y 0, ɛ) A x y un arco α : [0, 1] O con α(0) = x 0 y α(1) = y, que existe por ser y A x. Consideremos también un arco β en B 2 (y 0, ɛ) con punto inicial y y final y 0 ; como antes valdría un segmento por la convexidad de B 2 (y 0, ɛ). Razonando como antes, β α es un arco en O conectando x 0 e y 0, lo que prueba que y 0 A x, y por tanto, que A x es cerrado en (O, (τ u ) O ).

11 CONEXIÓN 11 En definitiva, A x = O para cualquier punto x O, por lo que O es arcoconexo Conjuntos estrellados y convexos en espacio euclidianos. Un conjunto A R n se dice estrellado con centro x 0 A si para todo x A el segmento [x 0, x] := {(1 t)x 0 + tx : t [0, 1]} A. Todo conjunto estrellado es arcoconexo. En efecto, si x, y A y consideramos los arcos en A dados por α : [0, 1] A, α(t) = (1 t)x 0 + tx, y β : [0, 1] A, β(t) = (1 t)x 0 + ty, el arco β α : [0, 1] A conecta x e y. Un conjunto A R n se dice convexo si para todo x, y A el segmento [x, y] A. En otras palabras, A es convexo si y sólo si es estrellado con centro cualquiera de sus puntos. Obviamente todo conjunto convexo es arcoconexo. Como ejemplo, comentemos el caso del cono C 0 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 }. Este conjunto es estrellado con centro el origen (0, 0, 0), y por tanto arcoconexo. 3. TEMA III (PRIMERA PARTE): RELACIÓN DE PROBLEMAS (1) Probar que cualesquiera dos de los espacios [0, 1), [0, 1], (0, 1) y S 1 todos dotados de la topología usual, no son homeomorfos. (2) Probar que S n es conexo, n 1. (3) Probar que R no es homeomorfo a R n, n 2. Igualmente, probar que S 1 no es homeomorfo a S n, n 2. (4) Un conjunto A R n se dice estrellado con centro p 0 A si para todo p A el segmento [p 0, p] A. Probar que todo conjunto estrellado de R n es conexo, y como consecuencia probar que todo convexo en R n es conexo. (5) Estudidar la conexión de los siguientes espacios, todos ellos dotados de la topología euclídea: (i) {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z 2 }. (ii) {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = 1}. (iii) {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 = z}. (iv) Q R. (v) {(x, y) R 2 x y = 0}. (vi) Q R {(x, 0) x R}. (vii) {(x, sin(1/x)) x (0, + )} {(0, 0)}. (6) Probar que R n+1 S n no es conexo, n 1. Determinar sus componentes conexas. (7) Probar que si D R n, n 1, es un subconjunto no vacío, conexo y numerable, entonces D contiene un único punto. (8) Sea (X, τ) un espacio topológico. Probar que (X, τ) es conexo A X, A =, X, se tiene que Fr(A) =. (9) Sean (X, τ) un espacio topológico y A, B X dos subespacios conexos tales que A B =. Probar que A B es conexo. (10) Sean (X, τ) un espacio topológico conexo. Probar que toda aplicación continua f : (X, τ) (Q, (τ u ) Q ) es constante. (11) Sean A y B dos subconjuntos cerrados no vacíos de (X, τ) tales que A B y A B son conexos. Probar que A y B son subespacios conexos. (12) Si (X 1, τ 1 ) es conexo y f : (X 1, τ 1 ) (X 2, τ 2 ) es continua, entonces Graf( f ) es un subespacio conexo del espacio producto (X 1 X 2, τ(τ 1 τ 2 )). (13) Si A es un subconjunto abierto, cerrado y conexo de (X, τ), probar que A es una componente conexa de (X, τ).

12 12 F.J. LÓPEZ (14) Sea A R n un subconjunto conexo, y sea f : A R una función continua. Se definen los subconjuntos de A R R n+1 (dotado con la topología inducida por R n+1 ) dados por: G + ( f ) = {(x, t) A R t > f (x)} y G ( f ) = {(x, t) A R t < f (x)}. Probar que G + ( f ) y G ( f ) son abiertos conexos. (15) Probar que el complementario de un conjunto numerable en R n n 2, es conexo. Concluir que lo mismo ocurre en la esfera S n, n 2. (16) Probar que el complementario de un subespacio afín en R n, n 2, es conexo sí y sólo sí éste tiene dimensión menor o igual que n 2. Depto. de Geometría y Topología, Universidad de Granada, E Granada, (Spain), fjlopez@ugr.es