ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 8. Conjuntos invariantes

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 8. CONJUNTOS INVARIANTES Y CONJUNTOS LÍMITE. ESTABILIDAD POR EL MÉTODO DE LIAPUNOV. Conjuntos invariantes 1. Definición. Se dice que un conjunto D Ω es positivamente invariante (por el flujo Φ de un campo f : Ω R n R n de clase C 1 ) si O x + D para todo x D. Análogamente, si D para todo x D, se dice que D es negativamente invariante. Cuando O x D para O x todo x D se dice que D es invariante. 2. Probar que las intersecciones y las uniones arbitrarias de conjuntos (±) invariantes son (±) invariantes, y que la adherencia de un conjunto (±) invariante es (±) invariante. 3. Definición (ω-límites). Sea f : Ω R n un campo C 1. Se define el conjunto ω + -límite de un punto x Ω como el conjunto en el que la órbita de x se acumula para tiempos infinitos, es decir ω + (x) = {y Ω (t k ) +, Φ(t k, x) y}. Análogamente se define ω (x) = {y Ω (t k ), Φ(t k, x) y}. Estos conjuntos son vacíos por definición cuando I x no contiene a [0, + ) o (, 0]. 4. Probar que si y O x entonces ω ± (y) = ω ± (x). 5. Lema. Los conjuntos ω + (x) y ω (x) son cerrados e invariantes. 6. Proposición. Supongamos que O x + C, donde C es compacto. Entonces ω + (x) C, es no vacío, compacto, y conexo. (Análogamente para Ox y ω (x).) 7. Definición. Diremos que un subconjunto no vacío, compacto e invariante es minimal si no tiene ningún subconjunto propio con estas tres propiedades (compacto, invariante, no vacío). Un ejemplo de conjunto minimal es el de una órbita periódica. En dos dimensiones, como veremos más adelante (una consecuencia de los preparativos para la prueba del teorema de Poicaré-Bendixson), este es el único ejemplo posible. Sin embargo, en R n con n 3 hay órbitas densas en hipersuperficies compactas, y en este caso una tal hipersuperficie será minimal. 8. Probar que si C es minimal entonces C = ω + (x) = ω (x) para todo x C. 9. Proposición. Todo compacto (±) invariante C contiene un conjunto (±) invariante minimal. Si además C es homeomorfo a un disco cerrado m-dimensional (con m no necesariamente igual a n), entonces C contiene un punto de equilibrio.

2 Indicación: para la primera parte, considerar la familia F de todos los subconjuntos compactos, positivamente invariantes y no vacíos de C, ordenada parcialmente por inclusión. Comprobar que toda subfamilia totalmente ordenada por inclusión tiene la propiedad de intersección finita, y por tanto, por compacidad, una cota inferior. Deducir, aplicando el lema de Zorn, que existe un compacto invariante no vacío minimal. Para la segunda parte, tomar una sucesión T j +. Por el teorema del punto fijo de Brouwer, existe x j un punto fijo de Φ Tj : C C. Como C es compacto puede suponerse que existe x = lím j x j. Para todo t > 0 puede escogerse n j N tal que t [n j T j, (n j + 1)T j ), y usando que Φ njtj (x j ) = x j, comprobarse que Φ(t, x) = x. 10. Supongamos que O ± x está contenida en un compacto. Probar que lím dist(φ x(t), ω ± (x)) = 0. t ± Estabilidad por el método de Liapunov 11. Definición. Sea x 0 un punto de equilibrio de un campo f : Ω R n de clase C 1, y sea U un entorno abierto de x 0. Una función de Liapunov para f en x 0 es una función continua y no negativa L : U [0, ) tal que 1. L(x) = 0 x = x 0, 2. L(Φ(s, x)) L(Φ(t, x)) para todo 0 s t y todo x U tales que Φ(t, s), Φ(s, x) U (es decir, L es decreciente a lo largo de las curvas integrales de f que estén contenidas en el dominio de L). Si la desigualdad anterior es estricta, entonces diremos que L es una función de Liapunov estricta. 12. Notación. Si L es una función de Liapunov para f en x 0, en lo sucesivo denotaremos por S δ la componente conexa de L 1 ([0, δ]) que contiene a x 0. Es obvio que S δ S δ si 0 δ δ. Al ser L decreciente sobre las curvas integrales de f uno esperaría que los conjuntos S δ fueran positivamente invariantes. En general S δ no será cerrado en R n (sólo cerrado relativo a U), puesto que puede tener un trozo de frontera común con U. En tal caso las órbitas podrían escaparse de S δ a través de esta parte de la frontera de S δ. Para evitar esta situación basta con asumir que S δ es cerrado (y de todas formas, como veremos pronto, si δ es suficientemente pequeño entonces S δ es cerrado). 13. Lema. Si S δ es cerrado en R n entonces es positivamente invariante. Demostración: supongamos que no, entonces existirían y S δ S δ U y una sucesión t m 0 tales que φ(t m, y) / S δ. Entonces L(φ(t m, y)) > δ = L(y) (porque si φ(t m, y) L 1 [0, δ], como también y L 1 [0, δ] y ambos puntos están en una misma órbita, deben estar en la misma componente conexa de L 1 [0, δ], y como y S δ tendríamos φ(t m, y) S δ ). Pero esto contradice que L sea decreciente sobre φ(t, y). 14. Lema. S δ es un entorno de x 0 que se contrae en el punto {x 0 } cuando δ 0 +. Es decir, para todo r > 0 existe δ > 0 tal que S δ B(x 0, r), y B(x 0, δ) S r.

3 Demostración: como L 1 [0, r) es abierto y contiene a x 0, existe δ > 0 tal que B(x 0, δ) L 1 [0, r) L 1 [0, r], y como además esta bola es conexa y contiene a x 0, se tiene B(x 0, δ) S r. Luego S r es entorno de x 0 para todo r > 0. Por otra parte, si S δ no se contrajera a {x 0 } cuando δ 0, existirían r > 0 y una sucesión x m S 1/m tales que x m x 0 r. Como la función g(x) = x x 0 es continua, g(x 0 ) = 0 r g(x m ), y x m, x 0 están en el conexo S 1/m, aplicando el teorema de Bolzano podemos encontrar x m S 1/m tales que x m x 0 = r. Por compacidad de B(x 0, r) podemos suponer, tomando una subsucesión si fuera necesario, que x m converge a cierto x B(x 0, r). Puesto que 0 L(x m) 1/m, por continuidad de L tenemos L(x) = 0. Pero esto contradice que L 1 (0) = {x 0 }. 15. Lema. Si L es una función de Liapunov para f en x 0, entonces existe δ 0 > 0 tal que S δ es cerrado en R n (y en particular positivamente invariante) para todo δ [0, δ 0 ]. Demostración: Sea r 0 > 0 tal que B(x 0, r) U. Por el lema anterior existe δ 0 > 0 tal que S δ S δ0 B(x 0, r) U si 0 δ δ 0. Entonces S δ B(x 0, r) U, luego la adherencia de S δ relativa a U y su adherencia relativa a R n coinciden. Por otra parte, como S δ es un cerrado relativo a U (por ser una componente conexa de L 1 [0, δ], que es cerrado relativo a U), S δ es igual a su adherencia relativa a U. Por tanto S δ = S δ U = S δ es cerrado en R n, para 0 δ δ 0. De los tres lemas anteriores se deduce el siguiente 16. Teorema (Liapunov). Si existe una función de Liapunov para f y x 0 entonces x 0 es un punto de equilibrio estable. 17. Teorema (principio de Krasovskii-LaSalle). Sea x 0 un punto de equilibrio de un campo f de clase C 1 (Ω, R n ). Supongamos que existe una función de Liapunov L que no es constante sobre ninguna órbita positiva contenida en U \ {x 0 } (esto ocurre por ejemplo cuando L es estricta), donde U Ω es compacto y positivamente invariante. Entonces x 0 es asintóticamente estable, y además toda órbita positiva contenida en U \ {x 0 } converge (en t = + ) a x 0 (se dice en este caso que U está contenido en la cuenca de atracción de x 0 ). Demostración: Ya sabemos que x 0 es estable: dado ε > 0, existe δ > 0 tal que φ(t, x) B(x 0, ε) para todo x B(x 0, δ), t 0. Veamos que además lím t φ(t, x) = x 0 si O + x U. Para todo x con Φ(t, x) U para t 0, el límite lím L(Φ(t, x)) := L 0(x) t + existe por ser la función decreciente. Además, si y ω + (x), existe t m tal que φ(t m, y) y, luego L(y) = lím m L(φ(t m, x)) = L 0 (x), es decir L(y) = L 0 (x). Por tanto debe ser ω + (x) = {x 0 } (ya que si existiera y ω + (x)\{x 0 }, como ω + (x) es invariante, tendríamos que φ(t, y) ω + (x) para todo t, luego L(φ(t, y)) = L 0 (x) para todo t, y L sería constante sobre O y + U \ {x 0 }). De aquí se deduce que lím t φ(t, x) = x Corolario. Sea x 0 un punto de equilibrio de un campo f C 1 (Ω, R n ). Supongamos que existe una función continua L : U [0, + ) definida en un entorno U de x 0, que L es diferenciable en U \ {x 0 } y que

4 1. L(x) = 0 x = x 0 2. DL(x)f(x) 0 para todo x U \ {x 0 } Entonces x 0 es estable. Además, si la desigualdad de (2) es estricta, entonces x 0 es asintóticamente estable. 19. Teorema (de inestabilidad de Liapunov). Sean f C 1 (Ω, R n ), x 0 un punto de equilibrio de f, y U un entorno abierto de x 0. Supongamos que existe una función continua V : U R, que es de clase C 1 en U \ {x 0 } y que 1. V (x 0 ) = En todo entorno de x 0 existe un punto x tal que V (x) > 0 3. DV (x)f(x) > 0 para todo x U \ {x 0 }. Entonces x 0 es inestable. Indicación: Dado ε > 0 con B(x 0, ε) U, para todo δ (0, ε) existe x B(x 0, δ) con V (x) > 0. Probaremos que no es cierto que Φ(t, x) B(x 0, ε) para todo t 0. Supongamos que sí lo fuera. Por continuidad de V, existe r > 0 tal que V (y) < V (x) para todo y B(x 0, r). Consideremos la función g(t) = V (Φ(t, x)). Comprobar que g es estrictamente creciente en [0, + ), y que r Φ(t, x) x 0 ε. Sea α > 0 el mínimo de DV (y)f(y) para r y x 0 ε. Comprobar que g(t) g(0) + αt y obtener de aquí una contradicción. 20. Deducir el principio de linealización (teorema 5 de la hoja 7) de los teoremas de estabilidad e inestabilidad de Liapunov anteriores. 21. Ejemplo (sistemas gradientes). Un sistema de la forma x = f(x), donde f = V para cierta V : Ω R n R de clase C 2, se dice que es un sistema gradiente. Demostrar que: 1. Todo mínimo local aislado de V (en el sentido de tener un entorno donde no hay ningún otro punto crítico) es un punto de equilibrio asintóticamente estable de f. 2. Todo punto de silla aislado de V es un punto de equilibrio inestable de f. 3. En todo punto de equilibrio, los autovalores de la parte lineal del sistema son reales. 4. El sistema no posee curvas integrales periódicas no constantes. 5. En los puntos regulares, las curvas integrales de f cortan ortogonalmente a las superficies de nivel de V. 6. Para cada x Ω, V es constante sobre ω ± (x). Deducir que todo punto ω ± -límite es un punto de equilibrio. Supongamos además que para cada r R, el conjunto V 1 (, r] es compacto, y que DV (x) 0 excepto para un número finito de puntos {p 1,..., p m }. Probar que entonces toda curva integral de f está definida para todo t 0, y converge, cuando t +, a alguno de los puntos p 1,..., p m. 22. Teorema de conservación de la energía. Consideremos un sistema x = f(x), donde f(x) = U(x), siendo U C 2 (Ω, R). Se define la energía cinética del sistema como T (x ) = 1 2 x 2, la energía potencial como U(x), y la energía total como E(t) = T (x (t)) + U(x(t)).

5 Entonces se tiene que d dt E(t) = 0 para todo t, es decir, la energía total del sistema permanece constante a lo largo de cada curva integral. Por esto se dice que un sistema de esta forma es un sistema conservativo. 23. Teorema de Lagrange. Consideremos el sistema conservativo x = f(x) = U(x), con U C 2 (Ω, R). Este sistema equivale a x = v v = U(x), es decir (x, v ) = F (x, v) = (v, U(x)), con F C 1 (Ω R n, R n R n ). Probar que si el potencial U tiene un mínimo local estricto en x 0, entonces el punto (x 0, 0) es un punto de equilibrio estable, pero no asintóticamente estable, de F. Indicación: E(x, v) = 1 2 v 2 +U(x) U(x 0 ) es integral primera del campo F, y también una función de Liapunov. 24. Proposición. Sea U un potencial de clase C 2 (R n, R) que está acotado inferiormente. Entonces las curvas integrales del sistema conservativo x = U(x) están definidas para todo tiempo (es decir el campo F (x, v) = (v, U(x)) es completo). 25. Sistemas conservativos con un grado de libertad. Sea f : R R de clase C 1 y definamos U(x) = x 0 f(u)du. 1. Probar que los conjuntos de nivel de la energía {(x, y) R 2 : 1 2 y2 + U(x) = c} son curvas de clase C 1 alrededor de cada punto regular (es decir que no sea de equilibrio). 2. Si xf(x) < 0 cuando x 0, probar que el punto (0, 0) es estable pero no asintóticamente estable, y las órbitas alrededor de (0, 0) son periódicas. 3. Esbozar las curvas de nivel de la energía cuando xf(x) > 0 para x 0 y deducir que en este caso el origen es un equilibrio inestable. 4. Esbozar el diagrama de fases del sistema cuando la función U(x) tiene varios máximos y mínimos relativos, tiende a en, y tiende a + en Probar que si lím x + U(x) = + entonces todas las soluciones con niveles de energía suficientemente altos son periódicas.