2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables. Mayo, 2009

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1 Cálculo 2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables Mayo, 2009

2 Definición IR 2 = {(x 1,x 2 )/x 1 IR,x 2 IR} Sean dos puntos a y b, de coordenadas respectivas (a 1,a 2 ) y (b 1,b 2 ). Definición Se denomina distancia euclídea entre los puntos a y b al número real no negativo: d 2 (a,b) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2. Definición Se denomina norma euclídea de un vector x IR 2 a la cantidad: x 2 = x1 2 + x2 2.

3 En un espacio de dimensión superior escribimos: d(a,b) = n (a i b i ) 2 x = x1 2 + x x2 n. i=1 Definición Se denomina bola abierta de centro a y radio r > 0 al conjunto de puntos x del plano cuya distancia al centro es estrictamente inferior al radio: B(a,r) = {x IR 2 /d(a,x) < r}.

4 Definición Decimos que un conjunto A IR 2 es abierto si en cada uno de sus puntos a podemos trazar alguna bola abierta B(a,r) totalmente contenida en A. Definición Un conjunto A IR 2 es cerrado si su complementario C A es abierto. Definición Un conjunto A es acotado si existen r IR + y a IR n tales que A B(a,r). Definición Un conjunto A IR 2 es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

5 Definición Llamamos función escalar a una función con imagen en IR: f : IR n IR x f (x) = f (x 1,...,x n ) y función vectorial a una función con imagen en IR m (m > 1): F : IR n IR m x F(x) = f 1 (x 1,...,x n ) f 2 (x 1,...,x n )... f m (x 1,...,x n )

6 Definición El dominio, o campo de existencia, de una función vectorial F es: D(F) = D(f 1 ) m... D(f m ). Definición Se denomina conjunto de nivel c al conjunto: {x D(f )/f (x) = c}.

7 Nota (a) El conjunto de nivel está siempre sobre el dominio de la función. (b) La proximidad de las curvas de nivel en una zona indica una fuerte variación de la función en esa zona. (c) La línea de máxima pendiente es ortogonal, en cada punto, a las curvas de nivel. (d) Para funciones escalares de dos variables, los conjuntos de nivel se denominan curvas de nivel; para funciones escalares de tres variables, hablamos de superficies de nivel.

8 f (x, y) = 1 x2 0,4y2 0,5x + 0,3xy2

9 Sea un conjunto abierto A IR 2, a A, y una función escalar f : A IR. Definición Se dice que b IR es el límite de f cuando x tiende al punto a si: ε > 0, δ > 0 tal que x B(a,δ), x a y se representa por lím x a f (x) = b. se tiene f (x) b < ε

10 Propiedad Sean f,g : A IR; se tiene: si el límite existe, es único; por lo tanto, si los límites de una función en un punto calculados según distintos subconjuntos no son iguales, entonces no existe el límite; en la práctica, consideraremos rectas y parábolas como conjuntos sencillos para comprobar la (no) existencia de límite lím cf (x) = c lím f (x) x a x a lím (f ± g)(x) = lím f (x) ± lím g(x) x a x a x a [ ] [ ] lím (f g)(x) = lím f (x) lím g(x) x a x a x a si lím x a f (x) 0 y f (x) 0, x A, entonces lím x a ( ) g (x) = f lím g(x) x a lím f (x) x a

11 f (x,y) = x x + y

12 Sea A IR n. Definición Una función f : A IR es continua en a A si y sólo si: lím f (x) = f (a). x a Definición Una función F : A IR m es continua en a A si y sólo si cada una de sus componentes f i (i = 1,...,m) es continua en a.

13 Propiedad Sean f,g : A IR m continuas en a A, y sea c IR. (a) (cf ) es continua en a (b) (f + g) es continua en a (c) si m = 1, (fg) es continua en a (d) si m = 1 y f (x) 0 en un entorno de a, (1/f ) es continua en a (e) si h : IR m IR p es continua en f (a), entonces (h f ) es continua en a.

14 f (x,y) = xy x 2 + y 2

15 f (x,y) = x + y x 2 + y 2

16 f (x,y) = sin(2x2 + 3y 2 ) x 2 + y 2

17 f (x,y) = sinxy x 2 + y 2

18 f (x,y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

19 x 2 + y 2 f (x,y) = x 2 + y

20 Sea un conjunto abierto A IR 2 y una aplicación f : A IR. Definición Se llama derivada parcial de f con respecto a x 1 en el punto a A al siguiente límite, si existe: en cuyo caso lo denotaremos por: f (x 1,a 2 ) f (a 1,a 2 ) lím x 1 a 1 x 1 a 1 D 1 f (a) ó f x 1 (a) ó f, x1 (a) ó f x1 (a) ó f, 1 (a). De manera similar, la derivada parcial con respecto a x 2 en a será, si existe, el límite: f (a 1,x 2 ) f (a 1,a 2 ) lím. x 2 a 2 x 2 a 2

21 Definición Sean a A IR n y f : A IR. Sea v IR n un vector unitario ( v = 1). Se denomina derivada direccional de f en a según el vector v al siguiente límite, si existe: f (a + hv) f (a) D v f (a) = lím. h 0 h Nota La derivada parcial es un caso particular de derivada direccional: f f (a + he i ) f (a) (a) = lím = D ei f (a). x i h 0 h Para n = 2, la derivada direccional según v es la pendiente de la curva intersección de la superficie z = f (x 1,x 2 ) con el plano vertical que pasa por el punto a y contiene al vector v.

22 ( f (x,y) = x 2 y 2, a = 1 4, 1 ) 2

23 ( f (x,y) = x 2 y 2, a = 1 4, 1 ) 2

24 ( f (x,y) = x 2 y 2, a = 1 4, 1 ), v = (1,2) 2

25 Sea f : A IR n IR, a A. Definición Se llama vector gradiente de f en a al vector: D 1 f (a) f (a) = D 2 f (a)... D n f (a)

26 Definición Sea f : A IR 2 IR, a A. Se dice que f es diferenciable en a = (a 1,a 2 ) si admite derivadas parciales en a y, además, lím x a f (x) f (a) f (a)(x 1 a 1 ) f (a)(x 2 a 2 ) x 1 x 2 = 0. (x 1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 Propiedad Si f : IR 2 IR es diferenciable en el punto a IR 2, su representación gráfica (superficie) admite plano tangente en el punto a, que tiene por ecuación: z f (a) = f x (x a 1) + f y (y a 2). Propiedad Si f es diferenciable en a, y v IR 2, entonces D v f (a) = f (a) v.

27 Propiedad Si f es diferenciable en a, el vector gradiente f (a) indica la dirección de máximo crecimiento, a partir del punto (a,f (a)) de la función f. Es siempre ortonormal a las curvas de nivel. f (x,y) = x 2 y 2

28 f (x, y) = x2 y2

29 Sea un conjunto abierto A IR 2, un punto a A y una función f : A IR m. Definición Se denomina matriz jacobiana de f en a a la matriz: D 1 f 1 (a) D 2 f 1 (a) J f (a) = D 1 f 2 (a) D 2 f 2 (a) D 1 f m (a) D 2 f m (a) En el caso general de una función f : IR n IR m, tendremos: D 1 f 1 (a) D 2 f 1 (a)... D n f 1 (a) J f (a) = D 1 f 2 (a) D 2 f 2 (a)... D n f 2 (a) D 1 f m (a) D 2 f m (a)... D n f m (a)

30 Propiedad (Regla de la cadena) Sean F : A IR m y G : IR m IR p tales que admiten derivadas parciales en a A y en f (a) IR m, respectivamente. La matriz jacobiana asociada a la aplicación compuesta (G F) en el punto a es: J (G F) (a) = J G (F(a))J F (a).

31 Regla de la cadena Sean: F : IR n IR m u x 1 1 x 2... u 2 u 3... x n u m G : IR m IR p u 1 u 2 y 1 u 3... y 2... y u p m Si H = G F, entonces y = H(x) y sus derivadas parciales son: h i = x j m k=1 h i y k, y k x j (i = 1,2,...,p; j = 1,2,...,n)

32 Definición Sea un conjunto abierto A IR n, un punto a A y una función F : A IR m. Se dice que F es diferenciable en a si admite matriz jacobiana en a y, además, F(x) F(a) J F (a)(x a) lím = 0. x a x a Teorema Si F es diferenciable en a A, entonces es continua en dicho punto. Teorema Si F admite derivadas parciales D i f (x) en el conjunto A, y todas ellas son continuas en el punto a A, la función F es diferenciable en dicho punto.

33 Derivadas parciales continuas en a lím f x x a i (x) = f xi (a), i = 1,...,n lím x a Diferenciable en a f (x) f (a) Jf (a)(x a) x a = 0 Continua en a lím f (x) = f (a) x a Existen derivadas parciales en a f xi (a) = lím x i a i f (a 1,...,x i,...,a n ) f (a) x i a i

34 f (x, y) = x 1/3 y 1/3

35 Sean A IR n un conjunto abierto y un punto a A. Sea f : A IR una función que admite derivadas parciales en un entorno de a. Definición Se denomina derivada parcial segunda de f respecto de x j y x i en el punto a al siguiente límite, si existe: f x (a lím i 1,...,a j 1,x j,a j+1,...,a n ) f x (a i 1,...,a j 1,a j,a j+1,...,a n ) x j a j x j a j en cuyo caso se denota por: 2 f x j x i (a) ó D ij f (a) ó f xi x j (a) y, en el fondo, es: x j ( f x i ) (a).

36 Definición Sea f : A IR 2 IR, a A. Definimos la matriz hessiana, de f en a como la matriz de sus derivadas parciales de segundo orden, ordenadas como sigue: ( ) D11 f (a) D H f (a) = 12 f (a). D 21 f (a) D 22 f (a) Nota Al determinante de la matriz hessiana se le llama hessiano de f en a.

37 Teorema (de Schwarz) Sea f : A IR tal que existe f xi x j en un entorno del punto a A. Si f xi x j es continua en a, entonces existe f xj x i (a) y 2 f (a) = 2 f (a). x j x i x i x j El concepto de derivada parcial se extiende a órdenes superiores: 3 f x y 2 = ( 2 ) f x y 2 3 f x 2 y = ( 2 ) f x x y De manera similar, puede aplicarse el teorema de Schwarz a las derivadas de orden superior. Definición Se dice que la función f es de clase k en un conjunto A IR n si admite derivadas parciales de orden k en todo el conjunto A y todas ellas son continuas en A.

38 Sean un conjunto A IR 2, una aplicación f : A IR y un punto a = (a 1,a 2 ) = (x 0,y 0 ) A. Teorema Si f C 2 (A), entonces: f (x,y) = f (x 0,y 0 )+ f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+ f y (x 0,y 0 )(y y 0 )+R(x x 0,y y 0 ), donde R(x x 0,y y 0 ) lím (x,y) (x 0,y 0 ) (x x 0,y y 0 ) = 0.

39 Teorema Si f C 3 (A), entonces: f (x,y) = f (x 0,y 0 ) + f x (x 0,y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y y 0 ) f 2 x 2 (x 0,y 0 )(x x 0 ) f x y (x 0,y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) f 2 y 2 (x 0,y 0 )(y y 0 ) 2 + R(x x 0,y y 0 ), donde lím (x,y) (x 0,y 0 ) R(x x 0,y y 0 ) (x x 0,y y 0 ) 2 = 0.

40 El desarrollo de segundo orden puede también escribirse como: f (x) = f (a) + 1 1! + 1 2! n i=1 n n f (a)(x i a i )+ x i i=1 j=1 o bien, en forma matricial, como: 2 f (a)(x i a i )(x j a j ) + R(x a) x i x j f (x) = f (a) + J f (a)(x a) (x a)t H f (a)(x a) + R(x a), donde J f (a) y H f (a) son las matrices jacobiana y hessiana, respectivamente, evaluadas en x = a, que, en este caso, vienen dadas por: ( ) ( ) f f fx1 x J f (a) = (a) (a) H f (a) = 1 (a) f x1 x 2 (a) x 1 x 2 f x1 x 2 (a) f x2 x 2 (a)

41 f (x,y) = e x cosy

42 Sean un conjunto A IR 2, una aplicación f : A IR y un punto a = (a 1,a 2 ) = (x 0,y 0 ) A. Definición Se dice que f presenta un máximo local o relativo (respectivamente mínimo local o relativo) en el punto a A si y sólo si existe r > 0 tal que: f (x) f (a), (resp. f (x) f (a), x B(a,r) A x B(a,r) A). Definición Se dice que f alcanza un máximo absoluto (respectivamente mínimo absoluto) en el punto a A si y sólo si: f (x) f (a), (resp. f (x) f (a), x A x A).

43 Nota Los máximos y mínimos se denominan conjuntamente extremos. Por otra parte, si las desigualdades de la definición son estrictas, hablamos de extremo relativo estricto. Definición Decimos que a es un punto crítico o estacionario de la función f si: f x 1 (a) = f x 2 (a) = 0. Definición Llamamos punto silla a todo punto estacionario que no es extremo relativo.

44 Teorema (Condición necesaria de extremo relativo) Sea un conjunto abierto A IR 2 y una aplicación f : A IR diferenciable en a. Si f alcanza un extremo relativo en a A, entonces, necesariamente, J f (a) = 0. Nota (a) La condición anterior es necesaria, pero no suficiente; por ejemplo, la función f (x,y) = x 2 y 2 tiene derivadas parciales nulas en (0,0) pero, sin embargo, no presenta extremo relativo. (b) Una función puede alcanzar un extremo en puntos donde no existan las derivadas parciales; por ejemplo f (x,y) = x + y alcanza un mínimo absoluto en (0, 0) ya que f (x, y) > f (0, 0), (x, y) (0, 0). Sin embargo, no existen las derivadas parciales en el origen.

45 f (x, y) = x2 y2

46 f (x,y) = x + y

47 Sean a A IR 2 y una función f C 2 (A,IR). Teorema (Condición suficiente de extremo) Si a es un punto estacionario de f, entonces: (a) si H f (a) > 0 y f xx (a) > 0, f presenta en a un mínimo relativo estricto (b) si H f (a) > 0 y f xx (a) < 0, f presenta en a un máximo relativo estricto (c) si Hf (a) < 0, f presenta en a un punto silla (d) si Hf (a) = 0, no podemos asegurar nada, y debemos estudiar el signo de f (x) f (a) en un entorno del punto a.

48 f (x, y) = x2 2xy + 2y2

49 f (x, y) = 3x4 4x2 y + y2

50 Teorema (de Weierstrass) Toda función continua definida en un conjunto cerrado y acotado de IR 2 alcanza máximo y mínimo absolutos en el conjunto. Nota Los puntos donde se alcanzan los extremos absolutos no son necesariamente únicos. Para determinar los extremos absolutos de una función en un conjunto acotado, debemos buscar: los puntos estacionarios de f en el interior del conjunto los puntos del interior del conjunto donde f no admite derivadas parciales la frontera del conjunto.

51 Sean un conjunto abierto A IR 2 y dos funciones f,g : A IR. Pretendemos determinar los extremos absolutos de f restringida al conjunto g(x) = 0. Teorema Sean f y g diferenciables. Consideremos el punto a A y el conjunto { } S = x IR 2 /g(x) = 0. Supongamos que g(a) 0. Si f S presenta en a un extremo, entonces existe λ IR tal que: f (a) = λ g(a).

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